INTRODUZIONE CAPITOLO. Punti principali

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1 CAPITOLO Punti principali Funzionamento dei sistemi di comunicazione Allocazione delle frequenze e radiopropagazione Esercizi al computer (MATLAB) Misura dell informazione Codici a protezione d errore INTRODUZIONE Non è possibile scrivere un libro di dimensioni ragionevoli che copra esaurientemente tutti i vari aspetti di un sistema di comunicazione. Per questo motivo, è stata fatta in questo testo una scelta oculata degli argomenti in modo da dare enfasi ai principi base, e in modo che il lettore possa apprezzare l importanza di tali principi attraverso numerosi esempi e applicazioni. Talvolta, alcune applicazioni verranno presentate in anticipo rispetto ai relativi principi generali, affinché il lettore venga gratificato dall aver risolto tali problemi, e venga ulteriormente incentivato ad approfondirne lo studio. Speriamo con questo di riuscire a comunicare (!) al lettore la gioia dello scoprire il funzionamento dei sistemi di comunicazione, e di portarlo poi a essere in grado di condurne la progettazione. Ma che cos è un sistema di comunicazione? Spesso il mondo moderno viene identificato con la civiltà dell ICT, ove l acronimo indica in lingua inglese la tecnologia dell informazione e della comunicazione (Information and Communication Technology). La produzione e in generale il trattamento dell informazione sono di dominio dell ingegneria informatica, mentre la trasmissione dell informazione è proprio il fine ultimo dei sistemi di comunicazione trattati dall ingegneria delle telecomunicazioni. Tali sistemi basano il loro funzionamento su segnali che vengono inviati da una sorgente a un utilizzatore di informazione (ad esempio, un server Internet e un PC). La forma d onda (cioè il segnale) che

2 2 Capitolo Introduzione giunge all utilizzatore è di fatto sconosciuta finché non viene completamente ricevuta; se così non fosse, non ci sarebbe bisogno del sistema di comunicazione, e non si avrebbe scambio di informazione! Viene trasmessa tanta più informazione quanto più l utilizzatore è sorpreso dal messaggio (cioè dalla forma d onda) che è stato trasmesso. Dunque, la trasmissione dell informazione implica un certo grado di ignoranza anticipata (cioè a priori) di ciò che viene trasmesso. La possibilità di scambiare informazione è però limitata dalla presenza di disturbi (collettivamente indicati con l appellativo tecnico di rumore, evidentemente esteso per traslazione dall acustica). Se infatti un segnale non incontrasse alcun disturbo, sarebbe possibile inviare messaggi in forma elettronica fino ai più remoti confini dell universo inviando segnali di potenza anche modesta (cosa riconosciuta manifestamente assurda fin dagli albori delle scienze radio). Tuttavia, una teoria che descriva con semplicità gli effetti dei disturbi sulla trasmissione dell informazione è stata sviluppata soltanto a partire dagli anni 4, con i contributi fondamentali di scienziati come North [943], Rice [944], Shannon [944] e Wiener [949]. Dunque i sistemi di comunicazione sono progettati per trasmettere a un ricevitore forme d onda portatrici di informazione. Queste forme d onda possono però assumere forme diverse per rappresentare l informazione data: come selezionare la forma d onda per rappresentare la lettera A di un testo dattiloscritto? La selezione di queste forme d onda dipende da molti fattori a cominciare dalla larghezza di banda e dalla frequenza centrale del segnale, per continuare con la potenza o l energia del segnale medesimo, l influenza del rumore nel degradare l informazione, nonché il costo degli apparati per generare la forma d onda nel trasmettitore e rivelare l informazione nel ricevitore. Il libro è suddiviso in otto capitoli e quattro appendici. Nel Capitolo vengono introdotti i concetti chiave, come la quantità di informazione, e viene descritto un metodo per valutare la capacità informativa di un sistema di comunicazione. Il Capitolo 2 descrive le tecniche elementari per ottenere la densità spettrale di potenza e la larghezza di banda dei segnali. I segnali in banda base (aventi cioè componenti frequenziali vicine alla frequenza nulla) sono l oggetto del Capitolo 3, mentre i segnali in banda passante (componenti in una qualche banda lontana dalla frequenza nulla) sono esaminati nei Capitoli 4 e 5. L effetto dei disturbi sui vari segnali portatori di informazione è poi analizzato nei Capitoli 6 e 7, e infine il Capitolo 8 descrive alcuni casi particolari di sistemi di comunicazione via radio e/o via cavo. Le appendici comprendono alcune tavole matematiche, un introduzione alla probabilità e alle variabili aleatorie, una breve descrizione degli standard per comunicazioni tra computer e infine un introduzione a MATLAB. Gli standard dei sistemi di comunicazione sono invece inclusi di volta in volta nel corpo di ogni capitolo. Indicheremo inoltre come utilizzare il personal computer (PC) come strumento per disegnare forme d onda e calcolarne gli spettri, nonché analizzare e progettare i sistemi di comunicazione. In conclusione, i sistemi di comunicazione sono progettati per trasmettere informazione, quindi gli ingegneri delle telecomunicazioni devono effettuare tale progettazione con un occhio di riguardo per questi quattro punti:. selezione del segnale portatore d informazione; 2. banda e potenza del segnale stesso; 3. influenza dei disturbi sull informazione ricevuta; 4. costo del sistema.

3 - Cenni storici 3 - CENNI STORICI La Tabella - riporta una cronologia essenziale dello sviluppo dei sistemi di comunicazione. Nonostante che lo sviluppo del telefono cominci addirittura alla fine del diciannovesimo secolo, il primo cavo telefonico transatlantico è soltanto del 954. Prima di quella data le chiamate telefoniche intercontinentali si svolgevano via radio a onde corte, sostanzialmente cioè come ai tempi di Marconi. Analogamente le prime trasmissioni televisive furono diffuse in Gran Bretagna nel 936, ma trasmissioni televisive transoceaniche non sono state possibili prima del 962, anno in cui fu lanciato il satellite Telstar I. Infine le trasmissione digitali, nella forma del sistema telegrafico Morse, furono sviluppate a partire dal 85, ben prima del sistema analogico che ha dominato il ventesimo secolo, cioè il telefono. Oggigiorno le trasmissioni digitali hanno di nuovo preso il sopravvento sulle analogiche. TABELLA - Anno EVENTI NOTEVOLI PER LE TELECOMUNICAZIONI Evento 838 Cook e Wheatstone inventano il telegrafo. 844 Morse collega Baltimora e Washington tramite il telegrafo. 85 Kirchoff pubblica le omonime leggi dei circuiti elettrici. 858 Viene installato il primo cavo telegrafico transatlantico che resiste in servizio per soli 26 giorni. 864 Maxwell predice l esistenza della radiazione elettromagnetica. 876 Bell brevetta il telefono. 883 Edison scopre il flusso di elettroni nel vuoto alla base dell effetto termoionico. 887 Hertz verifica sperimentalmente la teoria di Maxwell. 894 Lodge realizza una comunicazione senza fili sulla distanza di 4 metri. 9 Marconi realizza la prima trasmissione radio transatlantica. 95 Fessenden trasmette parlato e musica via radio. 96 deforest inventa il triodo amplificatore. 95 La Bell Systems impianta una linea telefonica transcontinentale. 98 Armstrong inventa il ricevitore supereterodina. 99 La stazione radio KDKA inizia a Pittsburgh un servizio regolare di radiodiffusione. 92 Carson applica il principio del campionamento ai sistemi di comunicazione. 926 Baird e Jenkins realizzano prototipi della televisione. 927 Black inventa gli amplificatori a controreazione. 93 Viene iniziato il servizio telex (telescrivente). 932 Armstrong inventa la modulazione di frequenza. 936 La British Broadcasting Corporation (BBC) dà il via in Gran Bretagna alla radiodiffusione televisiva. 937 Reeves sviluppa la modulazione a codice d impulsi (PCM). 945 Viene costruito il primo calcolatore interamente elettronico ENIAC. 946 Bardeen, Brattain e Schokley inventano il transistor.

4 4 Capitolo Introduzione TABELLA - (seguito) Anno Evento 947 Shannon pubblica una serie di lavori che segnano la nascita della teoria dell informazione. 95 Viene introdotta la multiplazione a suddivisione di tempo (TDM) nei sistemi telefonici. anni 5 Vengono introdotti i ponti radio a microonde per comunicazioni telefoniche a lunga distanza. 953 Viene introdotta la televisione a colori negli Stati Uniti. 953 Entra in servizio il primo cavo telefonico transatlantico (36 canali). 958 Schawlow e Townes pubblicano articoli sul principio di funzionamento dei laser. 958 Kilby (Texas Instruments) e Noyce (Fairchild) sviluppano indipendentemente i primi circuiti integrati. 962 Viene lanciato il primo satellite attivo per telecomunicazioni, Telstar I Viene sviluppata la tecnologia dei codici a correzione d errore e degli equalizzatori adattativi per trasmissioni digitali affidabili ad alta velocità. 964 Viene lanciato il primo satellite per telecomunicazioni in regolare servizio commerciale, Early Bird. 97 La Intel commercializza il primo microprocessore, il La Motorola realizza i primi esempi di trasmissione cellulare. 976 Viene sviluppato il primo personal computer. 98 La Bell Systems lancia il sistema di comunicazione su fibra ottica FT3. 98 La IBM lancia commercialmente il suo primo personal computer, denominato PC. 985 Vengono commercializzate le macchine per fax su linea telefonica comune. 989 Entra in servizio il sistema per la radiolocalizzazione satellitare GPS (Global Positioning System). 992 Viene introdotto in Europa il sistema di telefonia digitale cellulare GSM. 995 La rete Internet e il World Wide Web si diffondono esponenzialmente. -2 SORGENTI D INFORMAZIONE; SISTEMI DIGITALI E ANALOGICI DEFINIZIONE. Una sorgente di informazione digitale è un apparato o un dispositivo che emette un insieme finito di possibili messaggi. La tastiera di un PC è un buon esempio di sorgente digitale: vi è un numero finito di caratteri (messaggi) che possono essere emessi. DEFINIZIONE. Una sorgente d informazione analogica produce un insieme di messaggi definiti su di insieme continuo. Un buon esempio di sorgente analogica è un microfono, la cui tensione d uscita descrive il contenuto informativo di un suono, ed è distribuita in un ambito continuo di valori. DEFINIZIONE. Un sistema di comunicazione digitale trasferisce informazione da una sorgente digitale a un utilizzatore (o ricevitore) digitale.

5 -3 Segnali determinati e aleatori 5 DEFINIZIONE. Un sistema di comunicazione analogico trasferisce informazione da una sorgente analogica a un utilizzatore analogico. Analogamente, un segnale digitale è una funzione del tempo che può assumere solo un insieme discreto di valori. Se in particolare questo insieme è costituito da due soli valori, il segnale è binario. Viceversa, un segnale analogico è una funzione del tempo definita su di un insieme continuo di valori. Un sistema di comunicazione digitale tipicamente usa come segnali tensioni o correnti elettriche digitali; tuttavia, lo stesso sistema può anche usare segnali analogici per trasmettere informazione digitale. Ad esempio, l informazione di una sorgente binaria può essere inviata al ricevitore sotto forma di un segnale sinusoidale di frequenza Hz per rappresentare il valore logico e sotto forma di un segnale sinusoidale di frequenza 5 Hz per rappresentare il livello logico. Nonostante si utilizzino forme d onda analogiche, nondimeno viene trasmessa informazione digitale, e il sistema può essere a buon diritto chiamato di comunicazione digitale. Dunque, un progettista di sistemi di comunicazione digitali deve comunque conoscere le basi della teoria dei segnali e sistemi analogici. Le comunicazioni digitali hanno un certo numero di vantaggi nei confronti delle analogiche: possibilità di usare circuiteria digitale a basso costo; possibilità di cifratura dei messaggi per preservare privatezza o segretezza; possibilità di trasmettere segnali con grande dinamica (rapporto tra il valore massimo e minimo del segnale stesso); unificazione del formato di dati, voce e video che vengono trasmessi attraverso un unico sistema di trasmissione comune; assenza dell effetto di accumulo del rumore in comunicazioni su lunghe distanze con ripetitori intermedi; immunità ai disturbi nella rilevazione dei dati trasmessi; possibilità di diminuire gli errori di trasmissione dovuti ai disturbi con l uso di opportune codifiche. D altro canto, le comunicazioni digitali hanno anche i seguenti svantaggi: in generale, maggiore richiesta di banda; necessità della sincronizzazione dei segnali. Naturalmente, i vantaggi sono così importanti da più che controbilanciare gli svantaggi, e ciò giustifica la massiccia adozione delle tecniche digitali nella trasmissione dell informazione cui si è assistito negli ultimi anni. -3 SEGNALI DETERMINATI E ALEATORI Nei sistemi di comunicazione, si incontrano due tipi di segnali: determinati e aleatori. DEFINIZIONE. Un segnale determinato è una funzione univocamente specificata per ogni istante di tempo.

6 6 Capitolo Introduzione Ad esempio, l espressione w(t)=a cos( t+ ) (-) con A, e noti, descrive la forma d onda di un segnale determinato, visto che il valore del segnale w(t) può essere valutato per ogni istante di tempo t. Se una qualunque delle costanti A, o è incognita, il segnale non è più determinato. DEFINIZIONE. Un segnale aleatorio non può essere completamente specificato nei termini di una semplice funzione del tempo, ma deve essere descritto attraverso metodi probabilistici (si veda il Cap. 6). Da queste definizioni scaturisce immediatamente un piccolo dilemma. Sappiamo infatti che le forma d onda portatrici d informazione non possono essere segnali determinati. Ad esempio, potremmo essere interessati a un sistema di comunicazione digitale che trasmette informazione sotto forma di lettere dell alfabeto. Potremmo quindi associare a ogni lettera un segnale determinato ben definito, ma nel momento in cui consideriamo la forma d onda emessa dalla sorgente, dobbiamo considerarla come un segnale aleatorio, perché non sappiamo in anticipo quale carattere sarà trasmesso! Di conseguenza, dovremo progettare il sistema di comunicazione considerando il segnale emesso come aleatorio. Inoltre, anche i disturbi che accompagnano il segnale trasmesso debbono essere considerati aleatori, e questo ci porta a concludere che necessiteremo di metodologie di carattere statistico e probabilistico (affrontate nei Capp. 6 e 7) che complicheranno in qualche misura l analisi e la sintesi dei sistemi considerati. Per semplificare questo approccio, nei primi cinque capitoli del libro tratteremo segnali determinati ma in qualche modo tipici del sistema, in modo da poter ottenere alcuni risultati preliminari di carattere sufficientemente generale. -4 CONTENUTO DEL LIBRO Come già accennato, i Capitoli -5 presentano un approccio deterministico all analisi dei sistemi di comunicazione, in modo da permettere al lettore di familiarizzare con alcuni concetti-base senza la complicazione di un analisi statistica. Tuttavia, il calcolo delle prestazioni dei sistemi di comunicazione in presenza di disturbi trattato nei Capitoli 6 e 7 non può prescindere dalla conoscenza dei concetti elementari di statistica e probabilità che sono riassunti nell Appendice B. Il Capitolo 8 descrive, infine, alcuni esempi pratici di architettura dei sistemi di comunicazione tra punti fissi (via cavo) e mobili (via radio). Alla fine di ogni capitolo è presentato un certo numero di esercizi con relativa risoluzione, da usare come facsimile e guida per gli esercizi proposti. Per alcuni di essi è anche suggerito l uso di un PC. Questo testo può anche essere usato come un piccolo manuale di matematica (Appendice A), probabilità e statistica (App. B e Cap. 6), comunicazioni tra computer (App. C) e MATLAB (App. D), nonché standard di telecomunicazione (Capp. 3, 4, 5, 8 e App. C). -5 USARE MATLAB SU DI UN PC Alcuni argomenti in questo testo sono stati appositamente sviluppati in modo da permettere al lettore di usare un PC come valido ausilio per disegnare forme d onda, calcolarne

7 -6 Architettura di un sistema di comunicazione 7 gli spettri (attraverso la trasformata veloce di Fourier), valutare numericamente integrali, e comunque meglio apprendere l analisi e il progetto dei sistemi di comunicazione. È stato scelto l ambiente MATLAB per la sua efficienza in queste operazioni, e anche per la disponibilità di versioni didattiche gratuite o di costo modesto. Un introduzione al linguaggio di programmazione MATLAB è comunque riportata nell Appendice D-2 ( Programmare in MATLAB ). MATLAB è un linguaggio interpretato, cioè il risultato di ogni operazione viene calcolato immediatamente dopo che ogni linea di codice viene inviata al PC. È possibile quindi lavorare interattivamente (manualmente) linea dopo linea con esecuzione immediata, oppure si può inviare all interprete MATLAB un intero file di script contenente una lista di comandi che vengono eseguiti in successione. Il file di script viene anche chiamato file M perché il suo nome ha la forma xxxx.m. Usare un file M è generalmente conveniente non appena i comandi da eseguire non sono semplicemente un banale paio di istruzioni di calcolo e/o rappresentazione (cioè quasi sempre!); i risultati delle elaborazioni possono poi essere visualizzati in forma grafica o tabellare. I file M possono essere creati e modificati o con l editore di testo MATLAB, o con qualunque altro programma esterno equivalente (ad esempio, il Blocco Note di Windows). Alcuni esercizi risolti e alcune equazioni (indicate con il simbolo di un PC ( ) nel testo) fanno riferimento a file M che possono essere facilmente scaricati dai siti Internet oppure o anche, usando un programma di FTP con utente anonymous : ftp.ece.ufl.edu/pub/couch/6ed/matlab Per ulteriori istruzioni sull uso dei file M, si veda l Appendice D- ( Rapida introduzione all esecuzione dei file M ). Come esempio, si veda il file TABLE 2_3.M riportato in Tabella 2-3 e che produce il grafico MATLAB di Figura ARCHITETTURA DI UN SISTEMA DI COMUNICAZIONE Il diagramma a blocchi di Figura - rappresenta l architettura generale di un sistema di comunicazione. Indipendentemente dalla particolare applicazione, sono presenti tre sottosistemi fondamentali: il trasmettitore, il canale e il ricevitore. Lo schema di Figura - è anche un esempio tipico della simbologia che useremo per designare i vari segnali presenti TRASMETTITORE Rumore n(t) RICEVITORE Segnale informativo di ingresso m(t) Elaborazione del segnale Modulatore s(t) Mezzo di trasmissione (canale) r(t) Demodulatore Elaborazione del segnale m(t) ~ All utilizzatore dei dati (utente) Figura - Sistema di comunicazione.

8 8 Capitolo Introduzione in un sistema. Come si nota, il messaggio di sorgente è rappresentato dalla forma d onda d ingresso m(t), mentre il messaggio ricostruito dal ricevitore è indicato con m (t). La presenza della tilde [ ] indica che il messaggio ricevuto dell utilizzatore può in generale differire da quello trasmesso per effetto della presenza di disturbi nel canale di trasmissione, o a causa di altri fattori di degradazione, come filtraggi non desiderati o nonlinearità. L informazione trasmessa può essere di natura analogica o digitale, a seconda del particolare sistema, e può rappresentare audio, video o altro tipo di informazione (telecomandi, trasferimento dati, immagini ecc.). In sistemi con multiplazione, possono anche essere presenti sorgenti e utilizzatori multipli. Gli spettri dei segnali-messaggio m(t) e m (t) sono in generale piazzati attorno alla frequenza f=; di conseguenza, parliamo di segnali in banda base. Il blocco di elaborazione del segnale nel trasmettitore ha la funzione di condizionare la sorgente per effettuare una trasmissione più efficiente. In un sistema analogico, l elaboratore di segnale può semplicemente essere un filtro passa-basso che restringe adeguatamente la banda di m(t). In un sistema ibrido analogico/digitale, l elaboratore può essere un convertitore analogico-digitale (ADC, Analog to Digital Converter) che produce una parola digitale rappresentativa di un campione del segnale analogico d ingresso (si veda il Cap. 3). In questo caso, l ADC svolge la funzione di codifica di sorgente. L elaboratore di segnale aggiunge alla parola digitale generata dall ADC alcuni bit addizionali detti di parità per svolgere la funzione di codifica di canale; in questo modo l elaboratore di segnale gemello nel ricevitore può rilevare e correggere eventuali errori di trasmissione prodottisi per effetto dei disturbi nel canale. Il segnale all uscita dell elaboratore di segnale è ancora in banda base poiché, come vedremo, ha ancora componenti frequenziali centrate attorno alla frequenza f=. Il circuito trasmettitore con portante (modulatore) converte poi il segnale in banda base in una banda di frequenza che è più appropriata per le caratteristiche trasmissive del portante (cioè del mezzo fisico attraverso il quale si svolge la trasmissione). Ad esempio, se il portante è un cavo in fibra ottica, il segnale in banda base viene convertito a frequenze ottiche (nell intorno dei 2 THz) e il segnale trasmesso s(t), è luce infrarossa. Viceversa, se il portante è in grado di sostenere una trasmissione in banda base (ad esempio un cavo in rame), non è necessaria alcuna conversione e s(t) può essere direttamente il segnale all uscita dell elaboratore di segnale nel trasmettitore. Viceversa, il circuito modulatore è necessario quando il canale sostiene soltanto trasmissioni in una banda di frequenze centrata su una certa f c (il pedice c sta per carrier, cioè portante in lingua inglese). In questo caso s(t) è un segnale passa-banda perché ha componenti frequenziali centrate attorno a f c. Ad esempio, una stazione di radiodiffusione a modulazione d ampiezza (AM, Amplitude Modulation) sulla frequenza di 85 khz emette un segnale con una frequenza portante f c =85 khz. La trasformazione del segnale in banda base m(t) nel segnale passabanda s(t) costituisce l operazione di modulazione. Per la stazione AM, m(t) è naturalmente il segnale audio in banda base che deve essere diffuso. Vedremo nel Capitolo 4 che un generico segnale passa-banda ha la forma s(t)=r(t) cos[ c t (t)] ( 2) ove c =2 f c. Se in quest espressione imponiamo R(t)= e (t)=, s(t) otteniamo una sinusoide pura di frequenza f=f c avente banda nulla. Nell operazione di modulazione effettuata dal circuito con portante (modulatore), il segnale d ingresso in banda

9 -7 Allocazione frequenziale 9 base m(t) provoca una variazione nel tempo di R(t) e/o (t) in una funzione del segnale m(t) stesso. Questa variazione trasforma la sinusoide pura priva di modulazione (oscillazione portante) in un segnale con larghezza di banda dipendente naturalmente dalle caratteristiche di m(t) e dalla legge di trasformazione, ma in generale diversa da zero. Vedremo nel Capitolo 5 le principali tecniche di modulazione analogica e digitale. I canali di trasmissione si suddividono in due grandi categorie: via cavo (guidato o in inglese, wired) e senza fili (non guidato, libero, o wireless). Esempi di trasmissioni via cavo sono le linee telefoniche su doppino in rame, i cavi coassiali in rame, le guide d onda, i cavi in fibra ottica. Canali senza fili sono l aria, il vuoto interstellare, il mare. I principi base della modulazione analogica e digitale sono gli stessi per tutti questi canali, ma le caratteristiche di ognuno di essi vincolano di fatto anche fortemente i tipi di segnalazione che possono essere adottati. Inoltre, il portante attenua il segnale in modo che i disturbi di canale o il rumore introdotto da un ricevitore non ideale fanno sì che l informazione m ricostruita sia in generale diversa e deteriorata rispetto a quella di sorgente. I disturbi di canale sono originati da fenomeni elettrici naturali (ad esempio fulmini) o artificiali (linee di trasmissione dell energia elettrica, sistema di accensione delle automobili ecc.). Il canale di trasmissione può contenere dispositivi attivi amplificatori, come i ripetitori di una linea telefonica o i trasponditori a bordo di un satellite, che sono necessari proprio per mantenere il livello del segnale utile adeguatamente al di sopra di quello del rumore. Inoltre, il canale può essere sede di fenomeni di propagazione per cammini multipli del segnale, in cui ciascun cammino è caratterizzato da attenuazione e ritardo differente. Queste caratteristiche variano in generale nel tempo, con il risultato di causare affievolimenti (fading) del segnale in uscita al canale, fenomeno del quale è facile rendersi conto ascoltando una trasmissione radio a onde corte da un trasmettitore molto distante. Il ricevitore, a partire dal segnale degradato all uscita del canale, ricostruisce un segnale in banda base che può essere utilizzato dall elaboratore di segnale. Quest ultimo ripulisce il segnale dai disturbi e produce una replica m (t) il più fedele possibile dell informazione di sorgente. Lo scopo del progetto di sistema è quello di realizzare un sistema di comunicazione che minimizzi la degradazione dell informazione rispettando alcune specifiche (vincoli) progettuali, come la potenza trasmessa, la banda disponibile e il costo. Per i sistemi digitali, la misura più diffusa e più semplice di fedeltà o, se vogliamo, di degradazione, è la probabilità di errore (P e ) chiamata anche tasso d errore o Bit-Error Rate (BER) sui dati ricostruiti m. Per i sistemi analogici, le prestazioni sono quantificate attraverso il rapporto segnale-rumore (Signal to Noise Ratio, SNR) all uscita del ricevitore. -7 ALLOCAZIONE FREQUENZIALE I sistemi di comunicazione senza fili utilizzano come canale di trasmissione le onde radio propagantesi nell atmosfera, le cui caratteristiche di propagazione (e i cui disturbi) sono fortemente dipendenti dalla frequenza di trasmissione. In teoria, potremmo utilizzare una qualunque tecnica di modulazione a una qualunque frequenza, ma per meglio regolamentare le varie trasmissioni coesistenti e in particolare per meglio gestire le reciproche interferenze, sono nati enti nazionali e internazionali preposti alla regolamentazione dei vari tipi e velocità di modulazione, potenze di segnale

10 Capitolo Introduzione e tipo di informazioni che possono essere trasmesse sulle varie bande di frequenza convenzionalmente identificate. Le assegnazioni delle bande di frequenza e le relative norme tecniche di trasmissione sono fissate da un apposito ente affiliato alle Nazioni Unite: la International Telecommunications Union (ITU) con sede a Ginevra ( In questa organizzazione, uno staff di circa 7 persone è responsabile della promulgazione di una serie di accordi ratificati da più di 2 nazioni in tutto il mondo (i membri ITU, appunto). In particolare, la ITU è organizzata in tre settori: ITU-R, che si occupa delle Radiocomunicazioni, provvede alle assegnazioni delle bande frequenziali e allo sfruttamento razionale ed efficiente dello spettro elettromagnetico (si veda la Tab. -2); ITU-T si occupa delle questioni collegate all esercizio tecnico e commerciale delle reti di Telecomunicazione, in particolare della rete fissa telefonica pubblica e dei sistemi radio a essa connessi; ITU-D fornisce specificamente assistenza tecnica ai paesi in via di sviluppo (D sta appunto per Developing countries), in modo che tali paesi possano sviluppare servizi di telecomunicazione integrati con quelli del resto del mondo e in maniera economica. I paesi ITU mantengono sovranità sullo spettro e sulle norme di regolamentazione dei vari sistemi impiegati all interno dei propri confini nazionali, ma ciascuna nazione è tenuta a ottemperare alle norme generali ITU sulle assegnazioni delle frequenze e sull uso degli standard. Generalmente, ogni nazione ha una sua propria agenzia responsabile dell emanazione e del rispetto delle varie norme all interno dei confini nazionali. Uno dei primi organismi di questo tipo è stato la Federal Communications Commission (FCC) ( negli Stati Uniti. In Italia, l ente di riferimento è l Autorità per le Garanzie nelle Comunicazioni ( con sede a Napoli. Per riassumere, la Tabella -2 riporta uno specchietto riassuntivo sulla designazione convenzionale delle bande delle frequenze radio, con le relative condizioni tipiche di propagazione e l allocazione tipica dei vari servizi. -8 PROPAGAZIONE DELLE ONDE ELETTROMAGNETICHE Le caratteristiche di propagazione delle onde elettromagnetiche usate nei sistemi di comunicazione senza fili dipendono fortemente dalla frequenza. Questa situazione è riassunta in Tabella -2, ove si nota anche che le frequenze assegnate ai vari servizi tengono conto di tali caratteristiche. Queste ultime risultano dai cambiamenti nella velocità di propagazione delle onde al variare dell altitudine e di altre condizioni al contorno come la temperatura dell aria e la sua densità, nonché il grado di ionizzazione. La ionizzazione dell aria rarefatta ad alta quota (cioè la presenza di gas ionizzati e di elettroni liberi) ha un effetto dominante sulla propagazione delle onde nelle bande MF e HF, ed è causata dai raggi cosmici e dai raggi ultravioletti solari. Di conseguenza, il grado di ionizzazione varia durante il giorno, a seconda della stagione, e del grado di attività delle macchie solari, provocando la formazione di diversi strati con varie ionizzazioni a varie altezza dal suolo. Le regioni ionizzate dominanti sono gli strati D, E, F e F 2. Lo strato D è il più vicino alla superficie terrestre, con un altitudine variabile all incirca da 7 a 9 km. Per frequenze maggiori di 3 khz, lo strato D assorbe (cioè attenua) le onde radio (una specie

11 -8 Propagazione delle onde elettromagnetiche TABELLA -2 BANDE DI FREQUENZA Caratteristiche Banda a Nomenclatura di propagazione Usi tipici 3-3 khz Very low Onda di superficie; Navigazione; frequency (VLF) bassa attenuazione comunicazioni subacquee notturna e diurna; forti disturbi atmosferici 3-3 khz Low frequency Simile alla VLF, Navigazione; (LF) leggermente meno affidabile; comunicazioni navali, attenuazione diurna radiofari 3-3 khz Medium frequency Onda di superficie Comunicazioni navali, (MF) e ionosferica notturna; radiolocalizzazione bassa attenuazione notturna e radiodiffusione AM e alta diurna; rumore atmosferico 3-3 MHz High frequency La riflessione ionosferica Radioamatori, (HF) varia durante la giornata, radiodiffusione la stagione e a seconda internazionale, della frequenza; comunicazioni militari, basso rumore atmosferico a 3 MHz navali e aeronautiche a grande distanza, telefono, telegrafo 3-3 MHz Very high Propagazione quasi in visibilità, Televisione, frequency (VHF) con diffusione per inversione radiodiffusione FM, di temperatura; comunicazioni rumore cosmico aeronautiche AM, aiuti alla aeronavigazione.3-3 GHz Ultra high Propagazione in visibilità, Televisione, frequency (UHF) rumore cosmico telefonia cellulare, radar, GPS, ponti radio a microonde Nomenclatura con lettera.-2. L S 3-3 GHz Superhigh Propagazione in visibilità, Radar, frequency (SHF) attenuazione da pioggia comunicazioni sopra i GHz, punto-punto Nomenclatura con lettera attenuazione atmosferica e radiodiffusione S dovuta a ossigeno via satellite, ponti radio C e vapore acqueo, X forte attenuazione Ku del vapore acqueo K a 22.2 GHz Ka R 3-3 GHz Extremely high Come sopra; forte attenuazione Radar, comunicazioni frequency (EHF) del vapore acqueo via satellite sperimentali a 83 GHz, assorbimento dell ossigeno a 6 e 9 GHz a khz = 3 Hz; MHz = 6 Hz; GHz = 9 Hz.

12 2 Capitolo Introduzione TABELLA -2 BANDE DI FREQUENZA (seguito) Caratteristiche Banda a Nomenclatura di propagazione Usi tipici Nomenclatura con lettera Ka R Q V W -3 mm (onde millimetriche) 3-7 GHz Infrarosso, luce visibile, Propagazione in visibilità Comunicazioni ultravioletto ottiche su fibra a khz = 3 Hz; MHz = 6 Hz; GHz = 9 Hz. di... spugna a radio frequenza). L attenuazione è inversamente proporzionale alla frequenza e diventa trascurabile per frequenze superiori ai 4 MHz; inoltre, al di sotto dei 3 khz, lo strato D causa rifrazione, cioè incurvamento della traiettoria delle onde. Lo strato D è più intenso durante il giorno e presenta ionizzazione massima quando il sole è allo zenith (cioè sulla verticale), e quasi svanisce durante la notte. Lo strato E ha un altezza variabile da a 2 km, presenta ionizzazione massima al mezzodì e sostanzialmente svanisce dopo il tramonto, producendo riflessione delle onde a HF durante il giorno. La regione F si estende da 4 a 4 km, si ionizza rapidamente all alba, raggiunge il picco di ionizzazione nel primo pomeriggio e svanisce lentamente dopo il tramonto. Questa regione, che si suddivide durante il giorno in due strati, F e F 2, e si ricombina in un singolo strato durante la notte, rappresenta il mezzo predominante attraverso il quale realizzare la riflessione delle onde radio HF. Teniamo conto infatti, come indicato in Figura -2, che lo spettro elettromagnetico si può grossolanamente suddividere in tre grandi bande dominate ciascuna da una diversa modalità di propagazione: onda di superficie, onda ionosferica, e propagazione in visibilità (LOS, Line of Sight). La modalità con onda di superficie è quella rappresentata in Figura -2a, ed è dominante per frequenze al di sotto dei 2 MHz: il fenomeno della diffrazione tende a incurvare la traiettoria in modo che l onda segua la curvatura terrestre. Questo è il modo di propagazione tipico delle radiodiffusioni AM, in cui il segnale segue il contorno della superficie terrestre e si propaga anche oltre l orizzonte visivo. Una domanda fondamentale è poi la seguente: che frequenza portante si deve usare in una trasmissione radio? Tutto sta nelle dimensioni dell antenna che siamo disposti a usare. Infatti per avere un irradiazione efficiente, l antenna deve essere in generale più grande di circa un decimo della lunghezza d onda. Per una frequenza portante f c = khz, la lunghezza d onda è c = f c (3 8 m s) = =3* 4 m (-3) 4

13 -8 Propagazione delle onde elettromagnetiche 3 Propagazione del segnale Antenna di trasmissione Antenna di ricezione Terra (a) Propagazione lungo il profilo terrestre (frequenze inferiori ai 2 MHz) Ionosfera Propagazione del segnale Antenna di trasmissione Terra Antenna di ricezione (b) Propagazione con riflessione su ionosfera (da 2 a 3 MHz) Antenna di trasmissione Torre Propagazione del segnale Terra Antenna di ricezione (c) Propagazione in visibilità (LOS, Line of Sight) (frequenze superiori ai 3 MHz) Figura -2 Propagazione a RF. ove c è la velocità della luce. Per irradiare efficientemente a khz, un antenna dovrebbe quindi essere più lunga di 3 km. La propagazione ionosferica, dominante per le frequenze nell ambito dei 2-3 MHz, è mostrata in Figura -2b. Si nota che i collegamenti su lunga distanza sono ottenuti attraverso riflessione dell onda sulla ionosfera ed eventualmente sulla superficie terrestre. In realtà, le onde vengono rifratte dalla ionosfera, cioè si incurvano man mano che si propagano in una sorta di U rovesciata, a causa della variazione dell indice di rifrazione con

14 4 Capitolo Introduzione l altitudine. L indice di rifrazione n della ionosfera dipende dalla densità delle cariche ionizzate e vale [Griffiths, 987; Jordan e Balmain, 968] n = 8N (-4) f 2 ove N è la densità degli elettroni liberi (numero di elettroni per metro cubo) e f è la frequenza in Hz. Valori tipici di N variano da a 2, a seconda dell orario, della stagione e dell attività delle macchie solari. In una regione non ionizzata, n< poiché N>, mentre nella ionosfera n L visto che N L. In questo caso allora le onde si incurvano secondo la legge di Snell della rifrazione: n sin r =sin i (-5) ove i è l angolo di incidenza tra la direzione dell onda e la verticale, misurato sotto la ionosfera, mentre r è l angolo di rifrazione dell onda all interno della ionosfera. Ora, l indice di rifrazione varia con l altitudine all interno della ionosfera poiché N varia, quindi l onda subisce una sorta di rifrazione multipla secondo la legge di Snell ogni volta che n varia apprezzabilmente. La copertura della zona in prossimità del trasmettitore è dovuta all onda di superficie, mentre le altre zone sono coperte grazie all onda ionosferica; vi sono anche zone prive di copertura intervallate a zone coperte. L angolo di riflessione e l attenuazione dell onda riflessa dipendono naturalmente anch esse dell orario durante la giornata, dalla stagione e dell attività delle macchie solari [Jordan, 985]. Durante il giorno, la densità di elettroni liberi è relativamente grande, quindi n< ed è possibile ricever stazioni radio trasmittenti quasi dagli antipodi nella banda delle onde corte. Tuttavia, durante il giorno è anche presente lo strato D che tende ad assorbire le frequenze al di sotto dei 4 MHz e a impedire questo tipo di propagazione. Questo è proprio ciò che succede con le stazioni radio AM distanti che non vengono ricevute durante il giorno, ma che possono essere ascoltate durante la notte perché lo strato D scompare e si ripristina la propagazione ionosferica. La propagazione in visibilità, illustrata in Figura -2c, è dominante per frequenze al di sopra dei 3 MHz. In questo caso infatti f 2 8 N, n L, non c è praticamente rifrazione ionosferica (la ionosfera diventa trasparente e consente di effettuare trasmissioni via satellite) e le onde si propagano in linea retta. La propagazione in visibilità ha lo svantaggio che naturalmente per far comunicare due stazioni radio terrestri, si deve avere a disposizione un percorso di propagazione sopra l orizzonte. Questo comporta che le due antenne debbano essere piazzate su torri o edifici alti in modo che si vedano reciprocamente. Dalla Figura -3 si può ricavare facilmente una formula per la distanza dell orizzonte d in funzione dell altezza al suolo di un antenna: ovvero d 2 +r 2 =(r+h) 2 d 2 =2rh+h 2 dove r è il raggio terrestre e h è l altezza al suolo dell antenna. Normalmente, h 2 è trascurabile rispetto a 2rh visto che il raggio terrestre è mediamente pari a 6372 km; inoltre,

15 -9 La misura dell informazione 5 d Tangente alla superficie terrestre h r r Terra Figura -3 Calcolo della distanza dall orizzonte. per tener conto della leggera rifrazione subita comunque dalle onde durante la propagazione, si usa una misura del raggio terrestre convenzionale e pari a 3 del raggio geometri- 4 co prima indicato. In conclusione, la formula empirica della distanza dell orizzonte è d=4.22 h (km) (-6) dove l altezza h è misurata in metri. Le stazioni radio FM e quelle televisive trasmettono su frequenze nelle bande VHF o (per la televisione) UHF (si veda la Tab. -2), e la loro area di copertura è delimitata dall orizzonte. Una stazione con un antenna piazzata su di una torre alta 3 m ha un area di copertura al suolo di raggio d = 44.7 km. Se il ricevitore ha un antenna piazzata a m dal suolo, ha a sua volta un orizzonte distante 3. km, quindi in questo caso la distanza di copertura trasmettitore-ricevitore sale a = 84.4 km. Infine, menzioniamo la possibilità di sfruttare la cosiddetta propagazione per diffusione ionosferica (ionospheric scattering) che avviene per frequenze nell ambito dei 3-6 MHz quando il segnale radio viene diffuso (cioè si disperde ) a causa delle irregolarità locali dell indice di rifrazione della ionosfera bassa (8 km di quota). Questa diffusione irregolare del segnale permette di comunicare a distanze anche di migliaia di chilometri tra punti non in visibilità. Analogamente, si può sfruttare anche la diffusione troposferica (troposcattering) su quote più basse, fino cioè a 5 km, per comunicare su distanze di qualche centinaio di chilometri nella banda 4 MHz-4 GHz. Ulteriori dettagli sulla radiopropagazione si possono trovare nei testi specifici [Griffiths, 987; Jordan e Balmain, 968] o nei manuali [Jordan, 985; ARRL, 997]. Sono anche reperibili programmi per PC che aiutano a predire le condizioni di propagazione ionosferica [Rose, 982, 984; Rockwell, 995]. -9 LA MISURA DELL INFORMAZIONE Come già accennato, un sistema di comunicazione trasmette informazione da una sorgente a un utilizzatore. Ma che cos è esattamente l informazione, e come può essere misurata? Qualitativamente, sappiamo già che essa è legata al grado di sorpresa associato alla ricezione del messaggio. Ad esempio, il messaggio L oceano Pacifico è stato cancellato da un esplosione termonucleare contiene ben più informazione del messaggio Oggi piove.

16 6 Capitolo Introduzione DEFINIZIONE. L informazione prodotta da una sorgente digitale quando viene emesso il j-esimo messaggio è I j =log 2 bit (-7a) dove P j è la probabilità di emettere il j-esimo messaggio (si veda l App. B per un riepilogo della teoria della probabilità). Da questa definizione, si nota che i messaggi meno probabili, e quindi d emissione meno frequente, sono portatori di maggiore informazione. La quantità di informazione dipende dunque soltanto dalla maggiore o minore frequenza di invio di un messaggio, e non dipende dalle possibili interpretazioni del contenuto del messaggio stesso, né sul senso del medesimo. La base dei logaritmi utilizzati determina l unità di misura dell informazione. Usando la base 2, si ottengono le familiari unità dei bit. Altre unità usate raramente sono i nat per il logaritmo naturale e lo hartley per il logaritmo in base. In questo testo, useremo esclusivamente i logaritmi in base 2 e le unità bit. Il termine bit è usato indifferentemente per designare l unità di misura dell informazione derivante dalla definizione (-7a) o genericamente per designare un dato binario (BIinary digit). Impareremo a distinguere tra questi due significati, che non devono essere confusi, sulla base del contesto in cui il termine bit appare. Dovendo valutare numericamente l informazione su di una calcolatrice, può essere conveniente riformulare la (-7a) usando i logaritmi in base o i naturali: I j = log P j = ln P j (-7b) log 2 ln 2 In generale, il contenuto informativo di ogni messaggio della sorgente è variabile perché le probabilità P j non sono uniformi. Di conseguenza, definiamo una misura di informazione media di una sorgente considerando tutti i messaggi che la sorgente può emettere. DEFINIZIONE. L informazione media emessa da una sorgente digitale è m j P j m j P j H= P j I j = P j log 2 bit (-8) ove m è il numero dei possibili messaggi distinti di sorgente, e P j è la probabilità di inviare il j-esimo messaggio. L informazione media è anche chiamata entropia della sorgente. Esempio - CALCOLI D INFORMAZIONE ED ENTROPIA Troviamo il contenuto informativo di un messaggio che consiste in una parola digitale a 2 cifre con cifre quaternarie (che assumono cioè uno tra quattro possibili livelli). I quattro livelli sono equiprobabili e il valore di ogni cifra è indipendente da quello di tutte le altre. Il numero di messaggi distinti costituiti da 2 cifre quaternarie è chiaramente 4 4 p 4=4 2. Poiché tutti i livelli sono equiprobabili e le cifre sono indipendenti, tutti questi possibili messaggi sono a loro volta equiprobabili. Pertanto: P j =

17 - La capacità di canale e i sistemi di comunicazione ideali 7 e I j =log 2 2 =2 log 2 (4)=24 bit A 4B Dunque il contenuto informativo di ogni messaggio è pari a 24 bit, quindi anche l informazione media della sorgente H è pari a 24 bit. Se le cifre fossero state binarie anziché quaternarie, avremmo trovato un informazione per messaggio pari a 2 bit e un informazione media H ancora di 2 bit. Le parole di sorgente, tutte equiprobabili, a 2 cifre binarie (bit), portano quindi esattamente un informazione pari a 2 bit. Se queste parole non fossero equiprobabili, alcune di esse porterebbero più informazione di 2 bit (le meno probabili), e altre meno di 2 bit (le più probabili), ma l informazione media H sarebbe comunque inferiore al caso dei messaggi equiprobabili. Ad esempio, se metà delle 2 2 = 496 parole (cioè 248 parole) avessero probabilità P j = 5 (corrispondente a un informazione I j = 6.6 bit) e l altra metà avesse probabilità P j =4.78* 4 (corrispondente a un informazione I j =.3 bit), l entropia della sorgente sarebbe pari a.4 bit. DEFINIZIONE. La velocità d informazione di sorgente è definita da H R= bit s (-9) T ove H è valutata attraverso la (-8), e T è il tempo necessario all invio di un singolo messaggio. Questa definizione si applica naturalmente alle sorgenti digitali, ma può anche servire per approssimare (con l accuratezza desiderata) la velocità d informazione di una sorgente analogica. - LA CAPACITÀ DI CANALE E I SISTEMI DI COMUNICAZIONE IDEALI Possiamo usare diversi criteri per valutare la maggiore o minore bontà di un sistema di comunicazione. Per i sistemi digitali, il sistema ottimo è quello che minimizza la probabilità degli errori sul bit con certi vincoli di potenza e di banda del segnale trasmesso. Gli errori sul bit e la banda sono quindi grandezze fondamentali che dovranno essere adeguatamente prese in considerazione. Ma è possibile progettare un sistema che non produca alcun errore sui bit in presenza di disturbi di canale? A questa domanda fondamentale fu data risposta da Claude Shannon nel [Wyner e Shamai, 998; Shannon, 948, 949]. La risposta è sì, sotto certe ipotesi. In particolare, Shannon definì (per il caso di segnale disturbato dall aggiunta di rumore Gaussiano) una quantità chiamata capacità di canale C in bit/s che marca una condizione limite: se infatti la velocità di sorgente R è inferiore alla capacità, la probabilità di errore sul bit può essere resa piccola a piacere. L espressione di C è S N C=B log 2 (-) ove B è la larghezza di banda del canale in Hz, e S N è il rapporto segnale-rumore (in scala lineare, e non in db) all ingresso del ricevitore. Shannon non fu in grado di trovare la

18 8 Capitolo Introduzione struttura del sistema ottimo, ma dimostrò che questo sistema certamente esiste, identificando quindi una specie di limite teorico invalicabile che i sistemi realizzati in pratica devono avvicinare quanto più possibile. L avvicinamento al limite comporta in generale l uso delle codifiche a protezione d errore. Per i sistemi analogici, il sistema ottimo è quello che garantisce il massimo rapporto segnale-rumore all uscita del ricevitore con certi vincoli di banda e di potenza del segnale trasmesso. Ci possiamo chiedere, in analogia con il caso dei sistemi digitali: se sia possibile progettare un sistema avente un rapporto segnale-rumore arbitrariamente alto nonostante la presenza di disturbi di canale. La risposta stavolta è no. Analizzeremo comunque le prestazioni dei sistemi analogici in confronto con il sistema ideale alla Shannon nel Capitolo 7 (si veda anche la Fig. 7-27). Altri limiti fondamentali per la trasmissione digitale furono scoperti nel 924 da Nyquist e nel 928 da Hartley. Nyquist analizzò il caso della trasmissione di impulsi che rappresenta un singolo bit di informazione, e dimostrò che non è possibile trasmettere impulsi che non interferiscano l un con l altro su di un canale di banda B a una cadenza maggiore di 2B impulsi /secondo. Discuteremo questo risultato, chiamato teorema della dimensionalità, nel Capitolo 2. Hartley generalizzò poi il risultato di Nyquist al caso di trasmissione non binaria, ma multilivello (Capp. 3 e 5). A questo punto dobbiamo discutere il miglioramento nelle prestazioni dei sistemi digitali ottenibile con l uso della codifica a protezione d errore, e dobbiamo studiare la relazione di questi con il limite di Shannon. - CODIFICA A PROTEZIONE D ERRORE Se i dati all uscita di un sistema di comunicazione presentano errori troppo frequenti per l applicazione, il numero di tali errori può essere ridotto usando le tecniche seguenti: richiesta automatica di ripetizione (ARQ, Automatic Repeat request); codici a correzione d errore (FEC, Forward Error Correction). Usando la tecnica ARQ, il ricevitore può rivelare errori nella parità di un blocco di dati, e può quindi richiedere che tale blocco venga ritrasmesso. Con la tecnica FEC, invece, i dati trasmessi vengono codificati in modo tale che gli errore possono essere rivelati e anche corretti senza necessità di ritrasmissione. Queste procedure (e più specificamente la FEC) vengono indicate con l appellativo di codifica di canale, da non confondersi con la codifica di sorgente descritta nel Capitolo 3, il cui scopo è quello di estrarre l informazione essenziale dalla sorgente (digitale o analogica), in modo che essa possa essere efficientemente trasmessa o memorizzata. La scelta tra ARQ e FEC dipende dal tipo d applicazione. L ARQ è usata molto spesso nelle comunicazioni tra computer perché è semplice da realizzare e perché in questi casi c è sempre disponibile un canale di ritorno per rinviare al trasmettitore un avviso di corretta ricezione (ACK) o una richiesta di ritrasmissione (NACK) quando vengono rilevati errori (si veda l App. C, par. C-4, per un esempio di sistema ARQ). Le tecniche FEC vengono invece utilizzate per correggere errori su canali unidirezionali (ad esempio nelle radiodiffusioni) quando non è possibile rinviare un messaggio di ACK/NACK

19 - Codifica a protezione d errore 9 al trasmettitore. Il FEC è comunque preferibile in quei casi in cui c è un grande ritardo di propagazione del segnale (ad esempio nelle comunicazioni via satellite); se infatti si usasse in tali casi un meccanismo ARQ, il trasmettitore avrebbe lunghi periodi di inattività per attendere i messaggi di ACK/NACK dal ricevitore, e questo porterebbe necessariamente ad abbassare la velocità media di trasmissione dei dati. Rimandando all Appendice C per ulteriori dettagli sull ARQ, ci concentreremo nei prossimi paragrafi sulle tecniche FEC. La Figura -4 rappresenta lo schema di un sistema di comunicazione che fa uso di tecniche FEC (si notino i blocchi di codifica e decodifica). L operazione di codifica consiste nell aggiunta di alcuni bit addizionali (ridondanti) al flusso dati scelti in modo tale che il decodificatore nel ricevitore possa rivelare e correggere la maggior parte degli errori prodotti dal rumore di canale. Lo svantaggio è che i bit di ridondanza provocano un aumento della velocità di trasmissione (bit/s) per cui, come vedremo, provocano anche un aumento della banda del segnale trasmesso. I codici a protezione d errore possono essere classificati in due grandi categorie: Codici a blocco. Un codice a blocco è identificato da una legge che associa a parole di k simboli binari d ingresso (di sorgente) una parola di n simboli binari d uscita (di codice). Il codificatore è un dispositivo senza memoria, e, poiché n>k, il codice aggiunge ridondanza nella forma di bit di parità che vengono usati dal decodificatore per rivelare e, in una certa misura, correggere gli errori. Questi codici sono indicati con la notazione (n, k), e sono caratterizzati dal tasso di codifica R=k n<. In pratica r varia da 4 a 8 e k va da 3 a qualche migliaio [Clark 7 e Cain, 98]. Codici convoluzionali. I codici convoluzionali sono ottenuti da un codificatore con memoria. Esso accetta gruppetti di k simboli binari d ingresso (spesso k = ) e produce gruppetti di n > k simboli binari di uscita. Ogni gruppetto di n simboli risente (è funzione) dei valori dei precedenti n i + k simboli d ingresso, e il codificatore ha dunque una memoria finita. Il tasso di codifica è ancora definito come r = k/n, 7 e varia in pratica da 4 a 8 [Clark e Cain, 98]. Valori piccoli di r indicano un alto grado di ridondanza del codice e quindi una maggiore capacità di protezione dagli errori, al costo di un aumento anche rilevante della banda del segnale codificato. Trasmettitore Rumore Sorgente numerica m Codificatore e altre elaborazioni del segnale g(t) Modulatore s(t) Mezzo di trasmissione r(t) (canale) r(t) Demodulatore ~ g(t) Decodificatore e altre elaborazioni del segnale m ~ Utilizzatore digitale Ricevitore Figura -4 Schema generale di un sistema di comunicazione digitale.

20 2 Capitolo Introduzione Codici a blocco Prima di discutere i codici a blocco, dobbiamo dare alcune definizioni un po astratte. Il peso di Hamming di una parola di codice è il numero di valori logico che quella parola contiene. Ad esempio, la parola ha un peso di Hamming pari a 4. La distanza di Hamming d tra due parole di codice (di uguale lunghezza) è pari al numero di bit ordinatamente diversi nelle due parole: le parole e hanno distanza d = 2 (differiscono in due posizioni). Dopo aver ricevuto una certa parola di codice, possiamo verificare la presenza di errori. Supponiamo che il codice sia progettato in modo che due qualunque parole di codice abbiano (almeno) una distanza di Hamming pari a d. Allora è possibile rivelare s errori e, di questi, correggerne t (s t) purché d s + t +. Volendo correggere tutti gli errori eventualmente rivelati dovrà aversi d 2t +. In generale, un parola di codice è del tipo i i 2 i 3 i k p p 2 p 3 p r ove k è il numero di bit di informazione in un blocco e r è il numero dei bit di parità. La lunghezza del blocco è n=k+r, e la disposizione indicata con i bit di informazione tutti all inizio del blocco è tipica: il codice si chiama in questo caso sistematico. È anche possibile interlacciare (cioè mischiare) i bit di sorgente e di parità, ottenendo in generale altre disposizioni equivalenti a quella sistematica. Hamming sviluppò per primo una procedura che consente di progettare codici a blocco che correggono errori singoli [Hamming, 95]. I cosiddetti codici di Hamming, almeno nella loro più semplice accezione, sono codici aventi distanza pari a 3 quindi capaci di correggere un errore visto che d 2t+, t=. Non è però possibile trovare codici di Hamming per qualunque valore di n e k, ma solo nel caso in cui (n, k)=(2 m -, 2 m --m) (-) con m intero, m 3. Esempi di lunghezze di blocco sono dati dai codici (7, 4), (5, ), (3, 26), (63, 57) e (27, 2): è interessante notare che il tasso di codifica r tende a man mano che la lunghezza dei blocchi aumenta. Altri tipi di codici molto diffusi, oltre quelli di Hamming, sono i codici ciclici che hanno una curiosa proprietà: ogni parola di codice può essere ottenuta da una qualunque altra tramite scorrimento ciclico dei bit, facendo cioè scorrere i bit della parola verso destra, e facendo rientrare ordinatamente da sinistra i bit che man mano escono da destra. I codici ciclici si possono facilmente implementare usando semplici circuiti digitali del tipo dei registri a scorrimento reazionati. Questa stessa struttura garantisce che anche il decodificatore può essere realizzato facilmente. Gli ulteriori tipi di codici ciclici (con qualche piccola variante) più usati in pratica sono i codici di Bose-Chaudhuri-Hocquenhem (BCH), di Reed-Solomon, di Hamming a massima lunghezza, di Reed-Müller, di Golay. In Tabella -3 indichiamo alcune proprietà di questi codici. Codici convoluzionali La Figura -5 riporta lo schema generale di un codice convoluzionale. Come si nota, una trama (cioè un gruppetto) di k bit d ingresso viene inserita in un registro a scorrimento, e contemporaneamente una corrispondente trama di n bit viene estratta da un secondo regi-