Introduzione all assicurazione. (Dispensa per il corso di Microeconomia per manager. Prima versione, marzo 2013; versione aggiornata, marzo 2014)

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1 Itroduzioe all assicurazioe. (Dispesa per il corso di Microecoomia per maager. Prima versioe, marzo 2013; versioe aggiorata, marzo 2014) Massimo A. De Fracesco Uiversità di Siea March 14, Prezzo di riserva di u cotratto di assicurazioe Cosideriamo u soggetto avverso al rischio e idichiamo co U = U(W ) la sua fuzioe di utilità: si ha perciò U 0 (W ) > 0 e U 00 (W ) < 0. Suppoiamo che questo soggetto vada icotro al rischio di subire ua dimiuzioe della ricchezza per circostaze del tutto idipedeti dal suo comportameto. 1 I particolare, suppoiamo che la sua ricchezza sia iizialmete uguale a W ma che possa poi dimiuire i misura L, dove L ha la seguete distribuzioe di probabilità L L 0 1 L o I altre parole, o o si veri ca alcua perdita o si veri ca ua perdita di etità pari a L o. Pertato, il valore atteso della perdita (la "perdita attesa") 1 Più avati, supporremo che il soggetto co il proprio comportameto possa i uire su tale rischio. I questo modo, prederemo i cosiderazioe il problema del moral hazard el mercato assicurativo. 1

2 è EL = (1 )0+L o = L o : Idichiamo co W a la ricchezza del soggetto quado o si assicuri i alcu modo cotro l evetuale perdita. W a è ua variabile casuale, che ha la seguete distribuzioe di probabilità W a Wa W 1 W L o Il valore atteso della ricchezza del soggetto o assicuradosi è EW a = (1 )W + (W L o ) = W L o. Cosideriamo ora la possibilità che il ostro soggetto assicuri la propria ricchezza. I quest lezioe prediamo i esame cotratti assicurativi che prevedao il risarcimeto completo da parte della compagia di assicurazioe, previo pagameto del premio assicurativo (P ) da parte dell assicurato. Per vedere se ci soo o meo le codizioi a ché u cotratto di assicurazioe possa risultare vataggioso sia per il soggetto che si assicuri sia per la compagia di assicurazioe, iiziamo co il de ire il "prezzo di riserva", per il soggetto, di u cotratto di assicurazioe. Per prezzo di riserva si itede il premio massimo che il soggetto sarebbe teoricamete disposto a pagare per assicurare completamete la sua ricchezza, vale a dire, per essere itegralmete risarcito della evetuale perdita. Alla luce di questa de izioe, il prezzo di riserva è quel livello del premio per il quale il soggetto assicuradosi o ci guadaga é ci rimette. Per determiare il prezzo di riserva dobbiamo, iazitutto, determiare l utilità attesa del soggetto quado o si assicuri. Questa è EU a = (1 )U(W )+U(W L o ). Ivece, assicuradosi, l utilità attesa del soggetto è EU a = (1 )U(W P ) + U(W P L o + L o ) = (1 )U(W P ) + U(W P ) = U(W P ): Per de izioe, il prezzo di riserva (P r ) è la soluzioe dell equazioe: EU a = EU a, cioè dell equazioe U(W P r ) = (1 )U(W ) + U(W L o ). Essedo stato chiarito il cocetto di prezzo di riserva, dovrebbe essere chiaro come, davati a ua proposta "predere o lasciare" da parte di ua compagia assicurativa, cosistete ella de izioe di u certo premio P, il soggetto accetterebbe purché il premio proposto o superi P r. 2 E fodametale redersi coto che il prezzo di riserva è certamete maggiore della perdita attesa del soggetto o assicuradosi, vale a dire, che 2 Ovviamete, l idividuo accetterebbe se u suo ri uto della proposta comportasse l impossibilità di assicurarsi. Stiamo cioè escludedo che il soggetto possa etrare i cotatto co altre compagie che possao o rirgli migliori codizioi. 2

3 P r > L o. Ifatti, se si ri ette sulla de izioe di prezzo di riserva di u cotratto di assicurazioe, ci si rederà coto che si tratta del premio per il quale la ricchezza dell assicurato (la sua ricchezza iiziale meo il premio) è uguale all equivalete certo di W a : formalmete, W P r = EC Wa. D altro cato, sappiamo ache che EC Wa < EW a (essedo il soggetto avverso al rischio) e che EW a = W L o. Si ha perciò che W P r < W L o, da cui P r > L o. Coviee isistere acora u poco su questo puto per compredere appieo il risultato otteuto. Suppoiamo che il soggetto pagasse u premio pari a L o : i tal caso, assicuradosi starebbe meglio che o assicuradosi. Ifatti, pagado u premio pari a L o la sua ricchezza ua volta assicurato risulterebbe stabilizzata a W L o, che è esattamete il valore atteso della sua ricchezza quado o si assicura. Ciò sigi ca che il soggetto è disposto a pagare u premio ache superiore i ua certa misura a L o per potersi assicurare: i altri termii, L o è miore del suo "prezzo di riserva". 2 Co molti soggetti esposti a rischi idipedeti si creao i presupposti per l attività assicurativa Suppoiamo ora che ci siao idividui, tutti ella situazioe descritta ella precedete sezioe. Vale a dire: ogi idividuo i ha ua stessa fuzioe di utilità, U i = U(W i ), tale che U 0 (W i ) > 0 e U 00 (W i ) < 0, dove W i idica la ricchezza dell idividuo i; la ricchezza iiziale di ogi soggetto è W e ogi soggetto è esposto ad ua perdita L che ha la seguete distribuzioe di probabilità L L 0 1 L o cosicché la ricchezza di ogi soggetto o assicuradosi (W a ) è ua variabile casuale co la distribuzioe di probabilità qui sotto riportata W a L W 1 W L o 3

4 Quidi, per ogi soggetto, la ricchezza attesa o assicuradosi è pari a EW a = W L o. Sulla base di quato ipotizzato, il prezzo di riserva è lo stesso per ogi soggetto e, come sappiamo, P r > L o. Suppoiamo poi ache che i rischi froteggiati dai diversi soggetti siao tra loro statisticamete idipedeti: vale a dire, la probabilità che u soggetto icorra ella perdita L o è idipedetemete dal fatto che la perdita si veri chi o meo per gli altri soggetti. Nell esposizioe che segue supporremo per semplicità che gli uici costi sosteuti dalla compagia di assicurazioe cosistao dei risarcimeti che deve e ettuare a favore degli idividui assicurati che subiscoo perdite. Ciò o comporta ua cosiderevole perdita di geeralità posto che le altre voci di costo (persoale, perizie teciche, attrezzature, eccetera) abbiao u icideza su cietemete piccola sul totale dei costi sosteuti dalla compagia. Chiaramete, l etità dei risarcimeti, e quidi il costo totale della compagia, è ua variabile casuale. Cosideriamo ua situazioe i cui tutti gli soggetti si assicurao. 3 Il ricavo totale della compagia è ua gradezza certa, pari a = P, il umero degli assicurati moltiplicato per il premio pagato da ciascu assicurato. Il costo totale (C) sosteuto dalla compagia può essere scritto come C = L o, vale a dire, il umero totale di risarcimeti,, moltiplicato per l etità di ciascu risarcimeto, L o. Si oti che il umero totale di risarcimeti può essere scritto come = (1) + ::: + (i) + ::: + (), dove co (i) idichiamo il umero di risarcimeti e ettuato al soggetto i. Come ricorderete dai corsi di statistica, (i) è ua variabile casuale beroulliaa, co la seguete distribuzioe di probabilità (i) (i) Il valore atteso di tale variabile casuale è E (i) = (1 ) =. icordado che = (1) + ::: + (i) + ::: + (), si ha che il umero atteso 3 I e etti, se alle codizioi proposte dalla compagia u soggetto trova coveiete assicurarsi, ciò vuol dire che, a quelle codizioi, tutti i soggetti trovao coveiete assicurarsi. Se, al cotrario, alle codizioi proposte u soggetto trova coveiete o assicurarsi, ciò vuol dire che essu soggetto trova coveiete assicurarsi a quelle codizioi. 4

5 di risarcimeti per la compagia è E = E( (1) = + ::: + =. E () + ::: + () ) = E(1) + ::: + Possiamo a questo puto scrivere l espressioe del pro tto della compagia e ricavare da quella espressioe il valore atteso del pro tto (il "pro tto atteso"). Il pro tto è la di ereza tra ricavi e costi, vale a dire, = C = P L o. Il pro tto atteso è E = E(P L o ) = P L o E = P L o = (P L o ). I altre parole, il pro tto atteso della compagia è pari a ; il umero degli assicurati, moltiplicato il pro tto atteso per assicurato (P L o ), pari a sua volta alla di ereza tra il ricavo per assicurato (P ) e il costo atteso per assicurato (L o ). Si è sopra osservato come il prezzo di riserva di ciascu idividuo è maggiore di L o (maggiore cioè della perdita attesa per ciascu idividuo quado o si assicura). Ciò mostra che esiste u itervallo di valori per il premio P tale che la compagia di assicurazioe abbia u pro tto atteso positivo e al tempo stesso ogi idividuo tragga u vataggio dall assicurarsi: si tratta dell itervallo (L o ; P r ). Il fatto che P r > L o, cosicché il pro tto atteso risulta positivo per ogi P 2 (L o ; P r ), è quidi ua codizioe ecessaria a ché l attività assicurativa appaia redditizia ad ua compagia di assicurazioe. Ci dobbiamo però chiedere se tale codizioe sia ache su ciete. E vero che ella ostra aalisi assumiamo che la compagia di assicurazioe sia eutrale al rischio: vedremo però tra breve come, pur cocededo tale ipotesi, il fatto che il valore atteso del pro tto sia positivo può o essere su ciete a ché l attività assicurativa appaia redditizia ai proprietari della compagia (o ai maager che gestiscoo la compagia ell iteresse dei proprietari). Il puto importate è che la positività del pro tto atteso di per sé o esclude l evetualità che si veri chio perdite ache igeti, le quali potrebbero addirittura determiare ua situazioe di isolveza della compagia e quidi il suo fallimeto. Laddove ua tale situazioe di isolveza fosse altamete probabile, l attività assicurativa certamete o potrebbe apparire redditizia ai proprietari dell impresa. Approfodedo ulteriormete questo aspetto, ci si rederà coto che ua ulteriore codizioe ecessaria per la redditività dell attività assicurativa è che il umero degli assicurati sia su cietemete "grade". U umero grade di assicurati rede molto poco probabile il veri carsi di perdite igeti per la compagia. I e etti, discede dalla "legge dei gradi umeri" che, per u umero di assicurati su cietemete elevato, il costo per assicurato e ettivamete sosteuto dalla compagia risulterà, co probabilità prossima 5

6 all uità, assai vicio al suo valore atteso, L o : pertato, co u umero di assicurati su cietemete elevato, il pro tto e ettivo della compagia risulta positivo (essedo, come si è visto sopra, P 2 (L o ; P r ), dove P è il ricavo per assicurato). Tutto questo sarà illustrato qui sotto co u esempio umerico. 2.1 U esempio umerico Ci siao soggetti, ciascuo co fuzioe di utilità U = p W. La ricchezza di ogi soggetto è W = 100 e ogi soggetto è esposto ad ua perdita L (dimiuzioe della ricchezza) che ha la seguete distribuzioe di probabilità L L 0 3=4 64 1=4 La ricchezza di ciascu soggetto o assicuradosi ha perciò la seguete distribuzioe di probabilità: W a Wa 100 3=4 36 1=4 Quidi, la perdita attesa per ogi soggetto è EL = (1=4) 64 = 16 e la ricchezza attesa è EW a = 84. Per determiare il prezzo di riserva (P r ), dobbiamo iazitutto determiare l utilità attesa di ogi soggetto o assicuradosi: EU a = 4p p 36 = 9. Il prezzo di riserva è tale che EU a = EU a, cioè p 100 P r = 9, da cui P r = 19. Nel prosieguo assumeremo che la compagia ssi u premio pari a P r = 19 (ma potremmo supporre u premio ache u poco iferiore a19, cosicché gli idividui abbiao u vataggio etto dall assicurarsi). Per compredere come sia cruciale la gradezza di ai i dello sviluppo dell attività assicurativa, suppoiamo iizialmete u umero di idividui molto piccolo, per esempio = 2. I tal caso, il umero dei risarcimeti che la compagia dovrà e ettuare ha la distribuzioe di probabilità riportata qui sotto. 6

7 0 9=16 1 6=16 2 1=16 (Applicado i pricipi delle probabilità totali e composte, il umero dei risarcimeti è ifatti uguale a 0 co probabilità (3=4) (3=4) = 9=16, è uguale a 1 co probabilità (3=4) (1=4) + (1=4) (3=4) = 6=16 ed è uguale a 2 co probabilità (1=4) (1=4) = 1=16:) Di cosegueza, il costo totale e il costo per assicurato hao le distribuzioi di probabilità elle due tabelle qui sotto: C = 64 C 0 9= = =16 C= = 64 C 0 9= = =16 Il pro tto della compagia avrà perciò la seguete distribuzioe di probabilità C = (P C 2 (19 0) = 38 9=16 2 (19 32) = 26 6=16 2 (19 64) = 90 1=16 Ora, è ovviamete vero, come già sappiamo i geerale, che il costo atteso per assicurato è L 0 = 1 EC 64 = 16 (ifatti: = = 16) ed è quidi miore del premio. Si coferma quidi che il valore atteso del pro tto della compagia risulta positivo: E = (P EC ) = 2(19 16) = 6 > 0. Si deve però otare che vi è ua elevata probabilità che i costi della compagia superio i ricavi (ricavi che soo uguale a 38) e che quidi la compagia subisca ua perdita: tale probabilità è 6=16 + 1=16 = 7=16. Ma acora più importate è l etità delle evetuali perdite a cui la compagia può adare icotro. Voledo poi apprezzare l ordie di gradezza delle evetuali perdite, possiamo rapportarle al fatturato della compagia, cioè al totale dei premi riscossi. Vediamo i questo modo vediamo che la compagia subisce perdite, di etità uguale o superiore al 68% dei propri ricavi (26=38 = 0; 684), co probabilità 7=16 = 0; Le cose stao molto diversamete quado è su cietemete grade. icordiamo che = (1) + ::: + (i) + ::: + () e che E = E (i) =. ) 7

8 L importaza del valore di deriva dalla "legge dei gradi umeri", i base alla quale, per! 1;! P E = (si legge così: "la frequeza relativa dei risarcimeti e ettuati coverge i probabilità a "). Ciò sigi ca che, per su cietemete grade, la frequeza relativa dei risarcimeti risulta, co probabilità molto vicia ad uo, assai prossima E, vale a dire, a. La cosegueza è che il pro tto della compagia risulterà quasi certamete positivo. Ifatti, il pro tto della compagia è = (P r C ) = P r L 0 : quidi, co probabilità molto prossima ad uo, il pro tto per assicurato della compagia risulta molto vicio a P r E L 0 = P r L 0 > 0. Vediamo di illustrare questo puto, mediate il ostro esempio umerico, suppoedo u umero di assicurati = I questo caso, E = = = 250. Idividuiamo il massimo umero di risarcimeti tale che la 4 compagia abbia u pro tto o egativo. Questo umero si trova impoedo la codizioe che = P r r L o 0, cioè r 0, da cui si ricava che questo umero è r = Cosideriamo allora la probabilità che il umero dei risarcimeto e ettuati dalla compagia risulti compreso ell itervallo [204; 296]: per ragioi di simetria, abbiamo scelto u itervallo che è "cetrato" sul umero atteso di risarcimeti, pari a E = 250.(Stiamo quidi trascurado l eveto che il umero dei risarcimeti che la compagia è chiamata ad e ettuare risulti compreso tra 0 e 203.) La probabilità che stiamo cercado è facile da determiare. Ifatti, il umero dei risarcimeti e ettuato dalla compagia,, è ua variabile casuale biomiale. La probabilità cercata è duque la seguete: Pr ( 2 [204; 296]) = X296 = Utilizzado u software matematico (per esempio, Maple o ache O ce) si trova che Pr ( 2 [204; 296]) = 0; Quidi la compagia è praticamete certa di o subire perdite. 4 Per = 296 il pro tto è = = 56 > 0 metre per = 297 il pro tto è = = 8 < 0. 8