Sommario. Introduzione. Progetto di alberi di trasmissione Concentrazione di tensioni

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1 3 La orsione

2 Sommario Inroduzione Alberi saiamene indeerminai Carihi orsionali su alberi irolari Momeno dovuo a ensioni inerne Deformazioni angenziali parallele all asse Progeo di alberi di rasmissione Conenrazione di ensioni Deformazioni dell albero Sorrimeno angolare Tensioni in ampo elasio Tensioni normali Modalià di edimeno a orsione Eserizio svolo 3.1 Angolo di orsione in ampo elasio Torsione di elemeni non irolari Alberi avi on paree soile Esempio

3 Carihi Torsionali su Alberi Cirolari Vogliamo deerminare le ensioni e le deformazioni in alberi irolari soggei a momeni oreni. La urbina eseria una oppia sull albero L albero rasmee la oppia al generaore Il generaore rea una oppia uguale ed opposa 3-3

4 Carihi Torsionali su Alberi Cirolari 3-4

5 Momeno risulane alle ensioni inerne Il momeno risulane delle ensioni angenziali è una oppia inerna, uguale ed opposa alla oppia appliaa, M ( ) ρ df ρ da Anhe se il momeno risulane dovuo alle ensioni angenziali è noo, la disribuzione delle ensioni non lo è. La disribuzione delle ensioni è saiamene indeerminaa si devono onsiderare le deformazioni prodoe nell albero Diversamene dalla ensione normale dovua ai arihi assiali, la disribuzione delle ensioni angenziali dovua a arihi orsionali non può essere assuna uniforme. 3-5

6 Componeni angenziali parallele all asse La orsione appliaa all asa produe ensioni angenziali sulle faie perpendiolari all asse dell albero. Le ondizioni di equilibrio rihiedono l esisenza di ensioni analoghe sulle fae formae dai due piani paralleli all asse dell albero L esisenza di omponeni angenziali parallele all asse è dimosraa onsiderando un albero formao da asielle separae. quando due oppie uguali e oppose vengono appliae alle due esremià dell albero le asielle sorrono l una rispeo all alra. 3-6

7 Deformazioni dell albero L angolo di orsione dell albero è proporzionale al momeno appliao e alla lunghezza dell asa. φ φ M L Quando sono soggee a orsione, ue le sezioni rasversali rimangono piane e indeformae. Le sezioni rasversali delle ase irolari, piene o ave, rimangono piane e indeformae perhé la sezione irolare è assialsimmeria. Le sezioni rasversali di ase non a sezione irolare (non assialsimmerihe) vengono deformae a seguio dell appliazione di una oppia orene. 3-7

8 Sorrimeno angolare Consideriamo una sezione inerna di un asa. Quando su essa si applia un ario orsionale, un elemeno quadrao all inerno del ilindro si deforma rasformandosi in un rombo. Dal momeno he le esremià dell elemeno rimangono piane, lo sorrimeno angolare è uguale all angolo di orsione. Ne segue he: Lγ ρφ or γ ρφ L Lo sorrimeno angolare è proporzionale alla roazione orsionale e al raggio γ φ L and γ ρ γ 3-8

9 Tensioni in ampo elasio 1 4 π Molipliando la preedene equazione per il modulo di elasiià angenziale G, G γ ρ ρ G γ Dalla legge di Hooke, Gγ La ensione angenziale varia linearmene on la posizione radiale nella sezione. 4 4 ( ) 1 1 π Riordiamo he la somma dei momeni delle forze elemenari eseriae su ogni sezione è uguale al momeno orene agene sull albero, M ρ da ρ da M e M ρ I risulai segueni sono onosiui ome formule della orsione elasia, 3-9

10 Tensioni normali Gli elemeni on le fae parallele e perpendiolari all asse dell albero sono soggee solo a ensioni angenziali. Tensioni normali, ensioni angenziali o una ombinazione di enrambi possono essere rovae per elemeni on alre orienazioni. Si onsideri un elemeno a 45 o rispeo all asse dell albero. F A os45 A σ 45 o ( ) F A L elemeno è soggeo a una ensione di razione su due fae e di ompressione sulle alre due. Noa he ue le ensioni ageni sugli elemeni a e hanno lo sesso valore 0 A 0 A L elemeno a è in puro aglio

11 Modalià di risi orsionali I maeriali duili, di solio, edono per aglio. I maeriali fragili, invee, sono più deboli se sooposi a razione. Un provino duile soggeo a orsione si fraura lungo il piano di massimo aglio (piano perpendiolare al suo asse longiudinale). Un maeriale fragile soggeo a orsione si rompe lungo piani perpendiolari alla direzione in ui le ensioni di razione sono massime (superfii a 45 rispeo all asse longiudinale del ampione). 3-11

12 B Angolo di orsione in ampo elasio D C C Riordiamo he l angolo di orsione e il massimo sorrimeno angolare sono relazionai ra loro da: γ φ L In ampo elasio, lo sorrimeno angolare e la ensione angenziale sono legae dalla legge di Hooke γ G M G Uguagliando i primi membri delle due equazioni e risolvendo rispeo all angolo di orsione, sriviamo φ M L G Se il momeno orene o la sezione dell albero ambiano lungo l asa, l angolo di roazione si rova ome la somma delle roazioni dei singoli rai dell albero M il φ i G i i i 3-1

13 Eserizio svolo 3.1 SOLUZIONE: L albero BC è avo on diameri inerno ed eserno rispeivamene di 90 e 10 mm. Gli alberi AB e CD sono pieni di diamero d. Dai i arihi mosrai, deerminare (a) la ensione angenziale massima e minima nell albero BC, (b) il diamero d neessario degli alberi AB e CD se la ensione angenziale ammissibile in quesi elemeni è 65 MPa. Tagliamo le sezioni lungo i rai degli alberi AB e BC e eseguiamo l analisi di equilibrio saio per rovare i momeni oreni. Applihiamo le formule della orsione elasia per rovare la ensione minima e massima nell albero BC. Noa la ensione angenziale ammissibile e il momeno orene appliao, inveriamo la formula della orsione elasia per rovare il diamero rihieso. 3-13

14 Eserizio svolo 3.1 SOLUZIONE: Tagliamo le sezioni lungo i rai degli alberi AB e BC e eseguiamo l analisi di equilibrio saio per rovare i momeni oreni. T M AB x 0 ( 6kN m) T M 0 ( 6kN m) + ( 14kN m) 6kN m T CD AB T BC x 0kN m T BC 3-14

15 Eserizio Svolo 3.1 Applihiamo le formule della orsione elasia per rovare la ensione minima e massima nell albero BC. Conosiua la ensione angenziale minima e il momeno orene appliao, inveriamo la formula della orsione elasia per rovare il diamero rihieso π 4 4 π 4 4 ( ) [( 0.060) ( 0.045) ] MPa m T BC 4 ( 0kN m)( m) m 4 T T π m 4 65MPa d 6kN m π mm min 1 min 86.MPa 45mm 60mm 86.MPa min 64.7 MPa min 64.7 MPa 3-15

16 Torsione di elemeni non irolari Le preedeni formule della orsione sono valide per alberi on sezioni assialsimmerihe o irolari Le sezioni rasversali piane di una rave non irolare non rimangono piane e la disribuzione delle ensioni e delle deformazioni non varia linearmene Per sezioni rasversali reangolari uniformi, M φ ab 1 M L 3 ab G Per grandi valori di a/b la ensione angenziale massima e l angolo di orsione di sezioni apere sono le sesse di quelle di una barra reangolare. 3-19

17 3-0 Torsione di elemeni non irolari soili Sezioni monoonnesse ds b b M l Per un reangolo ba M l b M b l b M l b L G M φ 1 ab M

18 Alberi avi on paree soile Sezioni bionnesse Sommando le forze nella direzione x eseriae su AB, ( ) ( ) Fx 0 A A x B B x A A B B q flusso di aglio La ensione angenziale varia inversamene on lo spessore C D Caloliamo il momeno orene dell albero dall inegrale dei momeni generai dalle ensioni angenziali ( ) ( ) dm 0 p df p ds q pds M dm 0 q da qa M formula di Bred A L angolo di roazione è M ds φ 4A L G q da 3-1