DIARIO DEL CORSO DI ALGEBRA A.A. 2013/14 DOCENTE: ANDREA CARANTI

Transcript

1 DIARIO DEL CORSO DI ALGEBRA A.A. 2013/14 DOCENTE: ANDREA CARANTI Lezione 1. lunedí 16 settembre 2013 (2 ore) Presentazione del corso. Esercizio: cosa succede a moltiplicare per 2, 3, 4,... il numero , e perché? Divisibilità fra interi. Proprietà riflessiva e transitiva. Non vale la proprietà simmetrica. Determinazione delle coppie (a, b) tali che a divide b e b divide a. Determinazione delle coppie (x, y) di interi tali che xy = 1. Divisione con resto non negativo. Il caso del dividendo negativo. Il caso del divisore negativo. Unicità di quoziente e resto. Lezione 2. martedí 17 settembre 2013 (2 ore) Ancora sull unicità di quoziente e resto. Criterio di divisibilità in base all annullarsi del resto. Massimo comun divisore (MCD): definizione elementare. Problema: non esiste il MCD di 0 e 0. Modalità di calcolo del MCD: l approccio mediante la fattorizzazione fallisce con numeri grandi : provare con numeri dell ordine di grandezza di , tenendo presente che l Universo ha anni. Definizione formale del MCD fra due interi a, b. Il MCD di 0 e 0 è 0. Più in generale, il MCD fra 0 e b è b. Sono equivalenti: d è il massimo comun divisore fra a e b, e D(a) D(b) = D(d). (Qui D(c) = { x Z : x c }.) Esistenza e costruzione del MCD mediante l algoritmo di Euclide (inizio). Lezione 3. mercoledí 18 settembre 2013 (2 ore) Il MCD fra 0 e 0 è 0. Esistenza e costruzione del MCD mediante l algoritmo di Euclide. Unicità del massimo comun divisore. Notazione (a, b) per il MCD. L algoritmo di Euclide su due numeri grandi all incirca N termina in al più 2 log 2 (N) passi. Grafico di y = 2 x. Algoritmo di Euclide esteso per esprimere il massimo comun divisore d di due numeri a, b come loro combinazione lineare ax + by = d, con x, y Z. Esempi dei due metodi. Date: Trento, A. A. 2013/14.

2 2 DIARIO DEL CORSO ALGEBRA 2013/14 Lezione 4. venerdí 20 settembre 2013 (2 ore) Se (a, b) = 1, allora a e b si dicono coprimi, o primi fra loro, o relativamente primi. a e b sono coprimi se e solo se esistono x, y Z tali che ax + by = 1. Lemmi aritmetici. Applicazione dei lemmi aritmetici: il minimo comune multiplo (formula (a, b) [a, b] = a b, e interpretazione in termini di fattori comuni e non comuni). Altra applicazione: tutte le combinazioni per esprimere il massimo comun divisore come combinazione lineare. Divisori di 1 in Z. Congruenze. Basta considerare le congruenze modulo numeri non negativi. Le congruenze modulo 0, 1. Lezione 5. lunedí 23 settembre 2013 (2 ore) Essere congrui vuol dire avere lo stesso resto, dunque la congruenza è una relazione di equivalenza. Assioma di specificazione e paradosso di Russell. Classi rispetto a una relazione di equivalenza, e loro proprietà. Relazioni di equivalenza e partizioni. Le classi formano una partizione. Lezione 6. martedí 24 settembre 2013 (2 ore) Classi di congruenza (o resto) modulo un intero n. Le classi modulo 2 e 3. Modulo n ci sono esattamente n classi resto, che sono [0], [1],..., [n 1]. Notazione Z/nZ. Si può calcolare con le classi resto. Lemma: n divide a se e solo se a 0 (mod n) se e solo se [a] = [0] in Z/nZ. La prova del nove: criteri di divisibilità per 9, 11, 7. Lezione 7. mercoledí 25 settembre 2013 (2 ore) Esercizio proposto: trovare i numeri interi positivi il cui prodotto delle cifre faccia un numero della forma Riepilogo sulle classi resto. Criteri di divisibilità per 13, 2, 4, Definizione di anello. Z/nZ è un anello commutativo con unità. Il problema della buona definizione. Buona definizione della somma fra le classi resto. Lezione 8. venerdí 27 settembre 2013 (2 ore) Elementi invertibili in un anello. Unicità: la rimandiamo a fatti più generali. Invertibili e inversi in Z/nZ. Calcolo degli inversi in Z/nZ mediante l algoritmo di Euclide esteso. L unico anello con unità in cui 0 = 1 è l anello { 0 }. 0-divisori. 0-divisori in Z/nZ. L unico 0-divisore in un anello è 0 se e solo se vale la legge di annullamento del prodotto.

3 DIARIO DEL CORSO ALGEBRA 2013/14 3 Dunque [a] Z/nZ è invertibile se e solo se (a, n) = 1, e l inverso si trova mediante l algoritmo di Euclide esteso. Se invece (a, n) > 1, allora [a] è un divisore dello zero. Monoidi: notazione neutra (M,, e), elementi simmetrizzabili. Lezione 9. lunedí 30 settembre 2013 (2 ore) Notazione neutra, additiva e moltiplicativa per un monoide. Lemma sugli elementi invertibili in un monoide (moltiplicativo). Gli elementi invertibili formano un gruppo. Il gruppo U(Z/nZ) delle classi invertibili modulo n. Funzione di Eulero. Valore della funzione di Eulero su piccoli numeri, e sui numeri primi. Domini: un dominio è un anello in cui l unico divisore dello zero è 0. Z/nZ è un campo se n è primo, altrimenti non è un dominio. Lemma dei cassetti. Lezione 10. martedí 1 ottobre 2013 (2 ore) In un anello finito (commutativo, con unità) gli elementi sono o invertibili o divisori dello zero. Valore della funzione di Eulero per la potenze di un primo. La funzione di Eulero è moltiplicativa nel senso della teoria dei numeri (solo enunciato). Il caso in cui n = pq è il prodotto di due numeri primi distinti: calcolare ϕ(n) equivale a fattorizzare n. La funzione f : Z Z/mZ Z/nZ che manda x ([x] m, [x] n ), e i sistemi di due congruenze { x a (mod m) x b (mod n) Esempi. Il sistema ha soluzione se e solo se (m, n) a b. Come trovare una soluzione. Lezione 11. mercoledí 2 ottobre 2013 (2 ore) Un sistema di congruenze. Come trovare tutte le soluzioni: se il sistema { x a (mod m) x b (mod n) ha una soluzione x 0, allora le soluzioni sono tutti e soli gli x tali che x x 0 (mod [m, n]). Primo teorema di isomorfismo fra insiemi. Applicazione: la biiezione Z/mnZ Z/mZ Z/nZ data da [x] mn ([x] m, [x] n ). Corollario: la funzione di Eulero è moltiplicativa nel senso della teoria dei numeri.

4 4 DIARIO DEL CORSO ALGEBRA 2013/14 Lezione 12. venerdí 4 ottobre 2013 (2 ore) La formula per la funzione di Eulero in termini di una fattorizzazione. Il caso del prodotto di due primi: cenno al principio di inclusione/esclusione. Potenze in un gruppo. Regole delle potenze. Periodo (o ordine) di un elemento in un gruppo. Principio del minimo intero. Eguaglianza di due potenze. Le traslazioni destre e sinistre sono funzioni biiettive. In un gruppo finito, il periodo di un elemento divide l ordine del gruppo. (Dimostrazione nel solo caso commutativo.) Teorema di Eulero-Fermat. Lezione 13. lunedí 7 ottobre 2013 (2 ore) Piccolo teorema di Fermat. Periodo di [10] in U(Z/nZ), con (10, n) = 1, e sviluppo decimale periodico di 1/n. Introduzione alla crittografia. Cifrario di Cesare. One-time pad. Lezione 14. martedí 8 ottobre 2013 (2 ore) Il problema dello scambio in pubblico di una chiave segreta. RSA, Chiave pubblica e chiave privata (segreta). Problemi: mostrare che un numero è primo. Numeri di Carmichael. Criteri probabilistici di primalità. Criteri deterministici: AKS. Lezione 15. mercoledí 9 ottobre 2013 (2 ore) Ancora RSA. Calcolo delle potenze. Rappresentazione di un intero positivo in base B > 1. Un esempio di RSA. Lezione 16. venerdí 11 ottobre 2013 (2 ore) Ancora un esempio di RSA. Polinomi: definizione informale. Grado, grado della somma e grado del prodotto. Divisione con resto. Divisibilità, ed elementi invertibili in F [x], con F un campo. Lezione 17. lunedí 14 ottobre 2013 (2 ore) Esempi di RSA. Massimo comun divisore fra polinomi, razionalizzazione. Valutazione di polinomi.

5 DIARIO DEL CORSO ALGEBRA 2013/14 5 Lezione 18. martedí 15 ottobre 2013 (2 ore) La valutazione di polinomi rispetta le operazioni. Divisibilità con resto: basta che il divisore abbia coefficiente di grado più alto invertibile. Radici di un polinomio, e regola di Ruffini. Numero di radici di un polinomio: un polinomio di grado n a coefficienti in un dominio A ha al più n radici in A. Invece se A non è un dominio, un polinomio può avere più radici del suo grado: il polinomio x 2 1 ha quattro radici in Z/15Z. Il gioco del tris. Il logaritmo come esempio di isomorfismo. Richiami sull isomorfismo fra spazi vettoriali. Isomorfismo fra gruppi. Lezione 19. mercoledí 16 ottobre 2013 (2 ore) Morfismi fra gruppi. Proprietà: l immagine di un morfismo è un sottogruppo del codominio. Primo teorema di isomorfismo fra gruppi (prima versione). Esempio: se a è un elemento di periodo m in un gruppo G, allora la funzione è un isomorfismo di gruppi. ϕ : Z/mZ a = { a x : x Z } [x] a x Lezione 20. venerdí 18 ottobre 2013 (2 ore) Sottoanelli di un anello; i sottogruppi di Z sono tutti sottoanelli. Morfismi fra anelli. Proprietà: l immagine di un morfismo è un sottoanello del codominio. Primo teorema di isomorfismo fra anelli (prima versione). Teorema cinese dei resti: se (m, n) = 1, allora c è l isomorfismo Z/mnZ Z/m Z/n [x] mn ([x] m [x] n ). Regole dei segni, e proprietà della sottrazione. Lezione 21. lunedí 21 ottobre 2013 (2 ore) Ideali, ideali (sottogruppi) di Z, una relazione compatibile è una congruenza modulo un ideale, un ideale è il nucleo di un morfismo. Lezione 22. martedí 22 ottobre 2013 (2 ore) Criterio per un sottogruppo. Quadrati in F = Z/pZ. Se p è dispari, ci sono (p 1)/2 quadrati non nulli in F, e questi sono le radici del polinomio x (p 1)/2 1. Se p è un primo dispari, e a 0 (mod p), allora a (p 1)/2 { 1 se a è un quadrato, e 1 se a non è un quadrato.

6 6 DIARIO DEL CORSO ALGEBRA 2013/14 Radici quadrate modulo il prodotto di due primi dispari distinti. Lezione 23. mercoledí 23 ottobre 2013 (2 ore) Testa o croce per telefono. Estensioni. Estensioni semplici: esistenza. L estensione semplice A[α] B è l immagine del morfismo valutazione v α : A[x] B, che manda a A[x] in a(α). Esempi: Z[i], Z[ 2]. Prima provetta. Lezione 24. venerdí 25 ottobre 2013 (3 ore) Lezione 25. lunedí 28 ottobre 2013 (2 ore) Lemma sulle estensioni del tipo Z[α], ove α / Q è una radice di un polinomio x 2 + bx + c Z[x]. Aritmetica su domini. Divisibilità. Elementi associati. Elementi primi e irriducibili. Definizioni equivalenti di elementi irriducibili. Primo implica irriducibile. In Z[ 5] l elemento 2 non è primo. Lezione 26. martedí 29 ottobre 2013 (2 ore) Norma su un dominio: norma di 1 e delle unità. In Z[ 5] l elemento 2 è irriducibile. In Z[x] l elemento 7 ha norma 1, ma non è una unità. Norme speciali, esempi: Z, F [x] con F un campo, Z[ 5], Z[i]. Domini euclidei. La norma di un dominio euclideo è speciale. In un dominio euclideo si può svolgere l algoritmo di Euclide esteso, esiste il MCD, valgono i lemmi aritmetici. In un dominio euclideo, gli elementi irriducibili sono primi. Lezione 27. mercoledí 30 ottobre 2013 (2 ore) Z[i] è un dominio euclideo. Se un numero primo p è somma di due quadrati, allora p = 2, o p 1 (mod 4). Algoritmo probablistico per trovare una radice quadrata di 1 modulo p 1 (mod 4). Algoritmo per scrivere un numero primo p 1 (mod 4) come somma di due quadrati (inizio). Lezione 28. lunedí 4 novembre 2013 (2 ore) Algoritmo per scrivere un numero primo p 1 (mod 4) come somma di due quadrati. Gli irriducibili in Z[i]. In un dominio con una norma speciale, gli elementi di norma prima sono irriducibili, ma non vale il viceversa.

7 DIARIO DEL CORSO ALGEBRA 2013/14 7 In un dominio con una norma speciale, ogni elemento si scrive come prodotto di irriducibili, ma questa scrittura non è necessariamente unica, come mostra l esempio 6 = 2 3 = (1 + 5)(1 5) in Z[ 5]. Lezione 29. martedí 5 novembre 2013 (2 ore) Se in un dominio gli irriducibili sono primi, allora la scrittura come prodotto di irriducibili è unica, a meno dell ordine e di associati. Terne pitagoriche, terne pitagoriche primitive, formula ottenuta usando gli interi di Gauss. Lezione 30. mercoledí 6 novembre 2013 (2 ore) Un dominio euclideo è un UFD, cioè ogni elemento non nullo si scrive in modo essenzialmente unico come prodotto di irriducibili, e anche nella forma n ε p e i i, i=1 ove i p i sono irriducibili, p i non è associato a p j se i j, e e i 0. Conseguenza: in un UFD esistono MCD e mcm, formule. In un UFD, se a 2 = bc 0, e (b, c) = 1, allora b = ηx 2, c = ϑy 2, con η, ϑ unità. Estensioni di un campo. Elementi trascendenti e algebrici. Polinomio minimo. Se il polinomio minimo di α su F è m, allora per f, g F [x] si ha f(α) = 0 se e solo se m f, e f(α) = g(α) se e solo se f g (mod m). Lezione 31. venerdí 8 novembre 2013 (1 ora) Sia B un anello commutativo con unità, estensione del campo F, e α B, algebrico su F, con polinomio minimo m. Sia v α : F [x] B la valutazione in α. Il primo teorema di isomorfismo fra anelli ci fornisce l isomorfismo F [x]/r F [α] dato da [f] f(α), ove R è la congruenza modulo m. Cosa vuol dire per un polinomio essere riducibile, cioè non irriducibile. Se f F [x] è monico e irriducibile, e f(α) = 0, allora f è il polinomio minimo di α su F. Il polinomio minimo di [ ] B = è x 2, che non è irriducibile. Se B è un dominio, allora m è irriducibile. { [ ] } a b : a, b Q 0 a Lezione 32. lunedí 11 novembre 2013 (2 ore) Irriducibilità di polinomi di grado basso. Il polinomio minimo di 2 su Q, il polinomio minimo di i su R, struttura delle estensioni.

8 8 DIARIO DEL CORSO ALGEBRA 2013/14 Lezione 33. martedí 12 novembre 2013 (2 ore) Struttura di spazio vettoriale di una estensione di un campo F. Se α è algebrico su F, allora la dimensione di F [α] su F è eguale al grado del polinomio minimo di α su F. Sia A = F [x]/(m) l anello delle classi resto modulo m F [x]. Se m è irriducibile, allora A è un campo, se invece m è riducibile, allora A non è un dominio. Se B è un dominio, estensione del campo F, e α B è algebrico su F, con polinomio minimo m, allora m è irriducibile in F [x], e dunque, visto l isomorfismo F [α] è un campo. F [x]/m F [α], Lezione 34. mercoledí 13 novembre 2013 (2 ore) Sia α = Allora α è algebrico su Q, essendo radice di f = x 4 10x Si ha che 2, 3 Q[α], dunque K = Q[ 2] Q[α], e K[ 3] Q[α], da cui segue che F [α] = (Q[ 2])[ 3] ha grado 4 su Q, dunque f è il polinomio minimo di α su Q. Lezione 35. venerdí 15 novembre 2013 (2 ore) Esistenza di una radice di un polinomio non costante: il caso in cui F è il campo con 2 elementi, e il polinomio è x 2 + x + 1, e il caso generale. Domini a ideali principali (PID), un dominio euclideo è un PID, un PID è un UFD (senza dimostrazione). Primo teorema di isomorfismo fra anelli e polinomio minimo (inizio). Lezione 36. lunedí 18 novembre 2013 (2 ore) Primo teorema di isomorfismo fra anelli e polinomio minimo. Formula dei gradi (solo enunciato). Invertibilità destra e sinistra, iniettività e suriettività. Permutazioni. Scrittura ciclica delle permutazioni. Lezione 37. martedí 19 novembre 2013 (2 ore) Scrittura ciclica delle permutazioni. Parità di una permutazione. Campo di spezzamento (riducibilità completa) di un polinomio. cenno all unicità a meno di isomorfismi. Esistenza, Lezione 38. mercoledí 20 novembre 2013 (2 ore) Ancora sul campo di spezzamento. Se una estensione E di F ha grado finito, allora ogni elemento α E è algebrico su F, e il grado del polinomio minimo di α su F è minore o eguale (meglio, un divisore) di E : F.

9 DIARIO DEL CORSO ALGEBRA 2013/14 9 Caratteristica di un anello con unità come periodo additivo dell unità: multipli. Se la caratteristica è 0, allora il più piccolo sottoanello P di A che contenga 1 è isomorfo a Z. Se invece la caratteristica è m > 0, allora P è isomorfo a Z/mZ. La caratteristica di un dominio è zero, o un numero primo. Seconda provetta. Lezione 39. venerdí 22 novembre 2013 (3 ore) Lezione 40. lunedí 25 novembre 2013 (2 ore) Se E è un campo finito, allora la sua caratteristica è un numero primo p, ovvero E contiene (un sottoanello isomorfo a ) F p = Z/pZ. Se E : F p = n, allora E = p n. Se E è un campo finito con p n elementi, allora gli elementi di E sono le radici del polinomio x pn x F p [x]. Se p è primo, allora divide ( p i ), per ogni 0 < i < p. Binomio (a + b) p = a p + b p in caratteristica p. Un dominio finito è un campo. Derivata formale. Radici multiple, criterio della derivata. Un campo finito con p n elementi si costruisce come l insieme delle radici del polinomio x pn x nel suo campo di spezzamento. Lezione 41. martedí 26 novembre 2013 (2 ore) Un sottogruppo moltiplicativo finito di un capo è ciclico. (Senza dimostrazione.) Un campo finito di ordine p n è della forma F p [α], ove α ha polinomio minimo di grado n. Polinomi irriducibili di grado 2, 3 e 4 su F 2 = Z/2Z. Costruzione di campi finiti di ordine 4, 8, 16. Radici di x 3 + x in F 2 [α], ove α è radice di x 3 + x + 1. Polinomi primitivi. Lezione 42. mercoledí 27 novembre 2013 (2 ore) Campi finiti con 16 e 9 elementi. Polinomi irriducibili di grado 2 su F 3 = Z/3Z. Introduzione ai codici a rivelazione e correzione d errore. Ridondanza. Lezione 43. venerdí 29 novembre 2013 (2 ore) Codici lineari binari. Codice a ripetizione due e tre volte. Codice a controllo di parità. Matrice del codice, e matrice a controllo di parità. Distanza di Hamming: rivelazione di un errore.

10 10 DIARIO DEL CORSO ALGEBRA 2013/14 Lezione 44. lunedí 2 dicembre 2013 (2 ore) Distanza di Hamming: correzione di un errore. Rivelazione e correzione di un errore attraverso la matrice di controllo di parità. Il codice di Hamming C di lunghezza 7, costruito, a partire dal polinomio x 3 + x + 1. Lezione 45. martedí 3 dicembre 2013 (2 ore) Il codice di Hamming C di lunghezza 7, costruito, a partire dal polinomio x 3 + x 2 + 1, e il legame con C. Il codice di Hamming è ciclico: elencazione degli elementi. Un esempio di decodifica. Classi laterali destre e Teorema di Lagrange. Il periodo di un elemento divide l ordine del gruppo. Lezione 46. mercoledí 4 dicembre 2013 (2 ore) Il codice di Hamming C di lunghezza 7, costruito esplicitamente a partire dal polinomio x 3 + x Esempi di codifica e decodifica. Classi laterali sinistre. Sottogruppi normali. Se G è un gruppo, e R è una relazione di equivalenza compatibile con l operazione N = [1] è un sottogruppo normale di G, arb se e solo se ab 1 N, e [a] = Na. Seconda forma del Primo Teorema di Isomorfismo per i gruppi. Lezione 47. venerdí 6 dicembre 2013 (2 ore) Ricapitolazione su classi laterali e sottogruppi normali. Se N è un sottogruppo normale sul gruppo G, allora la relazione at b se e solo se ab 1 N è una relazione di equivalenza compatibile con le operazioni, dunque su G/N = { Na : a G } è ben definita l operazione Na Nb = Nab, e G/N con questa operazione diventa un gruppo. Esempio: il sottogruppo H = (12) di S 3 non è normale, e il prodotto fra classi laterali destre non è ben definito. Ordine di una potenza di un elemento in un gruppo. Sottogruppi dei gruppi ciclici. Immagini dirette ed inverse sotto una funzione f : A B. Formula per T B. f(f 1 (T )) = T f(a)

11 DIARIO DEL CORSO ALGEBRA 2013/14 11 Lezione 48. lunedí 9 dicembre 2013 (2 ore) Teorema di corrispondenza (terzo teorema di isomorfismo) per i gruppi. Un applicazione. Se m > 0, allora i sottogruppi di Z/mZ sono tutti e soli della forma nz/mz, per n m. Teorema di corrispondenza (terzo teorema di isomorfismo) per i gruppi. (Solo enunciato.) Secondo teorema di isomorfismo per gli anelli. Lezione 49. martedí 10 dicembre 2013 (2 ore) Un applicazione del secondo teorema di isomorfismo per gli anelli: applicato in Z, fornisce la formula (a, b) [a, b] = a b. Secondo teorema di isomorfismo per i gruppi. (Solo enunciato.) Terzo teorema di isomorfismo per gli anelli. (Solo enunciato.) Radici (primitive) n-sime dell unità. Polinomi ciclotomici. Lemma di Gauss. Lemma di Eisenstein. Lezione 50. mercoledí 11 dicembre 2013 (2 ore) Lemma di Eisenstein: dimostrazione mediante il morfismo Z[x] Z/pZ[x]. Il polinomio ciclotomico p-simo, per p primo, è x p 1 + x p x + 1. Un ideale I dell anello commutativo con unità è massimale se e solo se A/I è un campo. Campo dei quozienti di un dominio. Lezione 51. lunedí 16 dicembre 2013 (2 ore) Sottogruppo generato da un sottoinsieme. Sottogruppi di S 3. Dimostrazione della parte relativa alla normalità del terzo teorema di isomorfismo per i gruppi. Segno di una permutazione: se σ S n è prodotto di k trasposizioni (2-cicli), allora σ = ( 1) k, ove = (x i x j ), dunque { σ = 1 i<h n se σ è pari, cioè prodotto di un numero pari di 2-cicli, se σ è dispari, cioè prodotto di un numero dispari di 2-cicli. Lezione 52. martedí 17 dicembre 2013 (2 ore) Due applicazioni del codice di Hamming: sette domande, una menzogna, cappelli rossi, cappelli blu.

12 12 DIARIO DEL CORSO ALGEBRA 2013/14 Terza provetta. Lezione 53. venerdí 20 dicembre 2013 (3 ore) Dipartimento di Matematica, Università degli Studi di Trento, via Sommarive 14, Trento address: URL: caranti/