I Teoremi di Green, della divergenza (o di Gauss) e di Stokes

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1 I Teoremi di Green, dell divergenz o di Guss e di Stokes In R Si un sottoinsieme limitto di R semplice rispetto d entrmbi gli ssi crtesini con costituit dll unione di un numero finito di sostegni di curve regolri. icimo che l frontier di,, è orientt positivmente se è fissto il verso di percorrenz ntiorrio. Con quest scelt i punti di restno sempre sinistr di. In tl cso scriveremo +. Teorem Teorem di Green Si un sottoinsieme limitto di R con le proprietà elencte sopr e si Fx, y F x, yî + F x, yĵ un cmpo vettorile di clsse C A, con A perto contenente. Allor vle l formul F x F dxdy F τ. + imostrzione. Siccome è semplice rispetto ll sse y, possimo scrivere {x, y R : x b, g x y g x} con g, g funzioni di clsse C [, b]. Clcolimo l circuitzione del cmpo G F î lungo +. L frontier di è costituit di grfici delle funzioni g, g intervllti d due segmenti verticli γ, γ. Quindi G τ G τ + G τ + G τ + G τ + Grfg γ Grfg γ Sui segmenti verticli, i vettori tngenti γ i t, i, sono diretti verticlmente, mentre il cmpo G è diretto orizzontlmente. Pertnto il prodotto sclre G γ i è nullo. Ciò implic che G τ Gγ i t γ itdt 0. γ i 0 Clcolimo esplicitmente gli ltri due integrli. t [, b]. Pertnto Grfg G τ Un prmetrizzzione del grfico di g è t, g t, Gt, g t, g tdt F t, g tdt. Per l integrle sul grfico di g il clcolo è lo stesso, meno del ftto che tle grfico è percorso nel verso opposto, per cui G τ F t, g tdt. Sommndo tutti i contributi bbimo Grfg + G τ F t, g t F t, g t dt. ltr prte, se scrivimo il primo membro di per il cmpo G, tenendo conto dell form di bbimo G x G dxdy gx g x F dy dx F x, g x + F x, g x dx, 3

2 vendo usto il Teorem fondmentle del clcolo integrle nell ultimo pssggio. Confrontndo e 3, risult che il cmpo G soddisf l tesi del teorem. Siccome è semplice nche rispetto ll sse x, si può ripetere lo stesso rgionmento per il cmpo G F ĵ tenendo conto stvolt dell espressione di come insieme semplice rispetto ll sse x. Si rriv così provre l formul del teorem nche per G. In definitiv bbimo e G x G dxdy + G τ. G x G dxdy G τ. + Infine, siccome F G + G e siccome l integrle e l derivt sono lineri, sommndo membro membro le due formule precedenti trovimo l tesi. efinizione icimo che un insieme limitto contenuto in R è decomponibile se è possibile riprtirlo nell unione di un numero finito di insiemi semplici rispetto d entrmbi gli ssi, con frontiere regolri trtti e con prti interne due due disgiunte. L coron circolre C {x, y R : x + y 4} è un esempio di dominio decomponibile: un possibile riprtizione di C è dt di quttro settori contenuti nei quttro qudrnti. L su frontier è dt dll unione delle due circonferenze x + y e x + y 4. In questo cso diremo che l frontier di C è orientt positivmente se, percorrendo ciscun delle circonferenze, C rest sempre sinistr. Ciò signific che x + y 4 è percors in senso ntiorrio e x + y in senso orrio. Quest convenzione vle più in generle per un dominio decomponibile che present dei buchi : l curv estern è percors in senso ntiorrio, quelle interne in senso orrio. Si può dimostrre che il Teorem di Green continu vlere in insiemi decomponibili: bst scrivere l formul del teorem in ciscun sottoinsieme semplice e sommre tutte le formule così ottenute. Corollrio Si un insieme che soddisf le ipotesi del Teorem di Green. Allor re y î τ x ĵ τ y î + x ĵ τ enimo or l teorem dell divergenz o di Guss in R. Teorem Teorem dell divergenz in Si un sottoinsieme di R limitto e decomponibile secondo l efinizione ; indichimo con n e il versore normle esterno. Si Fx, y F x, yî + F x, yĵ un cmpo vettorile di clsse C A, con A perto contenente. Allor vle l formul Fdxdy F n e ds, 4 dove F F x + F indic l divergenz del cmpo F. Nell formul 4 l integrle l secondo membro è un integrle curvilineo di prim specie per questo non cont il verso di percorrenz di e rppresent il flusso di F uscente d. Un possibile dimostrzione del Teorem dell divergenz in R si ottiene ttrverso il Teorem di Green. imostrzione. Supponimo per semplicità che l insieme bbi per frontier il sostegno di un solo rco regolre chiuso e semplice γt xt, yt, t [, b]. Applicndo il Teorem l cmpo F F î+f ĵ, ortogonle l cmpo F ottenimo F x + F dxdy F τ. 5 +

3 L integrle curvilineo l secondo membro di 5 divent F î ĵ τ F γt + F γt x tî + y tĵ dt + F γtî + F γtĵ y tî x tĵ dt L tesi risult così provt. In R 3 F γtî + F γtĵ F n e ds. Si Σ un superficie semplice regolre di R 3 prmetrizzt d y tî x tĵ x t + y t n e x t + y t dt ds σu, v xu, vî + yu, vĵ + zu, vˆk, u, v con regione limitt di R. I versori n in verso opposto. σ u σ v σ u σ v e n sono entrmbi normli ll superficie, diretti efinizione iremo che Σ è orientbile se per ogni rco chiuso che gice su Σ e prmetrizzto d γ : [, b] Σ risult nγ nγb, ossi dopo un giro completo il versore normle risult ncor puntto nello stesso verso. L scelt di n o n su tutt l superficie determin l orientzione di Σ, che si dice in tl cso superficie orientt. Su un superficie orientbile è possibile distinguere due lti e fissre un orientzione signific fissre un verso di ttrversmento dell superficie. Esempi di superfici orientbili sono le superfici crtesine. Per un superficie crtesin di equzione z fx, y il versore normle dto d punt sempre verso l lto. l esterno. n xf, y f, + f Per l sfer o per il toro i versori normli puntno verso l interno o verso Teorem 3 Teorem dell divergenz in 3 Si un sottoinsieme di R 3 limitto e semplice rispetto tutti e tre gli ssi crtesini, l cui frontier è costituit d superfici regolri e orientbili incollte lungo spigoli ; indichimo con n e il versore normle esterno. Si Fx, y, z F x, y, zî + F x, y, zĵ + F 3 x, y, zˆk un cmpo vettorile di clsse C A, con A perto contenente. Allor vle l formul Fdxdydz F n e dσ. 6 L espressione F F x + F + F 3 z si chim divergenz del cmpo F. L integrle di superficie l secondo membro di 6 è il flusso del cmpo F uscente dll frontier. Se F rppresent il cmpo di velocità di un fluido, il flusso rppresent l portt, ossi l quntità di fluido che ttrvers l superficie nell unità di tempo. L dimostrzione del Teorem 3 poggi sul seguente Lemm. 3

4 Lemm Si {x, y, z R 3 x, y, g x, y z g x, y}, con regione limitt di R e g, g : R funzioni di clsse C. Se f : A R è un funzione di clsse C in A perto contenente llor z dxdydz f ˆk n e dσ. 7 imostrzione. L obiettivo è trsformre i due membri dell identità 7 nell stess espressione. Comincimo dl primo membro e pplichimo l formul di integrzione per fili e poi il teorem fondmentle del clcolo integrle rispetto ll vribile z z dxdydz gx,y g x,y z dz dxdy fx, y, g x, y fx, y, g x, y dxdy. 8 Anlizzimo or l integrle l secondo membro di 7. L frontier di è costituit dll superficie lterle Σ l e dlle superfici crtesine Σ e Σ di equzioni z g x, y e z g x, y, rispettivmente. Su Σ l il versore normle è diretto orizzontlmente per cui ˆk n e 0. Pertnto f ˆk n e dσ f ˆk n e dσ + Σ f ˆk n e dσ. Σ 9 Su Σ il versore normle esterno punt verso l lto e dunque è dto d n e xg, y g, + g, per cui ˆk n e + g. Tenendo conto dell definizione di integrle di superficie bbimo f ˆk n e dσ fx, y, g x, y + g dxdy Σ + g fx, y, g x, ydxdy. L integrle di superficie su Σ si esplicit llo stesso modo, tenendo solo conto nel ftto che or l normle estern punt verso il bsso. Ciò comport un segno f ˆk n e dσ fx, y, g x, ydxdy. Σ Le formule 9, 0 e implicno f ˆk n e dσ che confrontt con 8 dimostr l tesi. fx, y, g x, ydxdy fx, y, g x, ydxdy In modo del tutto simmetrico, se è semplice rispetto ll sse y si può dimostrre dxdydz f ĵ n e dσ. Se è semplice rispetto ll sse x vle 0 x dxdydz f î n e dσ. 3 imostrzione del Teorem 3: Applicndo 3,, 7 lle funzioni componenti F, F e F 3 rispettivmente e sommndo le formule ottenute si h 6. 4

5 Osservzione. Il Teorem dell divergenz vle in insiemi più generli. È possibile considerre insiemi che sino decomponibili nell unione di un numero finito di sottoinsiemi due due disgiunti e semplici rispetto gli ssi crtesini, le cui frontiere sino superfici chiuse regolri pezzi e orientbili. Per enuncire il Teorem di Stokes, occorre prlre del bordo di un superficie. Lo fremo in un situzione semplifict. Si Σ un superficie regolre, prmetrizzt d σ : R R 3, dove R è l prte di pino rcchius d un rco regolre, semplice e chiuso. Supponimo che σ si biettiv in. Chimimo bordo di Σ e lo denotimo con Σ l immgine di medinte σ: Σ σ. Se è orientto positivmente, llor diremo che nche il bordo di Σ è orientto positivmente: Σ + σ +. Teorem 4 Teorem di Stokes o del rotore Si F un cmpo vettorile di R 3 di clsse C in un perto che contiene Σ. Allor F n dσ F τ 4 Σ Σ } + {{ } flusso del rotore di F ttrverso Σ circuitzione del cmpo F dove F è il rotore di F e n σ u σ v σ u σ v. Per stbilire l orientzione corrett del bordo si può procedere equivlentemente in questo modo che non necessit esplicitmente dell prmetrizzzione. Se si prte d un superficie Σ orientt con versore normle n, llor l orientzione dell superficie induce un orientzione, ossi un verso di percorrenz del bordo Σ secondo l seguente regol: un osservtore in piedi lungo n che si muove lungo Σ vede i punti dell superficie sinistr. Esistono superfici senz bordo, come l sfer, il toro. Queste si dicono chiuse. Il bordo di un superficie regolre pezzi è costituito dll unione degli spigoli che non pprtengono due fcce dicenti. Un sctol form di prllelepipedo è senz bordo. Osservzione. Il Teorem di Stokes è l versione in R 3 del Teorem di Green: Se l superficie Σ gice nel pino xy e il cmpo F è dell form Fx, y F x, yî + F x, yĵ, llor 4 non è ltro che. 5