SIMBOLI: Cn = CAPITALE FINALE O MONTANTE Co = CAPITALE INIZIALE Cm = CAPITALE INTERMEDIO r = SAGGIO DI INTERESSE I = INTERESSE t = TEMPO

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1 I SIMBOLI DELL INTERESSE SEMPLICE SIMBOLI: Cn = CAPITALE FINALE O MONTANTE Co = CAPITALE INIZIALE Cm = CAPITALE INTERMEDIO r = SAGGIO DI INTERESSE I = INTERESSE t = TEMPO 1

2 I= C 0 *r*t FORMULA GENERALE DELL INTERESSE SEMPLICE Co 1000 r 0,05 t 3 I 12,5 2

3 PROBLEMI DELL INTERESSE SEMPLICE CALCOLO: DEL CAPITALE FINALE O MONTANTE DEL CAPITALE INIZIALE DEL CAPITALE INTERMEDIO DELL INTERESSE DEL TEMPO DEL SAGGIO D INTERESSE DELLO SCONTO SOMME ECONOMICHE DELL INTERESSE COL METODO DEI DIVISORI FISSI 3

4 FORMULE PER CALCOLARE IL CAPITALE FINALE O MONTANTE IL CAPITALE FINALE SI OTTIENE SOMMANDO AL CAPITALE INIZIALE + L INTERESSE Si Si ottiene sostituendo nella f. f. g. g. ad ad IIil il suo suo valore: Co*r*t e raccogliendo al al fattore comune Cn= Cn= Co Co + Co*r*t) FORMULA GENERALE : Cn= Co + I se t = 1 anno la formula sarà: Cn= Co*(1 + r) FORMULA APPLICATIVA : Cn= Co*(1 + rt) Se t = mesi la formula sarà: Cn= Co*(1 + r*m/12) Se t = giorni la formula sarà: Cn= Co*(1 + r*g/360-5) 4

5 FORMULE PER CALCOLARE IL CAPITALE INIZIALE Co DATI: SAGGIO ( r) ; INTERESSE ( I) IL TEMPO ( t ) se t = 1 anno la formula sarà: Co= I/r FORMULA GENERALE DELL INTERESSE: I= Co*r*t Se t = mesi la formula sarà: Co= I*12/r*m Se t = giorni la formula sarà: Co= I*360-5/r*g 5

6 LA LA FORMULA GENERALE SI SI RICAVA MOLTIPLICANDO ILCOEFFICIENTE DI DI ANTICIPAZIONE 1/(1+ r*t) PER PER Cn FORMULE DEL C0 CONOSCENDO Cn Oppure dalla formula Cn= Co* (1+ r*t) FORMULA GENERALE : Co= Cn* 1/(1+ r*t) se t = 1 anno la formula sarà: Co= Cn*1/(1 + r) Se t = mesi la formula sarà: Co= Cn*1/(1 + r*m/12) Se t = giorni la formula sarà: Co= Cn*1/(1 + r*g/360-5) 6

7 FORMULE PER CALCOLARE IL SAGGIO DATI: CAPITALE INIZIALE ( Co ); IL TEMPO ( t ) INTERESSE (I) FORMULA GENERALE DELL INTERESSE: I= Co*r*t Se t = mesi la formula sarà: r= I*12/Co*m se t = 1 anno la formula sarà: r= I/Co Se t = giorni la formula sarà: r= I*360-5/Co*g 7

8 FORMULE PER CALCOLARE IL TEMPO ( t ) DATI: SAGGIO ( r) ; INTERESSE (I) CAPITALE INIZIALE (Co) FORMULA GENERALE DELL INTERESSE: I= Co*r*t Se t = mesi la formula sarà: m= I*12/Co*r se t = anni la formula sarà: n= I/Co*r Se t = giorni la formula sarà: g= I*360-5/Co*r 8

9 FORMULE DELLO SCONTO RAZIONALE Simboli: Scr sconto razionale Cn somma da scontare Co somma scontata r saggio di sconto t intervallo di tempo fra la scadenza e l incasso Formula generale Scr= Co*r*t Questa formula non è applicabile in quanto non si conosce Co, ricordando allora che Co è uguale a Cn*1/1+r*t si avrà: Scr=Cn*r*t/1+r*t Formule della somma scontata Co a) Co= Cn Scr b) Co= Cn* 1/(1+ r*t) 9

10 FORMULE DELLO SCONTO BANCARIO Simboli: Scb sconto bancario Cn somma da scontare Co somma scontata r saggio di sconto t tempo Somma scontata Co a) Co= Cn - Scb b) Co= Cn*(1 r*t) Formula generale Scb= Cn*r*t La La formula b si si ottiene dalla formula a sostituendo Scb con Cn*r*t e raccogliendo a fattore comune 10

11 DIFFERENZE FRA SCONTO MATEMATICO E BANCARIO LO SCONTO MATEMATICO SI CALCOLA SUL Co LO SCONTO BANCARIO SI CALCOLA SUL Cn PERTANTO Scb > Scm NELLO SCONTO MATEMATICO REINVESTENDO LA SOMMA SCONTATA Co PER LO STESSO PERIODO E ALLO STESSO TASSO SI RIOTTIENE LA SOMMA DA SCONTARE Cn NELLO SCONTO BANCARIO REINVESTENDO LA SOMMA SCONTATA Co PER LO STESSO PERIODO E ALLO STESSO TASSO NON SI RIOTTIENE LA SOMMA DA SCONTARE Cn 11

12 SOMME ECONOMICHE NEL CASO IN CUI BISOGNA SOMMARRE CAPITALI CHE SI HANNO IN EPOCHE DIVERSE È NECESSARIO TRASERIRLI TUTTI ALLA STESSA EPOCA POSTICIPANDOLI O ANTICIPANDOLI MOLTIPLICANDO IL LORO VALORE PER IL COEFFICIENTE: DI POSTICIPAZIONE (1 + r*t) Cn = Co * (1 + r*t) DI ANTICIPAZIONE (1/1 + r*t) Co = Cn* (1/1 + r*t) 12

13 RAPPRESENTAZIONE GRAFICA La fine di ogni mese coincide con l inizio mese successivo es. fine gennaio con l inizio di febbraio Valori positivi (entrate) o g f m a mg g l a s o n d Valori negativi (uscite spese) 13

14 RAPPRESENTAZIONE GRAFICA (esempio) Es. 100 euro il 30 gennaio; 50 euro il 15 giugno; 20 euro il 20 ottobre o g f m a mg 15 g l a s 20 o n d 14

15 SOMMA ECONOMICA DI CAPITALI IN UN MOMENTO INTERMEDIO DI UN PERIODO PER CALCOLARE LA SOMMA ECONOMICA IN UN MOMENTO INTERMEDIO Cm DEL PERIODO È NECESSARIO TRASFERIRE I VALORI ALLO STESSO MOMENTO. POSTICIPANDO I VALORI CHE SI TROVANO PRIMA DEL MONENTO DI RIFERIMENTO Cn = Co*(1 + r*t) ANTICIPANDO I VALORI CHE SI TROVANO DOPO IL MOMENTO DI RIFERIMENTO Co= Cn*1/(1 + r*t) 15

16 PARTICOLARI SOMME ECONOMICHE CAPITALE FINALE CON RATE MENSILI COSTANTI Alle volte è necessario procedere a sommare dei valori uguali che si ripetono ad intervalli regolari di tempo (1 mese, 2 mesi, 3 mesi, 4 mesi, 6 mesi). In questo caso, anziché portare singolarmente i diversi valori alla fine del periodo, è possibile risolvere velocemente il problema applicando la seguente formula: Cn = R*(K + r * K ± 1) 2 si si sottrae 1 se se la la rata rata è posticipata; si si somma 1 se se la la rata rata è anticipata: è anticipata: SIMBOLI E LORO SIGNIFICATO Cn capitale finale R valore di ogni rata K numero di rate che si hanno in un anno (n =12, 6, 4, 3, 2) 1 si sottrae nel caso di valori posticipati; 1 si somma nel caso di valori anticipati. 16

17 PARTICOLARI SOMME ECONOMICHE FORMULE INVERSE NOTO IL CAPITALE FINALE CALCOLARE IL VALORE DEL SAGGIO DI INTERESSE dalla la seguente formula: Cn = R*(K + r * K ± 1) si ricava: 2 Cn -K r= R K ±

18 PARTICOLARI SOMME ECONOMICHE FORMULE INVERSE NOTO IL CAPITALE FINALE CALCOLARE IL VALORE DELLA RATA dalla la seguente formula: Cn = R*(K + r * K ± 1) si ricava: 2 R= Cn K + r * K ±

19 CALCOLO DEGLI INTERESSI CON IL METODO DEI DIVISORI FISSI Questo metodo è consigliato quando il tempo è espresso in giorni e numerosi sono i capitali sui quali bisogna calcolare l interesse e si debba calcolarne la somma come nel caso dei conti correnti bancari Dalla formula generale per il calcola dell interesse: I= C0*r*t esprimendo il tempo in giorni, I= C0*r*g/360 Applicando la proprietà commutativa si ha: I= C0*g*r/360 da cui si ottiene: I= C0*g/360/r Il prodotto C0*g viene chiamato numero ed indicato con il simbolo N e rappresenta la parte variabile della formula. Il rapporto 360/r denominato divisore fisso ed indicato con il simbolo D ed è costante per ogni valore del saggio. La formula finale è I= N /D 19

20 Es. di calcolo degli interesse con il metodo dei divisori fissi Si calcolino gli interessi prodotti, al saggio del 6%, dei seguenti capitali nei relativi tempi capitali giorni Numero (N) C0*g Totale numeri D= 360/r = 3600:0,06= I=N/D = :6000=544,66 20

21 FORMULE DELL INTERESSE SEMPLICE incog nita Formula generale Tempo= 1 anno Tempo= mesi Tempo= giorni I Co * r * t Co * r Co * r * m/12 Co * r *g/360-5 Co I/ r * t I/ r I * 12/ r * m I * 360-5/ r * g t I/ Co * r I/ Co * r I * 12/Co * r I * 360-5/Co * r r I/Co * t I/Co I *12/Co* m I * 360-5/Co * g Cn Co *(1+r t) Co *(1+r ) Cn nel caso di rate mensili dello stesso importo Co*(1+r* m/12) Co * (1+ r * g /360-5) Cn = R*(K + r * K ± 1) 2 21

22 FORMULE DELL INTERESSE SEMPLICE relative allo sconto incognita Scm (matematico) Co somma scontata Scb (bancario) Co somma scontata Sm (mercantile) Formula generale Co * r * t Co= (Cn Scm) Cn*r*t Co= (Cn Scb) Cn*r Formule applicative Cn * r*t/1+r t Co= Cn*1/1+r t Cn*r*t Co= Cn*(1 r*t) Cn*r 22