Bruno Jannamorelli, traduzione ed edizione critica La potenza motrice del fuoco di Sadi Carnot, Cuen 1996, pp. 19 e 20. 2

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1 LA LEZIONE Lo studio di una macchina termica ideale [ ] Si può paragonare molto bene la potenza motrice del calore a quella di una cascata d acqua: entrambe hanno un massimo che non si può superare, qualunque sia, da una parte, la macchina impiegata per sfruttare l azione dell acqua e qualunque sia, dall altra, la sostanza impiegata per sfruttare l azione del calore. La potenza motrice di una cascata d acqua dipende dalla sua altezza e dalla quantità di liquido; la potenza motrice del calore dipende anch essa dalla quantità di calorico impiegata e [ ] dalla differenza di temperatura dei corpi tra i quali si compie lo scambio di calorico. 1 Scriveva così Sadi Nicholas Carnot nelle Riflessioni sulla potenza motrice del fuoco del Nell interpretazione odierna dell analogia tra ruota idraulica e macchina termica ideale (fig. 1), la quantità di massa dell acqua (una grandezza conservata) è il corrispettivo della quantità Q/T della sorgente a temperatura T, quindi il calorico di Carnot è tradotto come calore a temperatura costante. 2 fig.1 fig.2 Ma vediamo nel dettaglio il percorso che può portare a questa conclusione. Una macchina termica ideale scambia calore con due sorgenti di calore a temperatura costante (due serbatoi aventi capacità termica così elevata che la loro temperatura non subisca variazioni apprezzabili). La macchina produce lavoro verso l esterno compiendo un ciclo in cui ritorna allo stato iniziale (DU=0). Nella figura l ipotesi è che T 2 sia maggiore di T 1 (le temperature delle sorgenti) allora per le convenzioni adottate in precedenza, dal punto di vista del sistema-macchina termica, Q 2 è maggiore di zero mentre Q 1 è negativo. Il lavoro al termine del ciclo è per il primo principio della termodinamica uguale alla somma Q 2 +Q 1, valore più piccolo del solo calore fornito dalla sorgente a temperatura più alta, in accordo al secondo principio della termodinamica che prevede l impossibilità della trasformazione integrale del calore in lavoro. Una misura dell efficienza della macchina è rappresentata dal rendimento h il numero che esprime il rapporto tra il lavoro prodotto (lo scopo del dispositivo) e il calore fornito dalla sorgente calda. Il rendimento per le considerazioni precedenti è uguale a: h=l/q 2 =(Q 2 +Q 1 )/Q 2 =1+Q 1 /Q 2. 1 Bruno Jannamorelli, traduzione ed edizione critica La potenza motrice del fuoco di Sadi Carnot, Cuen 1996, pp. 19 e Al proposito si veda F. Bagnoli, A. Baracca Un introduzione didattica al concetto di entropia:

2 Ricordando che Q 1 è minore di zero il rendimento risulta un numero compreso tra zero e uno (generalmente si preferisce esprimere il numero decimale in percentuale e dunque 0%< h <100%). È possibile esplicitare un espressione del rendimento in funzione delle temperature assolute delle due sorgenti? La risposta è positiva se si adotta il punto di vista del sistema, considerato come un fluido ideale (gas perfetto) sottoposto a una trasformazione ciclica. Il ciclo, associato sempre al nome di Carnot, è composto (si veda la figura seguente) da due isoterme alle temperature T 1 e T 2 e da due adiabatiche (trasformazioni senza scambio di calore con l esterno). fig.3 Nella figura 4 vengono confrontate nel piano volume-pressione l iperbole che rappresenta l isoterma e la curva dell adiabatica. fig.4 Il lavoro, come spiegato nella lezione sul primo principio della termodinamica, può essere calcolato attraverso le misure di un area, utilizzando le equazioni dei gas perfetti si dimostra che il rendimento è una funzione delle sole temperature assolute (misurate nella scala kelvin) attraverso l espressione: h=l/q 2 =(T 2 -T 1 )/T 2 =1-T 1 /T 2. 3 Usando le due dimostrazioni, per una macchina ideale reversibile deve valere l uguaglianza: Q 1 /Q 2 =-T 1 /T 2. Ovvero: Q 1 /T 1 +Q 2 /T 2 = 0. Alla quantità Q/T è oggi associata la variazione di una grandezza del sistema chiamata entropia S tale che per il fluido in una trasformazione reversibile: DS 1 +DS 2 =DS tot =0. Il rendimento in una qualsiasi trasformazione irreversibile (DS tot >0) è inferiore a quello ideale del ciclo di Carnot: h = 1-T 1 /T 2. Inoltre il valore del rendimento ideale si massimizzerà per valori crescenti della sorgente calda T 2 rispetto a quelli della sorgente fredda a temperatura T 1. 3 Si può vedere il manuale di Amaldi, più volte citato.

3 Il ciclo inverso Se il secondo principio della termodinamica impedisce la trasformazione completa del calore in lavoro, ciò non significa che non si possa compiere la trasformazione inversa. Non solo, con una quantità piccola di lavoro è possibile invertire il processo naturale del calore che fluisce dal corpo a temperatura più elevata a quello a temperatura inferiore ottenendo una pompa che sposta il calore dalla sorgente fredda a quella calda, in analogia a una pompa idraulica che solleva il liquido. Con essa è possibile riscaldare un ambiente in inverno o raffrescare un appartamento d estate invertendo il ciclo della macchina termica (figura 5). Un dispositivo a ciclo inverso che raffredda piccoli ambienti per la conservazione del cibo è invece chiamato frigorifero (figura 6). fig.5 fig.6 Discutiamo subito lo schema analogo a quello della macchina termica in cui tutte le grandezze (ad eccezione ovviamente delle temperature) hanno segni opposti. Il sistema subisce un lavoro che permette di estrarre calore Q 1 dalla sorgente a temperatura inferiore T 1 e cedere calore Q 2 a quello a temperatura superiore T 2, come succede nel frigorifero dove il lavoro del compressore su un fluido frigorigeno e altri dispositivi fanno sì che la serpentina nel retro riscaldi l aria della stanza e quella interna, raffreddi i cibi disposti nell armadio. Se per semplicità consideriamo i moduli delle grandezze in gioco, deve valere per una pompa di calore: L + Q 1 = Q 2. 4 In altre parole si può cedere alla sorgente calda una quantità di calore maggiore del modulo di L, amplificando l effetto del lavoro grazie al calore proveniente dalla sorgente fredda. Ma come è possibile realizzare praticamente un processo di questo tipo? Nell immagine che segue è rappresentato un sistema di riscaldamento-condizionamento multisplit: una pompa di calore aria-aria. 4 Dal punto di vista del sistema solo la quantità Q 1 è positiva e per essa non sarebbe necessario utilizzare il simbolo di modulo.

4 fig.7 L unità esterna contiene un compressore (a potenza variabile), valvole, tubazioni per un fluido frigorigeno e un sistema di scambio termico con l aria esterna. Le unità interne, anch esse alimentate da elettricità, sono collegate con tubi riempiti del fluido a quella esterna e hanno un sistema di scambio termico e ventilazione di mandata. Lo schema del funzionamento della pompa di calore in inverno è raffigurato nell immagine che segue. fig.8 Nei mesi invernali lo scopo della pompa è riscaldare gli ambienti interni. Un fluido refrigerante (ad esempio la miscela di difluorometano CH 2 F 2 e pentafluoroetano C 2 HF 5, identificata dalla sigla R-410A) si trova nel circuito in parte nella fase vapore e in parte nella fase liquida. Il compressore aumenta la pressione del gas, mentre la valvola abbassa la pressione della miscela liquida. Il passaggio di stato da vapore a liquido (la condensazione) permette di riscaldare l ambiente interno, mentre quello di evaporazione avviene grazie al calore fornito dall aria esterna. Questa macchina di Carnot a ciclo inverso ha lo scopo di fornire all aria interna un calore Q 2 a spese di un lavoro L, quindi invece di definire un rendimento minore di 1 è preferibile introdurre un coefficiente di effetto utile (detto anche coefficiente di prestazione, coefficiente di resa, coefficiente di guadagno) indicato con la sigla COP (dall inglese coefficient of performance) dato dal rapporto: Q 2 / L. In analogia al procedimento già impiegato per la macchina termica, possiamo scrivere per un ciclo DU=0 e L = Q 2 - Q 1, dunque si può scrivere per il coefficiente di effetto utile COP= Q 2 /( Q 2 - Q 1 ). Se la pompa fosse anche realizzabile con trasformazioni reversibili (ciclo di Carnot inverso) allora le temperature assolute delle sorgenti prenderebbero il posto delle quantità di calore scambiate. Il coefficiente di prestazione teorico è pari al rapporto T 2 /(T 2 -T 1 ). Idealmente quindi una pompa di calore reversibile, operante tra la sorgente a

5 temperatura di 20 C (293 K) e quella dell aria esterna di 5 C (278 K), avrebbe un effetto utile massimo uguale a 293/( )=19,5. Ogni kw di potenza del compressore comporterebbe un flusso di calore pari a 19,5 kw. In realtà un dispositivo multisplit, nelle stesse condizioni di temperatura, ha un coefficiente di resa pari a 3 anche con compressori a potenza variabile (inverter). Altre pompe di calore possono raggiungere valori prossimi a 5 ovvero il lavoro elettrico è solo un quinto del contributo di calore fornito per il riscaldamento (gli altri 4/5 provengono dal calore sottratto dalla sorgente fredda esterna). Ovviamente il coefficiente di effetto utile cresce se le temperature delle due sorgenti non sono lontanissime (l inverso di quello che succede per il rendimento di una macchina termica). La presenza di sorgenti di bassa entalpia (acqua o rocce nel sottosuolo, o laghi nelle regioni europee più fredde) permette di realizzare delle pompe di calore geotermiche con una maggiore efficienza legata alla diminuzione del salto termico delle sorgenti.

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