Svolgimento di alcuni esercizi del libro Matematica di Angelo Guerraggio

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1 Svolgimento di alcuni esercizi del libro Matematica di Angelo Guerraggio. Funzioni e insiemi numerici.4 Verificare che (A B) (A B) = (A A ) B. ) Sia (a, b) (A B) (A B). Allora a (A A ) e b B, da cui (a, b) (A A ) B. ) Sia (a, b) (A A ) B. Allora (a, b) (A B) oppure (a, b) (A B), da cui (a, b) (A B) (A B)..5 Verificare che (A c ) c = A. ) Sia a A. Dalla definizione di insieme complementare, a / A c e dunque a (A c ) c. ) Sia a (A c ) c. Ancora per la definizione di insieme complementare, a / A c e a A..6 Verificare le leggi di De Morgan: i) (A B) c = A c B c ; ii) (A B) c = A c B c. Punto i), (A B) c = A c B c. ) Sia a (A B) c. Allora a / A B e dunque a / A e a / B, cioè a A c e a B c, ovvero a A c B c. ) Sia a A c B c. Allora a A c e a B c, ovvero a / A e a / B, ovvero a / A B, che implica a (A B) c. Punto ii), (A B) c = A c B c. ) Sia a (A B) c. Allora a / A B, da cui i casi possibili sono:

2 a A e a / B a B c ; a / A e a B a A c ; a / A e a / B a A c e a B c. In tutti e tre i casi, a A c B c. ) Sia a A c B c. I casi possibili sono: a A c, a / B c a / A, a B; a / A c, a B c a A, a / B; a A c, a B c a / A, a / B. In tutti e tre i casi a / A B e dunque a (A B) c..8 Determinare la funzione inversa di: i) f(x) = 3x + 5 iii) f(x) = 3 x + i) Il grafico della funzione y = 3x + 5 è naturalmente una retta. Poichè si vede che la funzione data è strettamente crescente, è invertibile nel suo dominio. Per calcolare l inversa, esplicito rispetto a x l equazione data. Da 3x = y 5 si ricava x = 3 y 5 3. iii) Esplicitando rispetto a x si ottiene: x + = y 3 e dunque x = y 3..0 Stabilire se la funzione f : R R definita da f(x) = (x + ) è invertibile su tutto R. Altrimenti determinare il più grande intervallo contenente il punto x = 0, tale che la restrizione di f a questo intervallo sia invertibile, e scrivere la funzione inversa. La funzione f(x) = (x+) non è invertibile su R. E, per esempio, f(0) = f( ) = e la funzione non risulta iniettiva.

3 Il più grande intervallo contenente x = 0 su cui f è iniettiva è [, + ). Per x in tale intervallo, esplicitando l equazione y = (x+) rispetto a x, si ottiene y = x + ovvero x = y. Si conclude che f (y) = y.. Dimostrare per assurdo le seguenti proposizioni: i) 6 / Q ii) + 3 / Q (suggerimento: porre α = + 3). i) Per assurdo, m m n Q tale che = 6, ovvero m = 6n. Si osserva n che 6 = 3 e per l unicità della scomposizione in fattori primi, al primo membro (m ), sia il fattore che 3 non compare o compare un numero pari di volte, mentre al secondo membro sia che 3 compaiono un numero dispari di volte. Si conclude che l uguaglianza m = 6n è assurda e dunque 6 / Q. ii) Sia α = + 3 e per assurdo α Q. Allora da cui α = ( + 3) = = α 5 Q e questo contraddice i). Si conclude che α = + 3 / Q. 3. Le funzioni elementari 3. Scrivere l equazione della retta passante per i punti di coordinate (, ) e (, 0). L equazione di una retta passante per i due punti di coordinate (x, y ) e (x, y ) è y = y + y y x x (x x ). Dunque, posto (x, y ) = (, ) e (x, y ) = (, 0), y = + 0 ( ) (x ( )) = (x + ) 3 3 = 3 x + 3.

4 3.6 Siano y = x+5 e y = x+7. Scrivere l equazione della retta passante per il punto di intersezione di y e y e parallela alla retta di equazione y 3 = x +. Il punto di intersezione tra le rette di equazione y e y è soluzione del sistema: { y = x + 5 y = x + 7 ovvero ha coordinate ( 3, 9 ) 3. Il coefficiente angolare richiesto è m =. L equazione della retta in questione è dunque: y = ( x ) = 3 x Scrivere l equazione della parabola (con asse parallelo all asse y) passante per i punti di coordinate (0, 0), (, ) e (, 4). Una generica parabola con asse parallelo a quello delle y ha per equazione f(x) = ax + bx + c. Costruisco un sistema di tre equazioni imponendo il passaggio per i tre punti dati, per calcolare i coefficienti a, b e c. c = 0 a + b + c = 4a b + c = 4 Il sistema è soddisfatto per a =, b = 0, c = 0 e dunque l equazione della parabola richiesta è f(x) = x. 3.6 Stabilire quali tra le seguenti funzioni sono pari o dispari i) f(x) = x 4 x ii) f(x) = x 3 x + iii) f(x) = x x iv) f(x) = x + cos x v) f(x) = e x + e x vi) f(x) = e x e x i) Il campo di esistenza di f(x) = x 4 x è R, dunque simmetrico rispetto all origine. Si tratta di una funzione pari. Infatti: f( x) = ( x) 4 ( x) = x 4 x = f(x). ii) Il campo di esistenza di f(x) = x 3 è R, dunque simmetrico rispetto x + all origine. Si tratta di una funzione pari: f( x) = ( x) 3 ( x) + = x 3 x + = f(x). 4

5 iii) Il campo di esistenza di f(x) = x x è (, 0) (0, + ), dunque simmetrico rispetto all origine. Si tratta di una funzione dispari. Infatti f( x) = x x = x + ( x = x ) = f(x). x iv) Il campo di esistenza di f(x) = x +cos x è R, dunque simmetrico rispetto all origine. Si tratta di una funzione pari: f( x) = ( x) + cos( x) = x + cos x = f(x). 3.3 Determinare il campo di esistenza delle seguenti funzioni: i) f(x) = x 3x ii) f(x) = log(x + 3) iii) f(x) = x 4x iv) f(x) = log log x i) Per ottenere il campo di esistenza è necessario imporre la condizione x 3x 0 ovvero: x(x 3) 0 x 0 e x 3. Il campo di esistenza è (, 0) (0, 3) (3, + ). ii) Per ottenere il campo di esistenza è necessario imporre la condizione x + 3 > 0 soddisfatta per x > 3. Il campo di esistenza è ( 3, + ). iii) Per ottenere il campo di esistenza è necessario imporre la condizione x 4x 0. Il campo di esistenza è (, 0] [4, + ). iv) Per ottenere il campo di esistenza è necessario imporre le condizioni: { x > 0 log x > 0 ovvero { x > 0 x >. Si conclude che il campo di esistenza è (, + ) Determinare l insieme delle immagini delle seguenti funzioni i) f(x) = x 5 ii) f(x) = x+ x 5

6 iii) f(x) = { x, se x > 0 x + 4x + 3, se x 0 i) f(x) = x 5. Si tratta di una parabola con la concavità rivolta verso il basso. Per individuare l insieme delle immagini, è necessario calcolare le coordinate del vertice, cioè x v = b a = 0 e f(x v) = 5. Si conclude che l insieme delle immagini è l intervallo (, 5]. ii) f(x) = x+ x. Si tratta di un iperbole equilatera. Calcoliamo il centro di simmetria: C = (, ). Si conclude che l insieme delle immagini è (, ) (, + ). iii) L insieme delle immagini di g(x) = x per x > 0 è l intervallo (0, + ). La parabola di equazione y = x + 4x + 3 ha vertice di coordinate x v = 4 = e f(x v) =. Osservo che x v = < 0, dunque fa parte del campo di esistenza e la parabola ha la concavità rivolta verso l alto. L insieme delle immagini della parabola è dunque [, + ). Concludiamo che l insieme delle immagini della funzione f(x) è [, + ) Determinare il numero di soluzioni dell equazione: 4 x = ( ) x. e Il primo membro rappresenta una parabola con la concavità rivolta verso il basso, con vertice x v = b a = 0 e f(x v) = 4. Il secondo membro è una funzione esponenziale con base minore di. Dal confronto grafico si evince che l equazione data ammette due soluzioni. 6

7 3.4 Sia f : R R definita da f(x) = 3x 3 + 7x x 8. Calcolare f(), dedurre una fattorizzazione di f(x) e risolvere in R l equazione f(x) = 0. Per sostituzione si ottiene f() = 0. Si deduce che il polinomio dato è divisibile per il binomio (x ). Scomponiamo il polinomio grazie al teorema di Ruffini: Si deduce che f(x) = 3x 3 + 7x x 8 = (x )(3x + 0x + 8) e le soluzioni di f(x) = 0 sono, e Determinare l insieme dei numeri reali strettamente positivi soluzione dell equazione log x + 3 = (log x + log 3). Per le proprietà dei logaritmi, l equazione data è equivalente a: log x + 3 = log(3x) ovvero a x + 3 = (3x). Elevando al quadrato entrambi i membri (x + 3) = 4(3x) da cui segue x = Risolvere l equazione log ( + x) = log ( x). I valori della variabile indipendente accettabili come soluzione dell equazione data, risolvono il sistema: { + x > 0 x > 0, ovvero x (, ). Poichè log a x = log x log a, l equazione data equivale a: log ( + x) log = log ( x) log ( + x) = log ( x) + x = x. Si tratta di risolvere l equazione { di secondo grado x x = 0. Si conclude } che l insieme delle soluzioni è 5,

8 3.5 Risolvere le seguenti disequazioni di primo e secondo grado v) 7x 7x 84 0 vi) x x + 0 vii) 3(x ) < (x + ) 6x + 4 viii) (x + ) 4x x + 4 v) Si calcola il discriminante = = 40 > 0, le radici x, = 7±49 4, sono x = 3 e x = 4. Si conclude che la disequazione data è soddisfatta per x 3 e x 4. vi) La disequazione data è equivalente a x + x 0, soddisfatta per x e x. vii) Da 3(x ) (x + ) + 6x 4 < 0, segue x + 5x < 0 ovvero x 5x + > 0. Il discriminante è = 5 44 = 9 < 0. Si conclude che la disequazione data è soddisfatta per ogni x R. viii) La disequazione x x 4x x + 4 è soddisfatta per ogni x R Risolvere le seguenti disequazioni razionali fratte: i) x x x + x ii) x x 4 > i) La disequazione si può riscrivere come: x x(x ) x 0 equivalente a x + x(x ) 0. Numeratore: x + 0 x. Denominatore: x(x ) > 0 x < 0 e x >. Riepilogando i segni di numeratore e denominatore: 0 x x + + N) D) si conclude che la disequazione data è soddisfatta per x e 0 < x <. 8

9 x ii) > 0 è equivalente a: x 4 x x + 8 x 4 > 0. Studio separatamente il segno di numeratore e denominatore: numeratore: x x + 9 > 0 per 73 4 < x < Denominatore: (x + )(x ) > 0 x < e x >. Riepilogando i segni di numeratore e denominatore x x x x + + N) D) si conclude che la disequazione data è soddisfatta per 73 4 < x < e < x < Risolvere i seguenti sistemi di disequazioni: i) 3x 0 x x 0 iii) x+ 4 + x 3 < x x 3 + > 5x 3 x x + 0 i) La prima disequazione del sistema, è soddisfatta per 3x x 3. La seconda disequazione è soddisfatta per x e x. Si conclude che il sistema è risolto per x. iii) Prima disequazione: x+ 4 + x 3 x 4 3 < 0 per x < 6. Seconda disequazione: 3x 3 + 5x 3 > 0 per x < 9. Terza disequazione: x x + > 0 per ogni x R. Il sistema è risolto per x < Risolvere le seguenti disequazioni irrazionali: ii) x+ v) x iv) x 8 x x + 4x 0 ix) 3x + 3x x 7x + < 0 9

10 ii) Considero la disequazione equivalente x + x nel campo di esistenza x > 0. Le soluzioni della disequazione sono le soluzioni del sistema: x > 0 x + > 0 (x + ) x Si conclude che l insieme delle soluzioni della disequazione proposta è x > 0. iv) L insieme delle soluzioni della disequazione data è unione delle soluzioni dei due seguenti sistemi: { x 5 0 x 8 < 0 { (x 8) x 5 x 8 0. Il primo sistema è risolto per 5 x < 4 e per x 5. Il secondo sistema è risolto per 4 x 3 3. L unione delle soluzioni è 5 x 3 3 e x 5. v) 3 + x + 4x. Poichè i radicandi sono somme di quantità positive, la disequazione data equivale a: 3 + x + 4x ovvero 3x 0 soddisfatta per 3 x 3. ix) 3x + 3x < x 7x +. Si scrive il sistema: 3x + 3x 0 x 7x + 0 3x + 3x < x 7x +. Si conclude che l insieme delle soluzioni della disequazione proposta è 6 < x e 0 x < Risolvere le seguenti disequazioni esponenziali e logaritmiche: iv) e x +4x vi) e x +7x+5 > e x x) e x 3 e x 4 xii) log(x 4x + 48) > 0 xiv) 3 x 3 x+ + 6 > 0 xvi) e x (x ) 3 0 0

11 iv) e x +4x e x +4x e 0 x + 4x 0 x 4 e x 0. vi) e x +6x+8 > e ex +6x+8 > e x + 6x + 8 > x + 6x + 9 > 0 (x + 3) > 0 x 3. x) La disequazione data è equivalente a e x + 3 e x 4 0. Il numeratore è non negativo per x 0 e x log 3. Denominatore: e x 4 > 0 x > log. Si conclude che l insieme delle soluzioni è 0 x log 3 e x > log. xii) xiv) log(x 4x + 48) > 0 log(x 4x + 48) > log e per la monotonia della curva logaritmica, il sistema da risolvere è { x 4x + 48 > 0 x 4x + 48 >. Basta risolvere la seconda equazione. Si conclude che l insieme delle soluzioni è (, 7 ) (7 +, + ). 3 x 3 x+ + 6 > 0 3 3x 3 3 x + 6 > 0 ( 3 x 8 ) > x < 8 3 x < 3 4 x < 4. xvi) Si tratta del prodotto di due fattori, il primo dei quali è sempre positivo mentre il secondo: La soluzione finale è x. (x ) 3 0 x 0 x.

12 3.59 Risolvere, con il metodo grafico, le seguenti disequazioni iii) log x > x x v) x + x x x+ + 0 iii) Si tratta di confrontare la funzione logaritmo in base e con un iperbole equilatera, il cui centro di simmetria è (, ). Come si vede dal grafico non ci sono intersezioni tra le due curve e la curva logaritmica si trova al di sopra dell iperbole per x >. v) Riscrivo la disequazione come: x + x + x x +. La parabola x + x + = (x + ) interseca l asse delle ascisse nel punto x = e il suo vertice ha coordinate (, 0). L iperbole equilatera ha centro di simmetria (, ). Come si vede dal grafico, esiste una sola intersezione nel punto di ascissa α ( 3, ) e l equazione è risolta per x α e x > Risolvere le seguenti disequazioni trigonometriche nell intervallo [0, π): i) senx > iv) (cos x) + sen x 0

13 i) Dal confronto grafico tra la funzione f(x) = sen x e la retta y =, itatamente all intervallo [0, π) si ricavano le soluzioni 0 x < 7 6 π, 6 π < x < π. iv) L identità fondamentale della trigonometria sen x+cos x =, permette di riscrivere la disequazione come: sen x + sen x 0 equivalente a senx[ sen x] 0. Il secondo fattore è sempre positivo. Dunque il segno dipende dal primo fattore: 0 x π. 4. Le funzioni quasi elementari 4.3 Determinare l estremo superiore e l estremo inferiore, precisando se essi sono anche, rispettivamente, massimo e minimo, di A A = {a : a A} essendo A = (, ]. A A = [0, 4]; sup(a A) = max(a A) = 4, inf(a A) = min(a A) = Determinare l estremo superiore e l estremo inferiore, precisando se essi sono anche, rispettivamente, massimo e minimo, di A + B e A B essendo A = [, ) e B = { n}. Si ha inf A = mina =, mentre sup A =. Dato l insieme B = { 0,, 3,...}, si ha inf B = minb = 0, mentre sup B =. Si ricava che sup(a+b) = + = (x = non è però massimo) e inf(a+b) = + 0 = = min(a + B). Analogamente sup(a B) = (x = non è però massimo) e inf(a B) = (x = non è però minimo). 4.5 Determinare per ciascuno dei seguenti insiemi l estremo superiore e l estremo inferiore, precisando se essi sono anche, rispettivamente, massimo e minimo: 3

14 A = { 3 n : n N \ {0}} { } B = n + n : n N \ {0} C = { n + ( )n : n N \ {0} } L insieme A è formato dai numeri,,, 5 4, 7 5,... e si vede che inf A = mina =, mentre sup A =. Dalla rappresentazione di B = {, 5 4, 5 3, 7 8, 3 5, 37,...}, si deduce che inf B = minb = mentre sup B = +. L insieme B non ha massimo. Si può pensare l insieme C come D E dove: { } D = + : n N \ {0}, pari n E = { } : n N \ {0}, dispari. n L insieme D è formato dagli elementi 3, 5 4, 7 6,... ovvero ha per estremo superiore e massimo 3, mentre inf D =. L insieme E è formato dagli elementi 0, 3, 4 5,... e pertanto il suo estremo superiore e massimo è 0, mentre inf E =. Si conclude che supc = max C = 3, mentre inf C =. L insieme C non ha minimo. 4.7 Determinare l insieme dei minoranti e quello dei maggioranti dell insieme dei valori assunti dalle funzioni: i) f(x) = e x iii) f(x) = x + 3x + i) L insieme delle immagini della funzione f(x) = e x è l intervallo (0, + ). L insieme dei minoranti è (, 0], quello dei maggioranti è vuoto (poichè non esiste alcun numero reale maggiore di + ). iii) La funzione rappresenta una parabola con la concavità rivolta verso il basso. Il suo vertice è il punto di coordinate ( 3, ) e dunque l insieme delle immagini è (, ]. L insieme dei minoranti è vuoto mentre l insieme dei maggioranti è l intervallo [, + ). 4.8 Determinare il massimo e il minimo dei valori assunti dalle seguenti funzioni sull intervallo [, 3]: 4

15 iii) f(x) = x + 3x iii) La parabola ha vertice di ascissa x v = 3 [, 3] e concavità rivolta verso il basso. Dunque nell intervallo [, 3] la funzione assume massimo nel vertice f ( ) 3 = 4 e minimo in uno dei due estremi dell intervallo di definizione. Calcolando tali valori, f( ) = 6 e f(3) =, si conclude che il valore minimo della funzione è Determinare i punti interni, di accumulazione, di frontiera e isolati dei seguenti insiemi: i) { x R : x < } ii) { n, n N \ {0}} [, ) i) L insieme dato è [, 0) (0, ). I punti interni sono (, 0) (0, ), i punti di accumulazione sono [, ], i punti di frontiera sono {, 0, }, mentre non ci sono punti isolati. ii) L insieme dei punti interni è: (, ), l insieme dei punti di accumulazione è [, ], i punti di frontiera sono { n : n N \ {0}} {, }, mentre i punti isolati sono { n : n N \ {0}}. 4.4 Stabilire se i seguenti insiemi sono aperti o chiusi: A = {x R : e x } B = {x R : log(x + 5) < 0} Poichè e x = per x = 0, e x = per x = log e la funzione esponenziale è strettamente crescente, A = [0, log ] che è un insieme chiuso. La funzione f(x) = log(x + 5) è definita per x > 5 e log(x + 5) < 0 per x < 4. Pertanto l insieme B è uguale a ( 5, 4) che è un aperto. 4.5 Determinare il numero delle soluzioni dell equazione x x 3 = 4. Nel grafico sono rappresentate in nero f(x) = x 3 e in rosso f(x) = x 4. L equazione data, equivalente a x 4 = x 3, ammette due soluzioni. 5

16 4.9 Risolvere le seguenti equazioni: i) 3 x + = 7 vi) x 00 = 3x + 30 i) L equazione data è equivalente a x + = ± 7 3 soluzioni, x = 0 3 e x = 4 3. vi) Dalla definizione di modulo, otteniamo: e dunque ammette, come x 00 { x 00, se x 00 0 = 00 x, se x 00 < 0 { x 00, se x 0 e x 0 = 00 x, se 0 < x < 0. Per x (, 0] [0, + ), l equazione data equivale a x 00 = 3x+30, ovvero x 3x 30 = 0, da cui si ricavano le soluzioni x = 0 e x = 3. Per x ( 0, 0), l equazione data equivale a 00 x = 3x+30, ovvero x + 3x 70 = 0, da cui x = 0 e x = 7. Si conclude che la disequazione originaria è risolta per x = 0, x = 7 e x = Risolvere le seguenti disequazioni: i) x + 4 < 8 iv) x+ x 4 6

17 i) La disequazione data è risolta se e solo se 8 < x + 4 < 8 ovvero < x < 4. iv) Il campo di esistenza è dato dalla condizione x 4 0 verificata per x ±. Le soluzioni sono date da { x R : x + } { x 4 x R : x + } x 4. Considerando il primo insieme, x + x 4 x + + x 4 x 0 x + x 3 4 x 0. 4 Il numeratore è positivo per x 3 e x. Il denominatore è positivo per x < e x >. Riepilogando i segni di numeratore e denominatore, otteniamo: N) D) Il primo insieme è dato da [ 3, ) [, ). Consideriamo ora il secondo insieme: x + x 4 x + x + 4 x 0 x + x x 0. 4 Il numeratore è positivo per 6 x + 6. Il denominatore è positivo per x < e x >. Riepilogando i segni di numeratore e denominatore, otteniamo: D) N) Il secondo insieme è dato da (, 6 ] (, + 6 ]. La disequazione data è risolta per ( x [ 3, ), ] ( 6 [, ), + ] 6. 7

18 4. Risolvere le seguenti disequazioni: i) x + x 4 > i) Le soluzioni della disequazione sono date da: {x R : x + x 4 < } {x R : x + x 4 > } {x R : x + x < 0} {x R : x + x 6 > 0}. Il primo insieme equivale a ( 5, + 5). Il secondo insieme è dato da (, 3) ( + 3, + ). Riepilogando su uno stesso grafico, x x x x si conclude che la disequazione data è risolta per x < 3, 5 < x < + 5 e x > Risolvere le seguenti disequazioni: i) x + 3 > x + i) Il campo di esistenza è R poichè il radicando non è mai negativo. Le soluzioni sono date da: x + 0 x + < 0 x x (x + 3) > x + x x 3 x + 5x + 8 > 0 (x + 3) > x x < x 3 Il primo sistema è risolto per x. Il secondo sistema è risolto per < x <. Infine, la disequazione data è risolta per x >. 8 x + 7x + 0 > 0

19 4.3 Risolvere le seguenti disequazioni con modulo: iv) e x e x v) log x + 3 log(x + ) 0 iv) L insieme delle soluzioni è dato dall unione delle soluzioni dei due sistemi: { x 0 e x e x { x < 0 e x e x { x 0 e x { x < 0 La disequazione data è vera per x 0. e x e x e x 0. v) La disequazione è definita in (, + ). In tale intervallo, grazie alla monotonia della curva logaritmica, equivale a x + 3 x +, risolta per ogni x. Si conclude che l insieme delle soluzioni è (, + ). 4.4 Risolvere graficamente le seguenti disequazioni: ii) x + 3x + < ii) Come si vede dal grafico, la funzione f(x) = 3x + (linea nera) incontra il grafico dell iperbole equilatera di equazione g(x) = x (linea rossa) in un punto α, con < α <. La disequazione è risolta per α < x < 0. 9

20 4.5 Risolvere graficamente le seguenti disequazioni: ii) x(x 3) + log x 0 ii) Come si vede dal grafico, la funzione f(x) = log x (linea nera) incontra il grafico della parabola di equazione g(x) = x +3x (linea rossa) nel punto x = 0 e nel punto α, con < α < 3. La disequazione è risolta per x 0 e x α. 4.6 Risolvere graficamente le seguenti disequazioni: ii) e x x 3 > ii) Come si vede dal grafico, la funzione f(x) = x 3 (linea nera) incontra il grafico della funzione g(x) = e x (linea rossa) in tre punti, α, β e γ, con < α < e < β < γ <. La disequazione è risolta per α < x < β e x > γ. 0

21 5. Una parentesi discreta 5.3 Stabilire se i seguenti insiemi sono finiti, infiniti numerabili o infiniti con la potenza del continuo: A = { n n, n 7}, B = { n n, 0 < n 5}. L insieme A, formato dagli elementi { 3 7, 5 8, 7 9,...} è infinito numerabile. L insieme B è finito. Esso contiene gli elementi { 0, 4, 3, 3 8, 5}. 5.6 Per ognuna delle seguenti successioni, esprimere s n in funzione di n: { s0 = { s0 = i) s n = s n + 5 iii) s n = 5s n i) Si ha: s = + 5 s = = + 5 s 3 = = s n = + 5n iii) Si ha: s = 5 s = 5 5 s 3 = s n = 5 n 5.7 Data la successione { s0 = 4 s n+ = sn+4 s n+ calcolare s, s, s 3. Esprimere s n+ in funzione di s n. Si ha: s = s s 0 + = = 8 5 ;

22 Infine: s = s s + = s 3 = s s + = = = s n+ = s n+ + 4 s n+ + ; s n+ = s sn+4 n+ + 4 s n+ + = s + 4 n+ s n+4 s + = n+ = 8 3 ; = = s n+4+4s n+4 s n+ s n+4+s n+ s n+ = 5s n + 8 s n Per ognuna delle seguenti successioni, dire se è itata o ilitata, crescente o decrescente: i) {s n } = { log ( + n )} ii) {s n } = { } e + n i) I primi termini della successione sono: s = log s = log 3 s 3 = log 4 3 s 4 = log La successione assume valori sempre più piccoli (ricordando il grafico della funzione f(x) = log x, con x R). Si conclude che la successione è itata sia inferiormente (da log = 0) sia superiormente e decrescente. ii) I primi termini della successione sono: s = s = e s 3 = e 3 s 4 = e La successione è itata, poichè non assume valori più grandi di e più piccoli di 0 ed è decrescente (strettamente).

23 5. Calcolare D 4, + P 3 + C 7,3. ( ) D 4, + P 3 + C 7,3 = = ! 3!6! = = = Risolvere, per n N, l equazione D n, + D n,3 D n+, = 0. Si ha: D n, + D n,3 D n+, = n + n(n )(n ) (n + )n(n ) + 55 = n + (n n)(n ) (n + n)(n ) + 55 = n + n 3 3n + n n 3 + n + 55 = 3n + 4n + 55 = 0. Calcoliamo il discriminante di 3x + 4x + 55 = 0 con x R, ovvero = = 69 e le radici x, = ±3 3 e concludiamo che la soluzione è n = Verificare che n = 3 è soluzione dell equazione C n, + 3C n,3 = C n,. Sostituendo n = 3, si ha: C n, + 3C n,3 C n, = C 3, + 3C 3,3 C 3, = 3!! + 33! 3! 3!! = = Gli abitanti di una città crescono ogni anno del 3%. Nel 007 la popolazione era di abitanti. Calcolare il numero di abitanti previsto per il 00. Il numero di abitanti previsto per il 008 è ( + 0, 03), nel 009 è ( + 0, 03)( + 0, 03) mentre nel 00 è ( + 0, 03) 3 = circa Calcolare il numero di possibili anagrammi della parola numero. P 6 = 6! = 70. 3

24 5.33 Calcolare il numero di possibili anagrammi della parola topologia. P,3,,,,, = 9! 3! = Calcolare quanti sono i numeri di quattro cifre, tutte fra loro diverse, divisibili per cinque. Un numero è divisibile per cinque se l ultima cifra, quella delle unità, è zero oppure cinque. Distinguiamo i due casi: ultima cifra zero e ultima cifra cinque. Se l ultima cifra è zero, la prima la posso scegliere in 9 modi diversi, la seconda in 8 e la terza in 7; dunque i numeri di quattro cifre tra loro diverse che terminano con zero sono: D 9,3 = = 504. Se l ultima cifra è cinque, allora la prima cifra la posso scegliere in 8 modi diversi (non posso considerare lo zero, altrimenti non avrei più un numero di quattro cifre), la seconda in 8 modi diversi e infine la terza in 7; dunque i numeri di quattro cifre diverse che terminano con cinque sono: D 8, D 8, = = 448. Sommando, si ottiene il numero cercato: = Stabilire quanti sono i numeri composti da 3 cifre distinte e ordinate per valori decrescenti. I numeri formati da 3 cifre distinte sono tanti quante le disposizioni semplici di 0 oggetti (le cifre da 0 a 9) di classe 3: D 0,3 = 70, se si considerano anche gli allineamenti la cui prima cifra è 0. Se tutti questi numeri vengono suddivisi in gruppi di 3! elementi, in modo che ad ogni gruppo appartengano tutti e soli i numeri composti dalle stesse cifre, si vede che in ogni raggruppamento c è solo un numero che soddisfa la condizione che le cifre siano ordinate per valori decrescenti. Il numero cercato è pertanto D 0,3 3! = C 0,3 = Determinare il numero di possibili applicazioni da un insieme A composto di 4 elementi, in un insieme B costituito da 5 elementi. Si tratta delle disposizioni con ripetizione D 5,4 = 54 = Dati punti di un piano, tre dei quali non risultano mai allineati, calcolare quante rette si possono tracciare congiungendo i punti a due a due. Sono le combinazioni semplici C, = ( ) = 66. 4

25 5.53 Calcolare quante parole di 4 lettere (anche prive di significato) si possono costruire con le lettere dell alfabeto senza doppie, ovvero senza che due lettere uguali siano consecutive = Mauro ha 5 libri di Analisi, 5 di Geometria e 6 di storia della Matematica. Calcolare in quanti modi può allinearli su uno scaffale, in modo che i libri di uno stesso argomento siano vicini. I 5 libri di Analisi possono essere ordinati in 5! modi diversi, quelli di Geometria in 5! modi e quelli di storia della Matematica in 6! modi. Infine Mauro deve decidere come ordinare i tre gruppi (per esempio, prima Analisi; poi Geometria e infine storia della Matematica) e lo può fare in 3! modi. In totale Mauro può disporre i suoi libri in P 5 P 5 P 6 P 3 = 5!5!6!3! modi diversi Scegliendo a caso un numero intero compreso tra 4 e 0 (4 e 0 esclusi), calcolare la probabilità che sia un numero divisibile per o per 3. Tra 4 e 0 (4 e 0 esclusi) ci sono 5 numeri. Quelli che non sono divisibili nè per due nè per tre sono : 5, 7,, 3, 7, 9 ovvero 6 numeri. La probabilità cercata è: 9 5 = 3 5 = 0, Su un campione di 30 persone, qual è la probabilità che non vi siano persone nate nello stesso giorno dell anno (supponendo un anno sempre formato da 365 giorni)? Le possibili date di nascita sono tante quante le disposizioni (con ripetizione) di 30 oggetti scelti tra 365. I casi favorevoli sono quelli in cui non ci sono persone nate nello stesso giorno e pertanto sono tanti quanti le disposizioni precedenti, considerate però senza ripetizioni. La probabilità richiesta è: p = (365) Calcolare la probabilità che, lanciando due dadi (non truccati), i) la somma delle facce sia ; ii) la somma delle facce sia 3. 5

26 i) La somma delle facce è due solo se esce e. La probabilità che per il primo dado esca è 6. Moltiplicandola per la probabilità che anche per il secondo dado esca, si ha 6 6 = 36. ii) Si ottiene 3 come + oppure +. In entrambi i casi, la probabilità è 6 6. Dunque la probabilità cercata è = La definizione di ite 6. Calcolare, se esiste, il ite di s n = ( ) n, per n +. Il ite di s n per n + non esiste. Infatti, se consideriamo n pari, la corrispondente successione delle immagini è costante e vale, mentre per n dispari vale. I due comportamenti diversi per n + della funzione permettono di concludere che il ite non esiste. 6.4 Calcolare, se esiste, il ite per x + di: { x, se x Q f(x) =, se x R \ Q. Il ite di f(x) per x + non esiste. Per esempio, per s n = n, n N, la corrispondente successione delle immagini tende a, mentre per s n = nπ, n N, tende a. n+cos n 6.6 Calcolare, utilizzando il teorema del confronto, n + n. Vale la seguente catena di disuguaglianze: 0 n + cos n n n + n = n. Osservando che n + uguale a zero. n = 0, si conclude che anche il ite proposto è 6.7 Calcolare, utilizzando il teorema del confronto, x 0 x ( 3 + cos x). Poichè i valori della funzione coseno sono compresi fra e, abbiamo: 0 cos x. In particolare, valgono le seguenti disuguaglianze: ( 6x x 3 + cos ) 8x, x e poichè le funzioni y = 6x e y = 8x tendono a 0 per x 0, si ha: ( x 3 + cos ) = 0. x 0 x 6

27 6. Dare un esempio di funzione sempre positiva ma il cui ite, per x ±, non è positivo. Per esempio la funzione f(x) =, definita su tutto l asse reale, x + è sempre positiva poichè rapporto di quantità sempre strettamente maggiori di zero, ma il suo ite, per x ±, è zero. 6.4 Individuare il comportamento di f(x) = x 4 per x, x 0, x 0 + e x +, precisando se ci sono asintoti verticali e orizzontali. Come si vede dal grafico, si ha: x x 4 = x + x 4 = 0+ x 0 x 4 = x 4 = +. La retta di equazione y = 0 è asintoto orizzontale per x ±, mentre la retta di equazione x = 0 è asintoto verticale per x 0 ±. x 0 + 7

28 6.7 Individuare eventuali asintoti verticali e orizzontali di f(x) = x x. Si tratta di un iperbole equilatera il cui centro di simmetria è (0, ). Come si vede dal grafico, la retta di equazione y = è asintoto orizzontale per x ±, mentre la retta di equazione x = 0 è asintoto verticale per x 0 ±. 6.0 Individuare eventuali asintoti verticali e orizzontali di f(x) = x. La funzione data è definita per x <. Si ha: x x = 0 +, e = +. x x La retta di equazione y = 0 è asintoto orizzontale per x ; la retta di equazione x = è asintoto verticale per x. 6.4 Scrivere l espressione analitica di una funzione per cui x = 4 sia asintoto verticale per x 4 e per x

29 Può essere, ad esempio, f(x) = (x 4). La funzione f(x) non è definita per x = 4. Si ha: x 4 (x 4) = x 4 + (x 4) = + 7. Le funzioni continue e il calcolo dei iti 7. Precisare la natura dei punti di discontinuità delle seguenti funzioni:, se x > 0 i) f(x) = 0, se x = 0 x, se x < 0 ii) f(x) = { x, se x 0, se x = i) Dal grafico si vede che il punto x = 0 è un punto di discontinuità di prima specie. Infatti, x 0 + f(x) = e x 0 f(x) =. 9

30 ii) La funzione ha in x = una discontinuità einabile, infatti si ha: x f(x) = mentre f() = Determinare, se esistono, i valori dei parametri a, b R per cui la funzione: ax + x + b, se x f(x) = log (x + 7), se < x < x + a, se x sia continua in R. La funzione f(x) è continua in ogni punto di R, ad eccezione di x = e x =, per ogni a, b R. Perchè la funzione sia continua in x =, bisogna imporre la condizione: x (ax + x + b) = x + log (x + 7) ovvero: a + b + = log 8 a + b =. Perchè la funzione f(x) sia continua in x =, occorre imporre la condizione: log (x + 7) = + a) x x +(x ovvero: log 3 = + a log 3 = + a. I parametri cercati sono soluzione del sistema: { a + b = log 3 = + a risolto per a = log 3 e b = log 3 + = 3 log Determinare i parametri reali a n e b n (n N \ {0}) per cui la funzione: 0, se x n f(x) = a n + b n x, se n < x n, se x > n sia continua in R. Si ha: f( n) = 0, x n + f(x) = a n nb n f(n) = a n + nb n f(x) =. x n + I parametri cercati risolvono il sistema: { an nb n = 0 soddisfatto per a n = e b n = n. a n + nb n = 30

31 7. Determinare per quali valori del parametro a R, la funzione: { x + a, se 0 x f(x) = 4 x, se < x 3 verifica le ipotesi del teorema di Weierstrass nell intervallo [0, 3]. Determinare poi il valore massimo e il valore minimo assunti dalla funzione. Perchè siano soddisfatte le ipotesi del teorema di Weierstrass, si deve imporre la continuità della funzione in [0, 3] ovvero: x + a) = x) (x +(4 che porta a + a = 3 a =. Per a =, il teorema di Weierstrass garantisce l esistenza del valore massimo e del valore minimo. La funzione è rappresentata da: x e come si può vedere il suo valore massimo è 3 (assunto per x = ) mentre il suo valore minimo è, assunto per x = Data la funzione f(x) = x 3 + x x, stabilire se soddisfa le ipotesi del teorema degli zeri nell intervallo [ 3, 3] e, in caso affermativo, stabilire quali sono gli zeri della funzione nell intervallo considerato. La funzione è continua nell intervallo chiuso e itato [ 3, 3]. Inoltre: f( 3) = = 8 f(3) = = 40. Le ipotesi del teorema degli zeri sono soddisfatte. Dunque, esiste almeno un punto c ( 3, 3) tale che f(c) = 0. Si ha: f(c) = 0 c 3 + c c = 0 c (c + ) (c + ) = 0 (c + )(c ) = 0 c =, c =, c 3 =. 3

32 Nell intervallo considerato la funzione data ha tre zeri. 7.5 Calcolare i seguenti iti di successione: iii) ( n)(n 3) log(+e x + iv) n ) n + n + n n v) 3 n+3 n + 4n 3 5n vi) ( 4 n + 5 iii) Si ha: ) n + n n+5 ( n)(n 3) n + 5n 6 x + n = + x + n =. + iv) Sostituendo si incontra la forma di indecisione. Trascurando gli infiniti di ordine inferiore, si ha: log( + e n ) log(e n ) n = = n + n n + n n + n =. v) Sostituendo si incontra la forma di indecisione. Poichè al numeratore e denominatore si ha una somma di infiniti, si trascurano gli ordini inferiori e si ottiene: n 3 n + 3 n + 4n 3 5n = n 3 n + 4n 3 =. vi) Poichè ( 4 < si ha 4 n n + 5) = 0. Inoltre: 5 n + n n + 5 = n n + n =. Si conclude che n + ( 4 5) n + n n+5 =. 7.6 Calcolare i seguenti iti di successione: ( n ) i) n + + 4n + 3 n iv) n + log 5 n +7 50n + i) Sostituendo si arriva alla forma di indecisione +. ( n ) ( ( n + 4n + 3 n) = n + 4n + 3 n) + 4n n ( n + n + n + 4n n) n + 4n + 3 n = ( n + n + 4n n) 4n = n + n = 3

33 iv) Sostituendo si arriva alla forma di indecisione /. n log + 7 n 5 n + 50n + = log 5 n + 50n = log 5 5 = 7.7 Sia s n = n! n. Calcolare il ite della successione s n+ s n. Si ha: s n+ n + s n (n + )! = n + (n + ) n n! = (n + ) n + ( n n + = (n + ) =. n + ) 7.9 Calcolare i seguenti iti: iii) x + x x x + vii) x ( + x) 3x iii) Si ha: x + x x x + = x 3 x + x = x + vii) Sostituendo, si ha: x ( + x) 3x = 3 3 = 7 x = Calcolare i seguenti iti: iii) x 8x+36 x x log x vi) x + log(x 3 3x ) iii) Sostituendo si ha la forma di indecisione. Trascurando a numeratore e denominatore gli infiniti di ordine inferiore, si ha: x 8x + 36 x x log x = 8x x x = 4. 33

34 vi) Sostituendo si incontra la forma di indecisione. Nelle somme di infiniti si trascurano gli ordini inferiori, ovvero: x + log(x 3 3x ) = x + log(x 3 ) = Calcolare i seguenti iti: i) x + (log 3 (x + ) log 3 (x + 5)) ii) x + (log 7 (x + 3) log 7 (7x + 0)) i) Si ha: ii) Si ha: (log 3(x + ) log 3 (x + 5)) = log x + 3 x + x + x + 5 = 0 (log 7(x + 3) log 7 (7x + 0)) = log x x + x + 7x + 0 = log 7 7 =. 7. Calcolare i seguenti iti: ii) x + x+3 x++ x +x ii) Sostituendo, si arriva alla forma di indecisione. Si ha: x + x + 3 x + + x + x = x + x x + x = Calcolare i seguenti iti: ( x ii) x + x ) x x 34

35 ii) Sostituendo si arriva alla forma di indecisione. ( x + x ) x x x + x + x x x x + x + x x = x x + x x + x x + x + x x 3x = x x x = Calcolare, se esiste, x 0 (x + + ) x x. Poichè x = x è opportuno distinguere due casi: x - x 0 + x + + x =. - x 0 x + + x x = 0. Si conclude che il ite x 0 (x + + ) x x non esiste. 7.5 Calcolare i seguenti iti: i) x x x x 5x+6 i) Sostituendo, si arriva alla forma di indecisione 0/0: x x x x 5x + 6 = (x )(x + ) x (x 3)(x ) = x x + x 3 = Calcolare l ordine di infinito di f(x) = x 4 + x 3 + x per x + (rispetto a g(x) = x). Si tratta di calcolare per quale valore di a R, il ite: x 4 + x 3 + x x 4 x + x a = x + x a risulta finito e diverso da 0. L ordine di infinito è 4. 35

36 7.7 Calcolare l ordine di infinitesimo, per x 0 (rispetto a g(x) = x), delle seguenti funzioni: i) f(x) = x 4 + x 3 + x i) Si tratta di calcolare per quale valore di a R, il ite: x 4 + x 3 + x x x 0 x a = x 0 x a risulta finito e diverso da 0. L ordine di infinitesimo è. 7.8 Calcolare l ordine di infinitesimo, per x + (rispetto a g(x) = x ) delle seguenti funzioni: iii) f(x) = 3x iii) Si tratta di calcolare per quale valore di a R, il ite: x + 3x ( x) a, risulta finito e diverso da 0. Per a = si ha: x + 3x x L ordine di infinitesimo è. x = =. x + 3x Confrontare con x le seguenti funzioni inifinitesime per x 0: i) y = x 3 sen x ii) y = x cos x i) y = x 3 sen x è infinitesimo per x 0, pur non esistendo il ite di sen x ; infatti da x 3 sen x = x 3 sen x x 3 segue, per il teorema del confronto, che x 0 x 3 sen x esiste e vale 0. x Poichè, analogamente, si prova che 3 sen x x 0 = 0, risulta che la x funzione data è un infinitesimo di ordine superiore rispetto a y = x. 36

37 ii) y = x cos x è per x 0 un infinitesimo non confrontabile con y = x, in quanto x 0 cos x non esiste Stabilire se la relazione f = o(g), per x +, è vera essendo f(x) = x 3 + x + 7 e g(x) = x 3 +. x Poichè 3 +x +7 x 0 = 7 si conclude che la relazione f = o(g) x 3 + non è vera Determinare, se esistono, gli asintoti obliqui delle seguenti funzioni: i) f(x) = x ii) f(x) = log(e x e x + ) i) f(x) = x è una funzione pari, definita in (, ] [, + ). Consideriamo il comportamento della funzione per x + : x = + x + Dunque, è possibile che esista asintoto obliquo. Calcoliamo: x = e x + x ( x x) = ( x x) ( x + x) x + x + ( x + x) x x = x + x + x = x + x + x = 0. Si conclude che la retta y = x è asintoto obliquo per x +. Data la simmetria rispetto all asse delle ordinate, la retta y = x è asintoto obliquo per x. ii) La funzione data è definita per e x e x + 3 > ovvero quando e x e x + > 0 soddisfatta per ogni x R. Calcoliamo: x + log(ex e x + 3) = x = +. x + La funzione potrebbe dunque avere un asintoto obliquo per x +. Calcoliamo: log(e x e x + 3) x = x + x x + x = e 37

38 [ log(e x e x + 3) x ] = x + x + log(ex e x + 3) log e x = log ex e x + 3 x + e x = log = 0. Si deduce che la retta di equazione y = x è asintoto obliquo per x +. Indaghiamo ora il comportamento della funzione per x. x log(ex e x + 3) = log 3. Non esiste asintoto obliquo per x, ma la funzione ammette asintoto orizzontale di equazione y = log Determinare, se esistono, gli asintoti delle seguenti funzioni: ii) f(x) = log x log x iii) f(x) = 3 x + log(x + ) ii) Il campo di esistenza è determinato dalle condizioni: { x > 0 log x 0 da cui segue che la funzione data è definita in (0, e ) (e, + ). Calcoliamo: log x x 0 + log x = ; log x x + log x = ; x e log x log x = ; x e + log x log x = +. Si conclude che: la retta di equazione y = è asintoto orizzontale per x + ; la retta di equazione x = e è asintoto verticale per x e. iii) Il campo di esistenza è determinato dalla condizione x + > 0, soddisfatta per x >. Dunque, la funzione data è definita in (, + ). Calcoliamo: [ 3 ] x + log(x + ) = x + x + x + [ 3 x + log(x + ) ] = + 3 x + log(x + ) = x + 3 x x = 0. x Si conclude che la retta di equazione x = è asintoto verticale per x +. 38

39 7.44 Il grafico della funzione f(x) = x3 e x 3log x è: i) ii) iii) La funzione f(x) = x3 e x 3log x è definita in (0, ) (, + ), e questo permette di escludere il grafico iii). Calcolando i iti agli estremi del dominio, in particolare: x 3 e x x log x = 0+ si può escludere il grafico i). La risposta esatta è grafico ii). 8. Le derivate 8. Calcolare la derivata prima delle seguenti funzioni: ii) f(x) = 7 x(x ) iii) f(x) = 7 x log 3 x 7 ii) Il primo fattore, x ha per derivata 7 7 x6, mentre il secondo fattore ha per derivata (x ) 3 =. Si ha: (x ) 3 iii) Si ha: f (x) = 7 7 x 6(x ) 7 x (x ) 3 = x 4x 7 7 x 6 (x ) 3 f (x) = 7 x log 7 log 3 x + 7 x xlog 3 = 7x [ = 7 x 3 log 3 log x log 3 + ] xlog 3 39 = 3x 7 7 x 6 (x ) 3. [ 3 log 3 log 3 x + = 7 x [ 3xlog 3 log x + xlog 3 ]. xlog 3 ]

40 8.3 Calcolare la derivata prima delle seguenti funzioni: iii) f(x) = + x iv) f(x) = +sen x x + +cos x iii) Si ha: f (x) = x (x + ) x( + x) (x + ) = x + 4x x 4x x (x + ) = 3x 4x x + x(x + ). iv) Si ha: f (x) = cos x( + cos x) + senx( + senx) ( + cos x) = cos x + cos x + sen x + sen x ( + cos x) = cos x + sen x + ( + cos x). 8.5 Calcolare la derivata prima delle seguenti funzioni: ii) f(x) = (+ x) (x+) 3 v) f(x) = senxesen x vi) f(x) = x +e x ii) Si ha: ( ) + f x (x + ) 3 3(x + ) ( + x) (x) = (x + ) ( ) 6 + x (x + ) 3( + x) = (x + ) 4 = x x + x + x + 3 x( + x + x) x(x + ) 4 = x x + x + x + 3 x 6x 3x x x(x + ) 4 = 5x x( + x). x(x + ) 4 40

41 v) Si ha: f (x) = cos xesen x + sen xesen x ( cos x ) ( sen = esen x x vi) La derivata del denominatore è: x e x. Si ha: = esen x f (x) = + e x + xe x x ( ) + e = x + xe x + e x ( ) x x + e. x 8.6 Calcolare la derivata prima delle seguenti funzioni: i) f(x) = x sen x i) Da f(x) = e sen x log x, si ha: f (x) = x sen x ( cos xlog x + x sen x ) = x sen x (xcos xlog x + sen x). 8.7 Calcolare la derivata prima delle seguenti funzioni: iii) f(x) = x x + x iv) f(x) = log x x+ iii) Per la definizione di modulo, si ha: x x, se x x +, se < x < 0 f(x) = x + x +, se 0 x < x, se x e quindi x, se x < x, se < x < 0 f (x) = x +, se 0 < x < x, se x > cos x cos x ) ( sen x cos x ). tg x 4

42 iv) Consideriamo la derivata di g(x) = x x+. Si ha: g (x) = x(x + ) (x ) (x + ) = x + 4x + (x + ). La derivata richiesta è data da: f (x) = g (x) g(x) = x +4x+ (x+) x x+ = x + 4x + (x + )(x ). 8. Scrivere l equazione della retta tangente al grafico di f(x) = e x nel punto di ascissa x 0 = 0. Per scrivere l equazione della retta tangente al grafico di f(x) nel punto considerato, dobbiamo calcolare: f(0) = ; f (x) = e x e dunque f (0) =. L equazione della retta cercata è: y = x Determinare, se esistono, i valori dei parametri a, b R per cui la funzione { ax + b, se x 0 f(x) = ( ) x e, se x > 0 sia continua e derivabile in R. La funzione data è continua e derivabile in (, 0) (0, + ) per qualsiasi valore di a, b R. Perchè sia continua in x = 0 imponiamo la condizione: ( ) x + b) = x 0 (ax x 0 + e soddisfatta per b =. Calcoliamo ora la derivata prima della funzione f: { a, se x < 0 f (x) = ( x e), se x > 0 Affinchè f sia derivabile in x = 0 imponiamo la condizione: ( ) x a = x 0 x 0 + e soddisfatta per a =. Si conclude che per a = e b = la funzione data è continua e derivabile su tutto R. 4

43 8.7 Determinare, se esistono, i valori dei parametri a, b R per cui la funzione { ax + b, se x < 0 f(x) = cos x, se x 0 sia continua e derivabile in R. La funzione data è continua e derivabile in (, 0) (0, + ) per qualsiasi valore di a, b R. Perchè sia continua in x = 0 imponiamo la condizione: + b) = cos x x 0 (ax x 0 + soddisfatta per b =. Calcoliamo ora la derivata prima della funzione f: { ax, se x < 0 f (x) = sen x, se x > 0 Affinchè f sia derivabile in x = 0, imponiamo la condizione: x 0 ax = x) +( sen x 0 soddisfatta per ogni a R. Si conclude che la funzione data è continua e derivabile su R per b = e per ogni a R. 8.9 Calcolare l elasticità delle seguenti funzioni, nei punti a fianco indicati: i) f(x) = 3 (x + x) x = ii) f(x) = x + log x 3 x = iii) f(x) = xe x x = i) La derivata prima della funzione composta f(x), in un generico punto x, è: f (x + ) (x) = 3 3 x + x. Nel punto x =, si ha: f() = 3 4 e f () = 3, da cui: E[f()] = =. ii) Si ha: da cui E[f()] = 4. f (x) = + 3 x ; f() = e f () = 4 43

44 iii) Si ha: f (x) = e x + xe x da cui E [ f ( )] =. f ( ) = ( ) e f = 9. Le derivate vengono usate per Stabilire se la funzione f(x) = e x soddisfa le ipotesi del teorema di Rolle nell intervallo [, ]. Calcolare poi un punto c che soddisfa l uguaglianza contenuta nella tesi del teorema. La funzione data è continua in [, ], derivabile in (, ) e f( ) = f() = e 4. Le ipotesi del teorema di Rolle sono soddisfatte e dunque esiste almeno un punto c (, ) tale che f (c) = ce c = 0, ovvero c = Stabilire se la funzione f(x) = log( + x ) soddisfa le ipotesi del teorema di Lagrange nell intervallo [, ]. In caso affermativo, determinare il punto c tale che f (c) = f() f( ) ( ). La funzione data è continua in [, ] e derivabile in (, ). Le ipotesi del teorema di Lagrange sono soddisfatte e dunque esiste un punto c (, ) tale che Il punto cercato è c = 0. f (c) = c log 5 log 5 = = 0 + c Calcolare i seguenti iti, applicando il teorema di De l Hôpital: i) x 0 sen x +3 3 cos x x iv) x 0 sen 3 x x cos x sen x v) x 0 (cos x) x vi) x (3 x) x i) Il ite presenta la forma di indecisione 0/0. Applicando il teorema di De l Hôpital, si ha: sen x cos x 4xcos x + 3sen x x 0 x = = 0 x 0 x 0 4 cos x 8x sen x + 3 cos x = = 7 x 0 44

45 iv) Il ite presenta la forma di indecisione 0/0. Applicando il teorema di De L Hôpital, si ha: x 0 sen 3 x xcos x sen x = x 0 3sen xcos x cos x xsen x cos x 3sen xcos x = = 0 x 0 x 0 3(cos x sen x) = = 3 x 0 v) Il ite da calcolare presenta la forma di indecisione ed è equivalente a: x 0 e x log cos x. Applicando il teorema di De l Hôpital: log cos x sen x cos x = x 0 x x 0 da cui il ite cercato è e 0 =. = x 0 sen x cos x = 0 vi) Il ite presenta la forma di indecisione ed è equivalente a: elog(3 x) x x Applicando il teorema di De l Hôpital: log(3 x) = x x 3 x x Si conclude che x (3 x) x = e. = x (3 x) = 9.6 Scrivere lo sviluppo in formula di Taylor, arrestato al terzo ordine, con punto iniziale x =, di f(x) = 5x + 7x. La funzione data è un polinomio di secondo grado. Dunque, le derivate di ordine successivo al secondo sono tutte nulle. Segue che P 3 (x; ) = 3 + 7(x ) + 5(x ). 9.0 Calcolare i seguenti iti: ii) sen 3x cos x 0 sen 4x iii) x x 0 x ii) Il ite presenta la forma di indecisione 0/0. Sviluppando la funzione sen3x e la funzione sen 4x, si ha: sen3x x 0 sen4x = 3x + o(3x) x 0 4x + o(4x) =

46 iii) Il ite presenta la forma di indecisione 0/0. Sviluppando la funzione cos x, si ha: cos x x 0 x = x 0 ( x + o ( x )) x x = x 0 x = 9. Calcolare i seguenti iti: [ i) x + x e x log ( + ) ] x iii) x π tg x x π i) Il ite presenta la forma di indecisione 0. Sviluppando le funzioni e x e log ( + x) si ha: ( [e x x log + x + x [ = + x + x + x = x + x [ x + o ) ] ( x x + o )] = 0 ( x ) ( x ( )) ] x + o x iii) Poniamo t = x π e osserviamo che per x π, si ha t 0: x π tg x x π = tg (t + π) t 0 t sen t = t 0 t tgt = t 0 t cos t = 9. Calcolare i seguenti iti: v) x 0 5xsen (7x)+cos(x) x vi) x 0 +x +x x log(+ x) 46

47 v) Il ite presenta la forma di indecisione 0/0. Sviluppando sen (7x) e cos(x), si ha: 5xsen(7x) + cos(x) x 0 x = x 0 5x(7x + o(x)) + ( x + o(x )) x 35x + x + o(x ) = x 0 x 33x = x 0 x = 33 vi) Il ite presenta la forma di indecisione 0/0. Sviluppando + x e log( + x), si ha: + x + x = x 0 xlog( + x) + x ( + x) ( x 0 x x x + o(x)) + x ( + x + o(x)) = x 0 x + o(x) x + o(x) = x 0 x + o(x) = 9.4 Calcolare i seguenti iti: i) x x e 3x vi) x + x 3 ( sen x x i) Il ite presenta la forma di indecisione 0. Ricordando il ite notevole x xe x = 0, si ha: x x e 3x = x (xex ) e x = 0 vi) Il ite presenta la forma di indecisione 0. Sviluppando la funzione sen x, si ha: ( x + x3 sen x ) ( = x x + x3 x ( ) 6x 3 + o x 3 ) = x Calcolare i seguenti iti: i) x 0 x sen x iv) x ( x +x+5 x + 47 ) ) log3 e x

48 i) Il ite presenta la forma di indecisione 0 0. Si ha: x 0 elog xsen x = e sen xlog x x 0 dove x 0 sen xlog x = x 0 (x+o(x))log x = 0. Dunque, si conclude che il ite cercato è e 0 = iv) Il ite presenta la forma di indecione ed è equivalente a: x elog 3 e x x log +x+5 x + Utilizzando le proprietà dei logaritmi e lo sviluppo della funzione logaritmo, si ha: ( log 3 e x log x ) e x x x = + x log x x + x = x x log 3 = log 3 ( ) Si conclude che x log3 e +x+5 x x = e x log Determinare i valori di a R per cui x + x a ( x sen x) esiste finito e non nullo. Sviluppando sen x si ha: ( x + xa x sen ) = x x + xa = x + xa ( x x + ( ) 6x 3 Segue che per a = 3 il ite esiste finito ed è pari a 6 ( 6x 3 + o x 3 = x + 6 xa 3 9. Determinare gli eventuali massimi e minimi della funzione f(x) = x x x + nell intervallo [0, ]. La funzione è derivabile ovunque e la ricerca dei suoi estremanti va condotta prendendo in considerazione i valori assunti agli estremi dell intervallo in questione e i punti che annullano la derivata prima. Nell intervallo in questione, la derivata prima f (x) = 3x + 9x = 3(x )(x+4) si annulla in x =, è positiva in (, ) mentre è negativa in (0, ). La funzione è dunque crescente nell intervallo (, ) mentre decresce nell intervallo (0, ) e in particolare assume i valori: f(0) = f() = = 3 f() = = Si deduce che x = 0 è punto di massimo relativo, x = è di massimo assoluto mentre x = è di minimo assoluto. 48 ))

49 9.5 Determinare gli intervalli di crescita e decrescita della funzione: f(x) = x + 3x + 5 x 6 La funzione è definita x R, x ±4. Calcoliamo la derivata prima: f (x) = (x + 3)(x 6) x(x + 3x + 5) (x 6) = 3x 4x 48 (x 6) Il segno della derivata prima dipende da quello del numeratore: 3x 4x 48 0 x + 4x + 6 < 0 Si ha: = 49 6 = 33 > 0 e x, = 7 ± 33. La derivata prima si annulla in x = 7 ± 33; dallo studio del segno di f segue che la funzione è crescente nell intervallo ( 7 33, ), per x 4 mentre è decrescente per x < 7 33 e per x > con x Determinare gli intervalli di crescita e decrescita della funzione: { x + 0x + 9, se x < 0 f(x) = 3 log 3 (x + 7), se x 0 Per x > 0 la funzione è crescente (poichè composta tramite funzioni crescenti). Per x < 0, la derivata prima è: f (x) = x + 0 ed è positiva per x > 5. Osserviamo che f(0) = 9 e x 0 x +0x+9 = 9. Dallo studio del segno di f segue che la funzione è crescente nell intervallo ( 5, + ) mentre decresce nell intervallo (, 5). 9.9 Determinare per quali valori del parametro reale a la funzione f(x) = ax 3 +3x risulta crescente su tutto il dominio. Calcoliamo la derivata prima: f (x) = 3ax + 3 e cerchiamo per quali valori di a R è soddisfatta la disuguaglianza: 3ax + 3 0, x R Se a 0 la derivata prima è sempre positiva e dunque la funzione è sempre crescente mentre se a < 0 la derivata prima è in parte positiva, in parte negativa. Si conclude che la richiesta è soddisfatta per a [0, + ). 49

50 9.3 Studiare l andamento delle seguenti funzioni: ii) f(x) = x +3x x+ ii) La funzione è definita x R, x. Il grafico di f interseca gli assi cartesiani solo nell origine. Studiamo il segno della funzione: x + 3x x + 0 Il numeratore x(x + 3) 0 x 3 e x 0. Il denominatore x + > 0 x >. Riepilogando i segni di numeratore e denominatore su uno stesso grafico: N D si conclude che la funzione è positiva nell intervallo ( 3, ) e per x > 0. I punti x = 3 e x = 0 sono le intersezioni con l asse delle ascisse. Poichè risulta: x + 3x x ± x + = ± x + 3x x x + = ± possiamo concludere che la retta x = è asintoto verticale e la funzione non ammette asintoti orizzontali. Per la ricerca di eventuali asintoti obliqui consideriamo i seguenti iti: x ± x + 3x x(x + ) = ( x ) + 3x x ± x + x x + 3x x x = x ± x + = x ± x x + = y = x + è dunque l equazione dell asintoto obliquo. 50

51 Calcoliamo la derivata prima: f (x) = (x + 3)(x + ) x 3x (x + ) = x + 4x + 3x + 6 x 3x (x + ) = x + 4x + 6 (x + ) La funzione è sempre crescente e non ci sono estremanti. Calcoliamo la derivata seconda: f (x) = (x + 4)(x + ) (x + )(x + 4x + 6) (x + ) 4 4 = (x + ) 3 La derivata seconda non si annulla mai; dallo studio del segno di f segue che la funzione f è convessa per x < e concava per x > (non esistono punti di flesso). Un grafico qualitativo della funzione è: 9.33 Studiare l andamento delle seguenti funzioni: i) f(x) = x x x 5

52 i) La funzione è definita per x 0 e x. Il suo grafico interseca gli assi cartesiani solo nell origine. Studiamo il segno della funzione: x x x 0 x x x Per x < 0 la disequazione non è mai soddisfatta mentre per x 0 è equivalente a x x x x 0 x 0. Si conclude che la funzione è positiva per x e negativa per x 0. Per x + risulta: x x x = x Per x risulta: ( x ) ( = x x ) x x ( = x x x + o x x x = x ( )) = x x + + o() = + o() x ( x ) ( = x + x ) x x ( = x + x x + o ( )) = x + o(x) x Possiamo concludere che la retta y = è asintoto orizzontale per x + e che y = x è l equazione dell asintoto obliquo per x. Calcoliamo la derivata prima: f (x) = x (x ) = x x x x La derivata prima è positiva quando x x x x x x Le soluzioni della disequazione sono date dall unione delle soluzioni dei due sistemi: { x 0 x { x > 0 (x ) x x { x x { x > x + x x x Dallo studio del segno di f segue che la funzione è crescente per x < 0 mentre decresce per x >. Il punto x = 0 è di massimo relativo mentre 5

53 x = è di massimo assoluto. Confrontando l insieme di definizione di f con quello di f, vediamo che la derivata prima non è definita in x = 0 e in x =. Da x 0 f (x) = + segue che nel punto x = 0, il grafico ha tangente (sinistra) verticale. Risulta anche x + f (x) =. Calcoliamo la derivata seconda: f (x) = x x + (x ) x x x x x = (x x) x x Dallo studio del segno di f, deduciamo che f è convessa su tutto il suo dominio. Un grafico qualitativo della funzione è il seguente: 9.34 Studiare l andamento delle seguenti funzioni: i) f(x) = log(x 4x + 3) iv) f(x) = e +x+x x i) Per determinare il campo di esistenza è necessario imporre la condizione x 4x + 3 > 0. Segue che la funzione è definita in (, ) (3, + ). La funzione interseca l asse delle ordinate nel punto (0, log 3). Studiamo il segno della funzione: log(x 4x + 3) 0 x 4x + 3 x 4x + 0 La funzione è positiva in (, ) ( +, + ). Poichè risulta: x ± log(x 4x + 3) = + 53

54 x log(x 4x + 3) = x 3 + log(x 4x + 3) = possiamo concludere che le rette x = e x = 3 sono asintoti verticali. Non ci sono asintoti orizzontali e neppure asintoti obliqui (come è facile verificare). Calcoliamo la derivata prima: f (x) = x 4 x 4x + 3 Dallo studio del segno di f segue che la funzione è crescente nell intervallo (3, + ) mentre decresce per x <. Non esistono estremanti. Calcoliamo la derivata seconda: f (x) = (x 4x + 5) (x 4x + 3) Il segno dipende dipende da x 4x Segue che la funzione è concava su tutto il suo dominio. Un grafico qualitativo della funzione è il seguente: iv) La funzione è definita x R, x 0. Poichè risulta: e+x+x x = e; x ± e+x+x x 0 ± x = + possiamo concludere che la retta y = e è asintoto orizzontale, la retta x = 0 è asintoto verticale. Calcoliamo la derivata prima: ( f (x) = e +x+x x x 3 ) ( ) x = e +x+x x x 54 x 3

55 La funzione è crescente per x < 0 mentre decresce per x < e per x > 0. Il punto x = è di minimo assoluto (con f( ) = ). Calcoliamo la derivata seconda: ( e +x+x x x 3 ) ( x + e +x+x 6 x x ) x 3 [ = e +x+x 4 x x x x x ] x 3 [ = e +x+x x 3 + 5x ] + 4x + x x 6 Il segno della derivata seconda dipende da x 3 + 5x + 4x +. Come si vede dal grafico di y = x 3 e della parabola di equazione y = 5x 4x (linea rossa): le due curve si incontrano in un solo punto di ascissa α con < α <. Dallo studio del segno di f, deduciamo che f è convessa per x > α mentre è concava nell intervallo (, α); il punto x = α è di flesso. Un grafico qualitativo della funzione è: 55

56 9.35 Studiare l andamento delle seguenti funzioni: i) f(x) = 3 ( (x )e (x+) v) f(x) = log x x i) La funzione è definita x R. Il suo grafico incontra l asse delle ordinate nel punto ( 0, e). Studiamo il segno: 3 (x )e (x+) 0 x 0 ) concludiamo che la funzione interseca l asse delle ascisse nei punti x = ±, è positiva per x < e per x > mentre è negativa nell intervallo (, ). Poichè risulta: x + 3 (x )e (x+) = x x + 3 (x )e (x+) = + 3 (x ) e x+ = 0 + possiamo concludere che la retta y = 0 è asintoto orizzontale per x + e non ci sono asintoti verticali (e neanche obliqui). Calcoliamo la derivata prima: f x (x) = e (x+) (x ) 3(x ) 3 e (x+) 3 = 3x x 3 e (x+) 3(x ) 3 La derivata prima si annulla in x = ± 0 3 ; dallo ( studio del segno di f ) segue che la funzione è crescente nell intervallo 0 3, mentre decresce altrove. Il punto x = 0 3 è di minimo relativo mentre x = è di massimo relativo. Confrontando l insieme di definizione di f con quello di f, vediamo che la derivata prima non è definita in x = ±. Poichè risulta: f (x) = ; x f (x) = + x concludiamo che nei punti di ascissa x = ± il grafico della funzione presenta dei punti a tangente verticale. Un grafico qualitativo della funzione è il seguente: 56

57 v) La funzione è definita per: x x x < x x < La funzione non è mai positiva, poichè è x per ogni punto del dominio e il suo grafico interseca gli assi cartesiani solo nell origine. Osserviamo che: ( ) ( ) f(x) = log x log x, se x 0 x = ( ) log x x, se 0 < x < Poichè risulta: log x ( ) x ( ) x = ; log = x x possiamo concludere che la retta x = è asintoto verticale (destro) e non ci sono asintoti orizzontali (e neppure obliqui). Calcoliamo la derivata prima: { f x (x) =, se x < 0 (x )(x ), se 0 < x < Dallo studio del segno di f segue che la funzione è crescente per x < 0 mentre decresce nell intervallo ( 0, ). Confrontando l insieme di definizione di f con quello di f, vediamo che la derivata prima non è definita in x = 0. Poichè risulta: x 0 + = ; (x )(x ) x 0 x = 57

58 si deduce che la funzione presenta in x = 0 un punto angoloso. x = 0 è anche il punto di massimo assoluto della funzione. Calcoliamo la derivata seconda: f (x) = (x ), se x < 0 4x 3 (x ) (x ), se 0 < x < Dallo studio del segno di f si deduce che la funzione è convessa nell intervallo (, 0) mentre è concava in ( 0, ). Un grafico qualitativo della funzione è: 9.36 Studiare l andamento delle seguenti funzioni: i) f(x) = x 3 + log x 3 v) f(x) = x + log(x + ) vii) f(x) = x + xlog x i) La funzione data è definita per x > 0. Studiamo il suo segno: x 3 + log x 3 0 log x 3 x 3 3 log x x 3 e dal confronto grafico: 58

59 si deduce che la funzione è positiva nell intervallo (α,+ ) con 0 < α < mentre è negativa in (0, α). Poichè risulta: ( x 3 + log x 3) ( = + ; x 3 + log x 3) = x + x 0 + possiamo concludere che la retta x = 0 è asintoto verticale mentre non esistono asintoti orizzontali (e neanche obliqui). Calcoliamo la derivata prima: f (x) = 3x + 3 x Dallo studio del segno di f segue che la funzione è sempre crescente e non ha estremanti. Calcoliamo la derivata seconda: f (x) = 6x 3 x = 6x3 3 x Dallo studio del segno di f, deduciamo che f è convessa per x > ( ) concava nell intervallo 0, 3. Il punto x = 3 è di flesso. Un grafico qualitativo della funzione è il seguente: 59 3 e

60 0. Si torna indietro 0. Calcolare i seguenti integrali indefiniti: x+4 ii) x +8x+ dx iii) xlog x dx ii) E un integrale quasi immediato: x + 4 x + 8x + d x = (x + 4) x + 8x + d x = iii) E un integrale quasi immediato: 0.3 Calcolare i seguenti integrali indefiniti: v) 3x + dx vii) xi) x x+8 dx xii) x + 8 x + 8x + dx = log x + 8x + + c. xlog x dx = x d x = log log x + c. log x x x 3 + dx e 3x +e 3x d x 60

61 v) E un integrale quasi immediato: 3x + dx = (3x + ) c = (3x + ) c. vii) E un integrale quasi immediato: x x 3 + dx = x (x 3 + ) dx = 3x (x 3 + ) d x 3 = x c = x c. xi) E un integrale quasi immediato: x x + 8 dx = (x 6x + 9) dx = (x 3) dx = (x 3) dx = (x 3) + c. xii) E un integrale quasi immediato: e 3x dx = + e 3x e 3x ( + e 3x ) d x = 3 3e 3x ( + e 3x ) d x = 3 + e 3x + c. 0.4 Calcolare i seguenti integrali indefiniti: 7 iii) x +x 0 d x iv) x 9 d x iii) Si ha: 7 x + x 0 d x = Cerchiamo A, B R tali che 7 (x + 5)(x 4) d x. A x B x 4 = 7 (x + 5)(x 4) ovvero A(x 4) + B(x + 5) = 7 per ogni x R, da cui si origina il sistema: { A + B = 0 6 4A + 5B = 7

62 soddisfatto per A = 3 e B = 3. Riscriviamo l integrale come: 7 dx = 3 (x + 5)(x 4) x x 4 dx = 3 log x log x 4 + c = 3 log x 4 x c. iv) Poichè x 9 = (x 3)(x + 3), cerchiamo A, B R tali che: A x B x 3 = (x + 3)(x 3) ovvero A(x 3) + B(x + 3) = per ogni x R. I parametri cercati sono soluzione del sistema: { A + B = 0 3A + 3B = soddisfatto per A = 6 e B = 6. Si ha: x 9 d x = Calcolare i seguenti integrali indefiniti: i) 4 x 3 3x dx x + 3 d x + 6 x 3 dx = 6 log x log x 3 + c 6 = 6 log x 3 x c. i) Risolviamo l equazione di terzo grado h(x) = x 3 3x = 0 applicando il teorema di Ruffini. I divisori del termine noto sono N = {±, ±, ±3, ±4, ±6, ±}. In particolare, si ha h( ) = h( 3) = h(4) = 0. Segue che: 4 x 3 3x dx = Cerchiamo A, B, C R tali che: A x 4 + B x (x 4)(x + )(x + 3) dx. C x + 3 = 4 (x 4)(x + )(x + 3) 6

63 equivalente a: A(x + )(x + 3) + B(x 4)(x + 3) + C(x 4)(x + ) = 4 A(x + 4x + 3) + B(x x ) + C(x 3x 4) = 4 per ogni x R, che conduce al sistema: A + B + C = 0 4A B 3C = 0 3A B 4C = 4 soddisfatto per A = 5, B = 7 5, C =. Si ha: 4 (x 4)(x + )(x + 3) dx = 5 x 4 d x 7 5 x + dx + x + 3 d x = 5 log x 4 7 log x + + log x c Calcolare i seguenti integrali indefiniti: i) x+ 3x x+7 dx i) Poichè la parabola di equazione y = 3x x+7 non ammette radici reali, dobbiamo applicare la formula d integrazione riportata a pagina 63 con i parametri: Segue che: x + 3x x + 7 d x m =, q =, a = 3, b =, c = 7. 9 (83) = 6 log(3x x + 7) arctg 6 ( x 83 6 = 6 log(3x x + 7) + + (84 )9 arctg ( x ) + c 6 ) + c = 6 log(3x x + 7) arctg 83 (6x ) + c. 63

64 0.7 Calcolare i seguenti integrali indefiniti: i) 8x+ 4x+3 dx iv) x dx +7x i) Grazie alla divisione tra polinomi, si ha: ( 8x + 4x + 3 d x = 5 ) dx = x 5 log 4x c. 4x iv) Operando la divisione tra polinomi si ha: x ( ) + 7x d x = x dx = 3x 3 + ( 7x) d x = 3x 3 7 arctg ( 7x) + c. 0.9 Calcolare i seguenti integrali indefiniti: v) x x + 4 dx viii) sen xdx v) Integrando per parti si ha: x x + 4 dx = 3 x (x + 4) 3 (x + 4) 3 3 dx = 3 x (x + 4) 3 (x + 4) 3 dx 3 = 3 x (x + 4) 3 3 (x + 4) 5 + c = 3 x (x + 4) (x + 4) 5 + c. viii) Integrando per parti si ha: sen xdx = sen x sen xdx = sen xcos x + = sen xcos x + ( sen x)dx = sen xcos x + x sen xdx cos xdx Segue che sen xdx = sen xcos x + x + c Infine: sen xdx = sen xcos x + x + c 64

65 0. Calcolare i seguenti integrali indefiniti: i) e x +3e x e x + dx vi) x log x dx i) Procediamo per sostituzione, ponendo e x = t, da cui e x d x = dt: e x + 3e x (e x e x + d x = + 3)e x t + 3 e x dx = + t + dt ( = + ) dt = dt + t + t + dt = t + log t + + c = e x + log(e x + ) + c. vi) Poniamo log x = t, da cui x d x = dt. Per sostituzione si ha: x log x dx = dt = arcsen t + c t = arcsen(log x) + c. 0.3 Calcolare i seguenti integrali indefiniti: 4x iv) dx v) cos x x 6 sen x+cos x dx iv) Si ha: 4x dx = x 6 4x (x 3 ) dx = 4 3 arcsenx3 + c. v) Si ha: cos x cos x + sen x + cosx sen x sen x + cos x dx = dx sen x + cos x cos x sen x = dx + sen x + cos x dx = x + log sen x + cos x + c. 0.4 Calcolare la primitiva della funzione f(x) = 3 x x 3 (0, ). 65 passante per il punto P =

66 Calcoliamo l integrale indefinito della funzione: x 3 dx = x ( x 3 ) 3 d x = 3 ( x x 3 3 ) + c. Adesso imponiamo il passaggio per il punto P = (0, ): + c = c = 5. La primitiva cercata è F(x) = 3 ( x 3 ) Calcolare f() sapendo che f (x) = x+4, x R, e f(0) = log 4. x +4 Calcoliamo l integrale indefinito: x + 4 x + 4 dx = x x + 4 dx + 4 x + 4 d x ( x = log(x + 4) + arctg + c ) Imponendo la condizione f(0) = log 4, si ricava c = 0. Infine, da f(x) = log(x + 4) + arctg x, si conclude f() = log 8 + arctg = 3 log + π.. L integrale definito. Calcolare i seguenti integrali definiti: i) (x5 x)dx ii) x log(x)dx i) Una anti-derivata di f(x) = x 5 x è y = 6 x6 x. Abbiamo allora: ( (x 5 x)dx = 6 x6 ) ( x 6 x6 ) x x= = = 0 ii) Calcoliamo l integrale indefinito x log(x)dx per parti: x log(x)dx = 3 x3 log(x) 3 x x3 d x = 3 x3 log(x) 9 x3 + c Abbiamo allora: ( x log(x)dx = 3 x3 log(x) ) 9 x3 ( = 3 log ) 9 66 x= ( 9 8 ( x= 3 x3 log(x) 9 x3 ) = 3 log 7 7 ) x=

67 .4 Calcolare l integrale definito 3 3 f(x)dx essendo: { x + 3, se x f(x) = x, se x < 0. 3 f(x)dx = 3 3 x d x + (x + 3)dx 0 ( ) = (log x ) x=0 (log x ) x= x3 + 3x = log x=3 ( ) 3 x3 + 3x x=0.9 Calcolare l area della parte di piano individuata dall asse x e dalle seguenti curve (negli intervalli a fianco indicati): i) y = x x in [0, 3] ii) y = x x +x 3 in [, 4] i) L area richiesta è data dal valore di: x x dx = (x x )dx + (x x)dx 0 = (x 3 ) x3 (x 3 ) ( ) x3 + x= x=0 3 x3 x + x=3 ( ) 3 x3 x x= = =

68 x dx, consideriamo la scom- x +x 3 ii) Per il calcolo dell integrale indefinito posizione: x (x + 3)(x ) = A x B x da cui segue (per il calcolo di A e B), per ogni x: A(x ) + B(x + 3) = x Ponendo in particolare x =, otteniamo 4B = da cui B = 4. Ponendo invece x = 3, otteniamo 4A = 5 da cui A = 5 4. Abbiamo allora: x (x + 3)(x ) dx = 5 4 Poichè la funzione f(x) = 4 x 3 dx 4 x d x = 5 4 log x + 3 log x + c 4 x x +x 3 x x + x 3 d x ( 5 = 4 log x + 3 ) log x 4 = 5 4 log 7 4 log log 5 x=4 è positiva in [, 4], l area richiesta è: ( 5 4 log x + 3 ) log x 4 x=. Calcolare l area della regione di piano deitata dalla parabola di equazione y = x 3x e la retta di equazione y = x. La parabola di equazione y = x 3x e la retta di equazione y = x si intersecano nei punti di ascissa x = 0 e x = 4. 68

69 La misura dell area richiesta porta allora a calcolare: 4 0 xdx 4 0 (x 3x)dx = 4 = ( 3 ) x=4 x3 + x = 64 x= = ( x + 4x)dx.6 Scrivere la funzione integrale F(x) = x 0 f(t)dt essendo: 3, se 0 x < f(x) = x, se x < 8 + 6x, se x 4. La funzione integrale richiesta può essere calcolata come segue: x 0 3 d t, se 0 x < F(x) = 0 3 dt + x t dt, se x < 0 3 dt + t d t + x (8 + 6t)dt, se x < 4. Segue che: F(x) = 3x, se 0 x < x 7, se x < 3x + 8x 59, se x 4..9 Calcolare il dominio della funzione integrale F(x) = x e t t 3 dt. La funzione integranda f(t) = et t 3 è definita per ogni t 3 e in tale insieme è continua. Al dominio di F appartengono sicuramente tutti gli x (, 3) Per t 3, la funzione integranda è infinita di ordine e dunque l integrale non esiste nemmeno in senso improprio. Si conclude che la funzione integrale è definita in (, 3).. Calcolare i seguenti iti: x i) sen x 0 t3 d t 0 x 0 ii) x 4 x 0 69 log(+t) d t log x

70 i) Utilizzando il teorema di De l Hôpital e lo sviluppo di senx 3, si ha: x 0 sen t3 dt F (x) sen x 3 x 0 x 4 = x 0 4x 3 = x 0 4x 3 x 3 + o(x 3 ) = x 0 4x 3 = 4 ii) Utilizzando il teorema di De L Hôpital, si ha: x 0 x 0 log(+t) d t = log x x 0 log(+x) x = 0..5 Calcolare gli eventuali estremanti della funzione integrale F(x) = x (log t 5 log t + 6)dt nell intervallo [, + ). La funzione integranda è continua nell intervallo [, + ); il teorema fondamentale del calcolo integrale afferma allora che: F (x) = log x 5 log x per x [, e ] e x [e 3, + ). Si conclude che x = e è massimo relativo, x = e 3 e x = sono punti di minimo relativo..7 Scrivere l equazione della retta tangente al grafico di F(x) = x (t + 3)dt nel punto di ascissa. Il teorema fondamentale del calcolo integrale afferma che: F (x) = x + 3. Poichè risulta: F() = (t + 3)dt = 0, F () = 4 l equazione della retta tangente cercata è y = 4(x ) = 4x 4.30 Scrivere in x 0 = il polinomio di Taylor di secondo grado per la funzione F(x) = x t +8t+7 dt. Il teorema fondamentale del calcolo integrale afferma che F (x) = x +8x+7 da cui F (x) = il polinomio richiesto è: x 8 (x +8x+7). Poichè risulta: F() = 0, F () = 7, F (x) = 4 43 P (x; ) = (x ) 7 43 (x ) = 43 (x 7x + 6) 70

71 .34 Data la funzione f(x) = x +, calcolare il punto c [, ] che soddisfa l uguaglianza contenuta nella tesi del teorema del valor medio per il calcolo integrale. La funzione data è continua sull intervallo [, ]; il teorema del valor medio afferma allora che esiste almeno un punto c [, ] tale che Si ha: (x + )dx = 4(c + ) ( x (x 3 + )dx = 3 + x ) x= x= = Segue che = 4c + 4 per c = ± 3, entrambi contenuti nell intervallo [, ].37 Calcolare i seguenti integrali impropri: iii) 4 3 x x 3 dx iv) π 0 cos x 3 sen x dx iii) La funzione integranda è definita e continua nell intervallo (3, 4], ed è ilitata per x 3 +. Per calcolare l integrale indefinito, sostituiamo x 3 = t e dx = t d t: x t + 3 dx = x 3 t t dt = (t + 3)dt Di conseguenza: 4 3 x x 3 dx = c 3 + = 3 t3 + 6t + c = 3 ( x 3) x 3 + c [ ( c 3) 3 6 ] c 3 = 0 3 iv) La funzione integranda è definita e continua nell intervallo ( 0, π ], ed è ilitata per x 0 +. Calcoliamo l integrale indefinito: cos x 3 dx = 3 3 sen sen x x + c Di conseguenza: π 0 cos x 3 sen x dx = c 0 + [ 3 3 sen π 3 ] 3 sen c = 3 7

72 .38 Calcolare il valore dei seguenti integrali impropri: + i) e 3 x(log x 4) dx iii) + x +8x+7 dx i) La funzione integranda è definita e continua nell intervallo (0, + ). Per il calcolo dell integrale indefinito, sostituiamo log x = t e x dx = dt x(log x 4) d x = t 4 dt = (t )(t + ) dt e consideriamo la scomposizione: (t )(t + ) = A t + B t + da cui segue (per il calcolo di A e B), per ogni t: = A(t + ) + B(t ) Ponendo in particolare t =, otteniamo 4A = da cui A = 4. Ponendo invece t =, otteniamo 4B = da cui B = 4. Abbiamo allora: (t )(t + ) dt = 4 log t t + + c Segue che + e 3 x(log x 4) c dx = c + x(log x 4) dx [ ] = c + 4 log log x x=c log x + x=e [ 3 = c + 4 log log c log c + 4 log ] 5 = 4 log 5 e 3 iii) La funzione integranda è definita, positiva e continua su tutto l asse reale. Scriviamo l integrale generalizzato come somma di integrali generalizzati: + x + 8x + 7 dx = 0 x + 8x + 7 dx + + Calcoliamo l integrale indefinito: x + 8x + 7 d x = x + 8x dx = 7 0 x + 8x + 7 dx + (x + 4) dx = arctg (x + 4) + c

73 Segue che + = c = c x + 8x + 7 dx 0 c x dx + + 8x + 7 c + (arctg (x + 4))x=0 x=c + c + c 0 x + 8x + 7 dx (arctg (x + 4))x=c x=0 = (arctg 4 arctg (c + 4)) + (arctg (c + 4) arctg 4) c c + = arctg 4 + π + π arctg 4 = π.39 Stabilire se esistono i seguenti integrali impropri: v) 4 x +6x+5 d x v) La funzione integranda f(x) = presenta, relativamente all intervallo [ 4, ], un punto di discontinuità in x =, in un intorno x +6x+5 (sinistro) del quale si mantiene ilitata. Per x, la funzione integranda è infinita di ordine e pertanto non risulta integrabile..40 Stabilire se esistono i seguenti integrali impropri: v) + 0 x +x dx v) La funzione integranda f(x) = x +x è definita e continua in R. Poichè la funzione integranda è infinitesima di ordine, non risulta integrabile.. Le serie. Studiare il carattere delle seguenti serie: i) + n= log n ii) + n=0 n + 3 n +n 73

74 i) La serie è a termini positivi e il termine generale è infinitesimo, dunque la condizione necessaria di convergenza è soddisfatta. Poichè n N, log n < n si ha: log n > n e la serie minorante + n= n diverge (è la serie armonica), segue che anche la serie maggiorante + n= log n è divergente. ii) Scegliamo (al numeratore e al denominatore) l infinito di ordine superiore: il termine generale u n = n + 3 n +n, per n + si comporta come ( n. 3) Ne deduciamo che il termine generale della serie è un infinitesimo dello stesso ordine del termine generale di una serie geometrica convergente. La serie è allora convergente.. Scrivere le somme parziali n-esime e determinare la somma delle seguenti serie: ( ) i) + n=4 n n 3 ii) + n= i) Si ha: n(n+3) ( ) ( s n = ) ( + 5 ) ( n ) n 3 = + n + n Da n + s n = 3, deduciamo che la serie converge e ha per somma 3. ii) Il termine generale n(n+3) può essere scritto come 3 allora: s n = [( 3 4 = 3 ) ( + ) ( ) 6 [ n + n + n + 3 ( ) n n+3. Abbiamo ( ] n n + 3 Da n + s n =, deduciamo che la serie converge e ha per somma 8 8. )] 74

75 .4 Calcolare, se possibile, la somma delle seguenti serie: vii) vii) La serie + n= 4n 3 5 n 0 n + n= 4 n 3 5 n 0 n = = 8 + n= + n=0 ( 4 5 n n ( 5 ) n 5 ) + n=0 ( ) n 4 è convergente, perchè somma di serie geometriche di ragione rispettivamente 5 e 4 (minori di ). Il valore della somma è: ) ( ) 8 + n=0 ( ) n n=0 ( ) n = 8( = = 0.7 Stabilire per quali valori dal parametro reale k la serie + n=0 e calcolare poi la sua somma. La serie + ( n=0 k quando < ( k) < ovvero 4 ( k) n converge ) n è geometrica di ragione q = k e converge { k < k > { k < 0 k > 0 { k > 0 k < 0 e k > per k >. Per tali valori, la somma è: + n=0 ( k) n = ( k) = k.9 Studiare il carattere delle seguenti serie: i) n= 4n3 n+5 n +3n vi) + n= n+ n n 75

76 i) La serie (a termini positivi) diverge poichè non è soddisfatta la condizione necessaria di convergenza. Il termine generale non è infinitesimo: n + 4n 3 n + 5 n + 3n = + vi) La serie diverge poichè non è soddisfatta la condizione necessaria di convergenza. Il termine generale non è infinitesimo: n +.0 Studiare il carattere delle seguenti serie: n + n n = i) ( 3n + 3n n= 5n ) vi) + n= n n i) Utilizzando il criterio della radice, si ha: n + ( n 3n 5n deducendone che la serie converge. ) 3n ( )3n 3n n = n + 5n vi) Utilizzando il criterio della radice, si ha: n + deducendone che la serie converge. n n n = n + n = 0 = ( ) 3 3 = Studiare il carattere delle seguenti serie: i) + n= n4 n! vi) + n= n7 + n! i) Utilizzando il criterio del rapporto, si ha: (n + ) 4 (n + )! n! (n + )4 = n4 n 4 (n + ) = (n + )3 n 4 Abbiamo allora che n + (n+) 3 n 4 = 0 e quindi la serie converge. 76

77 vi) Utilizzando il criterio del rapporto, si ha: (n + ) 7 + (n + )! n! n 7 + = (n + )7 + (n + )(n 7 + ) (n+) Abbiamo allora che 7 + n + (n+)(n 7 +) = n + n7 = 0 e quindi la n 8 serie converge.. Studiare il carattere delle seguenti serie: i) + n= n(n+4) ii) + cos n n= n log n i) Scegliamo (al denominatore) l infinito di ordine superiore: il termine generale u n = n(n+4), per n + si comporta come. Ne deduciamo n che il termine generale della serie è un infinitesimo del secondo ordine (rispetto a n ). La serie è allora convergente. ii) La serie è a termini positivi e il termine generale è infinitesimo, dunque la condizione necessaria di convergenza è soddisfatta. Calcoliamo l ordine di infinitesimo del termine generale: u n = cos n n log n = + o ( n n + o(n) Il termine generale è infinitesimo del terzo ordine e pertanto la serie converge..4 Studiare il carattere delle seguenti serie: i) + n+ n= ( )n n 3 iii) ( ) + 3 n= ( )n+ n+ π n i) La serie data è una serie a termini di segno alterno. Consideriamoli in valore assoluto, studiando dunque la serie: + n= n + n 3 Questa serie converge (in quanto il suo termine generale è infinitesimo di ordine ) e dunque anche la serie data risulta convergente. 77 n )

78 iii) La serie si può scrivere come: + n= ( ) 3 ( ) n+ n+ = π n + n= ( ) n ( ) 3 3n π n = 3 + n= ( 3 ) n π La serie data è irregolare..5 Studiare la convergenza assoluta e semplice delle seguenti serie: i) + n= ( )n sen n vi) + n n= ( )n n n + i) La serie data è una serie a termini di segno alterno. Per il criterio integrale, la serie non converge assolutamente (in quanto il suo termine generale è infinitesimo di ordine ). Poichè risulta n > n+ vale la relazione u n u n+ e il termine generale è infinitesimo. Dunque la serie converge semplicemente. vi) La serie data è una serie a termini di segno alterno. Il termine generale u n = n n n + è infinitesimo. La serie data non converge assolutamente poichè il suo termine generale è un infinitesimo del primo ordine. Tuttavia la successione {u n } è decrescente. Consideriamo infatti (per x > ) la funzione: u(x) = x x x + e calcoliamone la derivata prima: u (x) = x log (x x + ) ( x + x x log ) x (x x + ) = x xlog + x log x x xlog (x x + ) = x log x (x x + ) = x (log x ) (x x + ) Poichè la derivata prima è negativa per ogni x >, si deduce che la funzione u è definitivamente decrescente. Segue che la serie data converge semplicemente. 78

79 .7 Studiare il carattere delle seguenti serie, in dipendenza dal parametro reale k: vii) + n= kn n 3 vii) Utilizzando il criterio della radice: n k n n + n 3 = k n + n n 3 = k La serie converge per k < ovvero per < k < mentre diverge per k < e k >. Rimangono da studiare i casi k = ±. Sostituendo tali valori nella serie si ottiene + n= n 3 che converge..0 Stabilire per quali valori dal parametro reale k le seguenti serie convergono: ( n iii) + k n=0 k +) iv) + n= nk 9 iii) La serie + n=0 quando < k k + iv) La serie: ( ) n k k + è geometrica di ragione q = k < ovvero per k < e k > 0. + n= n k 9 = + n= converge per 9 k > ovvero per k < 4. n 9 k k + e converge 3. Il tempo 3. Stabilire se l equazione differenziale y = f(t, y) con f(t, y) = y e con la condizione iniziale y(0) = 0 soddisfa le ipotesi del teorema di esistenza e unicità. Esplicitando la nozione di valore assoluto: { y, se y 0 y = f(t, y) = y, se y < 0 Calcoliamo la derivata prima di f(t, y) rispetto a y: f y(t, y, se y > 0 y) = y, se y < 0 79

80 Segue che f y(t, y) non è continua in un intorno del punto (0, 0) e dunque non sono soddisfatte le ipotesi del teorema di esistenza e unicità. 3.3 Scrivere l integrale generale delle seguenti equazioni differenziali: i) y = y ii) y = 3t 6t + 8 i) L equazione y = y è a variabili separabili: dy = dt, y y dy = d t, log y = t + c, log y = (t + c), y = cet ii) L equazione y = 3t 6t+8 è a variabili separabili: da d y d t = 3t 6t+8 si ha: dy = (3t 6t + 8)dt, y = t 3 3t + 8t + c 3.4 Risolvere i seguenti problemi di Cauchy: i) { y ty = 3t y(0) = v) { e t+y y + t = 0 y(0) = 0 i) L equazione y = ty + 3t è un equazione a variabili separabili. Il suo integrale generale (per y 3 ) è dato da: d y d t = t(y + 3), y + 3 dy = t dt log y + 3 = t + c, log y + 3 = t + c, y = ce t 3 Imponendo la condizione y(0) =, otteniamo c =. La soluzione del problema è dunque y = e t 3. v) L equazione e t+y y + t = 0 è un equazione a variabili separabili. Il suo integrale generale è dato da: e t e y d y d t = t, ey dy = e t t d t, e y d y = e t t dt Integrando per parti per calcolare e t t dt si ottiene: 80

81 e y = te t + e t + c, y = t + log(t + ) + c Imponendo la condizione y(0) = 0, otteniamo c = 0. La soluzione del problema è dunque y = t + log(t + ). 3.7 Scrivere l integrale generale delle seguenti equazioni differenziali: i) y y = 3 i) L equazione y = y + 3 è lineare: [ y(t) = d t e c + 3e ] dt dt = e t [c 3 ] e t = 3 + cet [ = e t c + 3 ] e t dt 3.0 Risolvere i seguenti problemi di Cauchy: { y = t+ vii) y + y(0) = vii) L equazione y = t+y + è lineare. Il suo integrale generale è dato da: [ y(t) = e t+ d t c + [ = e log(t+) c + [ = (t + ) c + ] e t+ d t d t ] e log(t+) d t ] t + dt = (t + ) [c + log(t + )] Imponendo la condizione y(0) =, otteniamo c =. La soluzione cercata è dunque y = (t + )( + log(t + )). 8

82 3. Scrivere l integrale generale delle seguenti equazioni alle differenze: i) y n+ y n = i) E un equazione del primo ordine: y n = nc + n = ( ) nc 4 n = c 4 n Funzioni di due variabili 4. Determinare l insieme di definizione delle seguenti funzioni: i) f(x, y) = xy iii) f(x, y) = log(y x) i) L insieme di definizione è dato dai punti (x, y) per cui risulta xy 0, ovvero x e y sono di segno concorde. In questo caso, l insieme di definizione è il sottoinsieme A di R costituito dal primo e dal terzo quadrante, assi compresi. iii) L insieme di definizione è dato dai punti (x, y) per cui risulta y x > 0, ovvero y > x. In questo caso, l insieme di definizione è il sottoinsieme A di R costituito dai punti situati al di sopra della bisettrice del primo e del terzo quadrante. 4.9 Calcolare, se possibile, i seguenti iti: xy i) (x,y) (0,0) x +y vi) log(+x +y ) (x,y) (0,0) sen (x +y ) 8