Premessa Equazioni i differenziali lineari

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1 Apput d Cotroll Autoatc Captolo 3 parte I Sste dac lear Preessa... Equazo dfferezal lear... Evoluzoe lbera ed evoluzoe forzata... Uso della trasforazoe d Laplace... 3 Esepo... 7 Osservazo sulla rsposta lbera: codzo zal coe gress... 8 Attrasforazoe della rsposta lbera... Propretà vare... Fuzoe d rsposta all pulso... Attrasforazoe della fuzoe d trasfereto... 6 Mod doat e crtero della doaza... 9 Esepo... Lt del crtero della doaza... Preessa Per lo studo de sste d cotrollo s pegao odell ateatc dac e, fché l approssazoe è accettable, lear. D cosegueza, è fodaetale cooscere le propretà e procedet d soluzoe delle equazo dfferezal lear, partcolare delle equazo dfferezal ordare a coeffcet costat. A questo scopo, fareo rfereto alla trasforazoe d Laplace, procedeto olto spesso pegato per suo ueros vatagg, o ulto quello d porre stretta coessoe la soluzoe delle equazo dfferezal co u altro etodo d aals, teressate per la sua edata traduzoe ella pratca delle rlevazo speretal, chaato aals aroca. Equazo dfferezal lear L evoluzoe el tepo d olt sste fsc può essere rappresetata da odell ateatc lear stazoar. I partcolare, dato u sstea leare stazoaro, l suo odello ateatco è rappresetato da ua equazoe dfferezale ordara, leare e a coeffcet costat, del tpo a d y d y a a y b d x d x + b b x

2 Apput d Cotroll Autoatc - Captolo 3 (parte I) dove y(t) è la fuzoe d uscta (cogta), x(t) è la fuzoe d gresso (ota), a (,...,) soo coeffcet delle dervate teporal della fuzoe d uscta (co a supposto NON ullo) e b (,...,) soo coeffcet delle dervate teporal della fuzoe d gresso. L tero rappreseta l orde della equazoe dfferezale (vale a dre l orde asso delle dervate della fuzoe cogta essa preset) e corrspode al uero d uscte del sstea, etre l tero rappreseta l orde asso delle dervate della fuzoe d gresso e corrspode al uero d gress del sstea. Rsulta sepre ; questa codzoe corrspode fatt alla realzzabltà fsca (o causaltà) del odello adottato: se essa o fosse soddsfatta, l odello preseterebbe ua rsposta d apezza fta ad u segale d gresso susodale d apezza fta, l che o può certo corrspodere alla realtà fsca. Per rsolvere l equazoe dfferezale pra dcata, ossa per deterare l adaeto della fuzoe y(t) el geerco tervallo d tepo [,T], soo ecessare fodaetalete due forazo: le codzo zal, rappresetate da valor d y e delle sue dervate (fo a quella d orde -) ell state t - ; l adaeto del segale d gresso x(t) ell tervallo d osservazoe [,T]. Spesso, l estreo destro dell tervallo d defzoe delle fuzo x(t) e y(t) o vee specfcato e, tal caso, s assue che esso sa fto. Per quato rguarda la fuzoe d gresso x(t), s suppoe che essa sa ltata per og t fto e cotua a tratt, l che sgfca che deve presetare u uero fto d evetual put d dscotutà og tervallo d tepo d lughezza fta. Sotto queste potes, le dervate che copaoo ell equazoe dfferezale rappresetatva del sstea soo delle dervate geeralzzate, el seso che pù avat sarà charto, e, oltre, l equazoe dfferezale stessa aette u uca soluzoe y(t), che rsulta essere cotua se < o cotua a tratt se. Evolluzoe llbera ed evolluzoe fforzata Per quato rguarda l procedeto cocreto co cu rsolvere l equazoe dfferezale, è possble cosderare separataete l cotrbuto delle codzo zal e quello del segale d gresso; s può coè otteere la soluzoe dell equazoe dfferezale coe soa d due fuzo rcavate separataete, base al seguete procedeto: pro luogo, s suppoe ullo l segale d gresso, odo che l equazoe dfferezale dvet oogeea: a d y d y + a a y S trova qud la fuzoe y(t), per t T, che soddsfa questa equazo co le codzo zal specfcate dal problea. Questa fuzoe y (t) è la Autore: Sadro Petrzzell

3 Sste dac lear cosddetta evoluzoe lbera del sstea: essa corrspode all effetto d segal d gresso applcat tep precedet l state t; secodo luogo, s suppogoo ulle tutte le codzo zal e s trova quella fuzoe y(t), per t T, che soddsfa tal codzo zal ulle e l equazoe dfferezale copleta a d y d y + a a y Questa fuzoe y (t) è la cosddetta evoluzoe forzata del sstea; fe, s fa la soa dell evoluzoe lbera e d quella forzata, odo da otteere la soluzoe effettva dell equazoe dfferezale: y( t) y ( t) + y ( t) Questo è duque l procedeto da segure el caso cu coeffcet dell equazoe dfferezale sao costat, l che corrspode a dre che l sstea è stazoaro. Se, vece, l sstea o fosse stazoaro, suddett coeffcet sarebbero fuzo del tepo e qud l procedeto appea llustrato o sarebbe pù applcable. Ioltre, se l sstea possede pù gress e pù uscte e se tra cascua coppa gresso-uscta è possble dvduare u legae rappresetato da ua equazoe dfferezale del tpo vsto pra, allora l evoluzoe d cascua delle uscte s può dedurre faclete applcado la propretà d sovrapposzoe degl effett. Uso della trasforazoe d Laplace Per la soluzoe delle equazo dfferezal soo d otevole utltà le trasforazo fuzoal, ossa le trasforazo che assocao fuzo a fuzo. I partcolare, o sao teressat all uso della trasforata d Laplace. Le trasforazo fuzoal stablscoo ua corrspodeza buvoca tra fuzo oggetto, che soo oralete fuzo del tepo, e fuzo age d dversa atura. I questo odo, le operazo esegute sulle fuzo oggetto, coe per esepo la dervazoe o l tegrazoe, corrspodoo ad operazo pù seplc sulle fuzo age e, d cosegueza, al problea oggetto vee ad essere assocato u problea age d pù facle soluzoe: Problea oggetto (equazoe dfferezale) Soluzoe oggetto (fuzoe d uscta, soluzoe dell'equazoe dfferezale) L L - Problea age (equazoe algebrca el doo d Laplace) Soluzoe age (trasforata d Laplace della fuzoe d uscta) 3 Autore: Sadro Petrzzell

4 Apput d Cotroll Autoatc - Captolo 3 (parte I) Ua volta rcavata la soluzoe del problea age, s passa alla soluzoe del problea oggetto eseguedo, sulle fuzo age, l operazoe d attrasforazoe (o trasforazoe versa). Per essere pù char, quado c è da rsolvere ua equazoe dfferezale o tegrodfferezale (problea oggetto), è possble procedere el odo seguete: pro luogo, s trasfora l equazoe dfferezale ua equazoe algebrca (problea age) edate l applcazoe della trasforata d Laplace; questo passaggo, che coporta essezalete l applcazoe delle propretà d leartà oché d dervazoe el tepo e d tegrazoe el tepo, è portate fare attezoe alle codzo zal, coe vedreo tra poco; successvaete, s rsolve l equazoe algebrca odo da otteere la soluzoe age; a questo puto, è possble rsalre alla soluzoe dell equazoe dfferezale d parteza (coè alla soluzoe oggetto) applcado seplceete l attrasforata d Laplace alla soluzoe age. Questo, duque, lea geerale. Vedao ora dettagl ateatc. Il puto d parteza è l equazoe dfferezale geerca caratterstca d u sstea leare stazoaro avete uscte ed gress: a d y d y a a y b d x d x + b b x Sao teressat a cooscere la fuzoe d uscta y(t) che soddsfa questa equazoe co le codzo zal specfcate, vale a dre valor d y e delle sue dervate (fo a quella d orde -) ell state t -. Possao allora scoporre ( base al cosddetto teorea d separazoe) la soluzoe geerale y(t) ella soa della soluzoe y (t) dell equazoe oogeea e d quella y (t) corrspodete a codzo zal tutte ulle: l equazoe oogeea assocata a quella copleta è a d y d y + a a y Applcado l operatore trasforata d Laplace e teedo coto delle codzo zal sull uscta (ecessare per l applcazoe del teorea d dervazoe), essa dveta a s Y s a s Y s a Y s a s d y t ( ) ( ) + ( ) ( ) dt da cu s rcava che la trasforata d Laplace della rsposta lbera è t Autore: Sadro Petrzzell 4

5 Sste dac lear Y ( s) a s d y t ( ) dt a s + a s a t odo aalogo, applcado l operatore trasforata d Laplace all equazoe copleta, ell potes questa volta d codzo zal ulle, otteao a s Y( s) + a s Y( s) a Y( s) b s X( s) + b s X( s) b X( s) da cu s rcava che la trasforata d Laplace della rsposta forzata è Y ( s) b s + b s b a s + a s a X( s) A questo puto, possao soare le due soluzo, odo da otteere la trasforata d Laplace dell uscta coplessva: Y( s) Y ( s) + Y ( s) a s d y t ( ) dt t ( ) + b s + b s b X( s) a s + a s a Questa è duque la soluzoe age del ostro problea. Per otteere la soluzoe oggetto, ossa la fuzoe y(t), o dobbao far altro che applcare l attrasforazoe d Laplace: [ ] y( t) L Y( s) Spesso, ell abto de cotroll autoatc, s fa rfereto a sste zalete quete, ossa co tutte le codzo zal ulle. I questo caso, è evdete che Y (s) e qud che l uscta del sstea s rduce all uscta forzata: Y( s) Y ( s) b s + b s b a s + a s a [ ] X( s) y( t) L Y ( s) I base a questa relazoe, la trasforata d Laplace del segale d uscta s ottee seplceete oltplcado la trasforata del segale d gresso per la seguete fuzoe, detta fuzoe d trasfereto del sstea: Y ( s) b s + b s b G( s) X( s) a s + a s a La fuzoe d trasfereto d u sstea è duque ua fuzoe della varable s co la caratterstca che, oltplcadola per la trasforata della fuzoe d gresso, s ottee la trasforata dell evoluzoe forzata. 5 Autore: Sadro Petrzzell

6 Apput d Cotroll Autoatc - Captolo 3 (parte I) E charo che la fuzoe d trasfereto d u sstea assue ua espressoe partcolarete seplce el caso cu l sstea (daco leare stazoaro) abba u solo gresso () ed ua sola uscta (): Y ( s) b s + b G( s) X( s) a s + a I sste dac lear stazoar ad ua sola varable soo percò spesso rappresetat coe ella fgura seguete: X(s) G(s) Y(s) S tratta coè d u blocco etro l quale vee specfcata la fuzoe d trasfereto del sstea. Se s hao pù sste dac collegat tra loro, cascuo caratterzzato da ua propra fuzoe d trasfereto, s possoo applcare delle opportue regole d rduzoe degl sche a blocch. A questo proposto, è facle verfcare che, se le fuzo d trasfereto de var blocch soo razoal fratte, coè date dal rapporto d due polo, ache la fuzoe d trasfereto del sstea coplessvo è razoale fratta. E bee osservare che o tutt sste dac, ache se lear e stazoar, soo caratterzzat da fuzo d trasfereto razoal fratte. U esepo tpco è l rtardo puro, la cu fuzoe d trasfereto è trascedete: fatt, el doo del tepo, se l gresso è x(t), l uscta è y(t)x(t-t), per cu, ell potes d codzo zal ulle, la fuzoe d trasfereto è Y ( s) G( s) X( s) [ ( T) ] L[ x( t) ] L x t Ts X( s) e X( s) e Ts Autore: Sadro Petrzzell 6

7 Sste dac lear Esepo Esaao u seplce esepo del procedeto appea llustrato. Cosderao u sstea costtuto da ua assa M collegata ad ua parete vertcale attraverso ua olla d costate ed uo sorzatore co attrto vscoso d costate B: B Massa M r F l y r Alla assa M è applcata ua forza F che tede ad allotaarla dalla parete. Descrvere la daca del sstea sgfca seplceete, questo caso, descrvere la poszoe della assa rspetto ad u rfereto arbtraraete fssato: dobbao duque legare l uscta (coè apputo la poszoe) all gresso r (rappresetato dalla forza F. Usado l equazoe d Newto Fa e applcado seplceete u blaco d forze, otteao l equazoe dfferezale dy d y F (t) (y l ) B M (dove l rappreseta la lughezza d rposo della olla) che possao rscrvere ella seguete fora pù opportua: Posto z d y dy M + B + l ( y ) F(t) y l, è evdete che questa equazoe dveta d z dz + B + z F(t) M Faccao adesso l potes d codzo zal ulle: questo odo, applcado la trasforata d Laplace ad etrab ebr, otteao Ms Z(s) + BsZ(s) + Z(s) F(s) da cu rcavao che la soluzoe age (coè la trasforata della soluzoe oggetto) è Z( s) F( s) Ms + Bs + 7 Autore: Sadro Petrzzell

8 Apput d Cotroll Autoatc - Captolo 3 (parte I) A questo puto, per otteere z(t) (e successvaete y(t)), dobbao attrasforare la fuzoe a secodo ebro: F(s) + Bs + [ Z(s) ] L z(t) L Ms Osservazo sulllla rsposta llbera:: codzo zall coe gress La rsposta lbera del sstea o è altro che l cotrbuto alla rsposta coplessva del sstea dpedete solo dalle codzo zal e dpedete dall gresso applcato: el doo d Laplace, l espressoe della rsposta lbera è Y ( s) a s d y t ( ) dt t a s + a s a Coe s ota, s tratta geerale d ua espressoe puttosto coplessa, per cu può covere scrverla fora atrcale: costruao pra la atrce A, tragolare ferore d orde, avete l coeffcete a sulla dagoale prcpale e gl altr coeffcet a sulle altre dagoal: a... a a A a a... a a costruao po l vettore y, le cu copoet soo le codzo zal: y( ) ( ) y ( ) y ( ) y ( )... ( y ) ( ) Co queste poszo, dcato co [ s] [ s s s ] T... l vettore delle poteze (fo a quella d orde -) della varable coplessa s e posto a( s) a s + a s a, la rsposta lbera (el doo d Laplace) è esprble coe [ ] T Y ( Ay s] s ) [ a( s) Autore: Sadro Petrzzell 8

9 Sste dac lear Su questa espressoe possao fare qualche utle osservazoe. I pro luogo, scrvao sgol ter del prodotto [ ] T Ay [ s] : a( s) [ ] ( ) ( ) tere Ay T s [ ] y( ) as + as a a s + a s a a( s) a( s) [ ] ( ) tere Ay T s ( ) 3 [ ] y ( ) as + as a... a( s) [ ] tere T Ay [ s] a( s) a( s) ( ) y ( ) a y a( s) ( ) ( ) I ( s) y( ) y( ) I( s) a( s) ( ) y ( ) I ( s) I base a queste relazo, la rsposta lbera è par alla soa delle codzo zal, cascua pesata per ua opportua fuzoe razoale: Y ( s) y( ) I ( s) y ( ) ( ) I ( s)... y ( ) ( ) I ( s) Possao allora rappresetare la rsposta lbera edate l seguete schea a blocch: y( - ) I (s) + Y (s) y () ( - ) I (s)... y (-) ( - ) I (s) Possao ache copletare questo schea soado la rsposta forzata odo da otteere la rsposta coplessva del sstea: X(s) Y (s) b(s)/a(s) + Y(s) y( - ) I (s) + Y (s) y () ( - ) y (-) ( - ) I (s)... I (s) 9 Autore: Sadro Petrzzell

10 Apput d Cotroll Autoatc - Captolo 3 (parte I) dove abbao charaete posto b( s) b s + b s b. Vste questo odo, le codzo zal o soo altro che degl gress addzoal che, opportuaete pesat e po soat alla rsposta forzata, forscoo la rsposta coplessva del sstea. Attrasforazoe della rsposta lbera Proseguedo l dscorso del precedete paragrafo, cosderao la geerca fuzoe I K(s), co,...,: I K ( s) s + as a a( s) Per cooscere la rsposta lbera y (t), dobbao attrasforare la fuzoe Y (s), ossa dobbao attrasforare tutte le fuzo I K (s): ( ) ( ) [ ] [ ] [ ] y ( t) y( ) L I ( s) + y ( ) L I ( s) y ( ) L I ( s) ( ) ( ) y( ) I ( t) + y ( ) I ( t) y ( ) I ( t) Cosderado che a( s) a s + a s a, deducao che IK(s) è ua fuzoe razoale strettaete propra, ossa co grado del ueratore (-) ferore al grado del deoatore (). La dffereza -(-) tra grad del deoatore e del ueratore s dce grado relatvo della fuzoe razoale cosderata: esso è aleo par ad per le fuzo propre, è par a quado la fuzoe è propra ed è fe ore d quado la fuzoe è propra. Avedo detto che I K(s) è strettaete propra, cosderao solo questo caso. Dobbao capre coe attrasforare questa fuzoe. La pra cosa da fare è esprere la geerca I K(s) coe soa d fratt seplc, che sarao uero par al grado del deoatore. C servoo duque le radc del poloo a( s) a s + a s a : dcate co p p p,,..., tal radc, potreo duque scrvere a( s) ( s + p )( s + p )... ( s + p ) I valor p, p,..., p, essedo degl zer del deoatore, soo duque de pol per la fuzoe I K(s). Il caso pù seplce che s possa presetare è quello d tutt pol dstt: questo caso, la scoposzoe fratt seplc è seplceete I K ( s) ( p ) Re s IK, R, s + p s + p dove l geerco resduo R, è ua costate d espressoe R, I ( s)( s + p ) K s p Autore: Sadro Petrzzell

11 Sste dac lear Ua volta effettuata la scoposzoe fratt seplc, s può procedere alla attrasforazoe: IK ( t) R, e da cu s può cocludere che la rsposta lbera del sstea ha la seguete espressoe: pt,,, p t p t ( ) p t ( ) y ( t) y( ) R e + y ( ) R e y ( ) R e Tutto questo vale, ovvaete, el caso seplce d zer dstt per l poloo a(s). Pù coplesso è vece l caso cu c soo pol cocdet, a o lo esaao adesso, vsto che sarà trattato pù avat co rfereto all attrasforata della rsposta forzata, che è quella d aggore teresse. Propretà vare Sfruttado alcue propretà della trasforata d Laplace ( partcolare l teorea d dervazoe el tepo e quello d tegrazoe el tepo), voglao ostrare due portat propretà della rsposta de sste lear descrtt da equazo dfferezal del tpo a d y d y a a y b d x d x + b b x Le due propretà hao seguet eucat: sa y(t) la rsposta del ostro sstea, a partre dalla codzoe zale d quete, al segale d gresso x(t). Se applchao gresso l uovo segale t x( T) dt la rsposta del sstea, sepre a partre dalla codzoe zale d quete, rsulta essere t y( T) dt sa y(t) la rsposta del ostro sstea, a partre dalla codzoe zale d quete, al segale d gresso x(t). Se applchao gresso l uovo segale d dt x( t) la rsposta del sstea, sepre a partre dalla codzoe zale d quete, rsulta essere d dt y( t) Autore: Sadro Petrzzell

12 Apput d Cotroll Autoatc - Captolo 3 (parte I) Fuzoe d rsposta all pulso Nel doo d Laplace, la rsposta forzata del sstea ha la seguete espressoe: Y ( s) b s + b s b a s + a s a b( s) X( s) a s X ( s ) ( ) G ( s ) X ( s ) I base a questa relazoe, s osserva che la fuzoe d trasfereto G(s) è defta coe la rsposta del sstea quado X(s): dato che l attrasforata d è l pulso d Drac δ(t), deducao che la fuzoe d trasfereto d u sstea o è altro che la trasforata d Laplace della rsposta del sstea stesso quado gresso vee posto l pulso d Drac. Vedao allora d rcavare l uscta forzata y(t) per attrasforazoe della fuzoe Y( s) Y ( s) G( s) X( s) : abbao tato che [ ] [ ] y( t) L Y( s) L G( s) X( s) Rcordado adesso che u prodotto el doo d Laplace equvale ad u prodotto d covoluzoe el doo del tepo, possao scrvere che dove charaete g( t) L [ G( s) ] t y( t) g( t) * x( t) g( t T) x( T) dt x( t T) g( T) dt è la rsposta all pulso pra ctata. t Nell aals de sste s fa spesso rfereto alle rsposte ad alcu segal partcolar (dett gress caoc), coe l grado (otteedo la rsposta al grado), la rapa, lo stesso pulso (otteedo la rsposta all pulso), quato queste rsposte caratterzzao qualtatvaete e quattatvaete l coportaeto daco del sstea. A queste rsposte s dà percò l oe d rsposte caoche, coè tal che dalla coosceza d ua d esse s possa rsalre alla rsposta del sstea ad u segale qualsas. Della struttura dell ulta relazoe otteuta s può dare ua teressate ed tutva gustfcazoe applcado la propretà d sovrapposzoe degl effett. Per dare questa gustfcazoe, cocao a cosderare u caso partcolare. Cosderao percò u seplce segale rettagolare d apezza e durata (el tepo) etrabe ltate (cò che glese s defsce pulse ): u(t) -T T +T tepo Autore: Sadro Petrzzell

13 Sste dac lear Predao adesso u tervallo d apezza TT/ (co tero fssato suffceteete grade) par all tervallo dell tervallo d durata del segale e dvduao l tratto d segale corrspodete a questo tervallo. Cosderao successvaete l seguete pulso d altezza utara: T tepo Se p(t) è l corrspodete pulso cetrato ell orge e tep e γ(t) è la corrspodete rsposta del sstea, base alla propretà d tepo-varaza possao afferare che, dcato co p(t- T) l pulso dcato fgura, la rsposta del sstea a tale pulso sarà γ(t- T). Adesso cosderao l segale otteuto coe prodotto tra l rettagolo u(t) cosderato poco fa e acora l pulso p(t- T): u( t) p( t T) -T +T tepo Dato che l pulso vale, per defzoe, ell state t T e altrove, è charo che l prodotto u(t)p(t- T) o è altro che u( T)p(t- T). Applcado allora questo segale gresso al sstea cosderato e cosderado che u( T) o è altro che u uero, la rsposta sarà u( T)γ(t- T). Se adesso dvdao l tero tervallo [-T,T] u certo uero d tervall, cascuo corrspodete alla durata d u pulso utaro, possao esprere l segale gresso coe N u( t) u( T) p( t T) N I questo odo, abbao approssato l segale gresso edate ua successoe d puls d durata fta, cascuo par al valore che l gresso u(t) assue ell state d applcazoe dell pulso. Madado gresso al sstea l segale u(t), possao duque applcare la propretà d sovrapposzoe degl effett, odo da otteere la rsposta y(t) ella fora 3 Autore: Sadro Petrzzell

14 Apput d Cotroll Autoatc - Captolo 3 (parte I) N y( t) u( T) γ ( t T) N Fatta questa ecessara preessa, cerchao d terpretare la relazoe t y( t) x( t) g( t T) dt Iagao che l segale d gresso x(t) abba adaeto del tutto geerco e suppoao d scoporre l tervallo d tegrazoe [,t] tervall eleetar (,..., ;, ) T T < T T T t Suppoao d sceglere gl tervall odo tale che, cascuo d ess, la fuzoe d gresso x(t) s possa rteere costate d valore x(t ). Questa potes equvale, pratca, ad approssare l segale d gresso x(t) edate ua successoe d puls, d durata fta, coe dcato ella fgura seguete ( partcolare ella fgura a) e coe abbao fatto ache pra el caso seplce d segale rettagolare: Cosderao allora l geerco pulso, che fgura è dstto a tratteggo, che avrà charaete area da x( T ) T : se T è suffceteete pccolo, la rsposta del sstea a questo pulso è prossa alla rsposta ad u pulso d Drac avete la stessa area ed applcato ell state T : s tratterà coè della fuzoe da g( t T ) x( T ) T g( t T ). Nella fgura (b) è rappresetato propro l cotrbuto alla rsposta dovuto all pulso cosderato. A questo puto, dato che valgoo sa la propretà d sovrapposzoe degl effett sa quella d traslazoe el tepo, possao soare cotrbut relatv a tutt gl puls cu è possble suddvdere l segale d gresso x(t): otterreo così la rsposta ad x(t) ella fora (approssata) 4 Autore: Sadro Petrzzell

15 Sste dac lear y( t) x( T ) T g( t T ) T x( T ) g( t T ) Facedo tedere T a (che equvale a ), la soatora otteuta tede propro all tegrale d covoluzoe: y( t) l T x( T ) g( t T ) x( t) g( t T) dt T ( ) Ua terpretazoe assolutaete aaloga s può dare per l altra relazoe t y( t) g( T) x( t T) dt Suddvdao acora l tervallo [,t] d tegrazoe egl tervall eleetar t (,..., ;, ) T T < T T T t Cosderato l geerco tervallo [ t T t T + ], e cosderao l valore x(t-t ) che l segale x(t) assue t-t : cosderato allora l pulso p(t-t )x(t-t ) T, applcato ell state t-t, la rsposta del sstea a tale pulso sarà x(t-t ) Tg(T ). Allora, applcado acora ua volta la sovrapposzoe degl effett, possao esprere l uscta coplessva del sstea ella fora y( t) x( t T ) T g( T ) Facedo tedere T a (che equvale a ), la soatora otteuta tede acora ua volta all tegrale d covoluzoe: 5 Autore: Sadro Petrzzell

16 Apput d Cotroll Autoatc - Captolo 3 (parte I) t T ( ) y( t) l x( t T ) T g( T ) x( t T) g( T) dt La soatora otteuta ha u sgfcato teressate: u pulso d area x(t-t) T, applcato, rspetto all state geerco t cu teressa cooscere la rsposta, T secod pra, produce u effetto par alla sua area oltplcata per g(t ); cò sgfca che g(t ) rappreseta u fattore poderale, el seso che stablsce l flueza, sul segale d uscta, del valore del segale d gresso applcato T secod pra. La fuzoe poderatrce g(t) è, duque, u certo seso, ua sura della eora del sstea: se la fuzoe poderatrce è u grado utaro, l sstea possede ua eora perfetta, quato tutt gl puls cu rsulta scoposto l segale d gresso vegoo pesat odo detco e l uscta è uguale all tegrale dell gresso: t t t y( t) x( t T) g( T) dt x( T) g( t T) dt x( T) dt se la fuzoe poderatrce è u pulso d Drac, l sstea o ha eora, l che sgfca che l segale d uscta è ua rproduzoe esatta dell gresso (coe accade e trasduttor deal): t y( t) x( T) g( t T) dt x( T) g( t T) dt x( t) t Attrasforazoe della fuzoe d trasfereto Rpredao adesso l espressoe aaltca della fuzoe d trasfereto così coe l abbao forta e paragraf precedet: YFORZATA ( s) b( s) G( s) X( s) a( s) b s + b s b a s + a s a Spesso, s fa odo che l poloo a deoatore sa oco, l che sgfca che deve rsultare utaro l coeffcete a del tere d grado asso. E ovvo, da quella espressoe, che basta allora dvdere tutt coeffcet propro per a. Il poloo a ueratore avrà zer, che soo zer ache per la fuzoe d trasfereto, e l dchao co z, z,..., z. I odo aalogo, l poloo a deoatore avrà zer, che soo questo caso pol per la fuzoe d trasfereto, e l dchao co p, p,..., p. Possao allora esprere la fuzoe d trasfereto ella fora G( s) ( s z)( s z )...( s z ) ( s p )( s p )...( s p ) Autore: Sadro Petrzzell 6

17 Sste dac lear oppure ache ella fora pù copatta G( s) α ( s + z ) ( s + p ) dove α b / a prede l oe d fattore d guadago (a volte seplceete guadago) per otv che questo oeto però o c teressao. Sao teressat ad attrasforare questa fuzoe d trasfereto, odo da otteere la fuzoe d rsposta all pulso g(t). Il caso pù seplce è quello cu pol p, p,..., p soo tutt seplc. I questo caso, così coe abbao gà vsto el caso della attrasforazoe della rsposta lbera, possao scoporre la fuzoe d trasfereto fratt seplc: G( s) ( ) Re s G, p s + p R s + p dove l geerco resduo R è ua costate d espressoe R G( s)( s + p ) s p Ua volta effettuata la scoposzoe fratt seplc, s può procedere alla attrasforazoe: p t g( t) La fuzoe d rsposta all pulso è duque par alla soatora (pesata) d ter espoezal del tpo e p t : cascuo d quest ter è u odo della fuzoe. Per studare la fuzoe d rsposta all pulso, dobbao studare le caratterstche de sgol od, qual soo a loro volta legat a pol p, p,..., p della fuzoe d trasfereto. Tutto dpede, qud, dalla poszoe de pol el pao coplesso. Dato, allora, l geerco odo e p t, cas possbl soo due: se p è u uero reale, l tere e p t è u espoezale e qud s parla d odo aperodco (o odo espoezale); R e se p è u uero coplesso, l tere e e e p t Re( p ) t ji( p ) t è l prodotto tra u espoezale ed ua fuzoe crcolare e s parla d odo pseudoperodco. C è po u altra classfcazoe possble, relatva alla stabltà sa de od aperodc sa d quell pseudo-perodc: 7 Autore: Sadro Petrzzell

18 Apput d Cotroll Autoatc - Captolo 3 (parte I) se p è u uero reale postvo, e p t è u espoezale sorzato e s parla qud d odo stable; se, vece, p è u uero reale egatvo, e p t è u espoezale crescete e s parla qud d odo stable; odo aalogo, se p è u uero coplesso co parte reale postva, e p t è u odo stable, etre, se p è u uero coplesso co parte reale egatva, e p t è u odo stable. Da cò s capsce, qud, che l aals della poszoe de pol el pao coplesso forsce edate dcazo crca la stabltà de od della fuzoe d rsposta all pulso. Cosderao, ad esepo, od espoezal (corrspodet coè a pol real): el caso d u polo reale egatvo (odo espoezale stable), quato aggore è l suo valore assoluto tato ore è l tepo che l corrspodete odo pega per sorzars; el caso d polo (reale) ullo, l odo corrspodete è ua costate uguale al relatvo resduo; el caso d u polo reale postvo (odo espoezale stable), l odo corrspodete cresce odo tato pù veloce quato aggore è l valore del polo stesso. Passao a od pseudo-perodc (corrspodet coè a pol copless): el caso d u polo a parte reale egatva (odo stable), s ottee ua oscllazoe che s sorza tato pù rapdaete quato aggore è l valore della parte reale; el caso d polo a parte reale ulla, s ottee ua oscllazoe d apezza costate; el caso d u polo a parte reale postva (odo stable), s ottee ua oscllazoe d apezza crescete tato pù rapdaete quato aggore è l valore della parte reale stessa. Rcordao che, base al teorea fodaetale dell algebra, se c è u polo coplesso, c sarà ache l suo coplesso cougato: a due pol corrspoderao due oscllazo avet le stesse caratterstche d sorzaeto o ecctazoe, a sfasate d 8. F qu abbao duque cosderato l portaza de pol della fuzoe d trasfereto. No dobbao però trascurare l portaza degl zer della fuzoe d trasfereto, qual fluscoo essezalete sul valore de resdu: fatt, l geerco resduo Rj assocato al polo j-so è ua costate d espressoe Autore: Sadro Petrzzell 8

19 Sste dac lear R G( s)( s + p ) j j sp j α j ( p + z ) j ( p + p ) j e la frazoe a secodo ebro ha u valore strettaete legato al valore degl zer d G(s). Vedreo, ad og odo, seguto che gl zer hao ua portaza fodaetale sulla rsposta del sstea alle sollectazo. Mod doat e crtero delllla doaza Torado adesso all espressoe della fuzoe d rsposta all pulso, possao scoporre la soatora odo da separare od espoezal dagl altr: dcado co r l uero d pol real e co w quello d pol copless (cougat), possao scrvere che r w pt pt pt g( t) R e R e + R e od co pol real od co pol copless Cosderado, po, che per pol copless cougat possao scrvere geerale che pt Re( p ) t ji( p ) t σ t R e R e e ρ e cos( ω t + θ ) abbao che r pt pt t g( t) R e σ R e + ρe cos( ω t + θ ) od co pol real w od co pol copless Naturalete, base alle cosderazo fatte precedeza, è charo che o tutt od hao lo stesso peso: c soo fatt od stabl (coè quell che sorzao) che scopaoo presto e qud possoo essere spesso trascurat. Sarebbe allora utle poter cooscere odo edato cosddett od doat, ossa quell che hao la aggore flueza sulla daca del sstea. Lo strueto che c auta questo è la cosddetta doaza, che adao ad llustrare. Itato, c s basa sulla rsposta al grado, ossa sulla rsposta che l sstea produce quado gresso è applcato u grado utaro: sepre ell potes d codzo zal ulle (l che sgfca che cosderao solo la rsposta forzata), rcordado che la trasforata del grado utaro è /s, abbao che la fuzoe d trasfereto del sstea, che s dca questo caso co H(s), assue l espressoe G( s) H( s) s b s + b s b a s + a s a s 9 Autore: Sadro Petrzzell

20 Apput d Cotroll Autoatc - Captolo 3 (parte I) E evdete che la preseza del tere /s cofersce alla fuzoe H(s) u polo pù rspetto a pol della fuzoe G(s) e, precsaete, u polo seplce ell orge. Possao allora rscrvere H(s) ella fora seguete: H( s) α j ( s + z ) ( s+ p ) j oppure Q + s s dove Q è l resduo d G(s) el polo s, etre gl altr soo resdu e pol raet (gl stess d G(s)): Q l sh( s) l G( s) l R s s s α p j ( p + z ) ( p + p ) j α j ( s+ z ) ( s+ p ) I base a queste relazo, qud, resdu dello svluppo della fuzoe H(s), trae l pro (coè Q ), soo gl stess dello svluppo d G(s), a patto però d dvdere cascuo d quest resdu per l polo cu è stato calcolato. Allora, dcado co R resdu d G(s)e dcado co Q quell d H(s), possao scrvere quest ulta ella fora Q Q Q ( R p / ) H( s) + + s s + p s s + p Allora, l crtero della doaza dce che l portaza d cascu odo dpede dal valore del corrspodete tere R /p : quato questo rapporto è pccolo, allora l odo corrspodete potrà essere trascurato. j R s+ p α j p z j Esepo Cosderao u sstea che abba la seguete fuzoe d trasfereto: G( s) ( s+. 5)( s + ) S tratta d ua fuzoe avete due pol seplc, per cu la sua scoposzoe fratt seplc sarà del tpo G( s) Re s( G,. 5) Re s( G, ) + s +. 5 ( s + ) Autore: Sadro Petrzzell

21 Sste dac lear Facedo calcol, s trova edataete che Re s( G,. 5) G( s)( s+. 5) 53. s. 5 Re s( G, ) G( s)( s+ ) 53. s per cu corrspodet rapporto d doaza soo 53. s. 5 D s D Essedo D<<D, l crtero della doaza c dce che l cotrbuto del polo s è scuraete trascurable rspetto a quello dell altro polo. s+. 6 Se la fuzoe d trasfereto fosse vece stata G( s) ( s+. 5)( s + ), sarebbe rsultato Re s( G,. 5) G( s)( s+. 5). 5 s. 5 Re s( G, ) G( s)( s+ ) s e qud rapport d doaza sarebbero stat. 5 s. 5 D s D I questo caso, due rapport soo cofrotabl tra d loro, per cu essuo de due od può essere trascurato rspetto all altro. Questo esepo ette bee evdeza quale sa l portaza degl zer della fuzoe d trasfereto sulla doaza. Lt del crtero della doaza Il crtero della doaza appea esposto o fuzoa sepre. Cosderao, ad esepo, u sstea la cu fuzoe d trasfereto H(s) abba zer e pol coe quell dcat ella fgura seguete: I Re Autore: Sadro Petrzzell

22 Apput d Cotroll Autoatc - Captolo 3 (parte I) C soo due pol abbastaza vc all orge e altr due abbastaza lota dall orge. Idcato co R l resduo uo qualsas d quest due pol lota dall orge, sarà R α j ( p z ) ( p + p ) j Allora, l deoatore della frazoe dveta olto grade quado p e p soo propro due pol dstat dall orge e questo perché, essedo tal pol olto ravvcat, la loro dffereza è pccola. Il corrspodete rapporto d doaza R /p può allora rsultare grade, l che dcherebbe, base al crtero della doaza, u odo abbastaza portate. Al cotraro, sappao bee che, vece, questo odo o è portate, quato è u odo espoezale sorzato corrspodete ad u polo reale egatvo ed elevato valore assoluto. Ecco, qud, u tpco caso cu l crtero della doaza o è effcace: geerale, tale crtero o fuzoa el caso d pol ultpl oppure el caso d pol olto ravvcat coe el caso appea esaato. Autore: SANDRO PETRIZZELLI e-al: sadry@ol.t sto persoale: Autore: Sadro Petrzzell