Sommario (3) I fluidi: nuove grandezze, la densità e la pressione. Dinamica dei fluidi: equazione di continuità. Sedimentazione e centrifugazione

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1 Sommario (3) I fluidi: nuove grandezze, la densità e la pressione Statica dei fluidi Dinamica dei fluidi: equazione di continuità Bernoulli e attrito nei fluidi Trasporto in regime viscoso Sedimentazione e centrifugazione Esercizi: il sistema cardiocircolatorio

2 Lezione 7 (22/10/2015) Statica dei Fluidi

3 I fluidi 3 stati della materia: 1. Solido: mantiene sempre la sua forma anche se applichiamo forze 2. Liquido: forma del contenitore ma non comprimibile 3. Gassoso: forma del contenitore e altamente comprimibile Le proprietà della materia dipendono fortemente dalla struttura atomica, cioè dalla disposizione degli atomi gli uni rispetto agli altri e dalle forze tra loro

4 Struttura del diamante, Atomi disposti in posizioni ben definite, struttura regolare e ordinata Stati della materia acqua liquida Molecole disordinate ma vicine le une alle altre, compattezza! I fluidi comprendono liquidi e gas Fluido <=> Fluire i fluidi, al contrario dei solidi hanno capacità di scorrimento

5 Densità Nello studio dei fluidi introduciamo la densità come grandezza nuova che esprime il rapporto tra la massa di una data quantità di fluido e il volume occupato: d=m/v kg/m 3 o g/cm 3 I fluidi non hanno volume proprio! La minore densità della materia allo stato gassoso è dovuta alla maggiore distanza tra le particelle Ghiaccio e acqua liquida Nonostante i liquidi di solito abbiano densità minore dei solidi, il ghiaccio rappresenta un eccezione! Nel ghiaccio la struttura regolare mostra dei buchi che ne diminuisce la densità!

6 Volume e massa Siccome i fluidi non hanno volume proprio, ci si deve domandare quale sia la massa di un fluido che occupa un volume V. Esempio: abbiamo una sostanza in una siringa che occupa un volume di 3 ml. Quale massa ha? Dipende dalla densità, maggiore la densità e maggiore sarà la massa d=m/v => m=d*v => m=d*3ml Se abbiamo acqua allora (d = 1 g/cm 3 ): m=??? Se abbiamo una sostanza con d= 1.2 g/cm 3 m=??? 300 g di farina NON occupano lo stesso volume di 300 g di riso!!!

7 Pressione Nello studio dei fluidi introduciamo la pressione come grandezza nuova che esprime il rapporto tra la componente della forza applicata sulla superficie di liquido e ivi perpendicolare e la superficie stessa: P=F/S La pressione è uno scalare! Se applichiamo una forza alla superficie di un liquido possiamo scomporla in una forza tangenziale alla superficie e una perpendicolare La forza tangenziale produce una perturbazione del liquido vicino alla superficie La forza perpendicolare, applicata attraverso un pistone, viene invece sentita in tutto il liquido: Principio di Pascal 1 Pascal=1N/m 2 In un fluido in equilibrio le forze tangenziali sono nulle Qualsiasi elemento di fluido sente la stessa pressione P = F/S

8 Pascal: esempi Torchio o pressa idraulica: Isotropia della pressione P=F in /A in =F out /A out => F out =F in *A out /A in F in =100 kg*g A in =0.5 m 2 A out =10 m 2 => F out =100*10/0.5 kg*g=2000 kg*g Moltiplicatore o demoltiplicatore di forze

9 Principio di Stevino Qual è la pressione all interno di un fluido a una profondità h dalla superficie? PA+mg=(P+ΔP)A => ΔPA=mg ΔP=mg/A m=dv=d*a*δh => ΔP=d*A*Δh*g/A=dgΔh ΔP=dgΔh P(h)=dgh Esperimento di Torricelli: un tubo pieno di mercurio viene rovesciato in una vaschetta. Il livello del mercurio si stabilizza a 76 cm dalla superficie della vaschetta. Cosa equilibria il mercurio? P=13.6 g/cm 3 *980 cm/s 2 *76 cm= 1.012*10 5 Pa

10 P=dgh Barometro ad acqua

11 Principio di Archimede I corpi immersi in un liquido sembrano essere più leggeri Principio di Archimede: qualsiasi corpo immerso in un fluido riceve una spinta (forza) dal basso verso l alto pari al peso di acqua spostata dal corpo stesso F A =F 2 -F 1 =(P 2 -P 1 )*A=d F g(h 2 -h 1 )*A =d F Vg=m F g F TOT =F P -F A =mg-m F g=(d-d F )Vg

12 Galleggiamento Un corpo galleggia quando la spinta di Archimede bilancia completamente la forza peso 2 m 3 legno =>1200 kg 2 m 3 acqua => 2000 kg Il legno sommerso riceve una spinta dal basso verso l alto: galleggiamento! Il ghiaccio ha una densità minore dell acqua Un iceberg galleggia, che volume si trova sotto la superficie dell acqua? F P =mg=v I d I g Acqua spostata F A =V F d F g V I d I g= V F d F g => V F /V I =d I /d F =0.92/1.025=0.90 Il 90% dell iceberg sta immerso!

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15 Portata di un condotto Portata: quantità di volume che passa attraverso una superficie in un tempo Δt: Q=ΔV/Δt [m 3 ]/[s] Q=ΔV/Δt ΔV=SΔl=SvΔt => Q=SvΔt/Δt=Sv!v perpendicolare a S! Se la velocità del fluido non è la stessa su tutta la superficie, occorre utilizzare il calcolo integrale per valutare la portata, introducendo una velocità media: v media = S Q = v media S Possiamo avere anche il caso di una superficie qualsiasi S, nel qual caso la portata è: Q = S r v r n ds = S vcosϑ ds v(s)ds S

16 Equazione di continuità Per un fluido che scorre in un condotto senza perdite e in moto stazionario, la portata è uguale in tutti i punti del condotto perché la massa si deve conservare: tutto ciò che entra da una parte esce dall altra Poiché deve essere valido per tutti i punti del condotto abbiamo: Q=costante => Sv=S v => v =S/S *v Se come in questo caso S <S troviamo che v > v L equazione di continuità è il principio di conservazione della massa e come tutti gli altri principi di conservazione gioca un ruolo importante nella dinamica dei fluidi.

17 L equazione di continuità può essere generalizzata a una superficie chiusa. Nella figura a sinistra il flusso attraverso la superficie chiusa deve essere zero, tutto ciò che entra da una parte esce dall altra: Q = S r v r n ds = 0 Generalizzazione Per la figura a destra, dove è presente una sorgente di portata Q 0, il flusso uscente dalla superficie deve essere uguale alla portata della sorgente stessa: Q = S r v r n ds = ±Q 0 Questo integrale, che chiamiamo flusso di v attraverso la superficie S, lo ritroveremo in elettrostatica!!!

18 Bernoulli Il principio di Bernoulli non è altro che un principio di conservazione dell energia applicato a una massa di liquido che scorre. Le energie in gioco sono l energia cinetica l energia potenziale il lavoro delle forze di pressione Se sul ramo di sinistra agisce una pressione P 1, la forza deve valere, per definizione, F 1 =P 1 *A 1 Quindi in seguito allo spostamento Δl 1 si ha: ΔL 1 =F 1 *Δl 1 =P 1 *A 1 *Δl 1 ΔL 1 =P 1 *ΔV dove ΔV è il volume di liquido spostato Nei fluidi il lavoro è dato da una variazione di volume!!!

19 Bernoulli Allo spostamento di volume ΔV dovuto alla pressione P 1 corrisponde uno spostamento dello stesso volume contro la pressione P 2, che si oppone al moto. Il lavoro è quindi negativo ΔL 2 =-P 2 ΔV Quindi ΔL P =ΔL 1 +ΔL 2 ΔL P =(P 1 -P 2 )*ΔV Invece il lavoro per andare da 1 a 2 contro la forza peso ΔL g vale U 1 -U 2 : ΔL g =F Peso *(y 1 -y 2 )=-Δm*g*(y 2 -y 1 )

20 Dal Teorema dell energia cinetica Bernoulli ΔL=ΔK=K 2 -K 1 =0.5*Δm*v *Δm*v 1 2 ΔL P +ΔL g =ΔK (P 1 -P 2 )*ΔV-Δm*g*(y 2 -y 1 )=0.5*Δm*v *Δm*v 1 2 Esistono diverse maniere di scrivere l equazione di Bernoulli, vediamo la sua forma rispetto alla pressione.

21 Bernoulli (P 1 -P 2 )*ΔV-Δm*g*(y 2 -y 1 )=0.5*Δm*v *Δm*v 1 2 Siccome Δm=d*ΔV abbiamo: (P 1 -P 2 )*ΔV-d*ΔV*g*(y 2 -y 1 )=0.5*d*ΔV*v *d*ΔV*v 2 1 In tutti i termini compare ΔV e quindi lo semplifichiamo ottenendo: (P 1 -P 2 )-d*g*(y 2 -y 1 )=0.5*d*v *d*v 2 1 Spostiamo a sinistra tutti i termini 1 e a destra quelli 2 ottenendo: P dv 12 +dgy 1 = P dv 22 +dgy 2

22 Bernoulli Cosa vuole dire? Che la somma del termine della pressione, quello della velocità e quello della forza peso non dipende da dove la calcoliamo, cioè possiamo scrivere che la somma di questi tre termini deve essere una costante: P dv 12 +dgy 1 = P dv 22 +dgy 2 = costante Nonostante in questa forma, più facile da ricordare, ciascun termine ha le dimensioni di una pressione, l equazione esprime la conservazione dell energia: la soma dell energia dovuta alla pressione, del termine cinetico e di quello potenziale sono costanti!!! Se non avessimo diviso per ΔV avremmo mantenuto le dimensione dell energia!!!

23 Tubo di Venturi Esempi P dv 12 +dgy 1 = P dv 22 +dgy 2 P dv 12 = P dv 2 2 La pressione è minore dove la velocità è maggiore. È vero? ESEMPI: Soffiando tra due fogli di carta questi si avvicinano Porta che sbatte con il vento Uscita dal cinema Pensare alla teoria cinetica dei gas dove la pressione è la misura degli urti delle molecole sul contenitore!!!

24 Torricelli P dv 12 +dgy 1 = P dv 22 +dgy 2 P 1 =P 2 =pressione atmosferica v 2 0 immaginiamo che si svuoti lentamente 0.5dv 12 =dg(y 2 -y 1 ) => v 1 = 2g(y 2 y 1 ) Ricorda qualcosa? Meccanica: velocità di caduta di un oggetto da un altezza h!

25 Barche a vela P dv 12 +dgy 1 = P dv 22 +dgy 2 Se applichiamo Bernoulli al fluido che scorre sulle vele si ha: y 1 =y 2 Rimane solo pressione + En. Cinetica P ext +K ext =P int +K int La velocità dell aria che scorre sulla parte esterna della vela è maggiore di quella che scorre sulla parte interna: Quindi si ha che K ext > K int allora P ext < P int Forza efficace (F vento ) che spinge sulla vela! La forza che agisce sulla barca è poi la risultante di questa forza + la forza di resistenza dell acqua sulla chiglia (F acqua ) Le barche a vela navigano (quasi) controvento! Stesso principio per le ali degli aeroplani!

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27 Esercizio 1 Un lungo recipiente cilindrico, di raggio esterno 26 cm e che vuoto peserebbe 103 N, contiene al suo interno 20 litri di acqua. Si calcoli a quale profondità si troverà la base del recipiente, se fosse immerso in acqua, una volta raggiunta la condizione di equilibrio. Fp=103N+20kg*g= 299N Equilibrio: Fp=SA=m g=dv g Fp=d*26cm*h*g V

28 Esercizio 2 Immergendo in acqua due oggetti esteriormente identici come forma e materiale, il primo emerge per il 33% del suo volume ed il secondo, a causa di una cavità interna vuota, emerge per il 55%. Che percentuale del volume totale è occupata dalla cavità? 1) Sa=Fp m g=d 1 Vg dv g=d 1 Vg d*0.67*vg=d 1 Vg 2) Sa=Fp m g=d 2 Vg dv g=d 2 Vg d*0.45*vg=d 2 Vg d 2 /d 1 =0.45/0.67 d 2 =d 1 *0.45/0.67<d 1 m 2 =d 2 *V=d 2 *V V V-V =cavita (V-V )/V=1-V /V=1-d 2 /d 2 d 2 =d 1 1-V /V=1-d 2 /d 1 =1-0.45/0.67= %

29 Esercizio 3 Nel ramo di sinistra di un tubo ad U può scorrere liberamente uno stantuffo a tenuta, che ha una superficie di 97 cm 2, mentre il ramo di destra è del tutto aperto verso l'alto. Quando da destra si versa nel tubo un certo fluido, la colonna nel ramo di sinistra, sotto lo stantuffo, risulta 0.4 cm più bassa di quella nel ramo di destra. Se poi da sinistra, sopra lo stantuffo, si versano 1.8 litri d'acqua, il dislivello tra le 2 colonne del primo fluido diventa di 2.66 cm. Quale è pertanto la densità di questo fluido e che massa ha lo stantuffo? ΔP=dgΔh 1 =m 1 g/a Non conosco m 1 e d, ho bisogno di un altra relazione Δh 1 Se aumento la massa di 1.8 kg il dislivello sale ancora di cm: m 2 =1.8 kg => Δh cm m 2 g/a=dgδh 2

30 Esercizio 4 Un cilindro di 130 g, cavo all'interno e con pareti di lamiera sottile, galleggia sull'acqua, emergendone per 47% del suo volume. Se si dovesse aprire un piccolo foro sul fondo, quanti litri d'acqua potrebbe imbarcare il cilindro, prima di affondare definitivamente? m=130g => Fp=0.130*9.8= N All equilibrio: Sa=m g=dv g=d*0.53*v*g=1.274n La parte che sta fuori si immergerà se verrà aggiunta una quantità di acqua uguale al volume stesso che sta fuori: La spinta di Archimede è esattamente UGUALE alla forza peso dell acqua che viene aggiunta V =53%V

31 Esercizio 5 Un recipiente metallico chiuso, alto 7 m, è diviso in 2 parti da un pistone orizzontale a tenuta, perfettamente libero di muoversi. Sul fondo poi è collegato con un lungo tubo verticale, aperto verso l'alto. Inizialmente il pistone è completamente abbassato ed il recipiente è completamente pieno d'aria a pressione atmosferica; poi nella parte inferiore attraverso il tubo viene introdotta acqua fino ad un'altezza di 3.3 m. Per tenere il pistone in equilibrio in queste condizioni, che dislivello deve esserci tra l'acqua nel tubo e quella nel recipiente? P 1 V 1 =P 2 V 2 P 1 =1atm V 1 =A*h 1 V 2 =A*h 2 P 2 =P 1 *h 1 /h 2 =1*7/3.7atm= 1.89 atm ΔP= atm=0.89 atm ΔP=dgh h=δp/(dg) Δh ΔP 3.3m 7m

32 Lezione 8 (23/10/2015) Fluidi reali: il gradiente di pressione L attrito come viscosità Formula di Poiseuille Quando f è proporzionale a v Regime turbolento Velocità di trascinamento Corso riallineamento

33 Fluidi reali P dv 12 +dgy 1 = P dv 22 +dgy 2 P 1 v 1 h 1 P 2 v 2 h 2 Poiché il condotto ha sezione costante, per l equazione di continuità v 1 =v 2, e poiché è orizzontale h 1 =h 2, abbiamo quindi: P 1 =P 2 o ΔP=0 Questa condizione vale quando gli attriti vengono trascurati! In un fluido reale dobbiamo scrivere: P dv 12 +dgy 1 = P dv 22 +dgy 2 +P A Dove P A rappresenta la pressione persa per attrito. Si ha quindi: ΔP*ΔV=E A ovvero occorre una differenza di pressione per far muovere un fluido a velocità costante in un condotto rettilineo ove vi siano degli attriti

34 Viscosità La viscosità esprime la difficoltà di un fluido reale a scorrere. La viscosità è la grandezza che quantifica l attrito nei fluidi. Nei liquidi dipende principalmente dalla forza di coesione tra le molecole, cioè dipende dalla struttura microscopica del liquido. Nonostante la sua natura molecolare, l evidenza macroscopica è rappresentata in figura: per far muovere un piatto mobile che galleggia sulla superficie del liquido occorre applicare una forza F. Questa forza è tanto maggiore quando maggiore è la viscosità del liquido.

35 Viscosità Per velocità non troppo elevate il fluido al di sotto del piatto mobile scorre in regime laminare: il fluido è stratificato e ogni strato ha una velocità diversa. Se partiamo dal piatto mobile lo strato sottostante si muove a velocità minore e così via sino ad arrivare all ultimo strato in contatto con il piatto fisso, il quale, a causa dell attrito, ovvero le forze di adesione tra liquido e piatto, avrà velocità quasi zero. La differenza di velocità tra gli strati dipende dalla viscosità del fluido: più il fluido è viscoso e più è difficile far scorrere gli strati tra loro F=-ηA(v 1 -v 2 )/l si misura in poise=g/(cm*s) o S.I. Pa*s dove A è l area del piatto e l la distanza tra gli strati le cui velocità sono v 1 e v 2.

36 Viscosità Anche in questo caso la struttura di questa formula ricorda F=ma. Sotto l azione della forza F, lo strato di area A subisce un gradiente di velocità inversamente proporzionale al valore della viscosità del liquido F=-ηA(v 1 -v 2 )/l Il miele ha una viscosità molto maggiore dell acqua, difficile farlo scorrere, tra le lamine non c è differenza (gradiente) di velocità! La viscosità diminuisce (miglior scorrevolezza) con la temperatura!!! Ovvero aumenta a bassa temperatura! Perché? Domanda: se dividiamo F/A, si può parlare di pressione applicata?

37 P1 v h Resistenza Concetto di resistenza di un condotto: P2 v h R = ΔP Q Rapporto tra la differenza di pressione che applichiamo a un condotto e la portata che otteniamo Q=Sv Per un condotto rettilineo si ha per la resistenza: Dove l è la lunghezza del condotto, r il raggio e η la viscosità del fluido R = 8 ηl π r 4 I condotti di sezione piccola hanno una resistenza molto alta Se dimezziamo il raggio la resistenza aumenta di un fattore 16!

38 R = ΔP Q Definizione Poiseuille Legge empirica R = 8 ηl π r 4 Dalle due precedenti relazioni si ricava la legge di Poiseuille: 8 ηl π r = ΔP 4 Q Ovvero Q ΔP Q = π 8 r 4 ηl ΔP La portata è proporzionale alla differenza di pressione applicata ai due estremi del condotto: in un fluido reale è la differenza di pressione che genera il movimento del fluido!

39 Poiseuille Se riscriviamo l equazione per un fluido che scorre in un condotto a sezione circolare e ricordandoci l espressione della portata: Sezione circolare S=πr 2 Q = π 8 r 4 ηl ΔP = π 8 r 4 ηl F S = r2 8 F ηl Q = Sv πr 2 v = r2 8 F ηl F v F = 8πηlv La velocità di scorrimento proporzionale alla forza applicata è tipica di una forza d attrito: in macchina, per andare a velocità maggiore dovete aumentare i giri del motore, ovvero più forza! F=forza totale?

40 Velocità critica Il regime laminare, che ha un profilo di velocità parabolico, dura sinché la velocità non aumenta a un valore detto critico, oltre il quale si ha un regime detto turbolento, in cui appaiono dei vortici. Questi vortici provocano un aumento degli attriti e quindi più energia si perde per far scorrere il fluido. Il moto laminare è anche detto moto silenzioso, al contrario del moto turbolento che viene detto rumoroso

41 In regime laminare la portata è proporzionale alla pressione applicata Q ΔP Regime turbolento In regime turbolento invece abbiamo che tutto il fluido è pervaso da vortici, cioè energia viene spesa in eccesso per creare questi vortici. La resistenza è quindi proporzionale al volume di fluido che transita, cioè la portata: R=KQ dove K è una costante, il fattore di attrito. Quindi abbiamo: R = Δp Q = KQ Q Δp

42 Regime turbolento Q ΔP A parità di pressione la portata diminuisce, il regime turbolento ha una dispersione di energia per attrito maggiore (i vortici)! Velocità critica, velocità alla quale il regime passa da laminare a turbolento R = Numero di Reynolds, che permette di calcolare la v c Vale circa 1200 per condotti rettilinei regolari Vale meno di 1200 in corrispondenza di strozzature dove è più facile avere un moto turbolento!!! v C = Rη dr

43 v C = Rη dr Paradosso del fiume e del torrente Se il raggio di un condotto è molto grande la formula ci dice che la velocità critica è bassa Caso del fiume e del torrente: Ammettiamo che il fiume sia in regime laminare, quando viene diminuita la sua sezione cosa succede? In un torrente il raggio è piccolo, la velocità critica aumenta, il regime laminare sembra più probabile di quello turbolento! Paradosso! Di solito i torrenti hanno un regime turbolento

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45 Poiseuille e attrito F v La velocità di scorrimento proporzionale alla forza applicata è tipica di una forza d attrito: in macchina, per andare a velocità maggiore dovete aumentare i giri del motore, ovvero più forza!

46 Trasporto in regime viscoso F=ma => moto uniformemente accelerato, a = costante Ma nei fluidi reali non ci sono moti uniformemente accelerati! infatti nei fluidi reali c è attrito = viscosità del fluido per far scorrere un oggetto a velocità costante bisogna applicare una forza costante

47 Forza di attrito: il caso del paracadutista Consideriamo il caso di una forza costante come quella peso che agisce su una particella immerso in un fluido F=mg La forza di attrito che si oppone al moto della particella dipende dalla velocità della particella, maggiore velocità = maggiore attrito: F A =-f v il segno meno indica una forza che si oppone al moto! Appena messa in movimento la particella sente una forza di attrito piccola, essendo la sua velocità piccola, e procede quindi di moto accelerato, perché F(peso)>F A

48 Forza di attrito: il caso del paracadutista All aumentare del tempo la velocità aumenta sino a che la forza di attrito uguaglia la forza motrice (peso), e si ha: F A +F=0 => -fv+f=0 => v=f/f Da questo momento in poi la particella procede a velocità costante e v S =F/f si chiama la velocità di trascinamento Nota bene: benché la forza che provoca il movimento sia la forza peso, i corpi NON cadono tutti alla stessa velocità di trascinamento, perché siamo in presenza di attrito!!! v S =F/f=mg/f La velocita di trascinamento è maggiore per i corpi di massa maggiore? Solo a parità di attrito (f)!!!

49 Legge di Stokes v S =F/f f=coefficiente di attrito 1/f=µ=coefficiente di mobilita v S =µf Il coefficiente di attrito dipende 1. Forma della particella 2. Proprietà del fluido Per una particella sferica vale la legge di Stokes: F A =-6πrηv ovvero f=6πrη Dove r rappresenta il raggio della particella Questa legge non è valida solamente per le particelle sferiche. Spesso in soluzione le particelle sferiche vengono legate fortemente da molecole del solvente, che sono considerate parte della particella, cioè anch esse si muovono con la particella

50 v C = Rη dr Paradosso del fiume e del torrente Se il raggio di un condotto è molto grande la formula ci dice che la velocità critica è bassa Caso del fiume e del torrente: Ammettiamo che il fiume sia in regime laminare, quando viene diminuita la sua sezione cosa succede? In un torrente il raggio è piccolo, la velocità critica aumenta, il regime laminare sembra più probabile di quello turbolento! Paradosso! Di solito i torrenti hanno un regime turbolento Se dimezzo il raggio del condotto ho che: v c => 2v c Raddoppia Però dall equazione di continuità: Q=Sv v=> 4v Quadruplica Passo in regime turbolento!

51 Tecniche di separazione

52 Tecniche di separazione Esistono tre tecniche di laboratorio usate per separare particelle diverse e che si basano sui principi del trasporto in regime viscoso 1. Sedimentazione 2. Centrifugazione 3. Elettroforesi Si differenziano prima di tutto per la forza motrice che fa muovere le particelle da separare 1. Sedimentazione: F=mg forza peso 2. Centrifugazione: F=mω 2 R forza centrifuga 3. Elettroforesi: F=qE forza elettrica

53 Limiti delle tecniche A parte le problematiche tecniche dei composti da separare si possono già dare dei limiti di applicazione di queste tecniche Sedimentazione: solo per particelle la cui densità è maggiore di quella del solvente e tecnica molto lenta Elettroforesi: solo per particelle cariche, non distingue tra particelle aventi la stessa carica Centrifugazione: risolve i problemi della sedimentazione, funziona per particelle con densità qualsiasi ed è molto veloce

54 Sedimentazione Particelle pesanti in un fluido si depositano (sedimentano) sul fondo del contenitore per effetto della gravità Per avere sedimentazione occorre che la densità delle particelle sia maggiore di quella del fluido, altrimenti si ha galleggiamento Forze che agiscono su una particella che sedimenta in un fluido 1. Forza di gravita, è la forza motrice F=mg 2. Forza di Archimede, si oppone al moto S A =-m g 3. Forza di attrito, si oppone al moto F A =-fv

55 Equazione F+S A +F A >=0 Condizione di velocità costante mg-m g=fv S dvg-d Vg=(d-d )Vg=fv S v S = (d d')vg f v S g Per particelle sferiche possiamo usare la formula di Stokes: v S = (d d')vg f = (d d')4 /3πr3 6πηr = 2 9 (d d')r 2 g η

56 Esempio Sedimentazione Eritrociti nel sangue η=0.01 poise g/(cm s) (cgs) r= 3.5 µm d Er = g/cm 3 d = g/cm 3 v S = 2 9 v S = 2 9 ( )g cm 3 v S = cm (d d')r 2 g η cm cm s 2 cms 0.01g s =1.94 cm 10 4 s = 7 mm h Se la velocità è molto diversa può dipendere 1. Forma eritrociti 2. Composizione plasma

57 Centrifugazione Come visto usando la sedimentazione le velocità di trascinamento risultano essere molto piccole (mm/h). Questo rende impossibile separare dei composti per delle analisi di laboratorio che a volte devono dare delle risposte veloci. Una maniera di velocizzare il processo è quello di usare le centrifughe o ultracentrifughe. Nella sedimentazione la forza motrice è quella di gravità, cioè le particelle subiscono un accelerazione costante pari a g=9.8 m/s 2. Questa accelerazione costante rappresenta il punto debole della sedimentazione!

58 Centrifuga Una centrifuga è costituita da un rotore a cui è attaccato un braccio di lunghezza R e a cui si fissa una provetta con il composto da analizzare. Quando il rotore gira a velocità angolare costante (ω) siamo di fronte a un moto circolare uniforme. Il composto nella provetta subisce un accelerazione (detta appunto centrifuga) pari a ω 2 r 0. Tarando opportunamente la dimensione della centrifuga r 0 e la velocità angolare si possono avere grandi accelerazioni

59 Formula v S = (d d')vg f Nella formula della sedimentazione basta sostituire l accelerazione di gravità con l accelerazione centrifuga v S = (d d')vω 2 r 0 f Nelle centrifughe si possono separare anche composti con densità minore di quella del fluido.

60 Centrifuga preparativa d1 d2 d3 d4 d5 Se prepariamo una provetta con soluzioni non miscibili e a densità diversa, se inseriamo composti diversi questi dopo la centrifugazione si troveranno in strati diversi a seconda della loro densità. Anzi occuperanno lo strato in cui la loro densità uguaglia quella della soluzione Se d=d i v S =0 v S = (d d')vω 2 r 0 f

61 S = v s ω 2 r 0 = (d d')v f Dettagli Per un dato composto in solvente si può definire il coefficiente di sedimentazione: S=[t] Svedberg s v S =S*ω 2 r 0 Albumina S=4.6 Sved. in acqua a 20 o C Se usiamo una centrifuga con ω 2 r 0 = 10 4 g=10 5 m/s 2 =10 7 cm/s 2 v S =4.6*10-13 s*10 7 cm/s 2 = 4.6*10-6 cm/s v S =1.7 * 10-2 cm/h

62 Forza elettrica Migrazione in un fluido di particelle cariche sottoposte all azione di un campo elettrico esterno Se consideriamo un circuito come in figura, una pila che alimenta due elettrodi immersi in una soluzione tenuti a una differenza di potenziale V, tra gli elettrodi si stabilisce una forza elettrica costante che agisce su tutte le particelle cariche della soluzione F=qV/L=qE dove L è la distanza tra gli elettrodi, q la carica generica della particella, ed E è il campo elettrico

63 Elettroforesi Migrazione in un fluido di particelle cariche sottoposte all azione di un campo elettrico esterno F=qE E = campo elettrico (V/m) q = carica delle particelle v S = qe f = qe 6πηr In questo caso non si considera la forza di Archimede perché è perpendicolare alla direzione di migrazione Le forze elettriche sono molto più grandi della forza di gravità!

64 Mobilità Si definisce mobilità elettroforetica il rapporto µ e = q f Si misura in [(µm/s)/(v/cm)] v S = µ e E Per l albumina (proteina) la mobilità elettroforetica è di 0.5, cioè l albumina ha una velocità elettroforetica di 0.5 µm/s per un campo elettrico di 1 V/cm E=20 V/cm v S =0.5*20 µm/s v S =10 µm/s=3.6 cm/h

65 Esempio Centrifugazione Data una centrifuga con braccio r 0 =10 cm e frequenza di rotazione di 10,000 giri/min trovare l accelerazione centrifuga e confrontarla con g ω=2π*10 4 /60 s -1 a=(2π*10 4 /60 ) m/s 2 = 10 4 g v S = (d d')vω 2 r 0 f Velocità di sedimentazione eritrociti 7 mm/h Con la centrifuga v=7*10 4 mm/h =20 mm/s= 1200 mm/min=1.2 m/min Nelle ultracentrifughe le accelerazioni sono pari a 10 6 g

66 Isoelettrico Sistemi molecolari come gli amino acidi (che costituiscono le proteine) hanno gruppi chimici con cariche permanenti. Naturalmente la carica degli amino acidi dipende dal ph della soluzione (attraverso il processo di protonazionedeprotonazione), cosicché la carica totale di una data molecola dipende dal ph della soluzione Il ph per il quale una data molecola ha carica nulla (non presenta attività elettroforetica) è detto punto isoelettrico della molecola. v S = qe f = qe 6πηr

67 Lezione 9 (26/10/2015) Sistema cardiocircolatorio

68 Sistema cardiocircolatorio Sistema chiuso Il cuore è la pompa che mette in movimento il sangue Pressione arteriosa: cosa viene misurato? Cosa significa 120 mmhg? A differenza di un acquedotto cittadino che serve le case, i condotti del corpo umano, arterie e vene, non sono rigidi ma altamente deformabili.

69 Circolazione del sangue V TOT = 6 l

70 Circolazione del sangue: commenti Alcuni utili commenti: 1. il sangue esce dal ventricolo sinistro con una pressione maggiore rispetto al ventricolo destro, perché? 2. Cosa significa una pressione di uscita di 100 mmhg? Da ricordare che la pressione atmosferica vale 760 mmhg, quindi la pressione di uscita sembra essere molto più piccola (circa il 13%) di quella atmosferica. Come fa il sangue a uscire dal cuore se c è una pressione maggiore che ne impedisce l uscita?

71 Equazione di continuità La portata è costante: né emorragie né trasfusioni!!! Quindi: S 1 v 1 = S 2 v 2 S = 5 cm 2 S = 1.25 cm 2 S = 0.5 cm 2 v = 20 cm s 1 v = 80 cm s 1 v = 200 cm/s???

72 Vasi sanguigni

73 Stenosi/aneurisma Se consideriamo i vasi rigidi allora la stenosi/aneurisma sono stazionari. Ma se applichiamo Bernoulli e consideriamo i vasi elastici abbiamo: v 1 <v 2 p 1 >p 2 Queste complicanze non sono stabili con vasi elastici!

74 Misure di flusso/velocità P dv 2 1 = P 2 ΔP = 1 2 dv 2 1 P 1 P 2 Oggi esistono tecniche non invasive, come quella Doppler, per misurare la velocità del sangue nei vasi.

75 Viscosità del sangue Il sangue è costituito da: Plasma: acqua + proteine (7%) + ioni (2%) Globuli rossi: ~5*10 6 /mm 3 Globuli bianchi: ~5*10 3 /mm 3 Piastrine: ~250*10 3 /mm 3 È una buona approssimazione considerare il sangue costituito da acqua e globuli rossi, ovvero un liquido viscoso omogeneo. La viscosità del plasma è circa 1.5 quella dell acqua. La viscosità del sangue dipende fortemente dalla percentuale di globuli rossi (++) e dalla temperatura (--). A bassi valori di ematocrito (anemia) la portata aumenta molto perché la viscosità diminuisce A temperature basse si possono avere fenomeni di congelamento per alta viscosità!!

76 Flusso laminare con accumulo assiale Se il sangue fosse omogeneo, dovremmo avere un profilo di velocità parabolico in regime laminare. Invece la presenza degli eritrociti, particelle abbastanza grandi, crea un accumulo assiale dovuto al loro orientamento nel flusso.

77 Accumulo assiale L accumulo assiale ha però due vantaggi: 1. Siccome la viscosità del fluido aumenta al centro, il gradiente della velocità diminuisce, e il profilo di velocità diventa quasi costante al centro. Questa diminuzione di velocita proprio dove sarebbe più elevata diminuisce la probabilità di avere flusso turbolento, meno attrito!!!

78 Accumulo assiale 2. Poiché ai lati ci sono meno eritrociti, abbiamo essenzialmente plasma, la viscosità diminuisce. Proprio in prossimità delle pareti dove la velocita è prossima allo zero abbiamo un forte incremento dovuto alla minore viscosità. I due fenomeni, perdita di velocità al centro e aumento ai lati, comunque favorisce un aumento della portata, perché la perdita al centro è minore dell aumento ai lati!!!

79 Accumulo assiale e velocità Abbiamo detto che è la velocità a favorire l accumulo assiale, come si può dimostrare?

80 Viscosità e velocità Questa curva mostra la relazione tra pressione applicata e portata e per la formula di Poiseulle abbiamo: Q = π 8 r 4 ηl ΔP Il coefficiente angolare della retta è inversamente proporzionale alla viscosità: maggiore la viscosità più bassa è la curva! 1. In assenza di accumulo assiale la viscosità aumenta (linea a tratti) 2. Per basse velocità la pendenza diminuisce e la viscosità aumenta, perché è la velocità che favorisce l accumulo assiale

81 Viscosità e dimensione dei vasi Un altra importante proprietà della viscosità del sangue è la sua dipendenza dal raggio dei vasi. Quando i vasi diventano così piccoli (meno di 100 μm) da essere comparati alle dimensioni degli eritrociti (6-10 μm), la legge di Poiseuille cessa di essere valida, e il flusso del sangue è legato alla dinamica degli eritrociti: la viscosità diminuisce. Per vasi grandi la viscosità è circa 4 volte quella dell acqua.

82 Resistenza e pressione Un altra considerazione da fare è la relazione tra portata e pressione, ovvero la resistenza delle varie regione dei distretti sanguigni. Negli organi come polmoni, fegato, reni, dediti allo scambio di sostanze attraverso il sangue, si nota una portata elevata e bassa resistenza, per diminuire la perdita di pressione. In figura viene riportata la caduta di pressione passando da un distretto all altro. Si nota come la variazione maggiore sia il passaggio attraverso le arteriole. Si è notato che durante l attività sportiva sono proprio le resistenze delle arteriole che cambiano, diminuendo, per favorire un aumento della portata senza incrementare troppo la caduta di pressione, ovvero meno perdite di energia e meno incremento di lavoro del cuore!!!

83 Resistenza dei vasi: Il flusso laminare si ha sino a una certa velocità, dopodiché se aumenta la pressione ΔP la velocità supera il valore critico e il moto diventa turbolento. In questo regime costa di più aumentare la portata perché si ha una dipendenza dalla radice di ΔP, la curva tende a schiacciarsi

84 Resistenza nelle stenosi: In caso di stenosi il cuore si affatica per 2 motivi: 1. il vaso diventa più piccolo e la resistenza aumenta 2. per mantenere la stessa portata la velocità in corrispondenza della stenosi aumenta ancora di piu e si passa a un flusso turbolento, ove gli attriti aumentano.

85 Circuito idraulico R 1 = ΔP 1 Q ;R 2 = ΔP 2 Q ΔP Q = ΔP 1 + ΔP 2 Q = R 1 + R 2 = R T R 1 = ΔP Q 1 ;R 2 = ΔP Q 2 ;Q = Q 1 +Q 2 Q ΔP = Q 1 ΔP + Q 2 ΔP = 1 R R 2 = 1 R T In un circuito idraulico due resistenze messe in serie, cioè con la stessa portata, hanno una resistenza totale che è la somma delle due R T =R 1 +R 2 Invece due resistenze messe in parallele, con la stessa pressione, hanno una resistenza totale secondo la formula: 1/R T =1/R 1 +1/R 2

86 R = 8 ηl π Esempio r 4 Unità di misura: Pascal*secondo/m 3 R 1 =10 R 2 =20 R = ΔP Q R T =30 R 1 =20 R 2 =10 R T =6.67 R 1 =10 R 2 =10 R T =5!!! Perché la portata è il doppio! Ricorda qualcosa?

87 EFFETTI FISIOLOGICI della PRESSIONE IDROSTATICA La pressione idrostatica è la pressione esercitata da una colonna di liquido sulla propria base per effetto della forza peso: p = d g h Densità acqua: 1.01 g/cm 3 Densità sangue: 1.06 g/cm 3 Densità globuli rossi: 1.10 g/cm 3

88 Se all uscita del cuore la pressione vale 90 mmhg, quanto in alto può salire il sangue? Quanto misura la pressione nelle dita quando il braccio viene disteso in alto? E nel cervello? 760 mmhg=10 metri acqua ~? metri sangue = x 10m x =10m =1.18m Perché alcune persone hanno momenti in cui vedono nero (piloti aerei da guerra/acrobazia)? Pensate all accelerazione centrifuga!

89 Misurare la pressione Principio di misurazione della pressione: sul ramo di sinistra esiste una pressione addizionale che fa salire il livello di Δh a destra: P 2 =P 1 +dgδh Misurazione per inserzione diretta: P +d gh =P+dgh P -P=g(dh-d h )

90 Misurare la pressione Perché la pressione si misura al braccio e non nella coscia? Cosa vuole dire avere una pressione di 120 mmhg? Con lo strumento variamo la pressione dal massimo valore P 1 al minimo P 4. Con lo stetoscopio si sentono le varie fasi dell arteria: da chiusa ad aperta!

91 Lavoro e Potenza Cardiaca Il cuore è la pompa del nostro sistema idraulico e serve a dare al sangue la necessaria energia per circolare, energia che viene persa per attrito sotto forma di calore. Gittata pulsatoria: quantità di sangue immessa dal cuore in circolo a ogni contrazione di un singolo ventricolo, sia dx che sx, 60 cm 3, che può salire a 250 cm 3 sotto sforzo. Domanda: perché la parte destra del cuore è meno sviluppata? Eppure la portata è la stessa per l equazione di continuità!

92 Lavoro e Potenza Cardiaca La frequenza cardiaca è il numero di pulsazioni al secondo: ν=1/t=1/[s] Siccome la quantità di sangue in circolo è di 6 litri, quante pulsazioni (n) ci vogliono per mettere tutto il sangue in circolo? Il tempo per far circolare tutto il sangue è allora n*t e la velocità media: v media = l nt = 200cm 100s = 2 cm s Nelle arterie v=30-40 cm/s Nei capillari v=0.1 mm/s

93 Lavoro Il cuore funziona come un pistone che spinge all esterno una quantità di sangue a ogni pulsazione. Il lavoro fatto da un pistone che muove una quantità di fluido ΔV è: ΔL=pΔV Se la pressione è costante allora L=p*(V 2 -V 1 ) Altrimenti bisogna utilizzare un integrale: L = pdv

94 Ciclo Cardiaco Chiusura valvola aortica Apertura valvola aortica ΔL=pΔV In rosso (in alto) è riportata la pressione ventricolare, invece il lavoro va calcolato quando la valvola aortica è aperta, il sangue deve defluire altrimenti ΔL=0

95 Calcolo Lavoro Chiusura valvola aortica Apertura valvola aortica ΔL=pΔV Anziché usare l integrale possiamo usare la pressione media P v : L=P v *(V 2 -V 1 ) P v =100 mmhg (120 mmhg è la P max ) V 2 -V 1 = 60 cm 3 L=100 mmhg * 60 cm 3 =0.8 joule/ciclo W=L/Δt=0.8 joule/s=0.8 watt Ma la fase II dura 1/3 del ciclo totale, quindi W=2.4 watt!!!

96 Calcolo Lavoro E il resto del cuore che lavoro fa? Dalla figura si vede che le pressione atriale è molto bassa, quindi il suo lavoro è trascurabile. Il cuore destro lavora meno perché la pressione di uscita è più bassa (25 vs 100 mmhg), e quindi il lavoro è ¼ di quello sinistro, arriviamo a 3 watt. Pero bisogna considerare che il rendimento del cuore è di circa il 10%, quindi il lavoro effettivamente svolto per funzionare è 10 volte quello fatto sul sangue P TOT =30 watt Calcolare l energia spesa dal cuore in un giorno ed esprimerla in kcal.

97 Effetti cinetici Per calcolare il lavoro fatto dal cuore abbiamo usato la pressione ventricolare, che però è difficile da calcolare. Conviene quindi usare la pressione aortica che è facilmente misurabile. In questo caso la relazione tra le due pressione è per Bernoulli: P v = P a dv2 L = P a (V 2 V 1 )+ 1 2 dv2 (V 2 V 1 ) Il termine cinetico è abbastanza basso in condizioni normali ma può essere considerevole durante l attività sportiva e in caso di stenosi.

98 Pa=100 mmhg v=50 cm/s d=1.1 g/cm 3 Qualche numero ΔV= 60 cm 3 P v = P a dv2 L = P a (V 2 V 1 )+ 1 2 dv2 (V 2 V 1 ) P K = 0.5*1.1*10 3 kg m 3 * 0.52 m 2 / s 2 = 0.13*10 3 Pa P a =100mmHg = *1.01*105 Pa =13.2 *10 3 Pa P K 1 P a 100 In caso di stenosi la superficie dell aorta passa da 4 cm 2 a 1 cm 2, valutare la pressione ventricolare e il lavoro nei due casi. ΔV=200 cm 3, P=160 mmhg, v=500 cm/s L a =4.2 j; L k =2.5 j