La condivisione del rischio e la sua ripartizione su ampia scala

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1 La condivisione del rischio e la sua ripartizione su ampia scala Kreps: "Microeconomia per manager" 1

2 ARGOMENTI DI QUESTA LEZIONE Questa lezione fornisce la principale motivazione economica dell esistenza dei mercati azionari, assicurativi e a termine. L idea fondamentale è che se si assume un rischio e lo si suddivide in parti, distribuendole a un numero elevato di persone (cioè se si cartolarizza il rischio), si abbatte considerevolmente l avversione al rischio dei singoli soggetti che lo sostengono. Kreps: "Microeconomia per manager" 2

3 Esistono tuttavia forze contrastanti che impediscono la completa condivisione del rischio; le principali sono la selezione avversa e il comportamento opportunistico (o azzardo morale). Anche nel caso in cui i rischi siano ampiamente ripartiti, il valore di ogni quota di rischio dipende dalla rischiosità che si aggiunge al portafoglio complessivo del singolo investitore. Per un dato rischio e una popolazione fissa di investitori, si pone il problema dell efficienza allocativa del rischio. Kreps: "Microeconomia per manager" 3

4 ESEMPIO: Consideriamo una scommessa che prevede i premi ugualmente probabili e Il valore atteso è , ma la probabilità di una perdita e le dimensioni della stessa sono considerevoli. Di conseguenza, molte persone avverse al rischio la rifiuterebbero. Supponiamo di offrire questa scommessa a Jan MBA, che massimizza la propria utilità attesa ed è caratterizzato dalla seguente funzione di utilità U ( x) = 12,5859 7,4267e 0, x Kreps: "Microeconomia per manager" 4

5 Jan calcola l utilità attesa della scommessa: 1. il premio corrisponde al livello di utilità: U(50.000) = 12,5859 7,4267e 0, ; 2. il premio corrisponde al livello di utilità: U( ) 0; quindi la scommessa ha utilità attesa pari a Eu = 0, ,5 0 = 5 corrispondente all incirca all equivalente certo di CE Kreps: "Microeconomia per manager" 5

6 L equivalente certo di un guadagno aleatorio è quello ammontare monetario (CE) che, se ricevuto con certezza, è indifferente per il soggetto alla scommessa stessa: U(CE) = Eu 12,5859 7,4267e 0, CE =5. Risolvendo questa espressione per CE, otteniamo CE = 1005,2. 5. Se, invece, Jan non gioca la scommessa, ottiene il premio sicuro di 0, cui corrisponde l utilità U(0) = 5, Pertanto Jan preferisce non giocare la scommessa. Kreps: "Microeconomia per manager" 6

7 Supponiamo invece che la scommessa preveda i premi ugualmente probabili di 500 e 250 (un centesimo dei premi originali). L utilità attesa di Jan è ora pari a 5,1785, corrispondente al certo equivalente 123,516. Jan accetterebbe volentieri questa versione ridimensionata della scommessa originale. Perché? U(VMA) = < Eu(scommessa) = 5,1785 VMA = 125 > CE = 123, 516 Kreps: "Microeconomia per manager" 7

8 Quindi Jan pur non essendo propenso a giocare da solo l intera scommessa, sarebbe contento di giocarne una quota pari all 1 per cento. Come potrebbe liquidare il restante 99 per cento del rischio? Kreps: "Microeconomia per manager" 8

9 Una possibilità è trovare un gruppo di persone che, se caratterizzati approssimativamente dalla sua stessa avversione al rischio, sarebbero contenti di accettare ciascuno una piccola quota della scommessa. Ma Jan dovrebbe distribuire il 99% del rischio? Non sarebbe meglio se ne tenesse una quota maggiore? Se Jan decide di distribuire porzioni di questa scommessa, fa i propri migliori interessi tenendone il 43,8 per cento circa, che gli fornisce il certo equivalente di Kreps: "Microeconomia per manager" 9

10 Poiché distribuendo porzioni di questa scommessa Jan regala un bene prezioso, un alternativa migliore sarebbe quella di vendere le porzioni di rischio. Se, per esempio, potesse trovare 99 persone caratterizzate dalla sua stessa funzione di utilità, potrebbe vendere a ciascuna l 1 percento della scommessa ad un valore non superiore al loro equivalente certo (123,516). Se fissa il prezzo di una quota dell 1 percento a 123, qualsiasi persona caratterizzata dalla sua stessa funzione di utilità sarebbe disposta a pagare questo prezzo, rimanendo con un equivalente certo di 0,516. Kreps: "Microeconomia per manager" 10

11 In questo modo Jan può ottenere un buon guadagno vendendo 99 azioni a 123 l una, ottiene un guadagno netto di = ; aggiungendo il suo certo equivalente ( 123,516) per la quota dell 1 per cento che tiene per sé, nel complesso egli ottiene ,516. Se pensate che stava per rifiutare la scommessa!! Kreps: "Microeconomia per manager" 11

12 Conclusione generale sui rischi di piccola entità Normalmente un soggetto avverso al rischio ha un equivalente certo che è inferiore al VMA della scommessa. Consideriamo tuttavia una percentuale β inferiore al 100 per cento (es. 98%). A prescindere dall avversione al rischio di un individuo, esiste una piccola frazione α tale per cui, se gli offriamo la quota α della scommessa, egli sarà disposto a pagare α β VMA della scommessa. Kreps: "Microeconomia per manager" 12

13 Spieghiamo questa idea con la scommessa di Jan MBA. Jan propone a qualche soggetto avverso al rischio: «Ti vendo una piccola quota della mia scommessa pari ad α. Ma in cambio ti chiedo un prezzo». Una quota α ha il valore monetario atteso pari a α; poiché Jan non è avido è disposto a vendere la quota al β per cento di α. Secondo l affermazione precedente, avendo l obiettivo di recuperare il β per cento del VMA dell azione venduta, Jan può trovare una quota α maggiore di zero per la quale il soggetto sarà disposto a pagare il β per cento di α. Kreps: "Microeconomia per manager" 13

14 Le dimensioni di α dipendono da diversi fattori: 1. maggiore è il rischio della scommessa iniziale, minore dovrà essere α. 2. più β si approssima al 100 per cento, minore dovrà essere α. 3. maggiore è l avversione al rischio della persona cui l azione viene venduta, minore dovrà essere α. Tuttavia, avendo stabilito β, Jan può vendere una parte della sua scommessa a un soggetto avverso al rischio per ottenere la percentuale β del valore monetario atteso dell azione. Kreps: "Microeconomia per manager" 14

15 In un mondo affollato di potenziali investitori Jan può vendere la sua scommessa quota dopo quota, sino a venderla interamente. Jan si ritroverà con una somma pari a β volte il valore monetario atteso dell intera scommessa. Man mano che β si approssima a uno, Jan deve vendere azioni di dimensioni sempre minori a un numero sempre maggiore di persone. In teoria, tuttavia, può recuperare l intero valore monetario atteso della scommessa. Kreps: "Microeconomia per manager" 15

16 La cartolarizzazione per diletto e quella a scopo di lucro Generalizzando l esempio di Jan MBA: quando gli individui avversi al rischio si trovano dinnanzi a un rischio considerevole, possono migliorare la loro posizione suddividendo il rischio in parti da vendere ad altri soggetti, in modo da condividerlo. Kreps: "Microeconomia per manager" 16

17 Ignorando per ora i costi di transazione associati al processo di cartolarizzazione del rischio, la teoria suggerisce che qualsiasi scommessa ripartita in questo modo tra un numero elevato di persone assume per il proprietario originale un valore pari quasi al valore monetario atteso. Tale affermazione è vera anche se il proprietario è avverso al rischio. L originale avversione al rischio è infatti ininfluente, perché alla fine né il proprietario né alcun altra persona sosterranno una parte considerevole del rischio. Kreps: "Microeconomia per manager" 17

18 I mercati finanziari sono una manifestazione di come si utilizza la condivisione per sconfiggere l avversione al rischio. Quando i rischi prevedono premi attesi negativi, nascono i mercati assicurativi. ESEMPIO: Una persona possiede una casa a rischio di incendio. L abitazione può andare distrutta, per una perdita di , oppure non bruciare; la probabilità di bruciare è pari a 0,001 in qualsiasi dato anno. Il VMA di questa scommessa per il proprietario è 0, ,999 0 = 200. Kreps: "Microeconomia per manager" 18

19 Se il proprietario è avverso al rischio, il suo equivalente certo è un valore negativo molto maggiore. Acquistando un assicurazione, il proprietario paga un premio, per esempio 300 l anno, affinché la compagnia assicurativa si assuma il rischio della perdita di nel caso che si verifichi un incendio. La compagnia è disposta a sostenere tale rischio in cambio del premio in virtù della sua quasi neutralità al rischio, pertanto il premio la compensa abbondantemente del rischio che assume. La compagnia assicurativa è quasi neutrale al rischio perché lo ripartisce tra un numero elevato di azionisti. Kreps: "Microeconomia per manager" 19

20 Una ulteriore forma di condivisione del rischio riguarda i mercati a termine. ESEMPIO: Nel mercato a termine del grano, si può acquistare o vendere grano che verrà consegnato dopo qualche mese. Un cerealicoltore il cui raccolto sia ancora da mietere è soggetto a due tipi di rischi: 1. i rischi riguardanti direttamente il raccolto; 2. i rischi riguardanti il valore che il raccolto assumerà quando verrà venduto. Kreps: "Microeconomia per manager" 20

21 Il mercato a termine offre l opportunità di assicurarsi contro questo secondo tipo di rischio, consentendo al cerealicoltore di vendere una parte del raccolto in anticipo a un prezzo prefissato. Tale mercato consente anche agli acquirenti di grano di acquistare in anticipo assicurandosi contro il rischio di un aumento dei prezzi. Kreps: "Microeconomia per manager" 21

22 I concetti elaborati finora sembrano portarci alle seguenti conclusioni 1. I rischi dovrebbero essere ripartiti in misura tale da impedire che un individuo avverso al rischio ne sostenga una porzione considerevole. 2. Il valore di ogni scommessa per il giocatore iniziale coincide esattamente con il VMA, in quanto è questo il valore che la scommessa assume nel mercato una volta che viene cartolarizzata e distribuita. Kreps: "Microeconomia per manager" 22

23 Esistono comunque una serie di motivi per cui il rischio non può essere sempre ripartito su larga scala Due delle ragioni principali sono costituite dai problemi di selezione avversa e comportamento opportunistico (moral hazard) Kreps: "Microeconomia per manager" 23

24 Selezione avversa La selezione avversa è il fenomeno per cui, in un mercato caratterizzato da informazione asimmetrica (condizione in cui un informazione rilevante non è condivisa da tutti le persone facenti parte del processo economico), la parte meno informata si trova a trattare proprio con le persone sbagliate (cioè prende una selezione avversa dei soggetti più informati). I would never join a club that would be willing to let me in Groucho Marx Kreps: "Microeconomia per manager" 24

25 La selez. avversa spesso avvia un circolo vizioso: Gli acquirenti, non conoscendo la qualità del bene che stanno acquistando, sono disposti a pagare un prezzo per un bene di qualità media. Ma se il prezzo di equilibrio per la media di tutta la popolazione non è sufficientemente elevato da indurre i possessori dei beni di qualità superiore a venderli, allora il bene venduto fa parte della selezione avversa. Se il prezzo diminuisce, anche i proprietari dei beni di qualità intermedia iniziano a ritirare i loro articoli, peggiorando la selezione avversa. Il prezzo diminuisce ancora e la selezione avversa diventa ancora più avversa. Kreps: "Microeconomia per manager" 25

26 Un esempio: Il mercato dei bidoni Immaginate che venga messa in vendita una varietà di auto usate, alcune in buone condizioni, altre in condizioni accettabili, altre veri bidoni. Le auto usate valgono per gli acquirenti un prezzo compreso tra 1000 e 3000 e ogni prezzo è ugualmente probabile. Supponete che un auto che vale x per un acquirente vale x 200 per il proprietario attuale (venditore). L offerta di automobili per ogni possibile prezzo è finita, mentre il numero dei potenziali acquirenti è di dimensioni molto maggiori. Kreps: "Microeconomia per manager" 26

27 Se la qualità di un automobile fosse nota sia all acquirente sia al venditore, allora l uguaglianza di domanda e offerta implica che le auto che valgono x per gli acquirenti verrebbero vendute esattamente a tal prezzo, in quanto la concorrenza tra gli acquirenti farebbe salire il prezzo a tale livello e ogni venditore sarebbe disposto a venderla per incassare i 200 di valore aggiuntivo. Kreps: "Microeconomia per manager" 27

28 Ma gli acquirenti non conoscono la qualità di un auto usata, mentre i venditori sono informati. Gli acquirenti quindi sono disposti a pagare per la qualità media delle auto presenti sul mercato. Ciò implica che: i proprietari portano sul mercato le auto del valore compreso tra 1000 e 3000; il valore medio delle auto presenti nel mercato ammonta a 2000 e questo è il prezzo stabilito dal mercato. A questo punto entra in gioco la selezione avversa. Kreps: "Microeconomia per manager" 28

29 Se qualcuno ha un auto usata che per lui vale più di 2000, ritira la sua auto dal mercato. 1. Ne consegue che se il prezzo di mercato si attesta a 2000, le uniche automobili in vendita sono quelle che valgono per i compratori tra i 1000 e i Il valore medio di questo insieme di automobili ammonta tuttavia a 1600, pertanto il prezzo scende a questo livello. 3. I proprietari delle automobili che per loro valgono più di 1600 ritirano le loro auto dal mercato. Kreps: "Microeconomia per manager" 29

30 4. Ora le uniche automobili in vendita sono quelle il cui valore per gli acquirenti è compreso tra 1000 e Pertanto il prezzo di mercato scende a Ora le auto di valore superiore a 1400 per i venditori escono dal mercato, che si riduce alle auto con valore per i compratori compreso tra 1000 e Ne consegue una riduzione del prezzo a Quindi ulteriori auto vengono ritirate dal mercato e il prezzo scende nuovamente. Kreps: "Microeconomia per manager" 30

31 Continuando il ragionamento alla fine giungerà sul mercato una percentuale minima di tutte le auto usate, anche se gli acquirenti valutano ogni auto usata 200 in più rispetto ai proprietari (i venditori). Inoltre la percentuale che giunge sul mercato non è casuale: si vendono solo le auto peggiori (dei bidoni ). La selezione avversa crea quindi un effetto perverso in cui il prodotto cattivo scaccia quello buono. Kreps: "Microeconomia per manager" 31

32 Nella realtà non giungiamo a situazioni tanto sfavorevoli: l acquirente o il venditore possono intraprendere azioni per segnalare la qualità oppure effettuare una cernita delle auto. Il fenomeno tuttavia esiste, ed è particolarmente negativo quando i compratori non riescono facilmente a conoscere il valore del bene che stanno acquistando; il valore che i potenziali acquirenti attribuiscono all oggetto è prossimo al valore attribuito dai potenziali venditori. Kreps: "Microeconomia per manager" 32

33 Azzardo morale Un ulteriore importante motivo per cui è difficile diffondere i rischi su ampia scala è costituito dai problemi di comportamento opportunistico (o azzardo morale). L azzardo morale (moral hazard) è una forma di opportunismo post-contrattuale, causata dalla non osservabilità di certe azioni, che permette agli individui di perseguire i loro interessi a spese della controparte. Kreps: "Microeconomia per manager" 33

34 In termini generali, ci sono due tipologie di asimmetrie informative: Caratteristiche nascoste: Una delle due parti coinvolte in una transazione è informata privatamente su circostanze di cui la controparte non è a conoscenza (danno luogo alla selezione avversa) Azioni nascoste: Azioni compiute da una delle parti che hanno stipulato un accordo economico, senza che la controparte possa osservarle (danno luogo all azzardo morale). Kreps: "Microeconomia per manager" 34

35 Situazioni di azzardo morale si presentano quando 1. le azioni di una parte influenzano il benessere altrui, 2. gli interessi delle parti divergono in una certa misura e 3. le azioni scelte dalla prima parte non sono completamente controllabili. Kreps: "Microeconomia per manager" 35

36 ESEMPI: Una compagnia assicurativa vende una polizza che assicura uno stabilimento contro gli incendi e si domanda se il proprietario, ora che è assicurato, si preoccuperà di non lasciare in giro stracci unti. Un impresa che produce grandi attrezzature impiega un agente di vendita per trattare con i clienti. L impegno profuso nella vendita avviene fuori della supervisione della direzione generale del produttore, che si chiede se gli agenti si impegnino adeguatamente nella vendita del prodotto. Kreps: "Microeconomia per manager" 36

37 L allocazione efficiente del rischio Consideriamo 4 individui: John, Paul, George e Ringo I quattro si trovano dinnanzi alla seguente lotteria congiunta : con probabilità 0,1; con probabilità 0,2; con probabilità 0,3; con probabilità 0,4. Questa lotteria risulta da una iniziativa imprenditoriale associata cui essi partecipano oppure dalla somma di lotterie giocate individualmente da ciascuno di loro. Kreps: "Microeconomia per manager" 37

38 I quattro decidono di formare un sindacato per la condivisione del rischio, in base al quale condividono i proventi derivanti dalla loro lotteria congiunta. Quale regola di allocazione del rischio dovrebbero stabilire i quattro individui? Possiamo sperare che stabiliscano una regola di allocazione efficiente: tale per cui non esistono altre regole che rendano ciascuno almeno altrettanto soddisfatto, e un soggetto strettamente più soddisfatto rispetto alla regola in questione. In generale, quando tutte le parti sono avverse al rischio può risultare difficile trovare regole di allocazione efficiente. Kreps: "Microeconomia per manager" 38

39 Consideriamo un caso semplice: Ringo è neutrale al rischio Supponiamo che Ringo sia neutrale al rischio e che gli altri siano strettamente avversi al rischio. In questo caso, qualsiasi regola di allocazione efficiente del rischio offre a John, George e Paul quote costanti a prescindere dall esito della lotteria, mentre Ringo assorbe tutto il rischio. Kreps: "Microeconomia per manager" 39

40 In altri termini, secondo qualsiasi schema di allocazione efficiente: John ottiene una quantità fissa di denaro y J Paul ottiene una quantità fissa di denaro y P George ottiene una quantità fissa di denaro y G Ringo ottiene il denaro rimanente: y J y P y G con probabilità 0,1; y J y P y G con probabilità 0,2; y J y P y G con probabilità 0,3; y J y P y G con probabilità 0,4. Kreps: "Microeconomia per manager" 40

41 Qualsiasi schema che non offra le tre quote fisse attribuendo tutto il rischio a Ringo non è efficiente. Perché? Consideriamo una qualsiasi regola di allocazione del rischio che preveda che John sostenga parte del rischio: offriamo a John un pagamento pari al VMA della sua quota a prescindere dall esito della lotteria prelevando tale somma da Ringo; contemporaneamente offriamo a Ringo la vecchia quota di John in aggiunta a qualsiasi somma avesse prima, cui sottraiamo il VMA della quota di John che abbiamo offerto a quest ultimo. Kreps: "Microeconomia per manager" 41

42 Poiché Ringo è neutrale al rischio, questo cambiamento non influisce sulla sua utilità attesa complessiva: perde il VMA del rischio aggiuntivo che sostiene, con un guadagno netto nullo (per Ringo: VMA = scommessa). La situazione di George e di Paul rimane inalterata. John invece è più soddisfatto in quanto sostituisce una scommessa col suo VMA; poiché è strettamente avverso al rischio, ha una preferenza stretta per il VMA di qualsiasi scommessa rispetto al gioco della scommessa stessa. Kreps: "Microeconomia per manager" 42

43 E se nessuna delle parti è neutrale al rischio? Generalizziamo la situazione: il sindacato per la condivisione del rischio conta I membri; la funzione di utilità di ogni i è U i ; tutti sono avversi al rischio; U i è strettamente crescente e differenziabile; poiché U i è concava, ' è non crescente; U i poiché U i è strettamente crescente, U i ' è strettamente positiva in tutti i suoi argomenti. Kreps: "Microeconomia per manager" 43

44 Ipotizziamo che questo sindacato possegga un iniziativa imprenditoriale caratterizzata dai premi complessivi Y 1 ; Y 2 ; ; Y N con le rispettive probabilità di occorrenza p 1 ; p 2 ; ; p N dove gli apici indicano i premi. Kreps: "Microeconomia per manager" 44

45 Una regola di allocazione del rischio per il sindacato è una serie di numeri { y n } i con i = 2,, I (i pedici indicano i membri del sindacato) e n = 1,, N (gli apici indicano i premi), n dove y i è la quota o premio n destinato al membro i, n e il premio totale ammonta a Y La somma delle quote dovrebbe essere pari al totale, quindi I n n = y i = Y per ogni n. i 1 Kreps: "Microeconomia per manager" 45

46 Una regola di allocazione è efficiente se e solo se, per ogni i e j compresi tra 1 e I e per ogni m e n compresi tra 1 e N { } y n i U U i i '( '( y y n i m i ) ) = U U j j '( '( y y n j m j ) ) Kreps: "Microeconomia per manager" 46

47 Perché? Si tratta della logica dei valori soggettivi usata per descrivere il comportamento del consumatore: Consideriamo l impatto marginale sull obiettivo (massimizzare l utilità attesa di i) e l impatto marginale sul vincolo (mantenere l utilità attesa di j a un dato livello costante) secondo la logica dei valori soggettivi, il rapporto di questi due impatti marginali nello stato n dovrebbe uguagliare il rapporto di tali impatti nello stato m, restituendoci esattamente la regola del rapporto dopo aver semplificato le probabilità al numeratore e al denominatore. Kreps: "Microeconomia per manager" 47

48 In altre parole, una regola di allocazione efficiente si trova lungo la curva dei contratti che è l insieme delle allocazioni che eguagliano il saggio marginale di sostituzione degli individui. Lungo tale curva le curve di indifferenza degli individui sono tangenti tra loro e quindi soddisfano la condizione seguente: SMS i = SMS j Kreps: "Microeconomia per manager" 48

49 Riepilogo Se ripartite il rischio di una scommessa distribuendone una piccola porzione a ciascuno di molti diversi individui avversi al rischio, ogni porzione poiché rappresenta solamente una piccola quantità di rischio assume per il suo possessore un valore quasi pari al suo valore monetario atteso (VMA). Il valore della scommessa quindi è quasi prossimo alla somma dei valori monetari attesi delle diverse porzioni, ossia corrisponde proprio al valore monetario atteso della scommessa iniziale. Kreps: "Microeconomia per manager" 49

50 Esistono buoni motivi per cui è difficile diffondere tutti i rischi su ampia scala. Due delle ragioni principali sono costituite dai problemi di selezione avversa e da quelli di comportamento opportunistico. Il problema generale dell efficienza allocativa del rischio (ossia il problema di distribuire una data scommessa in modo efficiente tra un dato gruppo di persone) è piuttosto complesso. Tuttavia, quando una delle parti è neutrale al rischio e le altre sono strettamente avverse, è piuttosto semplice ripartire il rischio in modo efficace: la parte neutrale se lo assume tutto. Kreps: "Microeconomia per manager" 50