Corso di Idraulica ed Idrologia Forestale

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1 Corso di Idraulica ed Idrologia Forestale Docente: Prof. Santo Marcello Zimbone Collaboratori: Dott. Giuseppe Bombino - Ing. Demetrio Zema Lezione n. 8: Equazioni fondamentali dell idrodinamica Anno Accademico

2 Indice Equazione indefinita dell equilibrio equilibrio idrodinamico Equazione globale dell idrodinamica Applicazione Slides delle lezioni frontali Materiale didattico Citrini-Noseda (pagg ) 2

3 Equazione indefinita dell equilibrio equilibrio idrodinamico Detta R la risultante delle forze, m la massa e A l accelerazione,, per la prima equazione cardinale della dinamica deve risultare R = m A 3

4 Equazione indefinita dell equilibrio equilibrio idrodinamico Detta F la forza di massa per unità di massa e Φ x, Φ y e Φ z gli sforzi agenti sulle superfici,, risulterà: Φ Φ x y Φ z ρ F dx dy dz + + dx dy dz = ρ dx dy x y z da cui si ottiene: dz A ρ ( F A) = Φ x x + Φ y y + Φ z z Equazione indefinita dell equilibrio equilibrio idrodinamico o equazione di Eulero 4

5 Equazione indefinita dell equilibrio equilibrio idrodinamico Nell ipotesi che esistano solo sforzi normali,, le particelle non subiscono azioni tangenziali (fluido( perfetto), per cui, essendo: Φ xx = Φ yy = Φ zz = p si ha: ρ ( F - A) = grad p con: grad p = p x i + p y j + p z k 5

6 Equazione indefinita dell equilibrio equilibrio idrodinamico Nel campo di gravità,, essendo F = g,, si ha: g = g grad z l equazione indefinita dell equilibrio equilibrio idrodinamico diventa: ρ g grad z grad p = ρ A e, se si considera il fluido incomprimibile,, dividendo per ρ g: p grad z + = γ 1 g dv dt 6

7 Equazione globale dell idrodinamica Consideriamo una massa fluida in moto, che in un certo istante t 1 occupi il volume Σ 1 ds 1 Sia v 1 la velocità all istante t 1 ; immaginiamo ora che, all istante t = t 2 1 +dt, la massa considerata vada ad occupare il volume Σ ds 2 2 e possegga la velocità v 2. 7

8 Equazione globale dell idrodinamica Ricordando che nella Meccanica la quantità di moto di un corpo è un vettore dato dal prodotto della massa del corpo per la sua velocità,, poiché ρσ 1 ds 1 è la massa fluida interessata,, potremo dire che la quantità di moto iniziale è: ρσ 1 ds 1 v 1 8

9 Equazione globale dell idrodinamica La quantità di moto finale è allo stesso modo: ρσ 2 ds 2 v 2 9

10 Equazione globale dell idrodinamica Le forze che agiscono sulla massa fluida sono le forze di massa, G, e le forze di superficie, Π La risultante è: G + Π 10

11 Equazione globale dell idrodinamica L impulso della forza risultante (pari al prodotto fra la forza e l intervallo l temporale durante cui essa viene applicata, dt) è: (G+ G+Π) dt 11

12 Equazione globale dell idrodinamica Per il teorema dell impulso, l impulso l di una forza che durante un intervallo dt agisce su un corpo è uguale alla variazione della quantita di moto del corpo stesso; pertanto: (G+ G+Π) dt = ρσ 2 ds 2 v 2 - ρσ 1 ds 1 v 1 12

13 Equazione globale dell idrodinamica Dividendo ambo i membri per dt: G+Π = ρσ 2 v 2 v 2 - ρσ 1 v 1 v 1 13

14 Equazione globale dell idrodinamica Ricordando la definizione di portata si ottiene: G+Π = ρqv 2 - ρqv 1 14

15 Equazione globale dell idrodinamica L uguaglianza dei vettori G+Π e ρq( Q(v 2 - v 1 ) è mostrata dalla figura Poniamo: ρqv 1 = M 1 ρqv 2 = M 2 15

16 Equazione globale dell idrodinamica Pertanto risulta: Equazione globale dell idrodinamica G+Π + M 1 - M 2 = 0 Equazione globale 16

17 Equazione globale dell idrodinamica Si noti che M e M 1 2, che in idraulica chiamiamo quantità di moto, hanno le dimensioni di una forza; esse sono in effetti una quantità di moto nell unit unità di tempo (flusso( della quantità di moto): M = ρσ ds dt v 17

18 Equazione globale dell idrodinamica Π è la risultante delle forze di superficie, quindi tiene conto sia di quelle che agiscono sulla superficie della tubazione, sia di quelle che agiscono sulle superfici Σ 1 e da cui il fluido rispettivamente entra ed esce Σ 2 18

19 Equazione globale dell idrodinamica: applicazione Tratto di tubazione curva in un piano orizzontale,, in cui defluisca, in moto permanente,, un fluido incomprimibile Determinare la spinta che il liquido esercita sulla parete della curva stessa 19

20 Equazione globale dell idrodinamica: applicazione Applichiamo l equazione l globale al volume contenuto nella curva. Risulta: G+Π + M 1 - M 2 = 0 20

21 Equazione globale dell idrodinamica: applicazione La spinta Π che la superficie di contorno esercita sul fluido all interno della curva si può scomporre come segue: Π = Π 1 + Π 2 +Π L dove Π 1 è la spinta applicata dalla superficie Σ 1, Π 2 quella applicata dalla superficie Σ 2, Π L quella applicata dalla superficie laterale L 21

22 Equazione globale dell idrodinamica: applicazione L equazione globale si scrive quindi come: G + Π 1 + Π 2 + Π L + M 1 - M 2 = 0 22

23 Equazione globale dell idrodinamica: applicazione La spinta S che si vuole determinare è uguale e contraria a quella esercitata dalla parete della curva, quindi: S = - Π L = G + Π 1 + Π 2 + M 1 - M 2 23

24 Equazione globale dell idrodinamica: applicazione Consideriamo le forze che agiscono sul piano orizzontale; ; l equazione l precedente diventa: S o = Π 1 + Π 2 + M 1 - M 2 24

25 Equazione globale dell idrodinamica: applicazione I moduli dei vettori che compaiono nella precedente equazione risultano: ρqv 1 = M 1 ; ρqv 2 = M 2 ; Π 1 = p Σ 1 ; Π 2 = p Σ 2 25

26 Equazione globale dell idrodinamica: applicazione Effettuando la composizione dei vettori, si evince che la componente orizzontale della spinta esercitata dal fluido sulla superficie del tubo (S( o ) è diretta verso l esterno l della curva 26

27 Equazione globale dell idrodinamica: applicazione Per tale motivo, nelle condotte in pressione, si dispongono dei blocchi d ancoraggio d all esterno delle curve 27