Segnali e Sistemi. Dispensa integrativa per l insegnamento di Elementi di Controlli Automatici. Gianni Borghesan e Giovanni Marro

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1 Segnali e Sistemi Dispensa integrativa per l insegnamento di Elementi di Controlli Automatici Gianni Borghesan e Giovanni Marro Indice Introduzione 2. Notazione Classificazione dei segnali 3 2. Segnali a tempo continuo e a tempo discreto Segnali pari, dispari, periodici Segnali singoli e multipli Energia e potenza di un segnale Classificazione dei sistemi 6 3. Sistemi puramente algebrici e sistemi dinamici Sistemi causali e non causali Sistemi lineari e non lineari Sistemi stazionari e non stazionari Sistemi stabili e instabili ingresso limitato-uscita limitata Lo stato iniziale dei sistemi dinamici causali

2 Introduzione Questo fascicoletto riporta alcuni complementi allo studio di Controlli Automatici.. Notazione appartenente a per ogni R insieme dei numeri reali R n insieme delle n-uple (vettori) di numeri reali C insieme dei numeri complessi C n insieme delle n-uple (vettori) di numeri complessi x coniugato del numero complesso x Z insieme dei numeri interi C classe delle funzioni limitate e continue a tratti C i classe delle funzioni derivabili i volte q.o. con i-esima derivata C x( ) segnale a tempo continuo (x : R R o x : R C) x( ) segnale a tempo discreto (x : Z R o x : Z C) [α,β] intervallo chiuso [α,β) intervallo aperto a destra 2

3 2 Classificazione dei segnali Un segnale è una funzione che rappresenta il succedersi dei valori di una grandezza fisica variabile nel tempo. 2. Segnali a tempo continuo e a tempo discreto I segnali possono essere a tempo continuo o a tempo discreto. Questi si rappresentano tipicamente come è indicato in Fig.. Con il simbolo x( ) o x( ) si indicherà l intero segnale a tempo continuo o discreto (la tilde caratterizza il tempo discreto), mentre con x(t) o x(k) si indicherà il valore del segnale all istante t o k. x x -5 t k Figura : Segnali a tempo continuo e a tempo discreto. Si noti che in entrambe le rappresentazioni è stata definita ed indicata con un origine dei tempi, che determina la scala dei tempi. Quando l intervallo di tempo in cui è definito il segnale non è specificato, si assume implicitamente che sia t (, ) o k (, ). In altri casi esso viene dato, ad esempio t o k, oppure t [t a,t b ] o k [k a,k b ]. Anche l intervallo dei valori che può assumere il segnale può essere o non essere esplicitamente specificato. Esempi di segnali a tempo continuo: la temperatura in un ambiente, la corrente in un circuito elettrico, la pressione dell aria in un punto, che produce un suono, rivelabile dall orecchio o da un microfono. Il microfono è un trasduttore, cioè un dispositivo che converte un segnale (pressione dell aria) in un segnale di diverso tipo (tensione elettrica fra due terminali o corrente elettrica in un circuito). Esempi di segnali a tempo discreto: l indice di chiusura giornaliero della Borsa di Milano, il traffico giornaliero in una stazione ferroviaria. I segnali deterministici sono segnali i cui valori sono completamente assegnati in ogni istante, mentre i segnali stocastici sono caratterizzati solo statisticamente. Ad esempio l indice di chiusura giornaliero della Borsa di Milano per 3

4 il passato è un segnale deterministico, per il futuro è un segnale stocastico. Nel nostro contesto ci si occuperà solo di segnali deterministici. x, x x,x t,k k,t Figura 2: Conversione da tempo continuo a tempo discreto e viceversa. Spesso i segnali a tempo discreto si ottengono eseguendo il campionamento di segnali a tempo continuo, come è indicato in Fig.2 a sinistra. Al campionamento in genere è associata la quantizzazione: al valore del segnale a tempo continuo, espresso da un numero reale, viene associato un valore numerico espresso da un numero finito di cifre, per cui esso può variare solo per incrementi finiti in un dato intervallo. La conversione inversa, da segnali a tempo continuo a segnali a tempo discreto, viene eseguita mediante dispositivi di tenuta, come è indicato in Fig.2 a destra. I segnali a tempo continuo a valori reali si dicono anche segnali analogici, mentre i segnali a tempo discreto e a valori discreti si dicono segnali digitali. I dispositivi che eseguono la conversione da segnali analogici a segnali digitali si dicono convertitori analogico-digitale, mentre i dispositivi che eseguono la conversione inversa si dicono convertitori digitale-analogico. I due tipi di dispositivi vengono rappresentati negli schemi a blocchi come è indicato in Fig.3. x x x x A/D D/A Figura 3: Convertitore analogico-digitale e digitale-analogico. Esempio: un suono registrato su un CD audio è campionato e quantizzato e può essere riconvertito in segnale a tempo continuo mediante un dispositivo di tenuta, amplificato e riconvertito in suono con un altoparlante. È intuitivo che se il campionamento avviene a frequenza sufficientemente elevata e la quantizzazione è sufficientemente fine la conversione di un segnale 4

5 analogico (a valori reali in un dato intervallo) in un segnale digitale (con un numero finito di valori in un dato intervallo) e la conversione inversa possono essere eseguite con errore trascurabile. 2.2 Segnali pari, dispari, periodici Un segnale si dice pari se soddisfa la relazione x( t) = x(t) t o x( k) = x(k) k Un segnale si dice dispari se soddisfa la relazione x( t) = x(t) t o x( k) = x(k) k Gli esempi più comuni di segnali pari e dispari sono, rispettivamente, i segnali x(t) = cos(ωt) e x(t) = sin(ωt). Un segnale si dice periodico di periodo T o N se soddisfa la relazione x(t + T) = x(t) t o x(k + N) = x(k) k Il periodo fondamentale T o N è il più piccolo valore di T o N per cui le precedenti relazioni sono soddisfatte. 2.3 Segnali singoli e multipli Nelle precedenti considerazioni con i simboli x( ) o x( ) ci si può riferire ad una funzione che lega un solo valore reale alla variabile indipendente tempo o ad una funzione che lega un vettore (n-upla di numeri reali) alla variabile indipendente tempo. Nei due casi il segnale si dice rispettivamente singolo o multiplo. 2.4 Energia e potenza di un segnale L energia di un segnale a tempo continuo o discreto si definisce come E = x(t) 2 dt o E = k= x(k) 2 La potenza media o valore efficace di un segnale a tempo continuo o discreto si definisce come P = lim T T T/2 T/2 x(t) 2 dt o P = lim N 5 2N + N k= N x(k) 2

6 x x t t Figura 4: Segnale a energia finita e a potenza media finita. Esempi di segnali a tempo continuo ad energia finita e potenza media finita sono rappresentati in Fig.4. Per segnali periodici il valore efficace si riferisce al periodo e si definisce come P = x(t) 2 dt o P = x(k) 2 () T N T 3 Classificazione dei sistemi Un sistema è un modello matematico approssimante il comportamento di un processo fisico, che lega un segnale di uscita o risposta y( ) ad un segnale di ingresso o eccitazione x( ). N x sistema monovariabile y x x 2 x p sistema multivariabile y y 2 y q Figura 5: Sistema monovariabile e sistema multivariabile. I sistemi si dicono a tempo continuo o a tempo discreto, a seconda del tipo di segnale da essi elaborato. Nel caso dei sistemi a tempo continuo il segnale di ingresso si suppone limitato e continuo a tratti (cioè con un numero finito di punti di discontinuità per ogni intervallo temporale di misura finita), mentre nel caso dei sistemi a tempo discreto il segnale di ingresso si suppone limitato. Quindi un sistema equivale ad una trasformazione fra due funzioni. Nel caso dei sistemi a tempo continuo si può scrivere y( ) = F ( x( ) ) con x( ), y( ) definite in t (, ) (2) 6

7 mentre nel caso dei sistemi a tempo discreto si ha ỹ( ) = F ( x( ) ) con x( ), ỹ( ) definite in k (, ) (3) I segnali di ingresso e di uscita possono essere singoli o multipli. Nel primo caso il sistema si dice monovariabile o SISO (single input-single output), nel secondo si dice multivariabile o MIMO (multi input-multi output). In questo secondo caso il valore della funzione di ingresso è un vettore a p componenti reali e quello della funzione di uscita è un vettore a q componenti reali. Gli schemi corrispondenti sono rappresentati in Fig Sistemi puramente algebrici e sistemi dinamici Un sistema si dice puramente algebrico o privo di memoria se la sua uscita all istante generico t o k dipende solo dal valore dell ingresso in quello stesso istante. In caso contrario il sistema si dice dinamico o fornito di memoria. R R v i R 2 v u v i C v u Figura 6: Sistema puramente algebrico e sistema dinamico. Esempi: Le relazioni v u (t) = R 2 v u (t) = R C R + R 2 v i (t), t (, ) (4) t ( vi (τ) v u (τ) ) dτ, t,τ (, ) (5) che si riferiscono ai circuiti elettrici di Fig.6, descrivono rispettivamente un sistema a tempo continuo privo di memoria e un sistema a tempo continuo fornito di memoria. Le relazioni ỹ(k) = k 2 x(k), k (, ) (6) ỹ(k) = k h= x(h), k,h (, ) (7) 7

8 descrivono rispettivamente un sistema a tempo discreto privo di memoria e un sistema a tempo discreto fornito di memoria. 3.2 Sistemi causali e non causali Un sistema si dice causale se per ogni valore del tempo l uscita y(t) o ỹ(k) all istante generico t o k dipende solo dai valori dell ingresso all istante attuale o agli istanti precedenti, cioè da valori della funzione x(τ), τ (,t] o x(h), h (,k]. In caso contrario il sistema si dice non causale. Esempi. I sistemi (4), (5), (6), (7) sono causali. Altri esempi di sistemi causali sono y(t) = x(t t ), t (, ) (8) ỹ(k) = x(k k ), k (, ) (9) con t reale non negativo e k intero non negativo. Questi sistemi sono detti ritardi finiti, in quanto il segnale di uscita è uguale al segnale di ingresso ritardato di t o k, mentre i sistemi y(t) = x(t + t ), t (, ) () ỹ(k) = x(k + k ), k (, ) () detti anticipi finiti, sono non causali. L integratore y(t) = t è un sistema causale, mentre il derivatore x(τ)dτ, t,τ (, ) (2) y(t) = d x(t), t (, ) (3) dt è non causale. Si considerino infatti i segnali gradino unitario, rappresentato a sinistra in Fig.7 e rampa unitaria, rappresentato a destra nella stessa figura. Per integrare il gradino ricavandone la rampa è sufficiente conoscerne i valori fino all istante attuale, mentre il calcolo della derivata della rampa all istante è un operazione non causale, in quanto per eseguire il limite destro (e quindi ricostruire la discontinuità del gradino) occorre conoscere valori futuri. 3.3 Sistemi lineari e non lineari Un sistema a tempo continuo descritto dall equazione (2), si dice lineare se, essendo y ( ) = F ( x ( ) ), y 2 ( ) = F ( x 2 ( ) ) 8

9 t t Figura 7: Gradino unitario e rampa unitaria. vale la relazione α y ( ) + α 2 y 2 ( ) = F ( α x ( ) + α 2 x 2 ( ) ) per ogni coppia di numeri reali α, α 2. La definizione di linearità per un sistema a tempo discreto descritto dall equazione (3) è del tutto analoga. Un sistema che non sia lineare si dice non lineare. Esempi: i sistemi (4), (5), (6), (8), (9), (), (), (2), (3) sono lineari, mentre il sistema (7) è non lineare. 3.4 Sistemi stazionari e non stazionari Un sistema a tempo continuo si dice stazionario o tempo invariante se una traslazione nel tempo in anticipo o in ritardo del segnale di ingresso produce la stessa traslazione nel tempo del segnale di uscita, cioè se y(t t ) = F ( x(t t ) ), t (, ) per ogni valore reale di t, positivo o negativo. Un sistema che non sia stazionario si dice non stazionario o tempo variante. Analogamente, per un sistema a tempo discreto la stazionarietà corrisponde alla relazione ỹ(k k ) = F ( x(k k ) ), k (, ) per ogni valore intero di k, positivo o negativo. Esempi: i sistemi (4), (5), (7), (8), (9), (), (), (2), (3) sono stazionari, mentre il sistema (6) è non stazionario. 3.5 Sistemi stabili e instabili ingresso limitato-uscita limitata Un sistema a tempo continuo si dice stabile ingresso limitato-uscita limitata (i.l.u.l.) se per ogni costante reale k tale che il segnale di ingresso soddisfi 9

10 la relazione x(t) k, t (, ) esiste una costante reale k 2 tale che il corrispondente segnale di uscita soddisfa la relazione y(t) k 2, t (, ) Un sistema che non sia stabile i.l.u.l. si dice instabile ingresso limitato-uscita limitata. Nel caso dei sistemi a tempo discreto la definizione di stabilità i.l.u.l. è del tutto analoga. Esempi: i sistemi (4), (5), (7), (8), (9), (), (), (3) sono stabili i.l.u.l., mentre i sistemi (6), (2) sono instabili i.l.u.l. 3.6 Lo stato iniziale dei sistemi dinamici causali In molti casi il comportamento dei sistemi dinamici causali viene analizzato a partire da un certo istante, in genere l origine dell asse tempi. In questi casi in luogo dei modelli (2), (3) si usano modelli del tipo y( ) = F ( s,x( ) ) con x( ), y( ) definite in t [, ) (4) ỹ( ) = F ( s, x( ) ) con x( ), ỹ( ) definite in k [, ) (5) in cui s indica lo stato iniziale, consistente in un parametro (numero reale, vettore o funzione) che compendia l informazione necessaria per determinare il comportamento futuro del sistema. In questi casi si definisce la risposta libera, cioè dovuta al solo stato iniziale, con segnale di ingresso identicamente nullo y ( ) = F(s, ), ỹ ( ) = F(s, ) e la risposta forzata, dovuta al solo segnale di ingresso, con stato iniziale nullo, y 2 ( ) = F (,x( ) ), ỹ 2 ( ) = F (, x( ) ) Nel caso dei sistemi lineari la risposta è data dalla somma della risposta libera e della risposta forzata ed entrambe le risposte sono funzioni lineari. Esempi: il sistema (5) si può descrivere con la relazione v u (t) = s + R C t ( vi (τ) v u (τ) ) dτ, t,τ [, ) (6) con s =v u (). La conoscenza della tensione di carica del condensatore all istante t = equivale pertanto alla conoscenza del segnale di ingresso v i ( )

11 nell intervallo t (, ). Il sistema (7) equivale a k ỹ(k) = s + x(h), s = ỹ(), k,h [, ) h= Il sistema (2) equivale a y(t) = s + t x(τ)dτ, s = y(), t,τ [, )

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