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1 Diagrammi di Bode Possibili rappresentazioni grafiche della funzione di risposta armonica F (ω) = G(jω) sono: i Diagrammi di Bode, i Diagrammi di Nyquist e i Diagrammi di Nichols. I Diagrammi di Bode sono due: ) il diagramma delle ampiezze rappresenta α = ln G(jω) in funzione del ln ω; 2) il diagramma delle fasi rappresenta β = arg G(jω) in funzione del ln ω; ] ln G(jω) = ln [ G(jω) e j arg G(jω) = ln G(jω) + ln[e j arg G(jω) ] Esempio: = ln G(jω) + j arg G(jω) Diagramma delle ampiezze G(jω) = ( 00 ( + j ω 0 ) + j 80 ω ) ( + j ω 000 ) Diagramma delle fasi

2 3.2. DIAGRAMMI DI BODE Per i calcoli si utilizzano i logaritmi naturali. Peraltro, un cambiamento di base dei logaritmi equivale ad un semplice cambiamento di scala. Si possono utilizzare due tipi diversi di carta millimetrata: a) carta con doppia scala logaritmica per le ampiezze e carta semilogaritmica per le fasi; b) carta semilogaritmica sia per le ampiezze sia per le fasi. In questo caso la scala delle ampiezze è graduata in decibel: B =20 log 0 A. Caso a) Caso b) I vantaggi che si hanno impiegando una scala logaritmica sono: i) è possibile avere una rappresentazione dettagliata di grandezze che variano in campi notevolmente estesi; ii) i diagrammi di Bode di sistemi in cascata si ottengono come somma dei diagrammi di Bode dei singoli sottosistemi; iii) i diagrammi di Bode di una funzione data in forma fattorizzata si ottengono come somma dei diagrammi elementari dei singoli fattori.

3 3.2. DIAGRAMMI DI BODE Conversione in db e viceversa Il decibel è un unità logaritmica convenzionale che normalmente si impiega per esprimere il guadagno di amplificatori. B(db) = 20 log 0 A Per la conversione si può utilizzare il seguente diagramma: Posto A nella forma: A = r 0 n con r < 0, il valore di A in decibel è: B = 20 n + s db dove s si ricava dal diagramma a fianco: 0 s < 20. Alcune conversioni di uso frequente: A B = 20 log 0 A Esempio : Esempio 2: A = 24 A = B = 28 A = 0.56 A = B = 5 Ogni 6 db il valore di A raddoppia; Ogni 20 db il valore di A è moltiplicato per 0;

4 3.2. DIAGRAMMI DI BODE Si consideri una generica funzione di trasferimento: G(s) = K s m + b m s m b s + b 0 s h (s n h + a n s n h a h+ s + a h ) Il fattore s h corrisponde ad un eventuale polo nell origine avente ordine di molteplicità h: se la funzione di trasferimento non presenta poli nell origine, è h=0. Forma fattorizzata a poli e zeri: G(s) = K (s z ) (s z 2 )... (s z m ) s h (s p h+ ) (s p h+2 )... (s p n ) Forma fattorizzata a costanti di tempo: ( +τ s ) ( +τ 2s ) (... +2δ s G(s) = K s ( h +τ s ) ( +τ 2 s )... ω n ) + s2 ω n 2 ( +2δ s ω n + s2 ω 2 n... )... La funzione di risposta armonica si ottiene ponendo s=jω: ( ) ( ) ( ) +jωτ +jωτ δ jω ω ω2 n ω 2... n G(jω) = K (jω) ( ) ( ) ( ) h jω +jωτ +jωτ δ ωn ω2 ωn 2... Il diagramma di Bode della funzione G(jω) si ottiene come somma dei diagrammi di Bode delle seguenti funzioni elementari: K (j ω) h ( + j ω τ ) ± ( ) + j 2 δ ω ω ± n ω2 ωn 2

5 3.2. DIAGRAMMI DI BODE Guadagno costante: G(jω) = K. - I diagrammi dei moduli e della fasi sono indipendenti da ω, cioè sono costanti; - Se K > 0, il diagrammi delle fasi è β = 0; - Se K < 0, il diagramma delle fasi è β = π. Poli nell origine: G(jω) = (j ω) h. - I diagrammi riportati a fianco sono relativi al caso h = 2; - In scala (ln, ln), il diagramma delle ampiezze è una retta passante per il punto (ω, α) = (, 0 db) e di inclinazione h; - Il diagramma delle fasi è costante, identicamente uguale a h π 2 ; Diagrammi di Bode delle ampiezze e delle fasi: ln G(jω) = α + j β = ln ω h j h π 2 = h ln ω j h π 2

6 3.2. DIAGRAMMI DI BODE Poli reali: G(jω) = ( + j ω τ ) = + jωτ ln G(jω) = α + j β = ln Diagrammi asintotici di Bode: + j ( arctan ωτ) + ω2 τ 2 Diagramma delle ampiezze: a) per ω /τ, si ottiene α 0, cioè il diagramma tende a coincidere con l asse delle ascisse. b) per ω /τ, si ottiene α ln ωτ = ln τ ln ω cioè il diagramma tende alla retta passante per il punto ln ω = ln (/τ) e di inclinazione ; L approssimazione asintotica del diagramma delle ampiezze è pertanto costituita dalle due semirette { 0 per ln ω ln τ, α = ln τ ln ω per ln ω ln τ, Il massimo errore della rappresentazione asintotica si ha per ω =/τ e vale ln 2 (circa 3db). La pendenza, su carta semilogaritmica diventa 20 db/decade;

7 3.2. DIAGRAMMI DI BODE Diagramma asintotico delle fasi: La spezzata si ottiene collegando i due asintoti β = 0 e β = π/2 con la tangente al diagramma effettivo nel punto corrispondente alla pulsazione di rottura ω 0 = /τ, punto in cui è β = π/4. Essendo β = arctan ωτ, si può scrivere d β d ln ω = d β d ω ω=ω0 d ω d ln ω = ω 0 τ ω=ω0 + ω0 2 τ = 2 2 Le pulsazioni ω a e ω b si determinano utilizzando la relazione da cui si ottiene π/4 ln ω 0 ln ω a = π/4 ln ω b ln ω 0 = 2 ln ω 0 ω a = ln ω b ω 0 = π 2 ω 0 ω a = ω b ω 0 = e π 2 = 4, 8 I diagrammi di Bode della funzione G(jω) = +jωτ si ottengono ribaltando attorno all asse delle ascisse quelli della funzione G(jω)=(+jωτ). Quando la costante di tempo τ è negativa, il diagramma delle ampiezze risulta immutato, mentre il diagramma delle fasi risulta ribaltato rispetto all asse delle ascisse.

8 3.2. DIAGRAMMI DI BODE Esempio. Si consideri la seguente funzione di risposta armonica: Diagrammi di Bode: G(jω) = 5, 6 ( + j ω 0, 5) ( + j ω 4) ( + j ω 0, 25) ( + j ω 0, 25)

9 3.2. DIAGRAMMI DI BODE Poli complessi coniugati (0 δ <): G(s) = + 2δ ω n s + s2 ω 2 n G(jω) = ω2 ω 2 n + j 2 δ ω ω n Diagrammi di Bode delle ampiezze e delle fasi: ln G(jω) = α + j β = ln ( ) 2 ω2 + 4 δ ωn 2 2 ω 2 ωn 2 j arctan 2 δ ω ω n ω2 ω 2 n Diagramma di Bode delle ampiezze: Asintoti del diagramma α : per ω/ω n, tutti i termini sotto radice quadrata sono trascurabili rispetto all unità ed è pertanto α 0; per ω/ω n, ha la prevalenza il termine (ω/ω n ) 4 e si può scrivere pertanto α ln ω2 ω 2 n = 2 ln ω n 2 ln ω

10 3.2. DIAGRAMMI DI BODE Il diagramma effettivo si può discostare sensibilmente da quello asintotico: in particolare, per δ =0 e in corrispondenza della pulsazione di rottura ω n, lo scostamento è infinito. Il diagramma delle ampiezze ha le seguenti proprietà: ) per 0 δ / 2, presenta un massimo; 2) per 0 δ /2, interseca l asse a destra del punto ω =ω n ; 3) per /2 δ / 2, interseca l asse a sinistra del punto ω =ω n ; 4) per / 2 δ, non interseca l asse delle ascisse ed è pertanto tutta al di sotto della sua approssimazione asintotica. Pulsazione di risonanza ω R. Posto u=ω/ω n, il massimo dell ampiezza corrisponde ad un minimo della funzione ( u 2 ) δ 2 u 2 Derivando e uguagliando a zero la derivata, si ottiene 4 ( u 2 ) u + 8 δ 2 u = 0 Trascurando la soluzione nulla si ottiene u R = 2 δ 2 ω R = ω n 2 δ 2 Picco di risonanza M R : si calcola come modulo della funzione di risposta armonica in corrispondenza della pulsazione ω R : M R = ( 2 δ2 ) δ 2 ( 2 δ 2 ) M R = 2 δ δ 2

11 3.2. DIAGRAMMI DI BODE 3.2 Diagramma di Bode della fasi: Approssimazione asintotica del diagramma delle fasi si ottiene congiungendo gli asintoti β = 0 e β = π con un segmento inclinato di pendenza opportuna. Essendo β = arctan 2 δ u u 2, si deduce: d β d ln ω = d β ω=ωn d u d u d ln ω = u= + ( 2 δ u u 2 ) 2 2 δ ( + u 2 ) u ( u 2 ) 2 u= = δ Le pulsazioni ω a e ω b sono legate alla pulsazione ω n dalla relazione: π/2 ln ω n ln ω a = dalla quale si ottiene ω n ω a = ω b ω n = e π 2 δ = 4, 8 δ π/2 ln ω b ln ω n = δ

12 3.2. DIAGRAMMI DI BODE Diagrammi delle ampiezze e delle fasi in scala semilogaritmica:

13 3.2. DIAGRAMMI DI BODE Graficazione qualitativa dei diagrammi di Bode Si procede alla graficazione del diagramma asintotico di Bode della funzione di risposta armonica assegnata. Due possibili metodi. Primo metodo: somma dei singoli contributi a) La funzione G(s) viene messa nella forma a costanti di tempo : G(s) = 0(s ) s(s + )(s 2 + 8s + 25) G(s) = 0 25 ( s) s( + s)( + 8s 25 + s2 25 ) b) Si tracciano i diagrammi asintotici di Bode delle singole componenti: K = 0 25, G (s) = ( s), G 2 (s) = s, G 3(s) = ( + s), G 4(s) = ( + 8s 25 + s2 25 ) c) Si sommano i singoli contributi per ottenere il diagramma asintotico della funzione G(s). - Il contributo del termine K è costante: K = 7.96 db e arg K = π. - Lo zero instabile ( s), e il polo stabile ( + s) agiscono alla pulsazione ω = e forniscono due contribuiti uguali e contrari nel diagramma delle ampiezze. Il loro contributo nel diagramma delle fasi si somma: l ampiezza complessiva per ω è π. - La coppia di poli complessi coniugati (+ 8s 25 + s2 25 ) determina sul diagramma asintotico delle ampiezze una attenuazione di 40 db/dec a partire dalla pulsazione ω n = 5. Il contributo al diagramma delle fasi è negativo di ampiezza complessiva π al variare di ω. Le pulsazioni alle quali si ha un cambiamento di pendenza del diagramma asintotico di Bode delle fasi sono le seguenti ω a = 4.8, ω b = 4.8, ω a = ω n 4.8 δ, ω b = ω n 4.8 δ dove δ = 0.8 è il coefficiente di smorzamento della coppia di poli complessi coniugati. - La difficoltà nell utilizzare questo metodo sta nel fatto che la somma dei singoli contributi non è sempre agevole.

14 3.2. DIAGRAMMI DI BODE Diagrammi asintotici di Bode delle ampiezze e delle fasi della funzione G(s) α = α G(jω) (db) = 40 G K β B A 2 + G ω [log 0 ] G ω C G 4 arg G(jω) π π 2 0 π 2 π ϕ 0 = 3π 2 0. ω a ω a G, G 3 ω a ω b G 4 ω b ω [log 0 ] G 2 K K, G 2 2π 5π 2 G 4 ω a ω b G, G 3 3π 7π 2 ω b ϕ = 7π 2

15 3.2. DIAGRAMMI DI BODE Secondo metodo: graficazione rapida Diagramma delle ampiezze a) Si individua nella funzione G(s) tutte le pulsazioni in corrispondenza delle quali si ha un cambiamento di pendenza. Tali pulsazioni coincidono con gli zeri reali, i poli reali e con le pulsazioni naturali ω n delle coppie di poli e zeri complessi coniugati della funzione G(s). Nel caso in esame si ha ω = e ω = 5. Tali pulsazioni vengono ordinate in ordine crescente di modulo. b) Tenendo conto del fatto che gli zeri (reali o complessi coniugati) determinano un incremento di pendenza (rispettivamente di + e di +2) e che, viceversa, i poli (reali o complessi coniugati) determinano un decremento della pendenza del diagramma asintotico (rispettivamente di - e di -2), è chiaro che la forma del diagramma asintotico è già nota a priori prima di iniziare la graficazione. Nel caso in esame, per esempio, si ha: (o,x) ( x x) 5 ω - β - A ω -3 In corrispondenza della pulsazione ω = non si ha cambiamento si pendenza perchè a questa pulsazione agiscono contemporaneamente sia un polo che uno zero. c) Si determina la posizione verticale del diagramma asintotico di Bode. - Se la funzione G(s) è di tipo 0, il posizionamento verticale è automaticamente determinato dal calcolo del guadagno statico G(0). - Se il sistema è di tipo, o in generale di tipo h, il posizionamento verticale può avvenire, per esempio, calcolando la posizione del punto A in corrispondenza della pulsazione ω alla quale si ha il primo cambiamento di pendenza. Siano ( ω, β) le coordinate del punto A. Se il sistema è di

16 3.2. DIAGRAMMI DI BODE tipo h, il valore della coordinata β si determina in base alla formula: β = s h G(s) ω h s=0 cioè si sostituisce ω h al posto degli h poli nell origine, mentre in tutti gli altri termini di G(s) si mette s = 0. Nel caso in esame si ha h = ed ω = 5 per cui β = s G(s) 5 = 0(s ) s=0 5(s + )(s 2 + 8s + 25) = 2 = 2.94 db s=0 25 d) È ora possibile tracciare il diagramma asintotico complessivo tracciando, a partire da A, i vari tratti della spezzata, ognuno con la propria pendenza. Nel caso in esame, per esempio, il tratto di spezzata che precede il punto A si determina individuando il punto B. Questo punto si calcola a partire da A diminuendo la pulsazione di una decade ed aumentando di 20 db l ampiezza: B = (0.5, β + 20). Allo stesso modo si procede per determinare il tratto che segue il punto A. In questo caso, essendo -3 la pendenza di questo tratto, il punto C si determina aumentando la pulsazione di una decade e diminuendo l ampiezza di 60 db: C = (50, β 60). Diagramma delle fasi Anche la graficazione del diagramma asintotico delle fasi può essere fatta più rapidamente se si procede nel modo seguente (si faccia riferimento al diagramma delle fasi riportato nella precedente figura): a) Si individua la fase di partenza ϕ 0 del diagramma asintotico delle fasi calcolando la fase iniziale della funzione approssimante G 0 (s) per ω 0. Nel caso in esame, per esempio, la fase iniziale è ϕ 0 = 3π 2. Tale fase è comprensiva del segno negativo della costante K e della fase costante π 2 introdotta dal polo nell origine. b) Si prendono in considerazione i poli e gli zeri in ordine crescente della loro pulsazione critica (cioè il valore assoluto del corrispondente polo o zero, oppure la ω n nel caso di coppie di poli o zeri complessi coniugati). Il diagramma asintotico di ciascun elemento viene disegnato in una diversa

17 3.2. DIAGRAMMI DI BODE fascia in funzione dell azione introdotta dai precedenti elementi, e in funzione del fatto che l elemento sia stabile o instabile. Nel caso in esame, per esempio, i primi due elementi da prendere in considerazione all aumentare di ω sono il polo stabile (s+) e lo zero instabile (s ). Questi due elementi agiscono contemporaneamente e ciascuno di essi introduce uno sfasamento, per ω [, ], pari a π 2. Il contributo complessivo di questi due elementi è un diagramma asintotico di ampiezza π da disegnare verso il basso nella fascia 3π 2, 5π 2. Anche la coppia di poli complessi coniugati ( + 8s 25 + s2 25 ), essendo stabili, introduce uno sfasamento di ampiezza complessiva π. Il loro contributo al diagramma asintotico va quindi disegnato nella fascia 5π 2, 7π 2. c) Si procede alla graficazione del diagramma asintotico complessivo interpolando i diagrammi asintotici delle fasi dei singoli elementi, ognuno dei quali è stato disegnato nella fascia più opportuna. Nel caso in esame, è evidente che la determinazione dei punti intermedi di cambiamento di pendenza risulta notevolmente semplificato rispetto al caso di semplice somma dei singoli contributi asintotici. Si noti inoltre che la fase finale ϕ ottenuta è in accordo con la fase finale della funzione approssimante G (s) per ω.

18 3.4. LA FORMULA DI BODE 3.4 La formula di Bode Una funzione di trasferimento razionale fratta è a a fase minima se non ha né poli né zeri nel semipiano destro del piano s. Per sistemi a fase minima, detta ω c la pulsazione in corrispondenza della quale si vuole calcolare la fase β c, vale la formula di Bode: β c = d α π d u ln cotanh u du 2 in cui si è posto α := ln G(jω), u := ln ω ω c = ln ω ln ω c. La fase β c in corrispondenza di una data pulsazione ω c dipende essenzialmente dalla pendenza d α d u del diagramma delle ampiezze nell intorno di quella pulsazione ω c. Esempio: β c = 0 A A 2 2 A 3 dove: A = π 4 β, A 2 = β +β 2, A 3 = π 4 β 2

19 3.4. LA FORMULA DI BODE Significato della variabile di integrazione u: se il diagramma α è riferito ai logaritmi naturali, la variabile u non è altro che l ascissa ln ω con l origine traslata in ln ω c. La condizione necessaria e sufficiente per la validità della formula di Bode, cioè che la funzione di trasferimento sia a fase minima, è soddisfatta per la quasi totalità dei sistemi che normalmente si considerano. Esempio di rete elettrica a fase non minima: Funzione di trasferimento V u (s) = /Cs R R + /Cs V i(s) che, posto T := RC, diventa G(s) = V u(s) V i (s) = T s + T s, cioè una funzione non a fase non minima; Diagrammi di Bode delle ampiezze e delle fasi: il diagramma delle ampiezze è costante α = 0 ( G(jω) = ), mentre il diagramma delle fasi varia gradualmente da 0 a 80. È chiaro che applicando la formula di Bode all esempio si sarebbe invece dedotta una fase identicamente nulla.

20 3.4. LA FORMULA DI BODE La funzione di trasferimento trascendente G(s) = e t 0 s che rappresenta un ritardo finito di valore t 0, non è a fase minima. Essendo G(jω) = e jωt 0 = cos ω t 0 j sen ω t 0, la funzione di risposta armonica ha modulo identicamente unitario e fase crescente linearmente con la frequenza. Per ricavare i diagrammi di Bode, si scrive ln G(jω) = α + j β = 0 j ω t 0 = 0 j t 0 e ln ω relazione dalla quale si deduce che il diagramma delle fasi ha un andamento esponenziale. Anche in questo caso l applicazione della formula di Bode avrebbe condotto ad un risultato errato (β = 0).

21 3.4. LA FORMULA DI BODE Diagrammi di Bode: riepilogo I diagrammi di Bode si basano su alcune proprietà dei logaritmi e sulle proprietà valide per il modulo e l argomento di funzioni complesse:. A B = A B log 0 A B = log 0 A + log 0 B 2. A B = A B log A 0 B = log 0 A log 0 B 3. arg(a B) = arg(a) + arg(b) ( ) A 4. arg = arg(a) arg(b) B Queste proprietà permettono di ricondurre il problema di tracciare i diagrammi di bode di una generica funzione razionale fratta G(jω) = K (jω + b)...( ω2 + 2δ b ω b jω + ω 2 b ) (jω) h (jω + d)...( ω 2 + 2δ d ω d jω + ω 2 d ) alla somma dei diagrammi di Bode delle seguenti funzioni elementari: K (jω) h (jω + a) ± ( ω 2 + 2δ a ω a jω + ω 2 a) ± È possibile ricavare i diagrammi asintotici di Bode anche senza ricorrere alla somma dei singoli contributi, ma utilizzando un metodo diretto.

22 3.4. LA FORMULA DI BODE Assi nei diagrammi di Bode I Diagrammi di Bode usano l asse orizzontale in scala logaritmica. Considerando l asse reale R e fissata una origine, una pulsazione ω corrisponde ad un punto sull asse con coordinata x = log 0 ω. Accanto all asse si possono quindi indicare o i valori della coordinata x oppure direttamente i valori di ω; questa seconda soluzione è la più comoda x= log x= log Per il disegno qualitativo dei diagrammi conviene memorizzare alcuni valori: log log log log L asse verticale nei diagrammi di ampiezza è graduato in decibel (db): A db def = 20 log 0 A Con questa scala, le pendenze caratteristiche dei diagrammi di Bode sono ±20 db/decade, ±40 db/decade, ecc. Per comodità tali pendenze vengono indicate rispettivamente con i SIMBOLI ±, ±2, ecc. N.B.: se la scala verticale fosse semplicemente logaritmica (y = log 0 A) le pendenze caratteristiche dei diagrammi di Bode sarebbero ± e ±2. L asse verticale nei diagrammi di fase può essere graduato sia in radianti sia in gradi. In ogni caso il diagramma delle fasi può essere traslato verso l alto o verso il basso di multipli interi di 2π, o di 360 o, mantenendo inalterato il suo significato.

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