Bilanci di energia e massa nel sistema climatico terrestre

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1 Bilanci di energia e massa nel sistema climatico terrestre Flusso di energia nel sistema climatico terrestre L energia solare è il motore primario del sistema climatico terrestre e le sue variazioni, sebbene piccole, sono in grande parte responsabili per l avvenire delle età glaciali sulla terra durante il quaternario (i passati 2,6 Milioni di anni sulla terra). Il trasferimento di questa energia attraverso l atmosfera, il suo assorbimento alla superficie e la sua ri-emissione verso lo spazio coinvolgono un cambiamento di lunghezza d onda di picco della radiazione e una continua trasformazione dell energia radiante in energia turbolenta, potenziale e cinetica dei fluidi atmosfera e oceano. Lo schema di questi processi è presentato nella figura seguente: Fig. 1a Scambi di energia e calore in percentuale (da Oort e Peixoto)

2 Fig. 1b Schema degli scambi di energia con valori medi in W m -2 (da IPCC report, 2006). 2

3 Figura 1c L effetto della radiazione incidente, il suo assorbimento e la sua ri-emissione dalla superficie terrestre. Nello schema di figura 1c si rappresentano le retroazioni fatte partire dall assorbimento della radiazione solare alla superficie, la sua ri-emissione sotto forma di calore latente, il cambiamento dell energia interna dell atmosfera che produce i venti e che a loro volta mettono in moto l oceano. E un sistema complesso di retroazioni tra radiazione solare, superficie tra atmosfera ed oceano e dinamica delle masse d aria e d acqua. 1.2 La natura della radiazione solare La radiazione solare viaggia sotto forma di onde elettromagnetiche con la velocità della luce nel vuoto, c km s 1. La radiazione è caratterizzata dalla sua lunghezza d onda, λ, e dalla frequenza, ν, legate dalla relazione: λ ν = c La radiazione solare incidente sulla Terra contiene tutte le componenti in lunghezza d'onda della radiazione elettromagnetica (Fig.2) ma in particolare è centrata nelle lunghezze d'onda del visibile e vicino infrarosso. Fig. 2 Lo spettro della radiazione elettromagnetica in funzione della lunghezza d onda e della frequenza. 3

4 Il tasso di energia emessa dal sole sotto forma di radiazione elettromagnetica è chiamato "flusso di energia radiante" e ha le unità di energia per unità di tempo, quindi Joule/sec oppure Watt (misure equivalenti). Il flusso radiante dal sole è pari a W. Il flusso radiante diviso per l'area che attraversa si chiama "irradianza" ed è espresso in unità di W/m 2. L'area del disco solare attraversato dal flusso radiante è 4πR s 2 con R s il raggio del sole pari a m. Quindi l'irradianza solare è In generale le grandezze radiometriche si distinguono in: 1. Energia radiante (radiant energy): è l'energia trasportata da un qualunque campo di radiazione elettromagnetica, l'unità di misura nel SI è il joule (J) 2. Flusso radiante (radiant flux): è l'energia radiante nell'unità di tempo; è considerata la grandezza radiometrica fondamentale, sulla base della quale sono definite tutte le grandezze successive, l'unità di misura nel SI è il watt (W) 3. Irradianza (irradiance): è il flusso radiante incidente su una superficie per unità di area, l'unità di misura nel SI è il watt al metro quadrato (W/m 2 ) 4. Intensità radiante (radiant intensity): è il flusso radiante emesso da una sorgente puntiforme in una certa direzione per unità di angolo solido, l'unità di misura nel SI è il watt per steradiante (W/sr) 5. Radianza (radiance): è il flusso radiante emesso da una sorgente estesa per unità di angolo solido e per unità di area proiettata su un piano normale alla direzione considerata, l'unità di misura nel SI è il watt allo steradiante per metro quadrato (W/(sr m 2 )) Ognuna di queste grandezze può essere considerata anche spettralmente, cioè in funzione della lunghezza d'onda. In tal caso l'unità di misura dell irradianza spettrale è W m 2 nm 1 se si sceglie come unità della lunghezza d onda il nanometro (nm). La (1) esprime l'irradianza solare nello spazio. Alla sommità dell'atmosfera arriva una irradianza pari a: (1) (2) dove R s-t è la distanza sole-terra ( l m) e R s è il raggio solare. Questo è vero poiché la radianza che arriva sulla superficie in una sfera di raggio R s-t, è uguale a quella emessa dalla sfera del sole, come mostrato in Figura 3, e quindi: da cui si ricava la (2). S è chiamata la costante solare. Questa costante solare non è per nulla costante e ad esempio dipende dalla presenza delle macchie solari che hanno un periodo ciclico pari a 11 anni. 4

5 Fig. 3 Le sfere intercettate dall irradianza solare. Fig. 4 Lo spettro della radiazione solare alla sommità dell atmosfera, alla superficie e curva calcolata dalla legge del corpo nero. Lo spettro della radiazione solare alla sommità e alla superficie in funzione della lunghezza d onda è mostrato nella figura 4. Vediamo ora come si spiega questa distribuzione 1.3 Le leggi dell irraggiamento dei corpi caldi La radiazione emessa da un corpo a temperatura T è chiamata radiazione di corpo nero ed è descritta dalla legge di Plank. Tutti i corpi a temperatura superiore allo zero assoluto ( C o zero 0 K) emettono radiazione elettromagnetica. L'irradianza di corpo nero dipende dalla temperatura del corpo secondo la legge: 5

6 (2) dove σ è la costante di Stefan-Boltzmann pari a. L'equazione (2) è la legge di Stefan-Boltzmann. Per vedere come la radiazione dipende dalla temperatura guardiamo l'immagine da satellite nel visibile e vicino infrarosso (Fig di Wallace and Hobbs [1]). Su di un satellite viene messo un radiometro, ovvero uno strumento capace di misurare l irradianza in funzione della λ della radiazione elettromagnetica emessa dal corpo stesso. Possiamo quindi misurare la radiazione emessa dalla superficie del mare e da altri corpi emittenti/riflettenti quali le nubi. Si vede chiaramente che i fronti di temperatura del mare sono visibili nelle lunghezze d'onda dell infrarosso mentre le nubi, molto più fredde, riflettono e ri-emettono nel visibile. Questo dipende dalla legge di Wien che dice che la lunghezza d'onda di picco dell'emissione per un corpo nero a temperatura T è: λ m = 2897 / T dove λ è in µm e T in K. Se si misura λ di emissione si può risalire alla temperatura del corpo che l ha emessa. Quindi per il sole se λ m = µm T = K Fig. 5 Spettro di corpo nero normalizzato rappresentativo del Sole (a sinistra) e della Terra (a destra), tracciato su una scala di lunghezze d onda logaritmica. L ordinata è moltiplicata per λ per rendere l area sotto le curve proporzionale all irradianza. e per la terra invece, considerando invece T = 255 o K, λ m 10 µm come mostrato in figura La radiazione solare e le stagioni La distribuzione di radiazione solare alla sommità dell atmosfera dipende da: 1) la geometria della sfera terrestre; 2) l inclinazione dell asse terrestre; 3) l orbita ellittica della terra attorno al sole. La distanza massima tra terra e sole è raggiunta all afelio ( m) mentre quella minore al perielio ( m). L eccentricità dell orbita della terra (rapporto tra la differenza dei raggi corrispondenti all apocentro e il pericentto e la distanza pari alla somma degli stessi) attorno al sole è piccola per la terra ai giorni nostri, è solo 0,0167 (fig. 6). L asse terrestre o obliquità della terra è pari ad un angolo di

7 L irradianza F sw su una superficie orizzontale sulla terra, inclinata rispetto al piano dell orbita, dipende dall angolo di zenit, Z, del sole rispetto a questa superficie: F sw = F sw o cos Z (6) dove F sw o è la radiazione che arriva alla sommità dell atmosfera al variare della posizione della terra lungo l orbita (vedi Fig. 7). In particolare: F o sw = S d 2 m d (7) dove S è la costante solare e d è la distanza vera tra sole e terra e d m è quella media. Quindi al perielio, punto più vicino, la radiazione è più intensa mentre il contrario è vero per l afelio. L angolo di zenit si può riscrivere in funzione della latitudine, dell ora e della declinazione. In astronomia, quest ultima è una latitudine celeste riferita alla sfera celeste ed è misurata in gradi nord e sud dell equatore celeste (vedi Fig.7). Fig. 6 L orbita terrestre ai giorni nostri e le posizioni dell afelio, perielio, equinozi e solstizi. 7

8 Fig. 7. Angolo di zenit Fig. 8 La declinazione e l angolo orario. L angolo di zenit è anche illustrato in Figura 8 e si può scrivere: cos Z = sinθ sinδ + cosθ cosδ cosh dove θ,δ,h sono la latitudine, la declinazione e l angolo orario. Integrando sulla durata del giorno la (6) si ottiene la curva di Fig. 9. 8

9 ù Fig. 9 L irradianza solare come funzione della latitudine e del mese alla sommità dell atmosfera. Le unità sono 10 6 J m W m 2 al giorno. La radiazione solare cambierà quindi al variare dei parametri astronomici dell orbita quali l eccentricità dell orbita, l angolo dell asse terrestre e la precessione dell asse terrestre. L'eccentricità dell'orbita della Terra varia da 0.005, per un orbita quasi circolare, a 0.058, per un orbita molto ellittica con una frequenza pari a circa 400,000 anni e altre più deboli pari a 95,000 e 136,000 anni. L'eccentricità cambia la distanza dal sole e quindi modula il valore della costante solare. L'angolo dell'asse di rotazione terrestre varia rispetto al piano dell'orbita con un periodo di circa 40,000 anni tra un valore massimo di 22.1 e 24.5 gradi. L'aumento dell'obliquita' fa aumentare l'ampiezza del ciclo stagionale della costante solare. Infine, l'asse di rotazione terrestre ruota rispetto ad un asse perpendicolare al piano dell'orbita con un periodo di circa 26,000 anni a causa delle forse di marea del sole e della luna. La precessione sfasa il ciclo stagionale nei due emisferi aumentando l'asimmetria stagionale tra un emisfero e l'altro. Nella Fig. 9 sono illustrate le variazioni di questi tre parametri nel milione di anni prima dell'eta' attuale. La figura mostra efficacemente una delle grandi difficolta' del problema, ovvero 9

10 l'esistenza di scale di tempo molto diverse che tuttavia contribuisconoa determinare differenze piuttosto importanti della costante solare. La Fig.9 illustra come i movimenti orbitali influenzino la costante solare. La conoscenza dei movimenti orbitali permette di calcolare dell'insolazione (eq.6) a diverse latitudini. Nella figura sono mostrati valori tipici dei tropici e delle zone subpolari. Le variazioni dell'insolazione sono molto significativi, dell'ordine di W tra massimo e minimo e hanno andamenti diversi tra i tropici e le alte latitudini. Complessivamente i tropici appaiono piu' regolari, mentre nelle alte latitudini le variazioni sono piu' complesse. 1.5 Equilibrio radiativo nell'atmosfera ed effetto serra Il problema è quello di sapere qual è la temperatura della superficie della terra se si considerano solo le proprietà di emissione ed assorbimento degli strati atmosferici e la riflettività della superficie della terra. Questo problema è stato trattato nel passato al fine di ottenere una stima della temperatura di "equilibrio radiativo dell atmosfera della Terra e di altri pianeti. Consideriamo una terra sferica che emette tutta la radiazione assorbita e ricevuta dal sole. La radiazione emessa dalla superficie, E t, sarà: (8) Nella (4) è l'albedo della terra, preso essere il valore costante di 0.3. L albedo è definito come l'effetto netto di riflessione della radiazione solare incidente senza assorbimento da parte della superficie. La temperatura che corrisponde a tale emissione E t è quindi : SOLAR RADIATION PLANETARY RADIATION In Tabella 6.2 di Wallace and Hobbs [1] sono presentate le temperature di equilibrio radiativo per gli altri pianeti. In realtà la temperatura media alla superficie è di 15 C ed è quindi necessario modificare la semplice legge di bilancio radiativo usata sopra. E' necessario considerare un atmosfera che assorbe la radiazione rie-emessa dalla superficie e la ri-emette. Se la radiazione solare viene assorbita dall atmosfera solo per il 10%, la radiazione emessa dalla terra viene assorbita per l'80 %. Il bilancio radiativo quindi diventa: ( 9) 0.9E t + y = x alla superficie terrestre 0.2 x + y = E t alla sommità dell'atmosfera E t ATMOSFERA 0.9E t SUP. TERRESTRE 0.2x x y y 10

11 Nella (9) x è la radiazione incognita, cioè quella emessa dalla superficie della terra. Risolvendo il sistema (9) si ha che x=1.58 E t da cui la temperatura della superficie che emette è : e quindi 13 C. Il gas atmosferico principale responsabile per l assorbimento nell infrarosso è la CO 2 Il meccanismo di assorbimento della radiazione infrarossa emessa dalla terra è comunemente chiamato effetto serra. (5) 1.6 Bilancio di calore all interfaccia aria-mare Consideriamo innanzi tutta la terra uniformemente ricoperta dall oceano (in realtà solo per il 72%). Chiamiamo l interfaccia tra atmosfera e oceano interfaccia aria-mare e consideriamo i processi fisici principali che vi avvengono. Questi sono: a. Il primo è il processo radiativo che coinvolge l'assorbimento della radiazione solare incidente descritto in precedenza, e la ri-emissione sotto forma di radiazione (bilancio radiativo) b. Il secondo è di tipo turbolento dovuto a processi di conduzione/convenzione secca con rilascio di calore sensibile e umida con rilascio di calore latente. Questi processi all interfaccia aria-mare sono particolarmente importanti poiché il moto dell atmosfera è forzato da questo trasferimento, e non direttamente dalla radiazione che la penetra dallo spazio. L atmosfera può considerarsi in prima istanza un fluido forzato dal basso verso l alto, mentre al contrario l oceano dall alto (superficie) verso il basso (le profondità marine). L oceano deriva la sua distribuzione di temperatura interna alla colonna d acqua dal trasferimento verso il basso del calore scambiato all interfaccia aria-mare. E quindi importante soffermarci sui processi che avvengono all interfaccia aria-mare. La notazione seguita sarà la seguente: Q S indica la radiazione solare incidente in che arriva alla superficie della Terra Q B indica la radiazione solare riemessa in dalla superficie del mare Q H indica il calore sensibile in Q E indica il calore latente in Il bilancio è quindi scritto: Q t = Q s + Q B Q H Q E Q S è proporzionale alla costante solare, all albedo e alla copertura nuvolosa che dà luogo ad assorbimento e riflessione della radiazione. Si può quindi scrivere che: (1.6) dove n c è la frazione di cielo coperta dalle nubi. Il flusso di radiazione infrarossa Q B è invece scritto in maniera più complicata della semplice legge di Stefan-Boltzman (1.2). Si considera che la superficie del mare non è un corpo nero 11

12 perfetto (fattore di correzione 0.985) e si considera l effetto di remissione nell infrarosso del vapore acqueo presente nell atmosfera e nelle nuvole. Un esempio di tale formula è: Q B = 0.985σT S 4 + F LW (1.7) La parte radiativa del bilancio è scritta in maniera generale come segue: F rad = F SW + F LW = Q s + Q B ovvero come il bilancio tra la radiazione a lunghezza d onda corta e quella a lunghezza d onda lunga, ovvero termica. Il primo termine è di tipo solare mentre il secondo è chiamato calore di radiazione terrestre. Nello strato dei primi 10 metri all interfaccia aria-mare, il calore rilasciato per processi turbolenti convettivi /induttivi secchi 1 è proporzionale alla velocità del fluido e alla differenza di temperatura tra oceano ed atmosfera. Si scrive quindi: dove C H è il coefficiente di Stanton, C p è il calore specifico a pressione costante e è la densità dell aria. Per il caso di processi convettivi con passaggio di fase dell acqua, da stato liquido a quello gassoso, ovvero con vapore acqueo prodotto dall evaporazione della superficie marina, si ha rilascio di calore proporzionale a q s e q a ovvero l umidità specifica. L umidità specifica q a è la massa di vapore acqueo per unità di massa dell aria a 10 metri; q s è l umidità specifica della superficie del mare, considerata essere aria saturata alla temperatura T S dell acqua. Si ha quindi: (1.8) (1.9) dove C E è chiamato coefficiente di Danton e L è il calore latente di evaporazione dell acqua (585 at 20 o C). 1.7 Il ciclo idrologico e il bilancio di acqua all interfaccia aria mare Il ciclo idrologico generale della terra è rappresentato in Fig a pag 256 del libro Capire la terra di Press e Siever. Come si può vedere il maggiore scambio di acqua in termini di bilancio di massa e tra l oceano e l atmosfera. L oceano (media sulla superficie della terra) evapora più di quello che riceve sotto forma di precipitazioni e questo eccesso va a cambiare il bilancio sulle terre emerse che lo restituiscono all oceano sotto forma di deflusso dai fiumi superficiali e sottorranei. Il bilancio d acqua all interfaccia aria-mare è quindi dato da: 1 Questi processi convettivi/induttivi avvengono in uno stato di pochi metri adiacente all interfaccia aria mare. Non coinvolgono passaggio di fase dell acqua a vapore e quindi sono considerati secchi. 12

13 dove E è l evaporazione ( ) P è la precipitazione e R l apporto fluviale. La Fig. 3.6 a pag 50 del Mellor Introduction to Physical Oceanography fa vedere la distribuzione del bilancio E-P. Nell regioni tropicali questo bilancio e negativo mentre in quelle alle medie latitudini e positivo. Ritorna ad essere leggermente negativo alle alte latitudini. Questa distribuzione naturalmente e simile ma non uguale (perche?) alla distribuzione della copertura nuvolosa della terra. 1.8 Il bilancio di quantità di moto all interfaccia aria-mare L oceano e principalmente messo in moto dallo scambio di momento all interfaccia aria mare. E quindi il vento atmosferico che è responsabile per le correnti marine sia a grande che piccola scala. Non consideriamo qui il moto ondoso prodotto dal vento e neppura le correnti molto vicino alla costa prodotte dalla rottura delle onde ma solo le correntiindotto dal trasferimento turbolento del momento. Consideriamo per un momento il vento atmosferico vicino sulla superficie terrestre considerata un contorno rigido. Come si vede dalle figure dei fluidi in moto a contatto con superfici rigide ed immobili (mostrate a lezione), questo movimento crea, all interfaccia con la Terra, uno strato chiamato turbolento, ovvero dove le componenti della velocità variano su scale spaziali e temporali corte rispetto a quelle del vento atmosferico lontano dalla superficie. In questo strato si sviluppano degli stress turbolenti che, nel caso specifico, riducono la velocità del fluido a zero vicino alla superficie rigida. Gli sforzi interni tangenziali turbolenti sono scritti come: (4.1) (4.2) per le componenti x e y del moto. Qui indicano le componenti rispettivamente del moto. Empiricamente si può dimostrare che: (4.3) dove è un coefficiente di viscosità turbolenta che si definisce empiricamente a sua volta come vedremo nel seguito. Le derivate verticali delle due componenti della velocità sono chiamate shear del campo di velocità. Vogliamo ora cercare di esprimere lo stress in funzione delle velocità turbolente che si sviluppano nello strato turbolento o limite vicino alla superficie. Al di fuori di questo strato limite c è il fluido imperturbato. Empiricamente si può trovare che: (4.4) (4.5) ovvero la viscosità turbolenta è proporzionale alla distanza dalla superficie rigida e a è chiamata la velocità d attrito (friction velocity). Quest ultima è scritta come:, che 13

14 (4.6) dove τ 0 è l ampiezza dello stress e ρ 0 la densità dell aria in questo caso. Scegliamo per semplicità τ xz = τ 0 e τ yz = 0. Ci poniamo quindi di sapere com è il profilo della velocità in funzione di z, ovvero u(z), assumendo il valore (5) per la viscosità turbolenta e la formula (3) per lo stress. Si scrive quindi: (4.7) dalla quale si risolve integrando: Supponiamo che z 0 sia tale da avere u(z 0 ) = 0. Tale altezza è chiamata altezza di rugosità (roughness length) e corrisponde a pochi metri per l atmosfera. Si ricava quindi la legge del muro (law of the wall) che esprime il campo di velocità nello strato turbolento come logaritmico nell altezza dalla superficie rigida. In altre parole: (4.8) Assumendo questo profilo, si può ora trovare un espressione per τ 0 a 10 metri dalla superficie terrestre, scelto come livello di riferimento per lo stress atmosferico turbolento (più in basso altri processi intervengono, quali lo strato molecolare viscoso, la struttura del terreno, ecc ). Considerando ora τ 0 scritto come: dove C D è un coefficiente non-dimensionale di trascinamento, si trova che: (4.9) dove ora z 0 è espresso in metri. Il valore 0.4 è la costante di Von Barman, anche scritta come κ. Riprendendo la notazione vettoriale ne risulta che: dove (u 10, v 10 ) sono le componenti del vento a 10 metri. All interfaccia aria-mare, Charnock ha trovato che: (4.10) (4.11) (4.12) 14

15 e l altezza di rugosità è dovuta alle onde create dal vento stesso (α è una costante empirica uguale a ). Sempre all interfaccia aria-mare gli stress devono essere continui e quindi si può scrivere: ovvero:. Si ha quindi che: Quindi la velocità d attrito nell oceano è molto minore di quella dell atmosfera semplicemente perché c è una grande differenza di densità tra i due fluidi. Il valore tipico di all interfaccia aria-mare è di. Si ha quindi che e nell oceano.. Di conseguenza u(z) nell atmosfera è un ordine di grandezza maggiore che non 15