INFERENZA SU UNA O DUE MEDIE CON IL TEST

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1 CAPITOLO VI INFERENZA SU UNA O DUE MEDIE CON IL TEST t DI STUDENT 6.. Dalla popolazioe ifiita al campioe piccolo: la distribuzioe t di studet 6.. Cofroto tra ua media osservata e ua media attesa co calcolo dei limiti di cofideza di ua media, co σ igota Cofroto tra ua osservazioe e la media di u campioe Il cofroto tra le medie di due campioi Il test t per campioi dipedeti o per dati appaiati co itervallo di cofideza della media delle differeze Test di Sadler per due campioi dipedeti Il test t per campioi idipedeti o per dati o appaiati Test F, test di Bartlett e test di Levee per la verifica di ipotesi bilaterali e uilaterali sull'uguagliaza di due variaze Sigificatività e itervallo di cofideza di ua differeza Poteza a priori e a posteriori del test t, co u campioe e co due campioi dipedeti o idipedeti Dimesioe del campioe e precisioe ella stima sia di ua media sia di ua differeza tra due medie Il bilaciameto di due campioi idipedeti: vataggi e costi Correzioe per il campioameto i ua popolazioe fiita e il cocetto di superpopolazioe Test per la differeza tra due coefficieti di variazioe co la distribuzioe t di Studet Il cofroto tra due medie co variaze differeti o problema di Behres-Fisher; la statistica Welch e il metodo di Satterthwaite Effetto trattameto: ~ω e cei di ~η, el test t di Studet per due campioi idipedeti Limiti di tolleraza e populatio coverage, co metodi parametrici 00

2 CAPITOLO VI INFERENZA SU UNA O DUE MEDIE CON IL TEST t DI STUDENT 6.. DALLA POPOLAZIONE INFINITA AL CAMPIONE PICCOLO: LA DISTRIBUZIONE t DI STUDENT Nella prassi della ricerca sperimetale, utilizzare u test di ifereza sulla media campioaria ( X ) cooscedo σ, la variaza della popolazioe, è u caso più teorico che reale. E ua procedura possibile, ricorredo a pubblicazioi o ad esperieze persoali fodate su molti dati; ma per u ricercatore che raccoglie dati i atura o i laboratorio è u fatto poco frequete. Quado la media della popolazioe (µ) o è ota, di orma ache la sua variaza ( σ ) è igota. Di cosegueza, occorre utilizzare u sostituto della variaza della popolazioe e la variaza del campioe ( S ) e rappreseta la stima più logica ed attedibile. Co σ igota ed il ricorso all uso di S i sua sostituzioe, la distribuzioe delle probabilità o è più forita dalla distribuzioe ormale Z, ma da quella del t, detta t di Studet, dallo pseudoimo di William Sealy Gosset ( ). Questo chimico iglese, allievo di Karl Pearso e collega di Fisher seppure o coetaeo (più vecchio di 4 ai), ebbe u'iiziale carriera accademica. Ma, i asseza di prospettive all Uiversità, dal 907 prima adò a lavorare i ua azieda, la birreria Guiess di Dublio, eseguedo aalisi statistiche su campioi dei prodotti. Era ua fuzioe simile a quello che oggi viee chiamato cotrollo di qualità. Usado campioi ecessariamete ridotti per motivi ecoomici e di praticità, studiò lo scarto tra le medie dei campioi estratti dalla stessa popolazioe e la media dell'uiverso, i rapporto all'errore stadard. Ne derivò ua distribuzioe che è diversa dalla ormale, el caso di piccoli campioi. Nella sua situazioe cotrattuale, o poteva diffodere i risultati delle sue ricerche: i suoi datori di lavoro temevao che ciò potesse aiutare la cocorreza. Pubblicò ugualmete i suoi studi e descrisse le caratteristiche della uova distribuzioe i due articoli su Biometrika (la rivista fodata pochi ai prima da Karl Pearso ( ) e proseguita dal figlio Ego Sharpe Pearso ( ) egli ai 907 e 908, ma firmadosi co u "om de plume" o pseudoimo A. Studet. I testi di storia della statistica, i questa firma viee evideziato u iteto polemico: la soluzioe del problema era stata raggiuta da uo studete (a studet), u ricercatore che o avevao voluto come professore all Uiversità. Quei suoi due lavori di Studet rappresetao, storicamete, i fodameti della distribuzioe t.

3 I realtà, Gosset chiamò la sua distribuzioe Z. Fu R. A. Fisher, itoro al 95 e quidi quasi 0 ai dopo, che sviluppò questo metodo, la cui estesioe a più gruppi e a situazioi sperimetali differeti porterà alla ascita e allo sviluppo dell aalisi della variaza. I oore di Gosset e a ricordo delle sue pubblicazioi lo chiamò t di Studet (ell articolo Applicatios of Studet s distributios, pubblicato su Metro vol. 5, pp ). Ripropose questi cocetti ella prima edizioe del suo testo, Statistical Methods for Research Workers ( st ed. Oliver ad Boyd, Ediburgh, Scotlad, 39 pp. + 6 tables). E' iteressate evideziare come ei primi vet ai e fio al testo di Fisher tale scoperta di Studet o fosse compresa, i particolare dal suo maestro Karl Pearso. Passare dal modello della distribuzioe ormale, formata da u gruppo di dati teoricamete ifiito, a u modello di distribuzioe che può essere applicato a campioi limitati, ecessariamete formati da poche uità, era visto come ua stravagaza, u idea da cultura di basso rago, pure da parte del modo accademico che stava poedo le basi della statistica. E quato emerge dalla lettura dell articolo postumo di Ego Sharpe Pearso del 990 Studet. A statistical Biography of William Sealy Gosset ( R. L. Plackett ad G. A. Barard eds., Claredo Press, Oxford, Eglad). A Gosset, che presetò le sue proposte e i suoi dubbi sui campioi piccoli, le idee che successivamete portaroo allo sviluppo dei test fodati sulla distribuzioe t, il maestro Karl Pearso replicò (pag. 73) i termii sprezzati : Oly aughty brewers deal i small samples. A questa impostazioe molto più tardi rispose Roald Aylmer Fisher (890-96), diveuto el 89 direttore del Rothamsted Agricultural Research Istitute di Lodra, il più importate cetro di ricerche agrarie del Rego Uito. Nella prefazioe della prima edizioe del suo testo Statistical Methods for Research Workers del 95, il suo liguaggio è altrettato deciso el difedere l approccio della ricerca applicata e el codaare quella accademica, el riproporre l uso di campioi piccoli ei cofroti della statistica fodata su popolazioi ifiite di dati: the traditioal machiery of statistical processes i wholly usuited to the eeds of practical research. Not oly does it take a cao to shoot a sparrow, but it misses the sparrow! The elaborate mechaism built o the theory of ifiitely large samples is ot accurate eought for simple laboratory data. Oly by systematically tacklig small sample problems o their merits does it seem possible to apply accurate tests to practical data.

4 Nasce la statistica modera. Ha origie l ifereza: la deduzioe dal campioe all uiverso, lo studio di casi per cooscere le leggi della atura. I ua sperimetazioe statistica elemetare, ella quale si voglia ripetere l esperieza di Gosset, la distribuzioe t può essere otteuta, - co u campioe costate di dati (), - aalizzado le variazioi otteute co il rapporto t media del campioe media della popolazioe errore stadard del campioe X µ S Per ua migliore compresioe dei cocetti fodametali di questo approccio e per ua corretta applicazioe dei test che e soo derivati, è importate evideziare le caratteristiche specifiche che differeziao questa distribuzioe dalla gaussiaa: - la distribuzioe ormale ( Z ) cosidera solamete la variazioe di campioameto della media campioaria ( x ) rispetto a quella della popolazioe ( µ ), - la distribuzioe t di Studet tiee coto cogiutamete delle variazioi sia della media campioaria ( x ) sia della deviazioe stadard ( S ) calcolata sullo stesso campioe di dati. Per attuare ua ifereza sulla media di ua popolazioe partedo da dati campioari, occorre pertato cosiderare ello stesso tempo - sia la variazioe di x come stima di µ - sia la variazioe di S come stima di σ. All'aumetare del umero di dati campioari ( ) le differeze si riducoo poiché, - S diveta ua stima sempre migliore di σ. Quado è sufficietemete grade (teoricamete ifiito, ma i pratica oltre 00; oppure, secodo altri testi più cautelativi o prudeziali, oltre 50 gdl), - S e σ hao valori praticamete idetici. 3

5 Nella ricerca applicata, i campioi raccolti i atura o i laboratorio co frequeza soo formati da poche osservazioi. I queste codizioi, la differeza tra il valore del t di Studet e il corrispodete valore di Z alla stessa probabilità α è rilevate. DISTRIBUZIONE NORMALE STANDARDIZZATA CORRISPONDENTE ALLA DISTRIBUZIONE t DI STUDENT CON GDL ν E DISTRIBUZIONE t DI STUDENT PER 4 E GRADI DI LIBERTÀ (ν 4 E ν ). La rappresetazioe grafica della curva t di Studet mostra le sue caratteristiche di distribuzioe di probabilità teoriche. La sua forma - è simmetrica e a campaa come la ormale, - ma co ua dispersioe maggiore, quato miore è il umero di gradi di libertà. Le diverse curve e le tabelle della distribuzioe t (riportate alla fie del capitolo) evideziao che - o vi è ua sola curva t ma, a differeza di quato avviee per la gaussiaa - esiste ua itera famiglia di distribuzioi t, ua per ogi grado di libertà. 4

6 Dovrebbero quidi essere pubblicati iteri volumi di tabelle dei suoi valori critici. I realtà, come già visto per il chi quadrato, ache per la distribuzioe t abitualmete si utilizza ua sola tavola siottica, ua pagia ordiata di sitesi, che riporta i valori critici più importati. Alla fie del capitolo, per favorire la compresioe dei cocetti e la stima delle probabilità, soo state riportate 3 differeti tabelle: - la prima è per u test bilaterale, - la secoda è per u test uilaterale, - la terza permette u cofroto rapido tra le probabilità associate ai due casi. Il modo di lettura delle tre tabelle è idetico: - la parte superiore di ogi coloa idica l'area sottesa elle rispettive code della distribuzioe, - metre ogi riga fa riferimeto ad uo specifico grado di libertà, riportato ella prima coloa. I valori critici - per l'area i ua coda alla probabilità α coicidoo co quelli della probabilità α ella distribuzioe a due code; - viceversa, quelli associati alla probabilità α i due code coicidoo co i valori associati alla probabilità α / ella distribuzioe a ua coda. Per esempio, cofrotado le rispettive tabelle si osserva che - co 0 gdl i u test ad ua coda per α 0.05 il valore critico t,85; - sempre co 0 gdl ma per u test a due code, per α 0.05 il valore critico è t,634; - ella distribuzioe ad ua coda, i valori di t per α 0.05 coicidoo co quelli riportati ella coloa di α 0.0 della distribuzioe a due code; - iversamete, i valori per α 0.05 ella tabella per test a due code coicidoo co la coloa dei valori di α 0.05 ella tabella per test ad ua coda. Quado la distribuzioe t di Studet è applicata a test di verifica delle ipotesi, è ecessario rispettare le codizioi di validità. Poiché essa è derivata direttamete dalla ormale, occorre rispettare le codizioi richieste per i test parametrici (media e variaza soo detti i parametri della distribuzioe ormale) E' codizioe di validità della distribuzioe t di Studet, e quidi dei test che la utilizzao, - - che la distribuzioe dei dati sia ormale e - - che le osservazioi siao raccolte i modo idipedete. La secoda codizioe dipede dalla modalità di orgaizzazioe della raccolta dei dati. Ad esempio, le osservazioi o soo idipedeti se etro u gruppo di persoe delle quali si misura il peso esistoo 5

7 più fratelli; se, i u esperimeto sulla coducibilità elettrica di u metallo a temperature diverse, si utilizzao campioi di metallo diversi ma u campioe è misurato più volte. Rispetto alla codizioe di ormalità la distribuzioe t è robusta. Co tale termie tecico si itede affermare che rimae approssimativamete valida, ache quado le distribuzioi di dati o rispettao esattamete la codizioe dalla ormalità. Nella statistica applicata, il test t è utilizzato i quattro casi: per il cofroto tra - la media di u campioe e la media dell uiverso o ua geerica media attesa; u sigolo dato e la media di u campioe, per verificare se possoo apparteere alla stessa popolazioe; 3 - la media delle differeze di due campioi dipedeti co ua differeza attesa; 4 - le medie di due campioi idipedeti. Per oguo dei tre casi sulle medie - media di u campioe, - media delle differeze tra due campioi dipedeti, - differeza tra le medie di due campioi idipedeti, è possibile calcolare l itervallo di cofideza. Come già visto co la distribuzioe Z, co esso si può cooscere l itervallo etro il quale è collocato il valore reale della popolazioe alla probabilità α, partedo dalla misura campioaria. Ioltre, il metodo dell itervallo di cofideza rappreseta u alterativa ai test d ifereza bilaterali. Come emergerà più volte el testo, le distribuzioi fodametali della statistica soo 4 : - la distribuzioe ormale Z, - la distribuzioe t di Studet, - la distribuzioe F di Fisher, - la distribuzioe χ di Pearso. Per la stessa probabilità α, esiste la relazioe Z t F α / α /, α,, χα, dove - Z α / valore di Z alla probabilità α i ua distribuzioe bilaterale; t valore di t alla probabilità α i ua distribuzioe bilaterale, per gradi di libertà ifiiti; - α /, 6

8 - F α,, valore di F alla probabilità α, per gradi di libertà al umeratore e ifiiti al deomiatore; - χ α, valore di χ alla probabilità α, per grado di libertà. 6.. CONFRONTO TRA UNA MEDIA OSSERVATA E UNA MEDIA ATTESA, CON CALCOLO DEI LIMITI DI CONFIDENZA DI UNA MEDIA, CON σ IGNOTA La distribuzioe t co - gdl (idicata co t - ) è data dal rapporto - tra la differeza della media campioaria X e quella attesa µ sulla base dell'ipotesi ulla, - co il suo errore stadard s/ come espresso dalla formula t (-) dove - è il umero di dati, X µ S 0 t( ) - S è la deviazioe stadard calcolata sui dati del campioe, E importate ricordare che, come ampiamete presetato el capitolo sulla statistica descrittiva, la deviazioe stadard è otteuta a partire dalla deviaza mediate la formula ( X X ) S dove la parte sotto radice è chiamata variaza campioaria corretta o stima corretta della variaza. i Ai fii pratici del calcolo, la deviaza ( X X ) i è stimata più rapidamete e co maggiore precisioe, i quato o prevede arrotodameti caratteristici delle medie, ricorredo alla formula abbreviata ( X i X ) X i ( X ) i 7

9 Per verificare l ipotesi relativa alla media x di u campioe rispetto ad ua media attesa, el caso di u test bilaterale, - l'ipotesi alterativa H è scritta come H : µ µ 0 - e l ipotesi ulla H 0 H 0 : µ µ 0 dove - µ è la media della popolazioe da cui è estratto il campioe co media osservata X - µ 0 è la media attesa o di riferimeto per il cofroto. Co la medesima simbologia, i u test uilaterale - l'ipotesi alterativa H è scritta come H : µ < µ 0 - e l ipotesi ulla H 0 corrispodete H 0 : µ µ 0 al fie di verificare se la media del campioe è sigificativamete miore della media attesa (co formulazioe più estesa e precisa, se la media della popolazioe dalla quale è stato estratto il campioe è miore della media attesa) oppure elle direzioe opposta l ipotesi ulla H 0 è scritta come H 0 : µ µ 0 e l'ipotesi alterativa H come H : µ > µ 0 al fie di verificare se la media della popolazioe µ da cui è estratto il campioe è maggiore di quella attesa µ 0. Dalla precedete formula da utilizzare per verificare la differeza tra media campioaria e media attesa t (-) X µ 0 s 8

10 si può derivare quella dell'itervallo di cofideza (cofidece iterval, tradotto spesso ache itervallo fiduciale), etro il quale alla probabilità α è compresa la media reale µ della popolazioe dalla quale è estratto il campioe. Lo sviluppo dei cocetti di itervallo di cofideza, che è applicato a diverse misure (variaza, coefficiete agolare ella retta, ecc. ) e o solo alla media come i questo caso, è attribuito a Jerzy Neyma per averlo itrodotto el 934 co i termii cofidece iterval o cofidece coefficiet, beché il cocetto fosse già stato proposto u secolo prima. I varie situazioi come i questo testo, si usa come sioimo beché o lo sia i tutte le situazioi, ache il termie fiducial iterval sviluppato da R. A. Fisher el 930 (per ulteriori chiarimeti vedi di J. Pfazagl del 978 Estimatio: Cofidece iterval ad regios, pp i Kruskal ad Taur). La formula per il calcolo dell itervallo di cofideza diveta s µ X ± tα - ; dove t α ; idica il valore della distribuzioe t co - gradi di libertà alla probabilità α. Sommado alla media campioaria le due parti, la quota positiva e quella egativa, si ottiee l'itervallo che comprede la media co probabilità α prefissata ESEMPIO. I u appezzameto di terreo adibito a vivaio, soo coltivate piaticelle della specie A; ua luga serie di misure ha dimostrato che dopo due mesi dalla semia raggiugoo u altezza media di 5 cetimetri. A causa di u icidete, su quel terreo soo state disperse sostaze tossiche; si ritiee che esse icidao egativamete sulla crescita di alcue specie, tra le quali la specie A. Per ua verifica di tale ipotesi, vegoo semiate sul terreo iquiato 7 piaticelle che, cotrollate dopo mesi, raggiugoo le segueti altezze i cm.:, 5,, 3, 4, 5,. Si itede rispodere a due quesiti. - Si può sosteere che le sostaze tossiche disperse iibiscao la crescita della specie A? - Quale è la media reale dell altezza delle piate dell età di due mesi, ella uova codizioe del terreo? Risposta. E u test ad ua coda i cui l ipotesi ulla è e l ipotesi alterativa è H 0 : µ µ 0 9

11 H : µ < µ 0 Ifatti, se le sostaze tossiche iibiscoo la crescita, la media µ della popolazioe da cui è estratto il campioe di 7 piate può solo essere iferiore alla media µ 0 della popolazioe precedete pari a 5. Il test assume sigificato solamete se la media campioaria X è miore della media attesa µ 0 : il test serve per verificare se la differeza è da riteersi casuale oppure sigificativa. Se, co l ipotesi alterativa espressa, la media campioaria fosse risultata superiore alla media attesa, diverrebbe totalmete iutile applicare il test: o si riuscirebbe mai a dimostrare che la media del campioe è sigificativamete miore di quella espressa ell ipotesi ulla. Scegliedo ua probabilità α 0.05 e applicado la formula dove, sulla base dei 7 dati campioari, t (-) X µ 0 S X 0,05 ; 6 3,0 S,73 t,447 7 µ 0 5,0 si ottiee u valore t (6) di t co 6 gdl uguale a - 3,05. 3,0 5,0-3,053,73 0,655 7 Il sego egativo idica solamete che la differeza è egativa rispetto al valore atteso; ai fii della sigificatività, il valore di t viee preso i modulo. Per u test ad ua coda, il valore critico del t alla probabilità 0.05 co 6 gdl è uguale a,943. Il valore calcolato i modulo è superiore a quello riportato ella tabella siottica della distribuzioe t. Pertato, co probabilità iferiore a 0.05 (di commettere u errore) si rifiuta l ipotesi ulla e si accetta l ipotesi alterativa: le sostaze tossiche disperse iibiscoo la crescita delle piate della specie A i modo sigificativo. Risposta. L altezza media reale µ della popolazioe dalla quale soo stati estratti i 7 dati può essere stimata mediate l itervallo di cofideza Co i dati del campioe µ X ± t α ; - S 0

12 X 3,0 S,73 7 e il valore del t associato alla probabilità 0.05 per u test a due code co 6 gdl t 0,05 ; 6,447 si calcola che µ 3 ± 447,, 73 3 ±, 60 7 Pertato, alla probabilità complessiva α il limite iferiore l ed il limite superiore l dell itervallo di cofideza risultao rispettivamete: l, 398 l 4, 60 I questo caso, o è possibile il cofroto diretto tra le due risposte poiché - ella prima è u test uilaterale (co t (0.05, 6),943), - metre ella secoda l itervallo di cofideza utilizza il valore di t corrispodete a u test bilaterale (co t (0.05,6),447). ESEMPIO. Dispoedo di u campioe di 3 idividui di Heterocypris icogrues pescati i u fiume, dei quali soo riportate le lughezze (i mm), Idividui Lughezza (mm),,39 3, 4, 5, 6, 7,0 8,8 9,3 0,,3,4 3,33 si vuole verificare se alla probabilità P 0.99 la loro lughezza media è sigificativamete differete dalla media di,5 mm stimata per la stessa specie ei laghi della regioe, i varie ricerche precedeti.

13 Risposta. E possibile forire ua risposta sia mediate l applicazioe del test t per u campioe (), sia attraverso la stima dell itervallo di cofideza della media campioaria (). - Dai 3 dati campioari, devoo essere calcolati il valore della media e della deviazioe stadard: X,35 S 0,059 3 La domada dell esempio richiede u test a due code o bilaterale, poiché prima della raccolta dei dati è ugualmete logico che la media del campioe abbia u valore sia sigificativamete miore sia maggiore della media attesa. Idicado co µ la media reale del campioe estratto dal fiume e co µ 0 la media della popolazioe che vive ei laghi, l ipotesi ulla è e l ipotesi alterativa H 0 : µ µ 0 H : µ µ 0 Mediate il test t, 35, 50 0, 05 t () -0,97 0, 059 0, si ottiee u valore di t () uguale a -0,97. Alla probabilità α 0.0 per u test bilaterale co gdl il valore critico riportato è uguale a 3,055. Il valore calcolato i modulo è ettamete iferiore a quello corrispodete riportato ella tavola siottica; di cosegueza, o si è i grado di rifiutare l ipotesi ulla. La dimesioe media dei 3 idividui della specie Heterocypris icogrues pescati el fiume o è sigificativamete diversa da quella degli idividui della stessa specie che vivoo ei laghi della regioe. - Per la stima dell itervallo di cofideza, dopo il calcolo dei medesimi parametri si deve scegliere il valore del t co gdl - alla probabilità α 0.0 per u test a due code oppure - alla probabilità α per u test a ua coda trovado i etrambi i casi t 0.005; 3,055. I valori del limite iferiore l e del limite superiore l dell itervallo fiduciale

14 µ 35 ± ,,, 059, 35 ± 0, 0503 risultao rispettivamete l 75, e l, 87. La media della popolazioe µ 0 uguale a,5 è compresa ell itervallo fiduciale della media campioaria. Pertato, o esiste ua differeza sigificativa alla probabilità prefissata di α 0.0 i u test bilaterale. Si può osservare come questo risultato coicida co quello otteuto ella prima parte della risposta: il valore atteso µ 0, risulta o sigificativamete differete dal valore della media campioaria; pertato alla stessa probabilità α risulta compreso el suo itervallo fiduciale. Se fosse stata rifiutata l ipotesi ulla, il valore atteso risulterebbe escluso dall itervallo fiduciale calcolato. Co u umero maggiore di osservazioi, la differeza facilmete sarebbe risultata sigificativa. Per la stima del umero di dati utili, è importate osservare che - u aumeto del umero di dati campioari agisce doppiamete sulla riduzioe dell'itervallo di cofideza e sulla sigificatività del t: - attraverso il valore del t (-), che dimiuisce al crescere di gdl, - mediate la riduzioe dell'errore stadard, come evidezia il rapporto s CONFRONTO TRA UNA OSSERVAZIONE E LA MEDIA DI UN CAMPIONE Nelle rilevazioi i atura ed i laboratorio, sovete sorge il problema che ua certa misura possa essere errata, rispetto alle altre del campioe raccolto. Le cause possoo essere le più diverse: l imperizia del uovo rilevatore rispetto all esperto che ha raccolto gli altri dati, il fuzioameto o corretto dello strumeto, ua codizioe ambietale differete, il materiale o i reageti di qualità diversa, ua procedura uova o applicata i modo o corretto. I altri casi, come i tassoomia, sorge il problema di verificare se l idividuo che si sta aalizzado possa essere di u altra popolazioe rispetto alle uità già raccolte. La verifica a questi sospetti, che può essere codotta co u test uilaterale o bilaterale secodo le ipotesi formulate, è fatta mediate u test t: 3

15 t ( A ) X S A X A A A + dove X sigola rilevazioe da verificare; X A media del campioe A; S A variaza del campioe A; A umero di osservazioi del campioe A. ESEMPIO. Si vuole verificare se ua misura (49,7) può essere riteuta diversa dalle 6 del campioe raccolto (40,3-38,8-33,5-38,6-3,9-37,6). Risposta. La media del campioe (,06. Da essi deriva il valore di t co 6- gdl t X A ) è uguale a 36,873 e la variaza ( 49,7 36, ,06 6,97 3,774 ( 5) che risulta uguale a 3,4. I valori critici di t co 5 gdl, per u test a ua coda, soo -,05 alla probabilità α 0.05; - 3,365 alla probabilità α 0.0-5,893 alla probabilità α ,4 s A ) risulta uguale a Per u test a due code, i valori critici riportati ella tabella soo -,57 alla probabilità α ,03 alla probabilità α 0.0. Se è stato fatto u test bilaterale (il valore è diverso da quelli del campioe?) si rifiuta l ipotesi ulla co probabilità α compresa tra 0.05 e 0.0. Se il test era uilaterale (il valore è maggiore di quelli del campioe?), si respige l ipotesi ulla co probabilità α compresa tra 0.0 e

16 6.4. IL CONFRONTO TRA LE MEDIE DI DUE CAMPIONI Nella ricerca ambietale, le situazioi più ricorreti soo quelle del cofroto tra due medie campioarie. I questi casi, la distribuzioe t di Studet può essere derivata dal rapporto tra la differeza delle due medie campioarie ed il suo errore stadard: differeza fra medie campioarie t errore stadard della differeza fra medie campioarie Il test di sigificatività tra due medie campioarie comporta u'ipotesi zero o ipotesi ulla, secodo la quale le due medie a cofroto (µ e µ ) soo estratte dalla stessa popolazioe o comuque soo idetiche; di cosegueza, le differeze effettivamete riscotrate elle medie campioarie X e X sarebbero imputabili a variazioi casuali, come effetti dovuti al campioameto, cioè all estrazioe casuale di alcui dati da u uiverso teoricamete ifiito, formato da valori tra loro diversi e co ua distribuzioe ormale itoro alla loro media.. Nell'ipotesi ulla H 0, le due medie dell'uiverso o popolazioe soo idetiche: H 0 : µ µ oppure H 0 : µ - µ 0 Mediate l'ifereza sulle medie calcolate sui dati di due campioi, si determia la probabilità di otteere tra loro differeze così gradi o maggiori di quelle sperimetalmete osservate, ella codizioe che l'ipotesi ulla H 0 sia vera. Se questa probabilità risulta alta, si accetta l'ipotesi ulla; se la probabilità risulta piccola, covezioalmete iferiore al 5%, come riportato ei testi a scopi puramete didattici, si iferisce che esiste ua ragioevole evideza per dubitare della validità dell'ipotesi ulla, che quidi è rifiutata. Di cosegueza, alla probabilità α stimata di commettere u errore, si afferma l'esisteza di ua differeza reale tra le due medie, dicedo che appartegoo a popolazioi diverse. L'esempio classico di u test t è il cofroto tra u campioe di idividui sottoposti a trattameto ed u campioe di soggetti che servoo come cotrollo; è tuttavia possibile ache il cofroto tra le medie di due trattameti diversi. Nel primo caso, di orma si tratta di u test uilaterale o a ua coda; el secodo, di u test bilaterale o a due code. Questa direzioalità del cofroto è isita ella atura stessa dell'esperimeto; ma è sempre importate che essa sia evideziata i modo esplicito, poiché da essa deriva la distribuzioe delle probabilità α co le quali è possibile rifiutare l'ipotesi ulla. U test è uilaterale o a ua coda, quado il ricercatore si chiede se ua media è maggiore dell'altra, escludedo a priori che essa possa essere miore. 5

17 U test è bilaterale o a due code, quado il ricercatore si chiede se tra le due medie esista ua differeza sigificativa, seza che egli abbia idicazioi su quali sia la maggiore o la miore. Nel test ad ua coda, la zoa di rifiuto sarà solamete da ua parte della distribuzioe (a siistra quado il sego è egativo, a destra quado è positivo); i u test a due code sarà simmetricamete distribuita dalle due parti. E' maggiore la probabilità di dimostrare l'esisteza di ua differeza sigificativa mediate u test ad ua coda che co u test a due code. Co u termie tecico, si dice che il test a due code è più coservativo, metre quello ad ua coda è più potete. TEST UNILATERALE PER UNA PROBABILITA ASSOCIATA AL LIVELLO DI SIGNIFICATIVITÀ DEL 5% CON 0 GDL. TEST BILATERALE PER UNA PROBABILITÀ ASSOCIATA AL LIVELLO DI SIGNIFICATIVITÀ DEL 5% CON 0 GDL. Alla probabilità α 0.05, il valore di t co 0 gdl 6

18 - i u test uilaterale è uguale a,85 - u test bilaterale è uguale a,8. E quidi possibile che co gli stessi dati si possa rifiutare l ipotesi ulla, se il test è uilaterale, metre o si possa rifiutarla, se il test è bilaterale. Per il test t di Studet, il cofroto tra medie può essere attuato - sia co campioi dipedeti - sia co campioi idipedeti E' importate distiguere le due situazioi, che dipedoo dal modo co cui le due serie di misure a cofroto soo otteute; ifatti i due test si differeziao - sia elle procedure di applicazioe del test t, - sia el modo di misurare gli effetti della variabilità dei soggetti cosiderati IL TEST t PER CAMPIONI DIPENDENTI O PER DATI APPAIATI CON INTERVALLO DI CONFIDENZA DELLA MEDIA DELLE DIFFERENZE Caratteristica distitiva del cofroto tra campioi dipedeti è poter accoppiare ogi osservazioe di u campioe co ua e ua sola osservazioe dell'altro campioe; ecessariamete, i due gruppi hao sempre lo stesso umero di dati. Le teciche soo tre: dati auto-appaiati, dati aturalmete appaiati, 3 dati artificialmete appaiati. - La situazioe più semplice è quella dell'auto-accoppiameto, i cui ogi soggetto serve come cotrollo di se stesso; si parla ache di dati auto-appaiati e si cofrotao i valori presi sugli stessi soggetti i mometi diversi. U esempio classico è la comparazioe tra i livelli di iquiameto rilevati - ello stesso gruppo di località i due mometi differeti, al fie di verificare se vi siao state i media variazioi sigificative; oppure prima e dopo iterveti di risaameto, al fie di valutare la loro efficacia. I medicia e i ecotossicologia si parla di autoappaiameto dei dati quado gli stessi idividui soo misurati prima e dopo l iterveto, apputo per valutare l efficacia. 7

19 - Tuttavia questa tecica o sempre è possibile: se si deve aalizzare l effetto di due sostaze tossiche, l effetto di due iterveti chirurgici su cavie o è possibile sommiistrale etrambe agli stessi idividui, ma è ecessario formare due gruppi distiti, cercado di fare i modo che gli idividui che li compogoo siao tra loro simili a coppie. E la secoda situazioe, quado le osservazioi ei due gruppi soo aturalmete appaiate: le misure o soo tratte dagli stessi idividui, ma soo effettuate su coppie di idividui scelti appositamete. E' il caso i cui, per esamiare l effetto di due tossici, si deve avere a disposizioe alcue idiate per scegliere coppie di aimali, etro ogua. Ovviamete, i due idividui della coppia soo uguali per età e hao gli stessi geitori; ioltre possoo essere scelti dello stesso sesso, delle stesse dimesioi o qualsiasi altro parametro utile al cofroto el caso specifico. Il primo idividuo della coppia viee assegato casualmete ad u gruppo ed il secodo all altro gruppo. Nella scelta degli idividui dalla idiata e ell attribuzioe al gruppo può essere presete u certo grado di soggettività, che tuttavia è i gra parte elimiata co la scelta casuale, la radomizzazioe, effettuata mediate l estrazioe di umeri casuali. U altro esempio di dati aturalmete appaiati può essere tratto da esperimeti di etologia, co il cofroto ella cura dei figli tra il comportameto della madre e quello del padre, ovviamete riferiti agli stessi cuccioli. 3 - La terza situazioe è l'appaiameto artificiale, u procedimeto relativamete frequete ella ricerca ambietale. Si suppoga di avere alcui laghi co u tasso elevato d iquiameto e di o avere raccolto da essi misure i codizioi ormali o stadard. Per ogi lago iquiato è possibile cercare u lago o iquiato (relativamete simile per viciaza fisica, altezza sul livello del mare, cofigurazioe del terreo e per altri vari fattori), che si presume possa essere rappresetativo del corrispodete prima dell iquiameto. Le differeze el parametro rilevato tra i tassi di ogi coppia di laghi diviee ua stima dell effetto dell iquiameto. E ovvio che ricercatori differeti potrebbero scegliere coppie di laghi diverse, pure agedo elle stesse codizioi sperimetali. E ua procedura i cui la compoete di soggettività è molto elevata. Scopo pricipale della tecica di appaiameto dei dati è determiare - il massimo di omogeeità etro ogi coppia e - il massimo di eterogeeità tra le coppie. Il cofroto tra trattameto e cotrollo, fatto su gli stessi idividui o tra situazioi simili, teta di elimiare alcue sorgeti di variabilità che potrebbero essere i grado di ascodere le reali differeze tra le due serie di misure: l'obiettivo è di esamiare le differeze fra due misurazioi, dopo 8

20 aver ridotto l'effetto della variabilità dovuta agli elemeti o idividui, poiché soo gli stessi che compogoo i due gruppi. Ad esempio, scegliedo dalla stessa idiata due cavie dello stesso sesso, si elimia l evetuale differeza degli effetti di ua sostaza tossica ei due sessi o i idividui di età diversa. Tecicamete il cofroto tra le medie di serie di osservazioi appaiate è semplice: l'aalisi è applicata ad ua uova serie di dati, quelli risultati dalle differeze tra gli elemeti di ciascua coppia. Per il test t di Studet, el caso di u test bilaterale l'ipotesi ulla H 0 è che la media dell'uiverso delle differeze sia uguale a 0 H 0 : δ 0 metre l'ipotesi alterativa H è H : δ 0 I u test uilaterale, l'ipotesi ulla H 0 è che la media dell'uiverso delle differeze sia maggiore o uguale a 0 H 0 : δ 0 metre l'ipotesi alterativa H afferma che la differeza è miore della quatità prefissata (spesso 0); può essere scritta come H : δ < 0 Nel caso opposto, l'ipotesi ulla H 0 è che la media dell'uiverso delle differeze sia miore o uguale a 0 H 0 : δ 0 metre l'ipotesi alterativa H afferma che la differeza è maggiore della quatità prefissata (spesso 0); può essere scritta come H : δ > 0 Per la scelta tra l ipotesi ulla H 0 e l ipotesi alterativa H, formulata a priori, la sigificatività della media delle differeze è verificata co il rapporto dove t (-) - d è la media della coloa delle differeze; d δ s d 9

21 - δ è la differeza media attesa: spesso, ma o ecessariamete, è uguale a 0; - s d è la deviazioe stadard calcolata sulla coloa delle differeze; - è il umero di differeze, corrispodete ache al umero di coppie di dati. L itervallo di cofideza della media delle differeze d tra i due campioi dipedeti, etro il quale alla probabilità α è compresa la media reale delle differeze, co la medesima simbologia della formula precedete, è calcolato mediate dove sd δ d ± t α ; - t α ; idica il valore della distribuzioe t co - gradi di libertà alla probabilità α. ESEMPIO. U programma di disiquiameto, applicato sui dati di ua regioe, ha abbassato la preseza di sostaze iquiati di 30 puti. Su 8 laghi è stata applicata ua procedura differete; di questi ultimi soo riportati i valori d iquiameto prima e dopo l iterveto: Lago Prima Dopo A B C D E F G H Ai fii di ua valutazioe dei risultati è ecessario rispodere a due quesiti: - Il secodo programma di disiquiameto è sigificativamete migliore del primo? - Quale è il reale valore di abbattimeto del tasso di iquiameto alla probabilità α 0.05? Risposta. E u test ad ua coda, dove - l ipotesi ulla H 0 assume che la media d delle differeze tra le coppie di dati o è sigificativamete maggiore della precedete, che era risultata uguale a +30; H 0 : δ 30 0

22 - l ipotesi alterativa H è uilaterale: afferma che la media delle differeze tra prima e dopo l iterveto egli 8 laghi sia sigificativamete maggiore di 30, la media della sperimetazioe precedete. H : δ > 30 Per l applicazioe del test t di Studet el caso di due campioi dipedeti, dapprima si deve calcolare la coloa delle differeze (d) tra coppie di dati campioari (riportati i grassetto ella tabella sottostate). Per tutti i calcoli successivi si utilizzao solamete questi valori, igorado i dati origiali rilevati prima e dopo gli iterveti; i questo modo, si elimia l effetto di avere laghi che hao livelli medi (tra prima e dopo) d iquiameto diversi. Lago Prima Dopo D A B C D E F G H Dalla coloa delle differeze (d), si stimao - la media d - la deviaza s d otteedo i valori: ; s 6,55; 8; 8 7 d d ecessari per calcolare u t co 7 gdl, t 7 6, 655, 8 Il risultato è uguale a,6. Nella tavola siottica, il valore critico di t - co 7 gdl e per u test ad ua coda - alla probabilità α 0.05 è uguale a,895.

23 Il valore calcolato (,6) è superiore a quello tabulato: la probabilità P che questa differeza tra media osservata e media attesa sia dovuta al caso è iferiore a Di cosegueza, si rifiuta l'ipotesi ulla H 0 e si accetta l'ipotesi alterativa H. Il uovo metodo di disiquiameto è più efficace del precedete: abbatte i valori d iquiameto di ua quatità sigificativamete superiore a 30 puti. Risposta. Per cooscere la media reale (δ) di riduzioe della preseza di liquami co il secodo esperimeto, si deve calcolare l itervallo fiduciale della media delle differeze associato alla probabilità α Applicado alla formula geerale i dati delle differeze campioarie già stimate sd δ d ± t α ; d 35; sd 6,55; 8; 8 7 ed utilizzado il valore di t (0.05, 7),365 si ottiee u itervallo δ 35 ±, , 35 ± 5,485 8 i cui - il limite iferiore è l 9,55 - il limite superiore è l 40,485. La media reale (δ) di abbattimeto dei liquami co il secodo processo alla probabilità α 0.05 varia da 9,55 e Il valore di 30 è compreso i questo itervallo. Quidi, i u test bilaterale associato alla probabilità α 0.05 o si sarebbe rifiutata l ipotesi ulla. E utile porre attezioe al fatto che questo risultato o coicide esattamete co quello precedete, poiché l itervallo di cofideza è sempre bilaterale, metre il test precedete era uilaterale. Prima è stato possibile dimostrare u migliorameto sigificativo, solo perché il test t verificava u ipotesi alterativa H ad ua coda, che è più potete del corrispodete test bilaterale. ESEMPIO. Si vuole verificare se u coservate per alimetazioe umaa abbia effetti sui fattori di crescita. A questo scopo, u gruppo di 0 cavie adulte è stato sottoposto a u regime di alimetazioe coteete la sostaza da testare.

24 Ogi soggetto è stato pesato sia prima che dopo la uova dieta, per misurare le variazioi. Nella tabella sottostate soo riportati i pesi i grammi prima e dopo la dieta, per ogua delle 0 cavie: Cavia Prima Dopo Si vuole sapere: - Se la sostaza può essere la causa di variazioi sigificative di peso. - Quale è la reale variazioe (δ) di peso determiata dal coservate, alla probabilità α Risposta. E u test bilaterale, i cui (come sempre) - l ipotesi ulla H 0 afferma che la media reale (δ) delle differeze (d) è uguale a 0 H 0 : δ 0 - metre l ipotesi alterativa H afferma che è diverso da 0: H : δ 0 Dalla coloa delle differeze (D) tra le 0 coppie di valori osservati Cavia Prima Dopo D ( d d) TOTALE

25 si calcolao - la somma delle D che risulta uguale a +90 e - la somma delle (d - d ) (cioè la deviaza) che risulta uguale a 676. Da esse, si ricavao - la media (d ), - la deviazioe stadard (s d ) d s d 676 8, il umero di coppie di osservazioi () o di differeze sulle quali soo stati effettuati i calcoli 0 Ifie si stima 9 t 9 3,8 8,66 0 u valore di t co 9 gdl uguale a 3,8. Per u test a due code, il valore critico della distribuzioe t per 9 gdl e δ 0.05 è uguale a,6. Il valore calcolato (3,8) è superiore: la probabilità P che la differeza riscotrata sia dovuta al caso è miore di Si rifiuta l'ipotesi ulla H 0 e si accetta l'ipotesi alterativa H : la uova dieta determia elle cavie ua differeza poderale che è sigificativa. Risposta. Il valore reale (δ) della differeza è otteuto mediate la stima dell'itervallo fiduciale della differeza media, che per due campioi dipedeti è dato da δ d ± t α ; sd Co i dati dell'esercizio, - per la probabilità α 0.05 alla quale corrispode - u valore co t 0.05 i etrambe le code o t 0.05 bilaterale uguale a,6 si ottiee 4

26 dalla quale risulta u itervallo 8,66 δ 9 ±,6 9 ± 6, 9 0 d -,8 e d -5,9 La uova dieta alla quale soo state sottoposte le cavie determia ua riduzioe media (δ) di peso uguale a 9; alla probabilità α 0.05 essa ha come valori estremi - 3,8 e -5,9. Si può osservare che il valore di d espresso ell'ipotesi ulla (Η 0 :δ 0) è escluso dall'itervallo fiduciale calcolato; quidi si discosta dal valore medio sperimetale i modo sigificativo alla probabilità prescelta. I u test a due code, alla medesima probabilità co cui el test t per dati appaiati la differeza media risulta sigificativa, il valore dell'ipotesi ulla è escluso dall'itervallo fiduciale. Per quato riguarda la sigificatività, i due approcci foriscoo la medesima iformazioe. Secodo vari autori di testi di statistica applicata, quado il umero di coppie di dati appaiati è superiore a 40 (altri idicao 50 o addirittura 50), la distribuzioe t di Studet è approssimata i modo sufficiete dalla distribuzioe ormale stadardizzata Z. Cofrotado i valori riportati elle tabelle, si può ifatti osservare che alla probabilità α 0.05 il valore critico di t (uguale rispettivamete a,0 per 40 gdl e,0 per 50 gdl) si discosta di ua quatità trascurabile (circa il % i percetuale) dal corrispodete valore di Z (uguale a,96). Nella formula per il calcolo della variaza, co ua differeza di risultati che da molti ricercatori è riteuta trascurabile, quado è di alcue decie è possibile sostituire il valore critico di t co il valore di Z associato alla probabilità α prefissata, sia i test ad ua coda che i test a due code. Di cosegueza, - il test Z per la sigificatività della media diveta Z d δ s d - l itervallo fiduciale è stimato co δ d ± Z α sd 5

27 6.6. TEST DI SANDLER PER DUE CAMPIONI DIPENDENTI U aspetto pratico molto importate di ogi test statistico, quado o è possibile utilizzare programmi iformatici, è la sua facilità e rapidità di calcolo. Per questo motivo, i letteratura fio al 970 soo frequeti la proposta e l uso di test che hao apputo ella semplicità di calcolo il loro pregio fodametale. I alcui testi, tra i quali quello di David J. Sheski del 000 Hadbook of Parametric ad Noparametric Statistical Procedures ( d ed. Chapma & Hall/CRC, Lodo, 98 p.), è riportato il test proposto da J. Sadler el 955 co l articolo A test of the sigificace of differece betwee the meas of correlated measures based o a simplificatio of Studet s t, pubblicato su British Joural of Psychology, vol. 46, pp.5-6. Come dichiarato el titolo, è ua semplificazioe del test t di Studet, per due campioi dipedeti. Riprededo u esempio già utilizzato per il test t, si assuma di valutare la sigificatività del peggiorameto dello stato di salute per la preseza di ua sostaza tossica el sague. Cavia Prima Dopo d d TOTALE Applicado la formula A i i d d si calcola 6

28 A 486 ( 90) ,83 Per la sigificatività si ricorre a ua tabella, che - fuzioa i modo opposto a quella del test t e di quasi tutti i test: il valore tede a dimiuire al dimiuire della probabilità α e si rifiuta l ipotesi ulla quado il valore calcolato è iferiore a quello critico riportato ella tabella. Co il risultato dell esempio (A 0,83) per gdl - 9, si rifiuta l ipotesi ulla - co probabilità P < 0.0 i u test bilaterale, poiché il valore critico per α 0.0 è A 0,85 - co probabilità P < i u test uilaterale, poiché il valore critico per α è A 0,85. Co il test t di Studet t 9 8, ,8 si era otteuto t -3,8 co gdl 9, che permetteva di rifiutare l ipotesi ulla - co probabilità P < 0.0 i u test bilaterale, poiché il valore critico per α 0.0 è t 3,5 - co probabilità P < i u test uilaterale, poiché il valore critico per α è t 3,5. Le due risposte soo esattamete equivaleti, esistedo tra t di Studet e A di Sadler la relazioe dove umero di differeze. Co i dati dell esempio, da t 3,8 A t + si ricava A 0, A + + 0, 0,83 0 3,8 0 07,58 7

29 Valori critici per il test di Sadler co due campioi dipedeti 8

30 6.7. IL TEST t PER CAMPIONI INDIPENDENTI O PER DATI NON APPAIATI I molti casi, o è tecicamete possibile formare due campioi dipedeti. Spesso o è possibile misurare gli effetti di due differeti trattameti sugli stessi idividui: è il caso i cui si cofrotao misure di accrescimeto somatico i aimali o piate sottoposte a codizioi ambietali differeti oppure si cofrotao livelli d iquiameto idrico tra due fiumi differeti co rilevazioi i varie stazioi. Altre volte, o è possibile emmeo fare appaiameti aturali o artificiali, perché le situazioi o si ripetoo a coppie elle medesime codizioi e la dose di soggettività è riteuta eccessiva. L'uica possibile strategia di aalisi dei dati è quella di cofrotare due campioi idipedeti, due campioi formati da idividui differeti. Aumeta la variabilità tra i due gruppi: el caso di cavie, i uo possoo essere preseti più maschi o più femmie, più idividui aziai o più giovai, più sai o ammalati, per cui la variabilità delle risposte aumeta. Ma si ottegoo due vataggi: - poter utilizzare u umero differete di osservazioi, - avere dati che più facilmete soo espressioe della variabilità casuale, - utilizzare per il cofroto co il proprio u campioe raccolto da altri. Co il test di sigificatività per due campioi idipedeti, viee verificata la stessa ipotesi del caso di dati appaiati, seppure espressa i forma diversa. E' ifatti fodametale compredere che - per due campioi dipedeti i calcoli vegoo effettuati sulla sola coloa delle differeze, metre - el caso di due campioi idipedeti i calcoli vegoo effettuati sulle due serie di osservazioi. I u test a due code o bilaterale, l'ipotesi ulla H 0 è che i due campioi (idicati co A e B) siao estratti dalla stessa popolazioe oppure da due popolazioi differeti ma co media (µ) uguale; essa può essere scritta come H 0 : µ A µ B oppure H 0 : µ A - µ B 0 e la sua ipotesi alterativa H come H : µ A µ B oppure H : µ A - µ B 0 I u test ad ua coda o uilaterale si possoo avere due impostazioi alterative: - i u caso, l ipotesi ulla può essere H 0 : µ A µ B oppure H 0 : µ A - µ B 0 cotro l ipotesi alterativa H : µ A > µ B oppure H : µ A - µ B > 0 9

31 - ell altro caso l ipotesi ulla può essere H 0 : µ A µ B oppure H 0 : µ A - µ B 0 cotro l ipotesi alterativa H : µ A < µ B oppure H : µ A - µ B < 0 Nel caso di campioi idipedeti, i gradi di libertà del t soo uguali a ( A ) + ( B -), che possoo ache essere scritti come ( A + B - ) oppure (N-). Il valore del t è otteuto mediate dove - x A e t ( A+ B ) ( X X ) ( µ µ ) A S p B A A + x B soo le medie rispettivamete del campioe A e del campioe B, - µ A e µ B soo le rispettive medie attese, espresse ell ipotesi ulla, - A e B soo il umero di osservazioi ei campioi A e B, B B - S p è la variaza associata (pooled) dei due gruppi a cofroto, - N A + B La variaza associata o variaza pooled (s p) è data dal rapporto tra la somma delle due deviaze e la somma dei rispettivi gradi di libertà S p A B ( X Ai X A ) + ( X Bi X B ) i i A + B dove - X Ai e X A soo ell ordie i dati e la media del gruppo A, - X Bi e X B soo rispettivamete i dati e la media del gruppo B, e soo il umero di osservazioi ei campioi A e B. - A B La variaza pooled è ua variaza media poderata, calcolata sempre a partire dalle due deviaze e dai loro gdl, che attribuisce ua importaza proporzioalmete maggiore al gruppo che ha u umero maggiore di dati. 30

32 Nella ricerca biologica, medica e ambietale, ricorre co relativa frequeza il caso i cui si debboo cofrotare i risultati di due ricercatori diversi (idicati co A e B), oguo dei quali ha pubblicato solo i tre valori fodametali dei suoi dati: - la media campioaria X, - ua misura della variabilità, quali variaza (S ) o deviazioe stadard (S) o errore stadard (es), - umero di dati raccolti (). Per verificare se tra le due medie campioarie esiste differeza, è possibile utilizzare il test t co la solita formula t ( + ) dopo aver calcolato la variaza pooled ( S ). Come risulta dalla formula precedete, A B p S ( X X ) p A A B + B occorre ritorare alla deviaza di oguo dei due gruppi. A questo scopo è utile ricordare che S p A B ( X Ai X A ) + ( X Bi X B ) i i A + ( X i X ) i B - se si dispoe della variaza S oppure delle deviazioe stadard (S) si ottiee la deviaza attraverso la relazioe ( X i X ) S ( ) i - metre se si dispoe dell errore stadard (es) si ottiee la deviaza attraverso la relazioe i ( X X ) ( es ) ( ) i ESEMPIO. Si itede verificare due gruppi del Cladocero Daphia maga (del quale soo stati misurati 5 idividui per il campioe e 7 idividui per il campioe, come riportato ella tabella 3

33 sottostate) dopo 0 giori dalla schiusa delle uova hao raggiuto dimesioi medie sigificativamete differeti. X A X B 4,90 3,0 3,900 3, 3,783 3,0 3,900 3,847 4,095 3, , ,74 Risposta. E u test bilaterale, i cui Dopo aver calcolato - la media del gruppo X A X A H 0 : µ A µ B e H : µ A µ B 4,9 + 3,9 + 3, ,9 + 4,095 9,968 3, la media del gruppo X B 3, + 3, + 3, + 3, ,08 + 3,04 + 3,74 X B 7 3, ,95 - la deviaza del gruppo A (SQ A ) SQ A ( 4,9 3,994) + (3,9 3,994) + (3,783 3,994) + (3,9 3,994) + (4,095 SQ 0, , ,044+ 0, ,00 0,595 3,994) - la deviaza del gruppo B (SQ B ) SQ B (3, 3,95) + (3,08 3,95) + (3, 3,95) + (3,04 3,95) + (3, 3,95) + (3,64 3,95) + (3,847 3,95) + SQ B 0, , , , , , ,04 0,646 si stima - la variaza associata ( S ) p S p 0, ,646 0,784 0,

34 Co A 5 e B 7 si calcola il valore di t co 0 gdl t 3,994 3,95 0, ,669 0,669 0,0784 0,349 0,64 ( 4+ 6) 4,6 che risulta uguale a 4,6. Poiché il valore di t co 0 gdl per u test bilaterale (vedi tabella relativa alla fie del capitolo) - alla probabilità α 0.05 è uguale a,8 - alla probabilità α 0.0 è uguale a 3,69 - alla probabilità α 0.00 è uguale a 4,587 si rifiuta l ipotesi ulla, co probabilità iferiore a 0.0 di commettere u errore di I Tipo (rifiutare l ipotesi ulla quado essa è vera). Pertato, si deve cocludere che la differeza tra le medie dei due campioi risulta molto sigificativa. Per oguo dei due campioi, i dati possoo essere riassuti i ua tabella come la seguete Campioe A B Dimesioe () 5 7 Media ( X ) 3,994 3,95 Variaza (S ) 0,0399 0,04 Deviazioe stadard (S) 0,997 0,36 Errore stadard (es) 0,0893 0,0 I realtà, oltre al umero di dati raccolti e alla media, è sufficiete riportare ua sola coppia di valori delle ultime 3 (variaza, deviazioe stadard, errore stadard), potedo da ua qualsiasi di esse ricavare le altre due, quado apputo si cooscao le dimesioi del campioe () oppure i suoi gdl (-). Per valutare la sigificatività della differeza tra le due medie, sempre co u test bilaterale i cui H 0 : µ A µ B e H : µ A µ B prima di tutto è ecessario ricavare la deviaza (SQ) di oguo dei due campioi: - dalla variaza S SQ 0, ,596 SQ 0,04 6 0, 646 A B 33