Facoltà di Psicologia Università di Padova Anno Accademico

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1 Facoltà di Psicologia Università di Padova Anno Accademico Corso di Psicometria - Modulo B Dott. Marco Vicentini marco.vicentini@unipd.it Rev. 10/01/011

2 La distribuzione F di Fisher - Snedecor Verifica di ipotesi sulla omogeneità della varianza Nel caso di due campioni / un campione Verifica di ipotesi sulle medie Un campione e la popolazione Varianza nella popolazione nota / ignota Due campioni indipendenti Varianza nella popolazione nota / ignota Varianze omogenee / non omogenee Due campioni non indipendenti

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4 La distribuzione F di Fisher e Snedecor consente di confrontare tra loro due varianze. Essa è definita come il rapporto tra due distribuzioni χ A e χ B con a e b gradi di libertà: F =! a A A,B! b B La significatività della statistica F dipende da: gradi di libertà della prima distribuzione; gradi di libertà della seconda distribuzione. 4

5 La forma della distribuzione varia al variare dei gdl d1=1, d=1 d1=1, d=15 d1=5, d=1 d1=5, d=15 d1=100, d=

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7 Importante: la distribuzione della popolazione di riferimento deve essere NORMALE 1. confronto tra le varianze di due campioni, per valutare se i campioni derivino da due popolazioni con varianze uguali;. confronto tra una varianza campionaria s e la varianza di una popolazione σ 7

8 Si tratta di verificare se due varianze campionarie s 1 e s si possano ritenere provenienti da una stessa popolazione (distribuita normalmente) oppure no. 8

9 esempio 1 Da due campioni, ciascuno formato da n = 10 osservazioni abbiamo ottenuto le due varianze: s 1 = 8.6, s = 6.7. Ci si chiede se i due campioni possano provenire da due popolazioni con la stessa varianza. 9

10 esempio 1 () 1. formulazione delle ipotesi 1 1 H0 : σ = σ H1 : σ σ. calcolo del valore F Si devono mettere a rapporto le due varianze ponendo al numeratore la varianza maggiore: F = s max = 8.6 s min 6.7 =1, 9 10

11 esempio 1 (3) 3. determinazione dei valori critici Fissato un livello di significatività α = 0,05, leggiamo sulla tavola dei valori critici per tale livello il valore che dipende dai gdl del numeratore e dai gdl del denominatore. La varianza al numeratore ha ν 1 = 9 gdl, quella al denominatore ν = 9 gdl, che, per un valore di α = 0,05 ci danno il valore di 3,18. 11

12 la tavola della F Il valore sopra è la soglia critica al 5%, quello sotto è la soglia all 1% 1

13 valori critici F = 3,18 si H 0 no H 0 13

14 esempio 1 (4) 4. Decisione Poiché F cal = 1,9 è minore del valore critico F c = 3,18, non possiamo rigettare l ipotesi H 0. CONCLUSIONE: Le due varianze sono omogenee. 14

15 Si tratta di verificare se la varianza di una popolazione normale σ sia uguale ad una varianza σ 0 data. Formalmente la contrapposizione di ipotesi è del tipo: H 0 : σ = σ 0 0 H 1 : σ σ 15

16 La statistica che usiamo è: dove: χ σ σˆ s n ( n 1) χ ( n 1) ˆ σ σ ( n 1) = = ns σ è la statistica con n-1 gdl è la varianza della popolazione è la varianza della popolazione stimata dal campione è la varianza del campione è l ampiezza del campione 16

17 esempio Un gruppo di n = 30 studenti viene sottoposto ad una prova di abilità numerica e di aver ottenuto una varianza pari a s = 4. Supponendo che la distribuzione delle osservazioni sia normale; ci si chiede se la varianza dei punteggi possa essere considerata maggiore di una varianza σ = 3, ad un livello di α = 0,01. 17

18 esempio () 1. formulazione delle ipotesi H0 : σ = H1 : σ > 3, 3,. calcolo del valore χ Utilizzando la formula del Chi-quadrato si ottiene: χ ns ( n 1) = = = σ , 37,7 18

19 esempio (3) 3. determinazione dei valori critici Fissato un livello di significatività α = 0,01, leggiamo sulla tavola dei valori critici per tale livello il valore che dipende dai gdl. Dalle tavole risulta con 9 gdl, χ c = 49,59. 19

20 esempio (4) 4. Decisione Poiché χ cal = 37,7 è minore del valore critico χ c = 49,59, non possiamo rigettare l ipotesi H 0. CONCLUSIONE: La varianza della popolazione da cui deriva il campione può essere di 3,. 0

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22 Obiettivo: decidere se la media di un campione è significativamente diversa dalla media di una popolazione µ.

23 la varianza della popolazione σ è nota? SI NO utilizzo della distribuzione normale utilizzo della distribuzione t

24 1. formulazione delle ipotesi;. trasformazione dei valori campionati nella corrispondente statistica z, t, F o χ ; 3. determinazione dei valori critici a partire dal coefficiente di confidenza dettato dal problema o stabilito dal ricercatore; 4. confronto tra valori calcolati a partire dal campione e valori critici con relativa decisione.

25 quando σ è noto, il punto associato alla media del campione è dato da z = X µ X µ = σ σ n X / quando σ è ignoto, il punto associato alla media del campione non è più z, ma t in quanto dobbiamo utilizzare la stima di σ t X µ X µ = = ˆ σ s/ n 1 x 5

26 In passato, la distribuzione t di Student veniva utilizzata solo per piccoli campioni (n < 30), per evitare calcoli elaborati. Attualmente, grazie alla diffusione dei calcolatori, la distribuzione t viene sempre utilizzata quando la varianza della popolazione è ignota, anche quando la numerosità campionaria è elevata. In ogni caso, per campioni molto numerosi (n > 50), l'utilizzo della distribuzione t porta di fatto agli stessi risultati rispetto a quelli della distribuzione normale. 6

27 esempio 1 Si sa che la distribuzione del tempo impiegato da ragazzi maschi normali di 18 anni nell'esecuzione di una prova di abilità meccanica di incastro ha media µ = 00 sec. e dev. st. σ = 0. Uno sperimentatore vuole verificare se ragazzi sordomuti maschi della stessa età diano analoghi risultati nella prova; per fare ciò sceglie un campione di n = 64 ragazzi sordomuti, che sottopone alla prova, ottenendo un tempo medio nel campione pari a 190 secondi. 7

28 esempio 1 () 1. formulazione delle ipotesi H 0 : µ = 00 H 1 : µ! 00. calcolo del valore z Usiamo la formula per grandi campioni e σ noto: z = X! µ! / n = 190! 00 0 / 64 =!4 8

29 esempio 1 (3) 3. determinazione dei valori critici Fissato un livello di significatività α = 0,05, e dato che il test è bidirezionale, vengono individuate due aree uguali, ciascuna con una probabilità associata pari ad α/. Dalla lettura della tavola delle aree della distribuzione normale si rileva che i valori critici risultano essere -1,96 e +1,96. 9

30 la tavola della normale 30

31 la tavola della normale All'interno della tavola possiamo leggere le aree sottese tra il punto medio a ed il punto b 0,475 0,5 Date le aree, quanto vale il punto b? α/ = 0,05 31

32 la tavola della normale Per α = 0,05 il valore critico di z è 1,96; dato che il test è bidirezionale dobbiamo considerare come soglia anche il valore negativo -1,96. 3

33 esempio 1 (4) 4. decisione -4 < -1,96 Poiché z cal = 4 è maggiore del valore critico z c = 1,96, dobbiamo rigettare l'ipotesi H 0. 33

34 esempio 1 (5) Un secondo modo di procedere è quello di calcolare l'intervallo di fiducia della media e vedere se la media calcolata sul campione cade all'interno di tale intervallo: µ ±σ z x Sostituendo = 00, σ =,5, z c = 1,96 risulta: µ x x x c 00 ±,5 1,96 da cui deriva che l'intervallo di fiducia per la media è dato da 195,1 µ 04,9 Dal momento che X = 190 non rientra nell'intervallo di fiducia dobbiamo rigettare l'ipotesi H 0 34

35 esempio 1 (6) CONCLUSIONE: Sulla base del risultato ottenuto dai soggetti sordomuti dobbiamo ritenere che esista una diversità di prestazione nella prova di abilità; in particolare i ragazzi sordomuti hanno tempi di esecuzione più bassi dei normali. 35

36 esempio Un gruppo di n = 50 soggetti con lesioni cerebrali viene sottoposto ad un test per valutare le capacità cognitive. Il punteggio medio ottenuto dai soggetti è di 97,3 con s = 1,5. Sapendo che il punteggio medio al test, quando le funzioni cognitive sono integre è pari a 100, ci chiediamo se i soggetti in questione non siano menomati in maniera significativa. 36

37 esempio () 1. formulazione delle ipotesi H : µ = H1 : µ < 100. calcolo del valore z Usiamo la formula per grandi campioni e σ ignoto: X µ z cal = s / n 1 = 97, ,5/ 49 = 1,51 37

38 esempio (3) 3. determinazione dei valori critici Fissato un livello di significatività α = 0,05, e dato che il test è monodirezionale, bisogna trovare sulla tavola della normale il punto b che dà luogo ad un area di 0,45. 0,45 α = 0,05 b = -1,64 38

39 4. decisione esempio (4) Poiché z cal = -1,51 è maggiore del valore critico z c = -1,64, non possiamo rigettare l'ipotesi H 0. CONCLUSIONE: il punteggio medio dei soggetti cerebrolesi non differisce da quello dei normali; la lesione cerebrale in questione non genera dei deficit significativi. 39

40 Laddove la varianza della popolazione è ignota, si dovrà quindi ricorrere ad una sua stima: ˆ s /( n 1) σ = x Il rapporto: X µ ˆ σ x da utilizzare per la verifica d'ipotesi sulla media, si distribuisce come il t di Student con n-1 gradi di libertà. 40

41 esempio 3 Si supponga di aver estratto a caso un campione di 17 bambini e di averli sottoposti ad un test di intelligenza. Il Q.I. medio ottenuto è 107,3 con s = 14. Ci si chiede se il campione provenga da una popolazione normale, la cui distribuzione abbia media µ =

42 esempio 3 () 1. formulazione delle ipotesi H0 : µ = 100 H1 : µ 100. calcolo del valore t t = s X / µ n 1 = 107, / 17 1 =,086 4

43 esempio 3 (3) 3. determinazione dei valori critici Fissato un livello di significatività α = 0,05, e dato che il test è bidirezionale, vengono individuate due aree uguali, ciascuna con una probabilità associata pari ad α/. Dalla lettura della tavola dei valori critici della t per un test bidirezionale con 16 gdl si ottiene il valore di,10. 43

44 la tavola della t 44

45 4. decisione esempio 3 (4) Poiché t cal =,086 è minore del valore critico t c =,10, non possiamo rigettare l'ipotesi H 0. CONCLUSIONE: Non possiamo escludere che i bambini del nostro campione provengano da una popolazione con media =

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47 Obiettivo: decidere, attraverso il confronto tra le medie dei due campioni indipendenti, se tali campioni provengono da due popolazioni diverse o meno. 47

48 le varianze della popolazioni da cui provengono i campioni sono note? SI utilizzo della distribuzione normale NO utilizzo della distribuzione t le varianze sono omogenee? SI (stima della varianza comune) NO (utilizzo formula corretta)

49 ASSUNZIONI 1. entrambi i campioni sono distribuiti normalmente;. sono tra loro indipendenti; 3. le popolazioni da cui derivano hanno varianze omogenee. Vedi Test- F: verifica di ipotesi sulla omogeneità delle varianze. 49

50 Quando σ è noto, la distribuzione campionaria della differenza tra le due medie ha le seguenti caratteristiche: a) si distribuisce in forma normale b) µ x x = µ 1 µ 1 = 0 c) σ x x = 1 σ 1 n + n 50

51 Il test associato alla differenza tra le medie è: z x 1 x = X 1 n 1 X σ + n 51

52 esempio 1 Un ricercatore vuole sapere se vi siano differenze nell'atteggiamento verso l'attività extradomestica tra le donne sposate con figli e quelle senza figli. Allo scopo somministra una scala di atteggiamento a due campioni casuali di donne coniugate, di cui n 1 = 45 con figli e n = 36 senza figli, ottenendo i seguenti punteggi medi: X1 = 65, X = 75. Ipotizzando che la distribuzione dei punteggi sulla scala di atteggiamento sia normale in entrambi i gruppi, con σ 1 = σ = 10, si vuole sapere se i due campioni siano estratti da popolazioni con media uguale oppure no. 5

53 esempio 1 () 1. formulazione delle ipotesi H µ = H1 : µ µ 1 0 : µ 1. calcolo del valore z Usiamo la formula per grandi campioni e σ noto: z cal = σ X X = = / n1 + n 10/

54 esempio 1 (3) 3. determinazione dei valori critici Fissato un livello di significatività α = 0,01, e dato che il test è bidirezionale, bisogna trovare sulla tavola della normale il punto b che dà luogo ad un area di 0.495? b = ±,57 0,495 α/ = 0,005 54

55 esempio 1 (4) 4. decisione Poiché z cal = 9 è maggiore del valore critico z c =,58, dobbiamo rigettare l'ipotesi H 0. CONCLUSIONE: il punteggio medio delle donne con figli è significativamente diverso da quello delle donne senza figli; l'atteggiamento dei due gruppi verso il lavoro extradomestico è differente. 55

56 La statistica ha una distribuzione di probabilità che si approssima a quella del t di Student con n 1 + n - gradi di libertà: dove: t = (X 1! X )! (µ 1! µ ) ˆ! x1!x ( ) + s ( n!1)! ˆ x1!x = s 1 n 1!1 n 1 + n! " 1 n n 56

57 X1 X ( µ 1 µ ) è la differenza tra le medie calcolate nei due campioni è la differenza tra le medie delle due popolazioni ˆ σ x x 1 1, è la stima della deviazione standard della distribuzione campionaria della differenza tra le medie n n le numerosità dei due campioni 57

58 esempio Un commerciante verifica la durata di due diverse marche di lampadine. Con 8 lampadine della marca A ottiene una media = 137 ore con s = 36; con 7 lampadine della marca B ottiene una media di 1036 ore con s = 40. A fronte di tale risultato il commerciante vuole sapere se la differenza tra le due medie è tale da poter affermare con una probabilità del 95% che le lampadine di marca A hanno una durata superiore a quelle di marca B. 58

59 esempio () 1. formulazione delle ipotesi H : µ = µ 0 A H : µ > µ 1 A B B. calcolo del valore t Usiamo la formula: t = ( X1 X ) ( µ 1 µ ) ˆ σ x 1 x 59

60 esempio (3). calcolo del valore t Per prima cosa dobbiamo stimare il valore della deviazione standard della differenza tra le medie: ( ) + s ( n #1) ˆ " x 1 #x = s 1 n 1 #1 n 1 + n # 1 n n = ˆ " x 1 #x = 36 $ $ 6 $ # 8$ 7 =

61 esempio (3). calcolo del valore t Quindi calcoliamo il valore di t con la formula: t = (X 1 " X ) " (µ 1 " µ ) = # ˆ x 1 "x t = 137 " =

62 esempio (4) 3. determinazione dei valori critici Il livello di significatività fissato è α = 0,05; il test è unidirezionale, i gradi di libertà sono ( ) = 13. t = 1, decisione Poiché t cal = 10,5 è maggiore del valore critico t c = 1,771, dobbiamo rigettare l'ipotesi H 0. CONCLUSIONE: Le lampadine della marca A sono migliori di quelle della marca B. 6

63 Se viene violato l'assunto di omogeneità delle varianze è necessario introdurre una correzione al test. Rimane comunque necessario che la distribuzione delle popolazioni sia normale. 63

64 La statistica viene calcolata con la formula corretta per varianze non omogenee: t = (X 1! X )! (µ 1! µ ) s 1 n 1!1 + s n!1 Con gradi di libertà: d = ( ˆ )! x1!x (! ˆ ) x1 n (! ˆ ) x n +1! 64

65 ! ˆ x1!x = s 1 n 1!1 + s n!1 è la stima della varianza della distribuzione campionaria della differenza tra le medie.! ˆ x1 = s 1 n 1!1 ˆ! x = s n!1 sono le stime delle varianze delle distribuzioni campionarie delle medie stimate a partire dalle varianze dei campioni. 65

66 esempio 3 A due gruppi di n 1 = 10 e n = 6 soggetti viene somministrato un test sull'ansia. Il primo gruppo ottiene un valore medio = 8 con s 1 = 0,5; il secondo gruppo un punteggio medio = 1 con s = 5. Ci si chiede se i due gruppi differiscono relativamente al livello d'ansia. Supponiamo che sia violato l'assunto di omogeneità delle varianze e che i due gruppi derivino da popolazioni con varianze non omogenee. 66

67 esempio 3 () 1. formulazione delle ipotesi H µ = H1 : µ µ 1 0 : µ 1. calcolo del valore t Usiamo la formula: ( X1 X ) t = s1 s + n 1 n

68 esempio 3 (3) t =. calcolo del valore t (8 1) ( 0,5) ( 5) = 3,95 I cui gdl saranno dati da: d = ( 1,03) ( 0,03) ( 1) = 6,58 68

69 esempio 3 (3) 3. determinazione dei valori critici Il livello di significatività fissato è α = 0,05; il test è bidirezionale, i gradi di libertà sono 6,58 = 7. t =,05 4. decisione Poiché t cal = 3,95 è maggiore del valore critico t c =,05, dobbiamo rigettare l'ipotesi H 0. CONCLUSIONE: I due gruppi differiscono per livello d'ansia. 69

70 Nel caso le varianze non siano omogenee esiste un metodo alternativo, rispetto a quello appena visto, che prevede il calcolo di un t critico corretto attraverso la seguente formula:! t c = ˆ x1 t 1c + ˆ! ˆ x1!x dove:! x t c t è il valore critico di t con n 1-1 gdl (n 1 = 1 c numero di elementi del campione 1) e livello di sig. α t è il valore critico di t con n -1 gdl (n = c numero di elementi del campione ) e livello di sig. α 70

71 t c = esempio 3 metodo alternativo Riprendiamo i dati dell'esercizio 3 e adottiamo il metodo alternativo. determinazione dei valori critici Il livello di significatività fissato è α = 0,05; il test è bidirezionale, t 1c = valore critico con 9 gdl:,6 t c = valore critico con 5 gdl:,06 0,03,6 + 1,06 = 1,01 ( ) ( ),11 decisione Poiché t cal = 3,95 è maggiore del valore critico t c =,11, dobbiamo rigettare l'ipotesi H 0. 71

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73 Nel caso di coppie di osservazioni non indipendenti la media della distribuzione campionaria della differenza tra le medie risulta essere: µ x1 x = µ µ µ x = 1 x 1 µ la varianza della distribuzione campionaria della differenza tra le medie sarà: ˆ σ x x 1 = ˆ σ x 1 + ˆ σ x ˆ σ x ˆ σ 1 x r x 1 x r x1 x in cui l'ultimo termine è la correlazione tra le medie di tutti i possibili campioni non indipendenti tratti dalle popolazioni in esame. 73

74 r x1 x Poiché non si conosce il valore di è impossibile utilizzare la distribuzione campionaria della differenza tra le medie; per superare questo inconveniente si considera un unico campione costituito da coppie di elementi appaiati; il punteggio cui si fa riferimento è dato dalla differenza tra i punteggi di ciascuna coppia; nell'ipotesi H 0, se non vi sono differenze tra le due serie di punteggi, la media delle differenze risulterà ZERO 74

75 75 Di tale differenza possiamo calcolare la media con la formula: differenza dei punteggi ( ) 1 1 X X n X X n D X i i i D = = = e calcolare la varianza con: = n D n D s i i D

76 76 1. la media è pari alla differenza tra le medie delle popolazioni da cui sono tratti i campioni distribuzione campionaria della differenza dei punteggi 1 1 µ µ µ µ = = x x D. la varianza è: = = ˆ n D n D n n s i i σ D

77 distribuzione campionaria della differenza dei punteggi 3. il test t avrà la seguente forma t = X D sd n 1 la stessa statistica si può calcolare direttamente dai dati grezzi con la formula: = D t ( ) n D ( D) ( n 1) 77

78 esempio 4 Si vuole studiare l'effetto dell'affatica-mento sul rendimento in una prova di precisione. A questo scopo si contano il numero di errori commessi da un gruppo di 10 soggetti in una prova di precisione. Dopo averli sottoposti ad un lavoro gravoso per un certo periodo di tempo, si contano nuovamente gli errori commessi dai 10 soggetti nella stessa prova di precisione. I dati ottenuti sono riportati nella tabella seguente. 78

79 esempio 4 () sogg. numero di errori differenza prova 1 prova D = X 1 - X D A B C D E F G H I L medie somme 79

80 esempio 4 (3) 1. formulazione delle ipotesi H µ = H1 : µ µ 1 0 : µ 1. calcolo del valore t t = Usiamo la formula: D D ( n ) ( D) ( n 1) 80

81 esempio 4 (3) 1. formulazione delle ipotesi H µ = H1 : µ µ 1 0 : µ 1. calcolo del valore t t = Usiamo la formula: 10 ( 10 0) ( 10) (10 1) = 3 81

82 esempio 4 (4) 3. determinazione dei valori critici Il livello di significatività fissato è α = 0,05; il test è bidirezionale, i gradi di libertà sono (10-1) = 9. t =,6 4. decisione Poiché t cal = 3 è maggiore del valore critico t c dobbiamo rigettare l'ipotesi H 0. =,6, CONCLUSIONE: L'affaticamento influisce sui risultati della prova. 8