frazione 1 n dell ammontare complessivo del carattere A x

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1 La Cocetrazoe Il cocetto d cocetrazoe rguarda l modo cu l ammotare totale d u carattere quattatvo trasferble s rpartsce tra utà statstche. Tato pù tale ammotare è addesato u sottoseme d utà, tato pù s dce che l carattere è cocetrato. Pertato la cocetrazoe è ulla se l carattere è equdstrbuto, ed è massma se ua sola utà possede l tero ammotare. Ad esempo, se tra 0 dvdu 2 hao reddto par a e restat 8 hao reddto par a (ammotare totale del carattere par a = ), allora ua porzoe molto grade del reddto totale è posseduta da ua quota pccola d dvdu, coè l reddto è molto cocetrato. La Cocetrazoe - Esempo () S cosder u seme d osservazo dvdual su u carattere quattatvo trasferble ( X 0), x x2... x... x Esercz albergher per provca (regoe Emla-Romaga) Provca umero d albergh Ferrara 0 Paceza 06 Reggo Emla 54 Modea 24 Parma 02 Bologa 47 Ravea 577 Forl-Cesea 6 Rm 2.65 Totale fote: regoe emla-romaga. servzo tursmo e qualtà aree turstche; ao 2000 La Cocetrazoe Esempo (2) Se v fosse equdstrbuzoe degl albergh tra le provce cosderate, quale sarebbe l umero d albergh per cascua provca? 5.706/ 9 = 64 caso d equdstrbuzoe provca umero d albergh Ferrara 64 Paceza 64 Reggo Emla 64 Modea 64 Parma 64 Bologa 64 Ravea 64 Forl-Cesea 64 Rm 64 Totale Msura della Cocetrazoe () Caso d equdstrbuzoe: ogua delle utà possede ua =, frazoe dell ammotare complessvo del carattere A x = ovvero, utà possede u ammotare A, 2 utà possedoo u ammotare 2A,..., utà possedoo u ammotare A. La cocetrazoe sarà tato pù elevata quato pù c s allotaa dal modello d equdstrbuzoe. Caso d massma cocetrazoe: l tero ammotare del carattere, a, è posseduto da ua sola utà del collettvo x = x =... = x = 0 e x = A 2

2 Msura della Cocetrazoe (2) Msura della Cocetrazoe () Rassumedo, la cocetrazoe è: - ulla se l carattere è equdstrbuto; - massma se ua sola utà possede l tero ammotare. Nel caso d equdstrbuzoe: Q A A A A = = = F Q = F, fatt sa A = x + x x, =,2,..., s ot che A = A sao oltre: A Q = (testà relatva cumulata delle prme utà); A F = Se = : Q = F = Metre el caso d massma cocetrazoe Q = 0, =,..., Nelle stuazo termede: Q F. s msura la cocetrazoe d cofrotado (per dffereza) F e Q ( F Q ) C = = Msura della Cocetrazoe (4) Caso d equdstrbuzoe: poché Q = F, s ha C = 0; Caso d massma cocetrazoe: C = F. Rapportado C al suo massmo (caso d massma cocetrazoe) s ottee l rapporto d cocetrazoe d G: ( ) = F Q F Q Q R = = = F F F = = = = = = = E u dce ormalzzato, ovvero vara tra 0 e. R = 0 el caso d equdstrbuzoe R = el caso d massma cocetrazoe Assume valor crescet tra 0 e all aumetare della cocetrazoe. La Cocetrazoe - Esempo() provca umero d A F Q F -Q albergh Ferrara 0 0 0, 0,02 0,09 Paceza ,22 0,04 0,8 Reggo Emla , 0,07 0,26 Modea ,44 0,2 0, Parma ,56 0,8 0,8 Bologa ,67 0,25 0,42 Ravea ,78 0,6 0,42 Forl-Cesea ,89 0,48 0,4 Rm totale ,48 2,48 R = = 0,62 gl albergh dell Emla-Romaga soo cocetrat 4 elle vare provce msura par al 62% della massma cocetrazoe possble.

3 Cocetrazoe e varabltà Msura della Cocetrazoe (5) La cocetrazoe del carattere è u aspetto partcolare della sua varabltà: tato pù u carattere è cocetrato, tato pù elevata è la varabltà del carattere, metre se l carattere è equdstrbuto sa la varabltà sa la cocetrazoe soo ulle. Pochè = ( ) F = = 2 segue che l rapporto d cocetrazoe R può essere calcolato ache come 2 2 R = Q = A A = = Spezzata d Cocetrazoe (Curva d Lorez) () Spezzata d Cocetrazoe (Curva d Lorez) (2) Utlzzado le coppe d valor (, ) F Q = 0,,2,..., e defedo F 0 = 0 e Q 0 = 0 è possble otteere ua teressate rappresetazoe grafca. Su u pao cartesao poamo ascssa valor F e ordata valor Q. Uedo co u segmeto put d coordate ( F, Q ) s ottee la spezzata d cocetrazoe (o curva d Lorez). Oltre alla spezzata d cocetrazoe sul grafco è rportata la lea d equdstrbuzoe, ovvero l luogo de put per qual vale F = Q. Q Lea d equdstrbuzoe Area d cocetrazoe Spezzata d cocetrazoe F

4 Spezzata d Cocetrazoe (Curva d Lorez) () La spezzata d cocetrazoe camba la sua forma a secoda che l carattere osservato sul collettvo sa pù o meo cocetrato: - pù è vca alla lea d equdstrbuzoe e pù l ammotare totale del carattere è equdstrbuto fra le utà; - pù è vca all asse delle ascsse e maggore è la cocetrazoe del carattere el collettvo. Spezzata d Cocetrazoe (Curva d Lorez) (4) Nel caso d massma cocetrazoe Q Area d cocetrazoe F Msura della Cocetrazoe (6) L area d cocetrazoe è ua msura d cocetrazoe. U dce d cocetrazoe può essere otteuto rapportado l area 2, ma se è d cocetrazoe al suo massmo (che vale grade può essere approssmato co 0.5). Tale dce è dato da R* = ( F F )( Q Q ) R = = 0 Per suffcetemete grade l dce cocde co l rapporto d cocetrazoe d G. Quado dat soo dspobl class d modaltà è ecessaro rcorrere ad approssmazo per l calcolo dell area d cocetrazoe. I questa stuazoe R * è rsulta ua buoa approssmazoe (per dfetto) del rapporto d cocetrazoe R. Forma d ua dstrbuzoe La poszoe e la varabltà d ua dstrbuzoe d frequeza o esaurscoo le formazo coteute e dat. Ifatt due dstrbuzo possoo avere stessa meda e varaza ma essere dverse ad esempo per l peso che hao valor pù grad (o pù pccol) rspetto al cetro S tede per forma d ua dstrbuzoe l modo secodo l quale s dspogoo valor d u carattere quattatvo toro al propro cetro.

5 Forma d ua dstrbuzoe Esempo Forma d ua dstrbuzoe Esempo meda=medaa X meda medaa Y I due precedet stogramm fao rfermeto a due varabl stadardzzate (X e Y) rlevate su u collettvo d = 000 dvdu Osservamo che a causa della stadardzzazoe due seme d dat hao la stessa meda (par a 0) e la stessa varaza (par a ). Tuttava le due dstrbuzo soo dverse. Il prmo stogramma è approssmatvamete smmetrco attoro allo zero, el secodo stogramma la coda relatva a valor elevat è pù luga d quella relatva a valor bass. Ioltre, ella prma dstrbuzoe meda e medaa cocdoo, ella secoda dstrbuzoe la meda artmetca è maggore della medaa. Asmmetra d ua dstrbuzoe () Se ua dstrbuzoe o preseta ass d smmetra, s dce asmmetrca. Due tp d asmmetra: asmmetra postva: v è u maggore addesameto delle osservazo corrspodeza de valor pù bass o, altre parole, l stogramma s proluga dalla parte de valor pù grad. Asmmetra d ua dstrbuzoe (2) Salvo cas partcolar, per ua dstrbuzoe cotua valgoo le seguet relazo: M X = Me X = Moda X : smmetra M X < Me X < Moda X : asmmetra egatva M X > Me X > Moda X asmmetra postva asmmetra egatva: v è u maggore addesameto delle osservazo corrspodeza de valor pù grad o, altre parole, l stogramma s proluga dalla parte de valor pù bass.

6 Idc d asmmetra () Idc d asmmetra (2) U prmo dce d asmmetra è otteuto propro a partre dalla dffereza tra meda e medaa. Poché tale dffereza o può superare lo scarto quadratco medo, essa è rapportata allo scarto quadratco medo otteedo u dce ormalzzato (che vara tra - e ) d asmmetra: A X A( X ) > 0 asmmetra postva A( X ) < 0 asmmetra egatva S ( X ) M X Me X = U dce molto utlzzato è l dce d asmmetra d Fsher, defto come x M X γ X = = S X o su ua dstrbuzoe d frequeza γ ( X ) K xˆ k M X = k= S X Notamo az tutto che l dce è costruto sugl scart stadardzzat. Ioltre, preseza d smmetra term postv e egatv della sommatora s compesao (le poteze dspar preservao l sego!), e cas d asmmetra postva gl scart d sego postvo prevarrao, l cotraro avverrà e cas d asmmetra egatva. k Idc d asmmetra - Esempo Forma d ua dstrbuzoe Esempo 2 Cosderamo la tabella de 5 paes UE e la varable spesa per R&S (X) x M X x M X X S ( X ) X S ( X ) Austra Itala Belgo Lussemburgo Damarca Paes Bass Flada Portogallo Fraca Rego Uto Germaa Spaga Greca Sveza Irlada M ( X ) =.807, S ( X ) = 0.8 per cu γ ( X ) = 0.50: asmmetra postva A X è lascato per eserczo l calcolo dell dce Z W

7 Forma d ua dstrbuzoe Esempo 2 I due precedet stogramm fao rfermeto a due varabl stadardzzate (Z e W) rlevate su u collettvo d = 000 dvdu Le due varabl soo approssmatvamete smmetrche. Tuttava l prmo stogramma ha code pù pesat del secodo stogramma pur avedo le due varabl la stessa varaza. Tale caratterstca è dcata co l terme curtos. Idc d curtos () Il pù utlzzato dce d curtos è defto come: β ( X ) 4 x M ( X ) = = S ( X ) V X ( x M ( X )) = = (dce d curtos d Pearso) Esso può essere terpretato come l rapporto tra due msure d varabltà; quella a umeratore è scelta modo da efatzzare la preseza d code pesat rspetto a quella a deomatore. 2 4 Idc d curtos (2) L dce d curtos d Pearso è sempre maggore o uguale a uo ed assume l valore tre per ua partcolare (e mportate) dstrbuzoe teorca, quella gaussaa. Se β ( X ) >, allora la s dce che la dstrbuzoe ha code pù pesat d quella gaussaa, assuta a terme d paragoe Se β ( X ) <, allora la s dce che la dstrbuzoe ha code meo pesat d quella gaussaa. Per questo motvo s usa spesso l dce d curtos d Fsher defto come β ( X )