Criterio di stabilità di Bode. tramite la risposta in frequenza viene indicata come condizione di innesco dell instabilità la

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1 Criterio di stabilità di Bode Sia dato un sistema retroazionato con f.d.t. espressa da: F s = G(s) + G s H(s) tramite la risposta in frequenza viene indicata come condizione di innesco dell instabilità la cioè + G jω H(jω) = 0 G jω H(jω) = Questa relazione interessa la funzione GH che risulta complessa, per cui si traduce nelle due relazioni del modulo e della fase seguenti: G jω H(jω) = Φ G jω H(jω) = ±80 Tali relazioni possono essere verificate per uno o più valori di. C è da precisare che affinché le oscillazioni possano autosostenersi deve risultare che il guadagno d anello sia maggiore di uno. Il metodo per verificare le precedenti condizioni di instabilità del sistema è quindi il seguente: tracciare la f.d.t. ad anello aperto trovare, se esistono, gli intervalli in cui il modulo in db è positivo e la fase è 80 Si deduce che: se non esiste nessun intervallo a 80, il sistema ad anello chiuso è certamente stabile se esiste, occorre valutare se il modulo corrispondente è positivo Esempi: ) + st la fase non potrà mai diventare 80 : il sistema ad anello chiuso è certamente stabile.

2 2) ( + st )( + st 2 ) Il valore in cui la fase raggiunge 80 è per s, quindi il sistema è certamente stabile. 3) ( + st ) 2 ( + st 2 ) 2 Con le ipotesi precedenti, la fase raggiunge i 80 già dal valore 0 volte del più piccolo fra T e T 2 : certamente instabile. Conclusioni: n poli e/o zeri in GH Stabilità del sistema Uno Due non nulli Due nulli Tre o più Certamente stabile Certamente stabile Potenzialmente instabile Potenzialmente instabile A volte è possibile osservare solo il diagramma del modulo, in quanto se per un tratto prolungato (in pratica un paio di decadi) la pendenza assume: Pendenza - db/dec + db/dec -40 db/dec Fase tendente a

3 Dato che la zona critica della stabilità si manifesta in corrispondenza del modulo unitaria, si può accettare il criterio di Bode semplificato, che consente di valutare la sola pendenza di attraversamento del modulo: con db/dec non ci sono problemi di stabilità (fase tende a 90 ), con 40 db/dec il sistema potrebbe diventare instabile (fase tende asintoticamente a 80 che potrebbe superare in seguito), quando risulta 60 db/dec certamente si ha instabilità (fase tendente a 270 ). Per la stabilità deve essere m G = G jω π H(jω π ) db = 0 db m Φ = 80 + Φ G jω c H(jω c ) 45 Si ricorda che c è la pulsazione di crossover (dove il modulo taglia l asse delle ) mentre è la pulsazione in corrispondenza di fase pari a 80. Es. ) La f.d.t. diretta di un sistema a retroazione unitaria vale 0 ( + s)( + 0,5s)( + 0,s) Migliorare la stabilità del sistema con l impiego di una rete ritardatrice senza modificare il guadagno statico. Dal disegno dei diagrammi di Bode si trova che per guadagno unitario la fase vale 75, mentre a 80 il guadagno vale 5 db: pertanto m = 5 ed m g = 5 db. Il sistema è quindi al limite della stabilità; inserendo una rete ritardatrice del tipo + sτ + sτ 2 con 2 >, si può dimensionare in modo da cancellare la costante di tempo maggiore e inserendo nel sistema una 0 volte più piccola; allora posto 2 = 0s e = s, si riscrive la funzione nel seguente modo: 3

4 G (s) = + s + 0s 0 + s + 0,5s + 0,s = 0 + 0s + 0,5s + 0,s Questa volta si trova m = 56 ed m g = 40 db La rete correttrice ha migliorato i margini di fase e di guadagno, non ha modificato il guadagno statico, ha però peggiorato la rapidità di risposta. Es. 2) Uguali esigenze del precedente esercizio, con una s( + 0,5s)( + 0,s) qui si utilizzi una rete anticipatrice. Si trova m = -9 ed m g = -8 db sistema instabile, per cui inseriamo una rete anticipatrice del tipo + st + st 2 con T 2 < T ; per mantenere inalterato il guadagno statico occorre inserire un blocco di valore = Qui la costante di tempo da cancellare è quella intermedia, per cui scegliendo T = 0,5 e T 2 = 0,05 si riscrive la funzione come G s = s( + 0,05s)( + 0,s) la quale fornisce m = 5 Caratteristiche: migliore stabilità, anche se ancora bassa e miglior velocità di risposta. 4

5 Es. 3) Uguali esigenze del precedente esercizio, con una ( + s)( + 0,25s)( + 0,s) Qui si utilizzi una rete a sella. Si trova m = - ed m g = -0,3 db Il sistema è instabile. Inserendo una correzione del tipo + sτ + sτ 2 + st + st 2 dove uguale alla maggiore costante di tempo ( s) T pari a 0 volte la precedente (0 s) uguale alla costante di tempo intermedia (0,25 s) T pari a decimo della precedente (0,025 s) In definitiva risulterà che fornisce G s = ( + 0s)( + 0,025s)( + 0,s) m = 79 ed m g = 28 db Il difetto consiste nella peggiorata velocità di risposta del sistema. 5