Macchine di Turing, problemi ricorsivi e ricorsivamente enumerabili

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1 Macchine di Turing, problemi ricorsivi e ricorsivamente enumerabili

2 roblemi che i calcolatori non possono risolvere E importante sapere se un programma e corretto, cioe fa quello che ci aspettiamo. E facile vedere che il programma contente solo il comando printf( ciao ) stampa ciao. Ma il programma in Fig. 8.2 del libro? Stampa ciao, dato un input n se e solo se l equazione x n + y n = z n ha una soluzione dove x,y e z sono interi. Sappiamo ora (ultimo teorema di Fermat) che stampa ciao, con l input n = 2, e cicla per sempre su input n > 2. Ci sono voluti 300 anni per provarlo. Possiamo sperare di avere un programma che prova la correttezza di programmi?

3 ipotetico programma H che testa ciao Supponiamo che esista un programma H tale che, dato un qualunque programma P e un input I, dice si se P con input I stampa ciao, altrimenti dice no. I P Hello-world tester H yes no Modifichiamo il comando di stampa di no di H in ciao. Otteniamo il programma H 1 I P H 1 yes hello, world

4 Modifichiamo H 1 in modo che l input I sia lo stesso P. Otteniamo il programma H 2 : P H 2 yes hello, world H 2 stampa si se P con input P stampa ciao, altrimenti stampa ciao.

5 2 non puo esistere Diamo H 2 come input ad H 2. H 2 H 2 yes hello, world Se H 2 stampa si, avrebbe dovuto stampare ciao. Se H 2 stampa ciao, avrebbe dovuto stampare si. Quindi H 2 non puo esistere. Quindi neanche H puo esistere. Quindi il problema affrontato e indecidibile: non esiste nessun programma che, dato un programma qualsiasi e un input, sappia dire se quel programma con quell input stampa ciao.

6 roblemi indecidibili Problemi per cui non c e nessun programma che li possa risolvere. Problema: appartenenza di una stringa ad un linguaggio. Il numero di linguaggi diversi su un alfabeto non e numerabile. I programmi (stringhe finite su un alfabeto) sono numerabili: li ordino per lunghezza, e poi lessicograficamente primo programma, secondo programma, ecc. Quindi esistono infinitamente piu linguaggi che programmi. Quindi devono esistere problemi indecidibili (Godel 1931).

7 a macchina di Turing (Turing, 1936) Finite control... B B X 1 X 2 X i X n B B... Una TM fa una mossa in funzione del suo stato, e del simbolo sotto la testina di lettura del nastro. In una mossa, una TM 1 cambia stato 2 scrive un simbolo del nastro nella cella sotto la testina 3 muove la testina di una cella verso destra o verso sinistra

8 efinizione formale come automa Una macchina di Turing deterministica e una 7-tupla M = (Q,Σ,Γ,δ,q 0,B,F), dove Q e un insieme finito di stati, Σ e un insieme finito di simboli di input, Γ e un insieme finito di simboli di nastro, δ e una funzione di transizione da Q Γ a Q Γ {L,R}, q 0 e lo stato iniziale, B Γ e il simbolo blank, e F Q e l insieme di stati finali.

9 escrizioni istantanee Una TM cambia configurazione dopo ogni mossa. Usiamo le descrizioni istantanee (ID) per descrivere le configurazioni. Una ID e una stringa della forma X 1 X 2 X i 1 qx i X i+1 X n dove 1 q e lo stato della TM 2 X 1 X 2 X n e la porzione non-blank del nastro 3 La testina e sopra il simbolo i-esimo

10 e mosse e il linguaggio di una TM Useremo M per indicare una mossa di M da una configurazione ad un altra. Supponiamo δ(q,x i ) = (p,y,l). Allora X 1 X 2 X i 1 qx i X i+1 X n X M 1 X 2 px i 1 YX i+1 X n Se δ(q,x i ) = (p,y,r), abbiamo X 1 X 2 X i 1 qx i X i+1 X n X M 1 X 2 X i 1 YpX i+1 X n Indichiamo la chiusura riflessiva e transitiva di M con M. Una TM M = (Q,Σ,Γ,δ,q 0,B,F) accetta il linguaggio L(M) = {w Σ : q 0 w M αpβ,p F,α,β Γ }

11 na TM per {0 n 1 n : n 1} M = ({q 0, q 1, q 2, q 3, q 4 }, {0, 1}, {0, 1, X, Y, B}, δ, q 0, B, {q 4 }) dove δ e data dalla tabella seguente 0 1 X Y B q 0 (q 1,X,R) (q 3,Y,R) q 1 (q 1,0,R) (q 2,Y,L) (q 1,Y,R) q 2 (q 2,0,L) (q 0,X,R) (q 2,Y,L) q 3 (q 3,Y,R) (q 4,B,R) q 4

12 Possiamo rappresentare M con il seguente diagramma di transizione Y / Y 0 / 0 Y / Y Start 0 / X 1 / Y q q q / 0 Y / Y X / X B / B q q 3 4 Y / Y

13 na TM con output La seguente TM calcola m n = max(m n,0) 0 1 B q 0 (q 1,B,R) (q 5,B,R) q 1 (q 1,0,R) (q 2,1,R) q 2 (q 1,1,L) (q 2,1,R) (q 4,B,L) q 3 (q 3,0,L) (q 3,1,L) (q 0,B,R) q 4 (q 4,0,L) (q 4,B,L) (q 6,0,R) q 5 (q 5,B,R) (q 5,B,R) (q 6,B,R) q 6

14 Il diagramma di transizione e B / B 0 / 0 1 / 1 Start 0 / B 1 / 1 q 0 q 1 q 2 0 / 1 q 3 0 / 0 1 / 1 1 / B B / B B / B q 5 q 6 B / 0 q 4 0 / B 0 / 0

15 ccettazione per arresto Una TM si arresta se entra in uno stato q guardando un simbolo di nastro X e non ci sono mosse possibili, cioe δ(q,x) non e definita. Se una TM accetta una stringa, possiamo assumere che si arresti (basta rendere indefinito δ(q,x) per ogni q accettante). Se non accetta, non possiamo fare in modo che si arresti. Linguaggi ricorsivi: esiste una TM che si arresta su ogni stringa (sia accettata che no). Linguaggi ricorsivamente enumerabili: esiste una TM che si arresta se la stringa e accettata. Problema decidibile: esiste una TM che si arresta sempre.

16 ltri modelli di TM Estensioni: piu nastri non-determinismo Restrizioni: nastro illimitato solo in una direzione e divieto di sostituire un simbolo del nastro con B due stack al posto del nastro due contatori (mossa: cambio stato e +1 o -1 da un contatore) Tutti i modelli sono equivalenti: accettano i linguaggi ricorsivamente enumerabili (tesi di Church, 1936).

17 M e computer Da TM a computer: basta avere sempre memoria da aggiungere, per simulare il nastro infinito. Da computer a TM: vari nastri (memoria, istruzione, indirizzo di memoria, file di input, nastro ausiliario), controllo finito per eseguire una istruzione dopo l altra leggendo e scrivendo i nastri. Differenza di tempo tra computer e TM: polinomiale. La TM puo simulare n passi di un computer in O(n 3 ) passi.

18 inguaggi ricorsivamente enumerabili D ora in poi: calcolatore = macchina di Turing L e ricorsivamente enumerabile se L = L(M) per una TM M. M si ferma se accetta una stringa, ma potrebbe non fermarsi se non la accetta.

19 n linguaggio ricorsivamente enumerabile Consideriamo il linguaggio formato dalle coppie (M,w) tali che: M e una TM (codificata in binario) con alfabeto {0,1} w e una stringa di 0 e 1 M accetta w Se questo problema e indecidibile, allora lo e anche il problema in cui una TM puo avere qualunque alfabeto. Primo passo: codificare una TM come una stringa di 0 e 1.

20 odice per una TM Possiamo associare ad ogni stringa binaria un indice intero 1, 2, 3,..., cosi enumeriamo le stringhe: ǫ e la prima stringa, 0 la seconda, 1 la terza, 00 la quarta, 01, la quinta,... Ordinamento per lunghezza, con stringhe lunghe uguali ordinate lessicograficamente. Simbolo w i per la stringa i-esima Vogliamo fare la stessa cosa anche per le TM.

21 odice per una TM Per rappresentare M = (Q, {0,1},Γ,δ,q 1,B,F } come una stringa binaria, dobbiamo assegnare interi agli stati, ai simboli di nastro, e alle direzioni L e R: Supponiamo che gli stati siano q 1,q 2,...,q r. Stato iniziale: q 1, stato finale q 2 Supponiamo che i simboli di nastro siano X 1,X 2,...,X s. Inoltre: 0 = X 1, 1 = X 2, B = X 3. L = D 1 e R = D 2.

22 odice per una TM Per la funzione di transizione: se δ(q i,x j ) = (q k,x l,d m ), la codifica e 0 i 10 j 10 k 10 l 10 m (mai due 1 consecutivi). Per un intera TM: codici per tutte le transizioni, separati da 11: C 1 11C C n 1 11C n Esempio: M = ({q 1,q 2,q 3 }, {0,1}, {0,1,B},δ,q 1,B, {q 2 }) δ e definita da: δ(q 1,1) = (q 3,0,R), δ(q 3,0) = (q 1,1,R), δ(q 3,1) = (q 2,0,R), δ(q 3,B) = (q 3,1,L). Codici per le regole di transizione: Codice per M: Anche altri codici, elencando le transizioni in ordine diverso.

23 odici e TM Data una TM M, abbiamo associato un intero i: M e la i-esima TM, scritta M i. Molti interi non corrispondono a nessuna TM. Esempio: o Se w 1 non e un codice valido, allora diciamo che M i e la TM che si arresta subito per qualunque input (un solo stato e nessuna transizione). Quindi L(M i ) =. Per codificare (M,w): codice di M seguito da 111 seguito da w.

24 l linguaggio di diagonalizzazione Il linguaggio di diagonalizzazione L d e l insieme delle stringhe w i tali che w i L(M i ). Tutte le stringhe w tali che M con codice w non accetta w. Matrice con TM sulle righe e stringhe sulle colonne la diagonale corrisponde a stringhe w i e TM M i. Le stringhe di L d corrispondono agli 0 della diagonale. E possibile che la diagonale complementata sia una riga? No, perche la diagonale complementata e in disaccordo con ogni riga in almeno una posizione. L d non puo essere accettato da nessuna TM.

25 inguaggi ricorsivi L e ricorsivo se L = L(M) per una TM M tale che: se w L, allora M la accetta (e si arresta) se w L, allora M non la accetta ma si arresta. Problema (dell accettazione di L): e decidibile se L e ricorsivo, altrimenti e indecidibile.

26 lassi di linguaggi ricorsivi = decidibili = M si arresta sempre ricorsivamente enumerabili = M si arresta se accetta non ricorsivamente enumerabili. Esempio: L d.

27 roprieta dei linguaggi ricorsivi Teorema 9.3: Se L e ricorsivo, anche L e ricorsivo. Prova: Se L e ricorsivo, esiste M che si arresta sempre. Modifichiamo M in M in modo che M accetti quando M non accetta, e viceversa. Anche M si arresta sempre e accetta L. Allora L e ricorsivo. Conseguenza: se L e RE, ma L non e RE, allora L non puo essere ricorsivo.

28 roprieta dei linguaggi RE Teorema 9.4: Se L e L sono RE, allora L e ricorsivo. Prova: Sia L = L(M 1 ) e L = L(M 2 ). Costruiamo M che esegue in parallelo (due nastri, due testine) M 1 e M 2. Se l input e in L, M 1 lo accetta e si ferma, quindi anche M accetta e si ferma. Se l input non e in L, allora M 2 lo accetta e si ferma, quindi M lo rifiuta ma si ferma. Quindi M si ferma in ogni caso.

29 e L Dove possono stare L e L? sia L che L ricorsivi ne L ne L sono RE L e RE ma non ricorsivo, e L non e RE L e RE ma non ricorsivo, e L non e RE Non e possibile che un linguaggio sia ricorsivo e l altro sia RE o neanche RE (teorema 9.3). Non e possibile che siano entrambi RE ma non ricorsivi (teorema 9.4).

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