Corso di Laurea in Ingegneria Informatica e Automatica (A-O) Università di Roma La Sapienza

Dimensione: px

Iniziare la visualizzazioe della pagina:

Download "Corso di Laurea in Ingegneria Informatica e Automatica (A-O) Università di Roma La Sapienza"

Margherita Romani
8 anni fa
Visualizzazioni

1 Corso di Laurea in Ingegneria Informatica e Automatica (A-O) Università di Roma La Sapienza CALCOLO DELLE PROBABILITÀ E STATISTICA ESAME DEL 17/2/215 NOME: COGNOME: MATRICOLA: Esercizio 1 Un sistema di codifica compone sequenze lunghe 4 simboli ciscuno dei quali puó essere indipendentemente A oppure B. La probabilitá di ottenere A in una delle quattro posizioni della generica parola é p =.45 ( e ovviamente la probabilitá di ottenere B é 1 p =.55). Si supponga che il costo di codifica del simbolo A é 2bit, mentre l analogo costo per il simbolo B é di 3bit. Sia X la variabile casuale che registra il costo della generica sequenza codificata dal sistema: a) Dire come é distribuita la variabile casuale X b) Calcolare il valor medio della variabile casuale X c) Calcolare la probabilitá che il costo di codifica dell intera parola di 4 simboli sia superiore a 1bit d) Se adesso si invertono i costi di codifica per cui ogni simbolo A viene codificato con un costo di 3bit ed ogni simbolo B viene codificato con un costo di 2bit, di quanto incrementa/diminuisce il costo medio della codifica della generica parola? Soluzione: a) nella generica sequenza lunga 4 simboli potranno esserci I A =, 1, 2, 3, 4 simboli A e di conseguenza gli altri saranno B. Il costo della generica parola di 4 simboli sará dunque X = 2I A + 3(4 I A ), poiché la v.a. I A é una Bin(n, p) = bin(4,.45) la variabile aleatoria X sará una v.a. discreta che assumerá 5 valori diversi con la seguente f.m.p. p X (12) = ( ) =.915; p X (11) = ( ) =.2995; p X (1) = ( 4 2) =.3675; p X (9) = ( ) =.25; p X (8) = ( 4 4) =.41; b) c) E(X) = 12 i=8 ip X (i) = 1.2 P (X > 1) = p X (11) + p X (12) = =.391 d) Diciamo Y la variabile aleatoria che descrive il costo della generica sequenza in questo secondo caso, si potrebbe ripetere lo stesso ragionamento dei punti a) e b) per torvare E(Y ) oppure osservare piú furbamente che in questo caso la distribuzione di probabilitá della v.a. Y é semplicemente quella della X invertita rispetto al punto centrale 1 E(Y ) = 8P Y (8) + 9P Y (9) + 1P Y (1) + 11P Y (11) + 12P Y (12) = 8P X (12) + 9P X (11) + 1P X (1) + 11P X (9) + 12P X (8) = 9.8 in questo secondo modo si ha un risparmio quasi del.4% sul costo medio di codifica perché codifichiamo con un costo minore il simbolo che compare piú spesso. 1

45 ( e ovviamente la probabilitá di ottenere B é 1 p =.55). Si supponga che il costo di codifica del simbolo A é 2bit, mentre l analogo costo per il simbolo B é di 3bit.

2 2 CALCOLO DELLE PROBABILITÀ E STATISTICA ESAME DEL 17/2/215 Esercizio 2 Sia Y una v.a. continua con la seguente f.d.p. f Y (y) = a 2 + by, se y [, 1] e zero altrove, con a e b parametri positivi. Sia adesso X una seconda variabile aleatoria la cui f.d.p. condizionata dalla Y é la seguente f X Y (x, y) = 2ax+2by a+2by per x [, 1] e y [, 1] essendo nulla altrove. a) Esprimere la f.d.p. congiunta della coppia (X, Y ) utilizzando solo il parametro a. b) Stabilire quanto deve valere il parametro a affinché succeda P (X Y ) = P (X > Y ) c) Utilizzando il valore trovato al punto b), calcolare il valor medio della variabile casuale Y. d) Utilizzando il valore trovato al punto b), calcolare la Cov(X,Y) e) Senza eseguire alcun calcolo lo stundente trovi un valore del parametro a per cui le due variabili saranno indipendenti N.B. tutti i passaggi devono essere opportunamente giustificati Soluzione a) { ax + by < x < 1, < y < 1 f X,Y (x, y) = altrove { ax + (2 a)y < x < 1, < y < 1 = altrove b) Imponendo P (X Y ) = 1/2 si ricava c) P (X Y ) = 1 dx 1 x E(Y ) = ax + (2 a)ydy =... = 2 3 a 6 = 1/2 a = 1 1 ( ) 1 y 2 + y dy =... = 7/12 d) Utilizzando il valore a = 1 si ricava che le due v.a. sono cosi distribuite { { x + 1/2 < x < 1, y + 1/2 < y < 1, f X (x) = e f altrove Y (y) = altrove essendo identiche possiamo concludere E(X) = E(Y ) = 7/12; valutiamo adesso E(XY ) = 1 1 xy(x + y)dxdy =... = 1/3 da cui segue cov(x, Y ) = E(XY ) E(X)E(Y ) =.69 e) senza eseguire i conti si puó notare che per a = 2 la f.d.p. di X condizionata da Y non dipende dalla Y e pertanto le due v.a. saranno indipendneti.

b) Stabilire quanto deve valere il parametro a affinché succeda P (X Y ) = P (X > Y ) c) Utilizzando il valore trovato al punto b), calcolare il valor medio della variabile casuale Y.

3 CALCOLO DELLE PROBABILITÀ E STATISTICA ESAME DEL 17/2/215 3 Esercizio 3 Sia X la variabile casuale che descrive l errore che grava su una trasmissione numerica attraverso un canale rumoroso e supponiamo che essa sia distribuita come una gaussiana di media zero e varianza 2. a) Scrivere (senza calcolarla) in funzione di Φ(s) = s e y2 /2 2π dy la probabilitá che X < 1 2. Nell ottica di ridurre il rumore, ogni valore numerico viene trasmesso indipendentemente n volte e decodificato con la media dei valori ricevuti e dunque l errore che grava su questo schema di trasmissione ridondante é X n = 1 n n i=1 X i. b) dire come si distribuisce l errore di decodifica nello schema ridondante proposto, cioé dire come si distribiusce X n. c) stabilire quanto deve vale n affinché la varianza dell errore di decodifica nello schema ridondante proposto sia minore di 1 1. N.B. tutti i passaggi devono essere opportunamente giustificati Soluzione a) P ( 1 2 < X < 1 2 ) = P ( ) ( ) ( ) 1 2 < X < = Φ Φ (2) (2) (2) (2) (2) b) per la riproducibilitá della normale segue... c) X n N(, 2/n) 2 n < 1 1 n > 2

Nell ottica di ridurre il rumore, ogni valore numerico viene trasmesso indipendentemente n volte e decodificato con la media dei valori ricevuti e dunque l errore che grava su questo schema di

4 4 CALCOLO DELLE PROBABILITÀ E STATISTICA ESAME DEL 17/2/215 Domanda 1 In uno schema di estrazioni da un urna contenente n oggetti distinti, descrivere cosa rappresentano le disposizioni di n oggetti su k posti, D n,k, con k n.

urna contenente n oggetti distinti, descrivere cosa

5 CALCOLO DELLE PROBABILITÀ E STATISTICA ESAME DEL 17/2/215 5 Domanda 2 Enunciare il teorema di Bayes e commentarlo in uno schema di causa ed effetto.

6 6 CALCOLO DELLE PROBABILITÀ E STATISTICA ESAME DEL 17/2/215 Domanda 3 Lo studente spieghi la differenza tra un test d ipotesi unilaterale ed uno bilaterale

Documenti analoghi

Corso di Laurea in Ingegneria Informatica e Automatica (A-O) Università di Roma La Sapienza

Corso di Laurea in Ingegneria Informatica e Automatica (A-O) Università di Roma La Sapienza CALCOLO DELLE PROBABILITÀ E STATISTICA ESAME DEL 17/06/2015 NOME: COGNOME: MATRICOLA: Esercizio 1 Un sistema