Costruzione di macchine. Le ruote dentate. Prof. Curti Graziano Corso di Ingegneria Meccanica

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1 Costruzione di macchine Le ruote dentate Prof. Curti Graziano Corso di Ingegneria Meccanica

2 Sommario Le ruote dentate Sommario... Definizione delle caratteristiche geometriche notevoli... Profilo dei denti ad evolvente di cerchio...4. Definizione geometrica del profilo ad evolvente di cerchio Analisi della cinematica delle ruote dentate Rapporto di condotta Lunghezza del segmento dei contatti Calcolo dello spessore del dente Condizioni di ingranamento tra profili e tra ruote - angolo di pressione e passo base Ruota dentata unificata Taglio delle ruote dentate Taglio con fresa di forma Metodo per inviluppo Definizione del profilo di una dentiera-utensile Moti fondamentali nel taglio delle ruote per inviluppo: Definizione delle condizioni cinematiche di taglio Creatore Condizione di accoppiamento senza gioco... 9 Processo di taglio di ruote a profili spostati Circonferenze di accoppiamento senza gioco tra ruote a profili spostati Vantaggi delle ruote con denti a profili spostati e criteri di scelta di X ed X Sezione resistente alla base del dente Interferenza Strisciamento specifico...30

3 Definizione delle caratteristiche geometriche notevoli B A A R r D C R e R a R f R i Figura : elementi notevoli di una dentatura A A : testa circonferenza di testa per A: raggio R a A B: smusso circonferenza di troncatura esterna per B: raggio R e B C: profilo utilizzabile circonferenza di troncatura interna per C: raggio R i C D: raccordo di fondo circonferenza di fondo per D: raggio R f Lo smusso non sempre è presente, spesso la circonferenza di troncatura esterna coincide con la circonferenza di testa. e p s h a h f Figura : caratteristiche del profilo Per poter misurare in modo univoco le dimensioni del profilo è necessario definire una circonferenza di riferimento di generico raggio R r ; su di essa è quindi possibile misurare: s : spessore del dente e : vano p = s + e : passo del profilo Detto z il numero di denti della ruota deve essere: z p = π R r

4 Per quanto riguarda le dimensioni radiali del dente rispetto alla circonferenza di riferimento è possibile definire due parametri fondamentali: h a = R a R r : addendum h f = R r R f : dedendum Nell'unificazione delle ruote dentate è definito il modulo della ruota come: m = p /π = R r /z per il quale vale la relazione: z m = R r NOTA: nella definizione dei profili delle ruote dentate si assume convenzionalmente π = 3,46 3

5 Profilo dei denti ad evolvente di cerchio L'evolvente di cerchio è una particolare curva bidimensionale individuata da un punto P di una retta nel moto di puro rotolamento della stessa su di una circonferenza: per ogni circonferenza sono automaticamente definiti due profili ad evolvente uguali ed opposti dovuti al duplice verso di rotazione possibile per la retta i quali non dipendono dalla condizione iniziale del moto relativo (Fig 3). Nel campo delle ruote dentate la circonferenza su cui rotola la retta generatrice dei profili è detta circonferenza di base ed il suo raggio è individuato con R b. Figura 3: profili ad evolvente contrari Per meglio comprendere le qualità del profilo ad evolvente di cerchio conviene riferirsi a una particolare condizione di trasmissione del moto tra due circonferenze di raggi R b ed R b. Si suppone (Fig 4a) che appoggiata ad entrambe le circonferenze ci sia un'asta rigida che possa muoversi solo traslando parallelamente a sè stessa (può essere fisicamente assimilata ad una cinghia in trazione tra due pulegge) e che il suo moto relativamente alle due circonferenze sia sempre di puro rotolamento. Dando alla circonferenza (motrice) una velocità angolare di rotazione ω questa trasmette all'asta un moto traslatorio uniforme di velocità v coincidente con la velocità periferica della circonferenza nel punto di tangenza con essa T : v = v T = ω R b la stessa condizione deve essere verificata anche nel punto T tra asta e circonferenza : v T = ω R b = v = ω R b da cui si ricava che il rapporto di trasmissione tra le due circonferenze (in queste condizioni cinematiche) è: ω ω = R R b b Considerando di porsi come osservatori solidali alla circonferenza il generico punto P dell'asta nel suo moto descrive esattamente un evolvente relativo alla circonferenza stessa (Fig 4b); anche rispetto alla circonferenza vale la medesima osservazione cosicché si trova che i due profili ad evolvente individuati dal moto del punto P sono profili coniugati ossia in contatto in un solo punto ed ivi tangenti per costruzione. Supponendo ora di materializzare i due profili trovati (Fig 4c) e smaterializzare l'asta risulta chiaro come la nuova condizione di trasmissione del moto coincida in tutto e per tutto con quella che si era trovata con l'asta infatti il punto P in cui avviene la trasmissione effettiva del moto tra le due ruote si muove esattamente lungo la direzione su cui giaceva l'asta ripetendo punto per punto il moto del punto P dell'asta. Vantaggio fondamentale del profilo ad evolvente di cerchio rispetto agli altri è il fatto di avere, come l'asta, il rapporto di trasmissione costante nel tempo: tale proprietà è sostanziale perché, per garantire una certa uniformità alla trasmissione del moto, è necessario che in almeno un tratto del segmento percorso da P ci siano due o più coppie di denti in presa il che presuppone un rapporto di trasmissione costante in tutto il tratto di ingranamento multiplo. 4

6 ω O P v O ω (a) ω O P v P v O (b) ω ω O P O ω (c) Figura 4: derivazione concettuale del profilo ad evolvente. Definizione geometrica del profilo ad evolvente di cerchio Fissata la circonferenza di base di raggio R b è possibile descrivere il profilo ad evolvente tramite un'equazione nelle coordinate cilindriche ϕ ed r definite come in Fig 5: ϕ è l'angolo compreso tra le due semirette uscenti dal centro C della circonferenza di base e passanti una per il punto iniziale O del profilo e l'altra per il generico punto P r è la distanza del generico punto P dal centro C della circonferenza di base 5

7 Considerando la retta p tangente alla circonferenza di base passante per il punto P (ossia la generatrice del profilo) è ancora possibile individuare l'angolo di incidenza α compreso tra le due semirette uscenti dal centro C della circonferenza di base e passanti una per il punto P e l'altra per il punto di tangenza T tra p e la circonferenza. La proprietà dell'evolvente di essere generato da una retta che rotola senza strisciare su una circonferenza può essere considerata a livello geometrico come: (PT ) = (OT ) r T α ϕ R b C P O in cui: Figura 5: profilo ad evolvente (OT ) = R b (α+ϕ) (PT ) = R b tg(α) Si ricava così la relazione ϕ = f(α): ϕ = tg(α) α in cui la funzione f(α) in letteratura prende il nome specifico di ev(α) (o inv(α) in Inglese) Bisogna ora trovare una ulteriore relazione tra α ed r in modo da poter definire il legame tra ϕ ed r: dal triangolo rettangolo PCT si ottiene r cos(α) = R b α = arccos(r b /r) NOTA: in generale nella definizione del profilo delle ruote dentate sono richieste almeno 4 cifre significative per garantire una sufficiente precisione nell'ingranamento e nella trasmissione del moto. 6

8 3 Analisi della cinematica delle ruote dentate Nel moto reciproco di due ruote dentate il contatto tra due denti avviene istante per istante nel punto P che - come si è visto nella similitudine con il sistema delle due circonferenze collegate dall'asta - si muove lungo una retta immaginaria tangente alle due circonferenze di base; questa retta è detta retta dei contatti. Chiamando O ed O i centri delle due circonferenze di base e C il punto di intersezione tra retta dei contatti e segmento O O, quando il punto di contatto effettivo P si trova a coincidere con C (Fig 6), si ha che la velocità in esso vale: per C considerato appartenente alla ruota : v C = ω (O C) per C considerato appartenente alla ruota : v C = ω (O C) v C T ω O T C ω O Figura 6: cinematica dell'accoppiamento di due ruote dentate Geometricamente si trova facilmente una relazione tra O C e O C e rispettivamente R b ed R b tramite il coseno dell'angolo di incidenza α: (O C) cos(α ) = R b (O C) cos(α ) = R b Sostituendo nelle equazioni delle velocità del punto C: v C = ω R b /cos(α ) v C = ω R b /cos(α ) Poichè ω R b = ω R b e gli angoli di incidenza coincidono (α = α = α) per la proprietà degli angoli alterni interni formati da due rette parallele tagliate da una trasversale si trova che: v C = v C 7

9 Questa relazione esprime il fatto che in C non esiste strisciamento relativo e che dunque esso è il centro di istantanea rotazione relativa del sistema; rispetto ad esso è possibile descrivere completamente il moto del sistema tramite la velocità angolare relativa ω ω. Il punto C non cambia la sua posizione assoluta nel tempo percui rispetto alla ruota descrive una traiettoria circolare di raggio O C che è la polare del moto relativa al corpo ; ugualmente si trova che la polare del moto del corpo è essa pure una circonferenza. NOTA: le polari del moto relativo di due corpi sono le curve ideali che fatte rotolare senza strisciare l'una sull'altra riproducono perfettamente le caratteristiche del moto reale. Si può verificare che le due circonferenze individuate sono veramente le polari del moto imponendo la condizione di puro rotolamento tra esse nel punto di contatto C: assegnata una velocità angolare di rotazione ω alla prima e indicata con ω * la velocità della seconda, si ha v C p = ω (O C) v C p = ω * (O C) La condizione di puro rotolamento è v C p = v C p ossia: ω (O C) = ω * (O C) ma essendo sempre (O C) cos(α) = R b (O C) cos(α) = R b si trova ω R b /cos(α) = ω * R b /cos(α) da cui ω ω * = Rb R = ω b ω dunque è necessariamente ω * = ω essendo il rapporto di trasmissione tra le due polari uguale a quello tra i profili ad evolvente. In questo caso le polari vengono chiamate circonferenze primitive del moto. 8

10 3. Rapporto di condotta Sulla retta dei contatti il luogo dei contatti realmente verificabili non è l intero segmento T T ma è la sua parte delimitata dalle due circonferenze di troncatura esterna al di fuori delle quali i profili ad evolvente non esistono più (Fig 7); risulta così individuato il segmento dei contatti AB in cui le coppie di denti delle due ruote sono effettivamente in presa. T O B O A T Figura 7: individuazione del segmento dei contatti Arco d'azione (a): è l'arco percorso dal profilo nel passare dal punto di primo contatto al punto finale di contatto valutato sulla circonferenza primitiva; la misura di a non dipende dalla primitiva considerata in quanto tra le due circonferenze primitive c'è un moto di puro rotolamento che impone che percorrano archi di uguale lunghezza. Rapporto di condotta (ε): è definito come rapporto tra arco d'azione e passo primitivo; per garantire una efficiente trasmissione del moto deve essere maggiore dell'unità perché ciò comporta che, prima che la coppia di denti a contatto si separi, una seconda sia già entrata nell'arco d'azione (cosa impossibile per ε ). Congruentemente con il discorso appena fatto, nel caso in cui < ε < l'arco dei contatti risulta diviso in tre parti: due parti di lunghezza pari ad (a p) collocate agli estremi dell'arco dei contatti in cui si ha contatto contemporaneamente tra coppie di denti una parte centrale dell'arco dei contatti di lunghezza pari a (p a) in cui si ha il contatto di una sola coppia di denti In genere si usano valori di ε maggiori di, e attualmente la tendenza è a salire sopra in modo da avere sempre almeno coppie di denti in contatto. 9

11 I vantaggi di avere ε abbastanza elevato sono: una riduzione degli urti all atto dell ingranamento che migliora la trasmissione del moto una distribuzione delle forze (Fig 8) scambiate tra le ruote su un maggior numero di denti che comporta minori sollecitazioni sul singolo dente ossia minori rischi di collasso a fatica. O A C B O Figura 8:diagramma qualitativo della forza scambiata tra una coppia di denti con e=, Tramite alcune osservazioni geometriche è possibile trovare nuove espressioni di ε: l'arco dei contatti valutato sulla primitiva (a) può essere messo in relazione con il corrispettivo sulla circonferenza di base (a b ) infatti sono entrambi sottesi dal medesimo angolo al centro. Questo è dimostrabile risalendo alla costruzione del profilo ad evolvente che impone una relazione biunivoca tra la distanza r del punto considerato dal centro del cerchio di base e lo spostamento angolare ϕ del punto stesso rispetto al punto iniziale del profilo: gli angoli che sottendono i due archi (a ed a b ) sono uguali, anche se ruotati l'uno rispetto all'altro, e consentono di scrivere la proprozione a b : R b = a : r da cui a = a b r / R b La lunghezza dell'arco a b può essere determinata considerando che per le proprietà dei profili ad evolvente la lunghezza del segmento congiungente un punto qualunque del profilo con il punto di tangenza al cerchio di base individuato dalla generatrice relativa al punto stesso coincide con la lunghezza dell'arco di circonferenza che unisce il punto di inizio del profilo con lo stesso punto di tangenza dunque: (AT ) = (A 0 T ) (BT ) = (B 0 T ) da cui: a b = (A 0 B 0 ) = (B 0 T ) (A 0 T ) = (BT ) (AT ) = (AB ) 0

12 Essendo il rapporto tra r ed R b esattamente pari ad /cos(α) vale: ε = a / p = (AB ) / [ p cos(α)] Come per gli archi d'azione, anche per i passi è lecito scrivere p b : R b = p : r, ossia p cos(α) = p b, e dunque: ε = a b / p b = (AB ) / p b Questa relazione esprime il fatto che è possibile dividere il segmento dei contatti in tre parti (Fig.8) a seconda del numero di denti a contatto, e perciò delle forze scambiate da ogni coppia di denti, come si era fatto per l'arco d'azione. B B 0 B ϕ O a b a A 0 A T A ϕ Figura 9: arco dei contatti (A B ) e segmento dei contatti (AB). 3. Lunghezza del segmento dei contatti. Per valutare il rapporto di condotta è necessario conoscere la lunghezza del segmento dei contatti (Fig 9); questa è abbastanza scomoda da misurare in modo diretto (cosa che peraltro valeva anche per l'arco d'azione) è però possibile ricondurla analiticamente a grandezze note a priori.

13 T R b R e O B r α O α r A R b T R e Figura 0: lunghezza del segmento dei contatti AB Come si vede in Fig 0, geometricamente vale che: (AB ) = (BT ) + (AT ) (T T ) con: (BT ) = R R e b e b (AT ) = R R (T T ) = r sin(α) + r sin(α) percui si trova: (AB) = R R + R R (r + r ) sin(α) e b e b Tutti i dati necessari al calcolo sono noti essendo o caratteristiche geometriche delle ruote o caratteristiche di montaggio come l'interasse r + r in quanto anche l angolo α può essere espresso tramite la relazione cos ( ) = R R b + b α r + r Sfruttando ora le relazioni: r = z m/ R e = r + h a = z m/ + h a R b = r cos(α) = z m/ cos(α) (vale se il dente non ha smusso in testa) è possibile correlare la lunghezza del segmento dei contatti con m, z, z ed α, assunto per entrambe le ruote h a = m.

14 4 Calcolo dello spessore del dente. ϕ ϕ 0 ζ s 0 s r 0 r Noto lo spessore s 0 sulla circonferenza di raggio R 0 lo spessore s sulla generica circonferenza di raggio r è dato dalla relazione: s s0 = + ζ in cui s r r0 r = β e s 0 = β 0 r0 ζ risulta definito dalla geometria del profilo ad evolvente: ϕ = tg(α) α α = arccos(r b /r) ζ = ϕ (r 0) ϕ (r) = ϕ 0 ϕ = ev(α 0 ) ev(α) Si trova cioè che: s s0 s0 = + (ϕ 0 ϕ) = + [ ev(α 0 ) ev(α)] r r r 0 Figura : spessore del dente 0 In questa relazione s 0, r 0 ed α 0 sono noti ed è anche possibile trovare α dalla α = arccos(r b /r) cosicchè s è determinato. 3

15 5 Condizioni di ingranamento tra profili e tra ruote - angolo di pressione e passo base In condizioni di ingranamento tra due profili i raggi vettore relativi al generico punto di contatto P sono secondo la definizione i segmenti orientati congiungenti i centri O ed O dei cerchi di base ed il punto P stesso; quando questo va a coincidere con il punto C centro di istantanea rotazione relativa del sistema si trova che i due raggi vettore giacciono sulla stessa retta passante per i centri delle due circonferenze di base. L'angolo di incidenza per definizione è l'angolo tra il raggio vettore e la tangente al profilo nel punto considerato; in C i due profili a contatto oltre ad avere tangente comune, proprietà dei profili coniugati, hanno anche i raggi vettore coincidenti in direzione e presentano dunque lo stesso angolo di incidenza: questo valore particolare di α prende il nome di angolo di pressione. L'angolo di pressione è il valore che l'angolo di incidenza α assume quando si considera come punto del O a a C C a a O O Figura : relazione tra interasse ed angolo di pressione profilo il centro di istantanea rotazione relativa C che però non è una proprietà intrinseca delle ruote ma una caratteristica dell'accoppiamento. Si può verificare che anche l angolo di pressione è funzione dell accoppiamento supponendo di far ingranare due ruote prima con un certo interasse i e poi con un altro interasse i': non cambiano le condizioni di ingranamento perchè esse dipendono solo dai profili e questi - a loro volta - dipendono solo dai cerchi di base che restano gli stessi anche il rapporto di trasmissione, dipendendo solo dai cerchi di base, non cambia: ω ω cambia invece proprio l'angolo di pressione α infatti vale: = R R b b cos ( ) = R b α r + R = R R b b + b cos ( α') = i + r i i' cos ( α) L'angolo di pressione deve il suo nome al fatto che indica l'inclinazione della retta dei contatti rispetto alla tangente comune alle circonferenze primitive delle ruote: la retta dei contatti rappresenta punto per punto la direzione delle forze normali (pressioni) scambiate tra i profili coniugati. 4

16 Parlando di accoppiamento di ruote il discorso si complica: una ruota è un insieme di profili ad evolvente destri e sinistri alternati con una certa periodicità indicata dal modulo (o dal passo), quindi perchè due ruote possano ingranare tra loro la condizione di non interferenza espressa dall'angolo di pressione (spontaneamente verificata per il singolo profilo) va generalizzata a tutta la serie di profili della ruota tenendo anche conto del fatto che fisicamente i profili sono accoppiati a due a due in denti individuando così un'alternanza di pieni e di vuoti ben precisa da rispettare assolutamente. La condizione di non interferenza a livello di angolo di pressione è sempre la stessa per tutte le coppie di profili coniugati in quanto tutte dipendono dalla stessa coppia di cerchi di base; α p può così essere generalizzato a proprietà dell'accoppiamento delle due ruote e non delle singole coppie di profili La condizione che invece tiene più specificamente in conto la natura fisica della ruota è data dal passo base (Fig 3): per potersi accoppiare due ruote devono obbligatoriamente avere lo stesso passo base. Questo è logico se si pensa ad una coppia di profili omologhi successivi in condizione di ingranamento: i due punti P e P' di contatto durante il moto rotatorio del sistema si muovono alla stessa velocità v = ω R b = ω R b sull'asse dei contatti, di conseguenza la loro distanza misurata sull'asse dei contatti è costante. La lunghezza del segmento PP' coincide però sia con la lunghezza dell'arco O O ' (che individua il passo base del profilo della ruota ) sia con l'arco O O ' (che individua il passo base della ruota ). Da questa osservazione risulta evidente come ruote con passi base diversi non possano ingranare tra loro perchè staccherebbero sull'asse dei contatti segmenti di lunghezza diversa il che, considerando i denti nella loro materialità, comporterebbe o interferenza o gioco a seconda delle dimensioni dei denti stessi. O P O O P O Figura 3: passo base dei profili 5

17 6 Ruota dentata unificata Per definire questa ruota si parte da una normale condizione di ingranamento tra due ruote e quindi mantenendo costante il valore dell'angolo di pressione si ingrandisce sempre di più la seconda (per le caratteristiche del profilo ad evolvente questo non comporta alcun problema di accoppiamento a patto di mantenere costante il modulo); facendo crescere il raggio di base della ruota si vede che cresce proporzionalmente ad esso il raggio della circonferenza primitiva r = R b /cos(α) e così pure che si allontanano progressivamente da C sia il centro O della seconda ruota sia il punto di tangenza T. Portando questo processo al limite ossia facendo tendere R b all'infinito si trova che la ruota diventa una dentiera con denti a profilo trapezio; in queste condizioni infatti si ha che il punto di tangenza T si trova all'infinito sulla retta dei contatti, che può essere considerata come la generatrice del profilo ad evolvente nel punto C: essendo il moto di generazione costituito da un rotolamento puro sulla circonferenza di base ossia da una rotazione proprio attorno al punto di tangenza T per l'altezza del dente il profilo risulta rettilineo e ortogonale alla retta dei contatti. Si può verificare questo anche considerando l'espressione dell'angolo di incidenza α in funzione del raggio di base e del raggio generico: cos(α) = R b /r. Sulla circonferenza primitiva tale relazione fornisce il valore dell'angolo di pressione; spostandosi di r da questa, invece, dovrebbe dare, a rigore, un angolo di incidenza α tale che cos(α) = R b / (r + r). Considerando allora che, nell'ambito dell'altezza del dente, qualunque r risulta trascurabile rispetto sia ad r che a R b (che sono stati portati all'infinito), se ne deduce che l'angolo di incidenza α è costante e pari all'angolo di pressione su tutto il dente. La dentiera ottenuta è in effetti una ruota ad infiniti denti infatti essendosi tenuto il modulo costante in tutti i passaggi fatti per poter assicurare l'ingranamento la relazione r = z m impone che per r anche z. La dentiera può come tutte le ruote accoppiarsi sulla sua linea di riferimento con qualunque altra ruota abbia lo stesso modulo e angolo di pressione però ha il vantaggio che non richiede la scelta di un certo raggio di base e di un certo numero di denti. Una volta noti il modulo e l'angolo di pressione la dentiera unificata è completamente definita infatti la norma impone ancora che l'addendum sia pari al modulo, il dedendum sia,5 volte il modulo e che sulla linea di riferimento il pieno sia uguale al vuoto. p 0 e 0 s 0 α m 0 m 0 Linea di riferimento,5m 0 Figura 4: dentiera unificata 6

18 7 Taglio delle ruote dentate Il taglio delle ruote dentate può essere operato in genere secondo due processi fondamentali: utilizzando una fresa di forma o con il metodo detto per inviluppo. 7. Taglio con fresa di forma L'utensile è una fresa di forma in cui ogni tagliente ha la forma del vano tra dente e dente ed è caratterizzato dai suoi angoli di spoglia frontale, dorsale e laterale. I problemi di questo metodo sono due: il profilo della fresa è esatto solo per ruote con pari raggio del cerchio di base: noti m ed α R b dipende da z percui l'utensile potrebbe risultare inutilizzabile anche su ruote con uguali grandezze unificate ma con diverso numero di denti perchè presentano profili ad evolvente troppo diversi. In questa ottica bisognerebbe costruire una fresa diversa per ogni combinazione possibile di m, α e z; nella realtà si ammette una fascia di tolleranza in modo da poter usare lo stesso utensile su ruote con numeri di denti diversi ma prossimi (9-0- ; ;...), questo però non risolve comunque il problema. il tempo di lavorazione è molto lungo perchè ogni dente va lavorato singolarmente. 7. Metodo per inviluppo Figura 5: taglio con fresa di forma Figura 6: fresa di forma La logica di questo metodo può essere dedotta da un semplice esempio: si può supporre di far ingranare una ruota dentata normale con un tondino di materiale molto cedevole e di imporre al sistema una condizione di moto che riproduca quella effettiva di lavoro; la ruota scaverebbe all'interno del tondino esattamente il profilo coniugato al proprio ossia la sequenza di denti ad evolvente necessaria all'accoppiamento. Secondo questa logica una determinata ruota-utensile con modulo ed angolo di pressione unificati sulla primitiva di accoppiamento potrebbe tagliare ruote con le sue stesse caratteristiche ma con un numero qualsiasi di denti a patto solo di cambiare di volta in volta il rapporto di ω z trasmissione in modo da soddisfare la relazione =. ω z Figura 7: formazione del profilo per inviluppo L'utensile più conveniente da utilizzare almeno teoricamente è la ruota più semplice ossia la dentiera; la dentiera-utensile non rispetta ovviamente le caratteristiche geometriche della dentiera unificata ma ne costituisce in pratica una sorta di negativo in relazione al fatto che il suo compito non è di ingranare con un profilo unificato ma di scavarlo. 7

19 7.. Definizione del profilo di una dentiera-utensile Le caratteristiche geometriche di base sono sempre il modulo m 0 e l'angolo di pressione α 0 ; la differenza con le normali dentiere nasce invece dal fatto che rispetto ad una linea di riferimento si prendono. addendum (h a0 ) pari a,5m 0 perché deve scavare il dedendum della ruota unificata con il fondo del dente ed i suoi raccordi. dedendum (h f0 ) maggiore di m 0 perché deve tagliare i fianchi dei denti fino alla troncatura esterna ma non la testa che si preferisce sia definita dalla circonferenza esterna di partenza del tondino (se non c'è lo smusso) m 0 m 0 Linea di riferimento e 0 s 0 p 0 α,5m 0 Figura 8: dentiera utensile Il vantaggio della dentiera in questa operazione rispetto alle ruote è che mantiene lo stesso modulo e lo stesso angolo di pressione anche cambiando la linea di riferimento. I denti della dentiera-utensile sono dei taglienti tridimensionali con vista frontale coincidente con il profilo teorico appena definito e tre angoli di spoglia (frontale, dorsale, laterale) dovuti al fatto che il taglio avviene sia sulla testa del dente sia sui suoi fianchi; essi rivestono un ruolo fondamentale nella definizione dei profili dei fianchi dei denti della ruota che si sta tagliando per la natura stessa di questo processo di taglio che opera per inviluppo ossia sfruttando le proprietà dei profili coniugati. 7.. Moti fondamentali nel taglio delle ruote per inviluppo: moto di taglio: è un moto relativo di tipo alternativo che si sviluppa in direzione parallela all'asse del tondino ed è composto da una corsa di taglio e da una di ritorno (in genere è fisicamente compiuto dall'utensile); questo moto è fondamentale perchè nella realtà non esiste un materiale in grado di tagliare l'acciaio solo "ingranando" con esso. moto di avanzamento: è un moto che prima porta l'utensile a contatto con la superficie del tondino e quindi lo fa affondare progressivamente in esso durante la corsa di taglio. Figura 9: moti di generazione () e taglio () moto di generazione: è necessario che tra dentiera e tondino si verifichi la condizione cinematica di moto relativo di normale accoppiamento per consentire la generazione dei denti con profilo ad evolvente di cerchio per processo di inviluppo da parte dei denti della dentiera-utensile. Bisogna dunque fare in modo 8

20 che la dentiera trasli con velocità v ortogonalmente all'asse del tondino e che questo ruoti rispetto al suo asse con velocità angolare ω Definizione delle condizioni cinematiche di taglio La prima condizione da imporre riguarda ovviamente il moto di generazione: perchè sulla ruota che si taglia si generino effettivamente gli z denti voluti è intuitivo che il rapporto cinematico tra v ed ω non possa essere qualunque. Analizzando la cinematica del processo di taglio si nota che nel campo di moto solidale al tondino esiste sicuramente un punto che si muove esattamente come si muoverebbe se appartenesse al campo di moto della dentiera; esso è il centro di istantanea rotazione relativa del sistema. Poiché la dentiera trasla con velocità v per trovare tale punto (C) è sufficiente individuare sulla perpendicolare alla direzione di v passante per il centro O del tondino quello in cui sia ω r = v (con r distanza del punto da O) in modulo e segno. Il cento di istantanea rotazione rimane fisso durante tutto il processo di taglio e individua le polari o primitive del moto di taglio che sono per la dentiera la retta parallela alla direzione v mentre per il tondino la circonferenza con centro in O e raggio r = R 0. In corrispondenza di queste l'accoppiamento avviene per puro rotolamento e dunque il profilo della dentiera ivi presente (inteso come alternanza di pieni e di vuoti visto che m 0 ed α 0 sono costanti) deve coincidere perfettamente con quello che ha tagliato sulla ruota. La circonferenza primitiva di taglio del tondino è dunque un luogo privilegiato della ruota che ricopia perfettamente non solo il modulo m 0 e l'angolo di pressione α 0 della dentiera-utensile ma anche (in negativo) lo spessore dei denti e dei vani che essa presentava nell'ultimo istante di accoppiamento in corrispondenza della sua primitiva di taglio. In tale situazione se il rapporto tra v e ω fosse casuale si troverebbe una circonferenza primitiva di taglio Linea di riferimento v Linea primitiva di taglio della dentiera R 0 C v v a ω Circonferenza primitiva di taglio del tondino Figura 0: caratteristiche del processo di taglio per inviluppo di raggio R 0 qualunque; essendo il raggio (r) della circonferenza generica legato al modulo (m) presente su essa dalla relazione r = z m nel caso considerato dovrebbe valere z m 0 / = R 0 = v / ω 9

21 Dal momento che il modulo viene fissato con la scelta dell'utensile l assunzione di un v/ω casuale porterebbe ad un numero di denti tagliato z altrettanto casuale ossia molto probabilmente non intero e ancora meno probabilmente pari a quello voluto. Partendo da queste considerazioni risulta dunque che i valori di m 0 ed α 0 vincolano la scelta dell'utensile mentre il numero di denti voluto impone il rapporto cinematico v / ω = z m 0 /. Si può ancora notare che la proprietà della circonferenza primitiva di taglio di ricopiare i pieni ed i vuoti della corrispondente retta primitiva di taglio della dentiera comporta che affondando nel tondino la dentiera fino a far coincidere la linea di riferimento scelta per definirne le proprietà geometriche (su cui si era imposto il pieno il uguale al vuoto) con la retta primitiva di taglio passante per C si ottiene sulla circonferenza di raggio R 0 la condizione: s 0 = e d e 0 = s d che unita allora alla s d = e d fornisce s 0 = e 0 Sempre nell'ipotesi di portare la dentiera a penetrare nel tondino fino a che linea di riferimento e retta primitiva di taglio coincidono si ha anche che h f0 = h ad =,5 m 0 e che invece h a0 dipende da R a che per produrre ruote unificate deve valere R a = R 0 + m Creatore Il concetto di creatore nasce dal problema che una dentiera per tagliare ruote con numeri di denti anche non grandi dovrebbe comunque essere molto lunga, in genere troppo lunga; le soluzioni possibili sono allora due:. utilizzare una dentiera corta e tagliare un piccolo numero di denti alla volta. utilizzare il criterio della vite senza fine: su una normale ruota si avvolgono dei profili ad elica suddivisi in tanti taglienti orientati ortogonalmente al profilo dell'elica in modo tale che ponendo in rotazione il sistema sul suo asse opportunamente inclinato rispetto all'asse del tondino si ottiene nel piano di taglio un moto apparente di traslazione del tagliente in direzione trasversale come voluto dalla teoria con una velocità pari al prodotto tra il passo dell'elica e la velocità di rotazione della ruota stessa. Figura : taglio con creatore e creatore 0

22 8 Condizione di accoppiamento senza gioco Si supponga di avere a disposizione due ruote le cui caratteristiche di taglio sono: Numero di denti Z Z Angolo di pressione sulla primitiva di taglio α 0 α 0 Modulo sulla primitiva di taglio m 0 m 0 Passo sulla primitiva di taglio p 0 p 0 Spessore del dente sulla primitiva di taglio s 0 = p 0 / s 0 = p 0 / Spessore del vano sulla primitiva di taglio e 0 = p 0 / e 0 = p 0 / Addendum rispetto alla primitiva di taglio h a0 = m 0 h a0 = m 0 Dedendum rispetto alla primitiva di taglio h f0 =,5m 0 h f0 =,5m 0 La condizione di accoppiamento senza gioco è quella in cui i denti in presa hanno due punti di contatto con i due denti coniugati dell'altra ruota. La prima osservazione in merito a questo problema è che i punti di contatto P e P' trovandosi sui lati opposti dello stesso dente appartengono a evolventi opposte generate rispettivamente dalle due tangenti comuni ai cerchi di base passanti per C, questo si riflette nel fatto che durante il moto relativo di ingranamento delle ruote i due punti P e P' si muoveranno ognuno sulla propria retta dei contatti (coincidente con la rispettiva generatrice). Si può in primo luogo facilmente verificare che se la condizione di accoppiamento senza gioco è verificata in un punto lo è per tutto l'arco dei contatti (tranne ovviamente in quella parte iniziale in cui solo il primo dei fianchi del dente considerato è in presa): supponendo che la ruota sia motrice e giri alla velocità ω il punto di contatto con trasmissione del moto è il punto P sul fianco destro del dente che all'inizio si trova a coincidere col punto P i solidale alla ruota e coincidente col punto P i solidale alla ruota ; la ruota è vincolata da questo contatto a muoversi alla velocità ω (secondo il rapporto di trasmissione determinato dal rapporto tra i raggi di base) mentre il punto P si sposta sulla retta dei contatti e scorre sul fianco destro del dente fino a P f. coincidente ora con P f. Si supponga ora che sia motrice la ruota e che giri esattamente con la velocità ω, il punto di contatto istantaneo con trasmissione del moto risulta essere P' e non più P che viene trascinato; in questa condizione vale lo stesso discorso fatto per P nel caso precedente: P' resta sempre punto di contatto e impone alla ruota una certa velocità ω *. Poichè il rapporto di trasmissione tra le ruote non dipende da quale è motrice ma dai cerchi di base che sono fissi ω * = ω cioè la condizione cinematica nei due casi è la stessa, ma allora non c'è motivo perchè i due punti P e P' quando siano entrambi di contatto all'istante iniziale cambino questo loro stato nel corso del moto essendo di per sè inconsapevoli di quale delle due ruote è motrice. Appurato questo fatto si può procedere a determinare la condizione geometrica di accoppiamento senza gioco analizzando il problema nella posizione più semplice ossia il punto C, che appartiene alle circonferenze primitive del moto ed è un punto di contatto effettivo: partendo dalla situazione in cui il fianco

23 "motore" del dente in esame - supposto appartenente alla ruota motrice - è in contatto proprio nel punto C con il suo coniugato e imponendo alla ruota motrice la velocità ω si ha che lo spessore del dente passa attraverso il punto C mentre le due circonferenze primitive rotolano senza strisciare l'una sull'altra (sono le polari del moto). Quando tutto il dente è passato attraverso il punto C vi si ha un nuovo contatto ma sull'altro fianco del dente, quello trascinato, dopo il quale continuando a far girare il sistema il punto C viene attraversato dal dente della ruota condotta in corrispondenza del vano della ruota motrice finché si ritorna nella condizione iniziale. La presenza di puro rotolamento tra le circonferenze primitive del moto nel punto C porta riguardo alle due situazioni che vi si alternano alle seguenti condizioni di accoppiamento senza gioco: s = e s = e con s ed e rispettivamente spessori e vani della dentatura misurati in corrispondenza delle circonferenze primitive di accoppiamento; unendo le precedenti relazioni con le: s + e = p s + e = p e considerando che perchè possa esserci ingranamento deve essere p = p = p si trova la condizione di accoppiamento senza gioco: s + s = p Questa condizione è unica e dipende dall'interasse di accoppiamento: supponendo di partire dall'interasse di accoppiamento senza gioco i* e di allontanare le ruote l'ingranamento continua a verificarsi ma in corrispondenza di circonferenze primitive sempre più ampie; il crescere dei raggi delle primitive di accoppiamento comporta un proporzionale aumento del passo di accoppiamento p ma una riduzione degli spessori s ed s dei denti cosicchè risulta essere s + s < p ; quando invece si voglia ridurre l'interasse di accoppiamento al di sotto di i* si deve generare interferenza tra i denti essendo in questo caso s + s > p. Le due ruote a disposizione verificano la generica condizione di accoppiamento infatti sulle primitive di taglio presentano uguale passo p 0 e uguale angolo di incidenza α 0 (il che corrisponde ad avere uguale passo base) ma verificano anche la condizione di accoppiamento senza gioco perchè per come sono state tagliate hanno s 0 = e 0 = p 0 / il che comporta s 0 + s 0 = p 0. Questo spiega il motivo percui si impongono le condizioni di avere il pieno uguale al vuoto sulla linea di riferimento della dentiera utensile e di portare tale linea a sovrapporsi alla primitiva di accoppiamento tra dentiera e tondino per terminare il processo di taglio. b b s e s e Figura : ingranamento tra due ruote a b a a

24 9 Processo di taglio di ruote a profili spostati. In questa operazione di taglio si elimina la condizione suddetta di fine del processo solo in caso di coincidenza tra linea di riferimento della dentiera e primitiva di accoppiamento tra dentiera e tondino. Si definisce il fattore b di scostamento della posizione terminale della dentiera rispetto a quella prevista nel taglio normale e si assume che sia b = X m 0 con m 0 modulo della ruota sulla primitiva di taglio ed X coefficiente di proporzionalità; convenzionalmente X (e percui b) è positivo se la dentiera è penetrata all'interno del tondino meno rispetto alla situazione di taglio normale e negativo invece se la dentiera è stata Xm 0 Figura 3: taglio con X = 0 Figura 4: taglio con X = 0,3 maggiormente affondata nel tondino. Rispetto alle ruote tagliate con il processo normale le ruote con profili presentano analogie e differenze: il raggio della primitiva di taglio resta lo stesso: dipende solo dal rapporto cinematico di taglio scelto pari a z m 0 il passo sulla primitiva di taglio resta lo stesso: la dentiera ha lo stesso passo p 0 in corrispondenza di ogni sezione del dente percui sulla circonferenza primitiva di taglio del tondino con cui si accoppia senza strisciamento incide sempre il passo p 0 indipendentemente dal fatto che sia entrata più o meno in profondità nel tondino stesso; si può anche considerare che p 0 = π m 0 e che m 0 a pari numero di denti z non cambia se non si cambia il rapporto cinematico di taglio l'angolo di incidenza sulla primitiva di taglio resta lo stesso per lo stesso motivo del passo infatti la dentiera oltre ad avere lo stesso passo su ogni sezione del dente ha anche lo stesso angolo di incidenza α 0 che incide identico sulla primitiva di accoppiamento del tondino i raggi di base delle ruote non cambiano perchè esse continuano ad ingranare in uguali condizioni cinematiche con lo stesso utensile, non mutando il rapporto di trasmissione ruota tagliata - utensile deve restare costante il raggio di base della ruota essendo fissato il raggio di base dell'utensile cambia lo spessore del dente che aumenta se la dentiera affonda di meno e diminuisce se affonda di più: esso ricopia perfettamente l'ampiezza del vano della dentiera calcolato sulla linea che va ad accoppiarsi per ultima con la circonferenza primitiva di taglio del tondino e che vale s 0 = e d = p + b tg( α) = p + Xm0 tg( α ) 0 0 3

25 cambia parimenti ma in verso opposto l'ampiezza del vano tra i denti della ruota che deve rispettare la condizione s 0 + e 0 = p 0 e percui diventa e 0 = p 0 Xm tg( α ) 0 cambia anche il dedendum della ruota che a seconda del valore e del segno di X può essere più o meno profondo di quello unificato e che vale h f0 =,5 m 0 - Xm 0 l'addendum come già nelle ruote tagliate con processo normale è definito dal raggio esterno del tondino che dunque ha un valore che può essere assegnato in modo diverso a seconda delle esigenze La differenza fondamentale tra una ruota normale ed una a profili spostati sta praticamente allora nelle dimensioni dei denti in quanto i profili restano tali e quali. 9. Circonferenze di accoppiamento senza gioco tra ruote a profili spostati Siano date le due ruote a profili spostati seguenti: Numero di denti Z Z Angolo di pressione sulla primitiva di taglio α 0 α 0 Modulo sulla primitiva di taglio m 0 m 0 Passo sulla primitiva di taglio p 0 p 0 Spessore del dente sulla primitiva di taglio s 0 = p 0 + X m0 tg( α ) s 0 = p 0 + X m tg( α ) 0 Spessore del vano sulla primitiva di taglio e 0 = p 0 X m0 tg( α ) e 0 = p 0 X m tg( α ) 0 Addendum rispetto alla primitiva di taglio h a0 = R a R 0 h a0 = R a R 0 Dedendum rispetto alla primitiva di taglio h f0 = (,5 X )m 0 h f0 = (,5 X )m 0 Intuitivamente ci si può aspettare che per queste ruote le circonferenze primitive non vadano più bene ed infatti su esse vale: s 0 + s 0 = ( p 0 + X m0 tg( α ) ) + ( p 0 da cui si trova che s 0 + s 0 = p 0 solo per: X = X = 0 (ruote a profili non spostati) + X m tg( α ) ) = p 0 + (X + X )m 0 tg(α) 0 X = X (spostamenti dei profili uguali ed opposti) Per trovare un espressione generale della configurazione di accoppiamento senza gioco per ruote a profili spostati è necessario risalire all'espressione dello spessore del dente in funzione del raggio ed esprimere quindi la condizione di accoppiamento senza gioco in funzione dei raggi e degli X delle ruote. Tra spessore e raggio vale la relazione: s s = 0 + ζ = s 0 + (ϕ 0 ϕ) = s 0 + [ ev(α 0 ) ev(α)] r R0 R0 R0 la condizione di accoppiamento senza gioco diventa allora: 4

26 s + s = r ( s 0 R0 + ζ ) + r ( s 0 R0 + ζ ) = p Condizioni generiche di ingranamento: sulla circonferenza primitiva di accoppiamento le due ruote hanno sempre uguale angolo di incidenza coincidente con l'angolo di pressione percui α = α = α p e quindi ζ = [ ev(α 0 ) ev(α )] = ζ = [ ev(α 0 ) ev(α )] = ζ = [ ev(α 0 ) ev(α p )] sulla circonferenza primitiva di accoppiamento le due ruote devono avere uguale passo per poter ingranare percui p = p = p e così r = z p π = z p π r = z p = z p π π Introducendo le condizioni di ingranamento nella relazione di accoppiamento senza gioco ed esplicitando si ottiene: π m z p π svolgendo si ottiene: z π π m 0 0 π m + Xm0 tg( α0) + ζ z m + z p 0 π z m 0 + z π ( Xm0 tg( α ) ) e quindi semplificando e raccogliendo (X + X ) tg(α 0 ) + z z + ζ = 0 π π da cui ζ = tg(α 0 ) X z ossia + X + z ev(α p ) = ev(α 0 ) + tg(α 0 ) X z + X + z z m Xm0 tg( α0) + ζ z m = p 0 + z ζ +... = π Trovato α p è possibile risalire rapidamente ai raggi delle circonferenze primitive di accoppiamento senza gioco tramite la relazione: r p = R b / cos(α p ) e quindi all'interasse i* = (R 0 + R 0 ) cos( α0) cos( α ) p Si può anche trovare il modulo di accoppiamento m = r z = r z 5

27 I raggi di fondo delle ruote sono definiti dall'operazione di taglio e valgono R f = R 0 + b,5m 0 = R 0 + (X,5)m 0 R f = R 0 + (X,5)m 0 I raggi di testa delle ruote possono essere determinati "a piacere", generalmente si impone che anche per queste ruote il gioco tra testa dei denti dell'una e fondo dei denti dell'altra sia comunque pari a 0,5m 0 ottenendo così la relazione R a = i* R f 0,5m 0 che esplicitata diventa R a = i* R 0 (X )m 0 R a = i* R 0 (X )m 0 6

28 0 Vantaggi delle ruote con denti a profili spostati e criteri di scelta di X ed X 0. Sezione resistente alla base del dente Lo spessore del dente di una ruota a profili non spostati tagliata con un certo utensile è fissato in corrispondenza della circonferenza primitiva (di raggio R 0 ) e vale sempre lo stesso s 0 caratteristico della dentiera o del creatore. Come si nota dalla figura 5 però, lo spessore alla base del dente dipende dalla pendenza dei fianchi che a sua volta è correlata al numero di denti con una legge di proporzionalità inversa; nell ingranamento di due ruote allora la più critica è la più piccola in cui le forze scambiate si distribuiscono su una sezione resistente minore. In molti casi dimensionare in sicurezza la ruota piccola aumentando il modulo della trasmissione comporterebbe l'uso di una ruota grande inaccettabile o per questioni di ingombro o per questioni di costo; molto più conveniente in tali situazioni è ricorrere a ruote a profili spostati in cui agendo opportunamente su X ed X si riescono ad ottenere spessori di base dei denti simili sulle due ruote. Il vantaggio di questa scelta è che la modifica della resistenza meccanica delle due ruote avviene allargando i denti della ruota più piccola (sottodimensionati) e assottigliando quelli della ruota più grossa (sovradimensionati) senza agire sul modulo ossia sulle dimensioni della trasmissione (Fig 6). z Figura 5: spessore del dente in relazione al numero di denti Profilo tagliato con X=0,3 s 0 z = 30 z = 0 z = 5 z = 60 Profilo tagliato con X=0 Figura 6: effetto del taglio con spostamento dei profili sullo spessore del dente 0. Interferenza Si tratta di un fenomeno che si verifica quando nel punto di contatto tra due profili non si ha coincidenza delle tangenti; in tale condizione si ha un contatto irregolare ed una compenetrazione tra i profili stessi. Nell'analisi dell'ingranamento di due profili ad evolvente di cerchio si è individuato un segmento T T in cui avvengono tutti i contatti regolari; il problema da considerare ora è se al di fuori di questo campo possano esistere fisicamente dei contatti tra i denti oppure no. Si può studiare la situazione attorno al punto critico T in cui il profilo del dente della ruota dovrebbe rovesciarsi per continuare ad ingranare correttamente con il relativo dente della ruota cosa che nella 7

29 P T O O O T Figura 7: analisi della condizione di interferenza realtà non può avvenire: in un generico intervallo di tempo t calcolato a partire dall'istante in cui il contatto avviene esattamente nel punto T il punto di tangenza ideale del profilo si sposta sulla retta dei contatti nel punto P' mentre nello stesso tempo il punto di origine del profilo si sposta sulla circonferenza di base fino in O' tale che (P'T ) = (O'T ). Per essere certi che non ci possa essere interferenza il profilo della ruota dovrebbe intercettare il cerchio base della ruota al di fuori del dente ossia prima di O'. Si verifica facilmente che questo non accade infatti supponendo di tracciare con centro in T un arco di circonferenza di raggio T P', questo intercetta il cerchio base della ruota sicuramente oltre il punto O' (Fig 7) la cui distanza da T è pari al raggio se misurata sull'arco ed è perciò minore se valutata sin linea retta. A maggior ragione il discorso vale per l'evolvente che in P' coincide in pratica con l'arco di circonferenza centrato in T di raggio T P' e che dunque è molto meno inclinato dell'arco centrato in T. L'interferenza va assolutamente evitata in condizioni di lavoro; durante l'operazione di taglio è invece accettabile anche se crea comunque grossi problemi in quanto comporta una riduzione della sezione resistente del dente e della lunghezza del segmento dei contatti entrambe dovute all'incavo che si produce alla radice del dente stesso. Considerando l'accoppiamento senza gioco (percui con α p = α 0 ) di una coppia di ruote normali ci si rende subito conto del fatto che la condizione più critica per quanto riguarda l'interferenza è tra la testa della ruota più grossa ed il fondo della più piccola; si nota anche che la criticità aumenta al crescere del diametro della ruota più grossa (mentre α p resta costante) e che dunque la dentiera è la ruota esterna più pericolosa mentre nel campo delle ruote interne la situazione peggiora ancora. Per evitare l'interferenza bisogna imporre che la circonferenza di base della ruota più piccola sia sufficientemente grande da portare il punto T limite del segmento dei contatti corretti al di fuori della circonferenza di troncatura esterna della ruota grande; per le ruote unificate il raggio di troncatura esterna e 8

30 l'interasse sono funzione solo del numero di denti percui collegando queste grandezze tramite il triangolo O O T con il teorema di Carnot si trova: Teorema di Carnot: (R e ) = i + (R b ) i R b cos(α 0 ) sostituendo i termini con: R e = R 0 + m 0 = m 0 (z + ) i = m 0 (z + z ) R b = R 0 cos(α) = m 0 z cos(α 0 ) si ottiene: (z + ) = [(z + z ) + z cos(α 0 ) z (z + z ) cos(α 0 ) ] svolgendo i quadrati e raccogliendo si ottiene: z + z z 4 (z + )/ sin(α 0 ) = 0 da cui si riesce quindi ad esplicitare la relazione rispetto a z : z + = z + 4 z sin( α0 ) z Questa relazione permette di trovare il numero di denti, e dunque il raggio di base, della ruota minimi in condizioni di non-interferenza. Nell'ingranamento tra ruota e dentiera l'espressione si semplifica: z = lim z z z sin( α ) 0 z = sin( α 0 ) 9

31 Figura 8: interferenza ruota-dentiera Nel caso di accoppiamento tra ruota e dentiera si può trovare un'espressione semplice anche per ruote a profili spostati: la condizione da imporre è sempre che la linea di troncatura esterna della dentiera passi per il punto T. Indicando con H la proiezione di T sulla retta dei centri OC (Figura 8), deve quindi essere, in condizioni limite di non interferenza, CH = m 0 b = m 0 ( X) Da una doppia proiezione del raggio primitivo R 0 = OC su CT e su CH, si trova che la lunghezza di quest'ultimo segmento è pari a R 0 sin(α 0 ) = z m 0 sin(α 0) e, quindi, si ottiene: CH = z m 0 sin(α 0) = m 0 b = m 0 ( X) dove con b si è indicato lo scostamento tra la linea di riferimento della dentiera e la primitiva di accoppiamento. Semplificando si ricava la relazione: z = X sin( α ) 0 ( ) Questo caso analiticamente più semplice, ma non concettualmente diverso, evidenzia il secondo vantaggio delle ruote a denti spostati: quando il coefficiente X è non nullo e positivo, il minimo numero di denti per evitare l'interferenza si riduce consentendo in caso di problemi di non agire sulle dimensioni della ruota (per cui sul costo dei materiali, sulle inerzie in gioco, ecc.), ma di ricorrere ad un semplice ispessimento dei denti ottenendo gli stessi risultati. 0.3 Strisciamento specifico L usura è un aspetto molto importante per l efficace dimensionamento del dente, essa dipende dagli attriti che si generano tra le superfici dei denti a contatto in condizioni di lavoro. Una prima definizione utile è quella di strisciamento specifico: se due profili si muovono restando a contatto tra loro è possibile individuare gli spostamenti che i due punti che inizialmente erano a contatto hanno percorso (ciascuno sul suo profilo) rispetto ai nuovi punti a contatto nell intervallo di tempo dt. Detti questi spostamenti rispettivamente ds per il punto appartenente al profilo e ds per quello appartenente al profilo si definiscono: ds ds ds ds strisciamento specifico del corpo : dt vt vt K = = = ds ds vt dt ds ds vt vt strisciamento specifico del corpo : K = = ds vt con v t e v t velocità tangenziali nel punto di contatto rispettivamente del profilo e del profilo L importanza dello strisciamento specifico è che non tiene conto solo dello strisciamento assoluto ma anche dello spazio su cui esso è distribuito, il che trova fisicamente riscontro nel fatto che un uguale strisciamento porta usura ben diversa a seconda che sia concentrato in un punto o che sia distribuito su tutto un tratto di profilo. Si veda ad esempio il caso di una ruota che: 30

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