Esercizio III Data a tempo t = 0 una particella di spin uno con Hamiltoniana

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1 Compitino I di MQ. Dicembre 04 Risolvere due dei seguenti esercizi (tempo: due ore Esercizio I Siano date due particelle di massa m interagenti col potenziale V (x, x = mω ( 5x + 5x + 8x x trovare i livelli energetici e la relativa degenerazione. Calcolare il valor medio di (x x 4 e x x nello stato fondamentale. Dire come cambiano i risultati precedenti se al potenziale viene aggiunto un termine lineare V (x, x = mω ( 5x + 5x + 8x x ɛ(x + x Dato il potenziale monodimensionale simmetrico rispetto all origine V (x = 0, x > a ; V (x = V 0 < 0, a x a determinare i valori di V 0 per cui esistono esattamente due stati legati pari. Si ricordi che un potenziale V (x = V (x ammette solo autofunzioni di parità definita. Suggerimento: non è necessario trovare tutti gli stati legati della buca. È sufficiente analizzare quelli che hanno un autofunzione pari, cioè della forma φ(x = φ(x. I Data a tempo t = 0 una particella di spin uno con Hamiltoniana H = µ S + ωs x in uno stato caratterizzato dalle tre condizioni una misura di S x può solo fornire i valori e 0 il valor medio dell energia è (µ + ω/ il valor medio di S z è / determinare le probabilità per una misura di S z a tempo t.

2 Compitino II MQ. Gennaio 05 Risolvere due dei seguenti esercizi (tempo: due ore Esercizio I Sia data una particella di massa m soggetta a un potenziale armonico isotropo V (x, y = mω (x + y a cui viene aggiunta la perturbazione b(xp y yp x + b (p x + p y. Usando la teoria delle perturbazioni, determinare la correzione all energia dello stato fondamentale ad ordine O(b la correzione all energia del primo stato eccitato al I ordine in O(b Facoltativo: Confrontare con la soluzione esatta del problema. Sia data una particella di spin soggetta a un potenziale armonico isotropo V (x, y, z = mω (x +y +z. La particella sia nel primo stato eccitato 00 > dell oscillatore e abbia S z =. A t = 0 venga aggiunta una perturbazione dipendente dal tempo e dallo spin A( S xe γt Fermandosi al I ordine della teoria delle perturbazioni dipendenti dal tempo, determinare per tempi molto grandi la probabilità che la particella si trovi nello stato fondamentale la probabilità che la particella finale abbia S z =. I Due particelle identiche di spin 0 su un cerchio con Hamiltoniana ( d + d mr dφ dφ interagiscono attraverso il potenziale V (φ φ = A cos(φ φ. Determinare i primi livelli energetici e la relativa degenerazione le correzioni all energia del livello fondamentale e del primo livello eccitato ad ordine O(A. le correzioni all energia del livello fondamentale ad ordine O(A.

3 Data una particella nel potenziale Compito di MQ. Gennaio 05 Risolvere i seguenti esercizi (tempo: tre ore V (x = 0, x < a V 0, a < x < a, x > a Determinare quanti stati legati dispari con energia 0 < E < V 0 esistono per ( mv 0 π a. Siano date due particelle (non identiche di spin / che integariscono con l Hamiltoniana H = µ S ( S ( + µ 4 (S( z + S ( z ( A t = 0 il sistema abbia spin totale e proiezione dello spin totale lungo l asse z pari a. Determinare usando la teoria delle perturbazioni al I ordine a quali stati il sistema può passare e con quale probabilità per effetto delle perturbazione dipendente dal tempo 4A (S( x S x ( S y ( S y ( e γt ( I Determinare la sezione d urto differenziale per dei fasci non polarizzati di particelle identiche di spin / che integariscono con l Hamiltoniana Determinare inoltre λ(s ( x S ( x S ( y S y ( eµr r (4 La probabilità che la proiezione dello spin totale del sistema lungo l asse z si conservi nell urto Il valore della sezione d urto ad angolo di diffusione θ = π/ L andamento a bassa energia della sezione d urto ad angolo θ generico

4 Compito di MQ. Febbraio 05 Risolvere i seguenti esercizi (tempo: tre ore Esercizio I Sia dato un oscillatore armonico isotropo in due dimensioni di massa m e frequenza ω. A t = 0 l oscillatore si trova in uno stato tale per cui una misura dell energia può fornire solo i valori ω e ω il valor medio dell energia é / ω < x >=< y > < x >= < y >= /(4mω Determinare lo stato a tempo t. H = a a 0 a 0, ψ(0 = Determinare la probabilità che al tempo t = π/a il sistema si trovi nello stato e iφ e iφ. e iφ e iφ I Sia data una particella confinata su un cerchio di raggio R in un piano con Hamiltoniana H 0 = d ( mr dφ passi al secondo stato eccitato a causa della perturbazione dipendente dal tempo V (φ, t = e γt λ sin φ/. Usare il II ordine della teoria delle perturbazioni.

5 Compito di MQ. Giugno 05 Risolvere i seguenti esercizi (tempo: tre ore Date due particelle identiche di spin 0 su un cerchio con Hamiltoniana ( d + d, mr dφ dφ determinare i primi livelli energetici e la relativa degenerazione. Determinare poi le correzioni all energia ad ordine O(A del livello fondamentale e del primi due livelli eccitati dovute al potenziale di interazione V (φ φ = A cos (φ φ. H = 0 0 µ µ 0 0, ψ(0 = Determinare la probabilità che al tempo t il sistema si trovi nello stato I Sia data una particella confinata su un cerchio di raggio L in un piano con Hamiltoniana. H 0 = d ( ml dφ passi al secondo stato eccitato a causa della perturbazione dipendente dal tempo V (φ, t = e µt λ cos φ con µ > 0. Usare il II ordine della teoria delle perturbazioni.

6 Compito di MQ Luglio 05 Risolvere i seguenti esercizi (tempo: tre ore Date due particelle identiche di spin 0 su un cerchio con Hamiltoniana ( d + d, mr dφ dφ determinare i primi livelli energetici e la relativa degenerazione. Determinare poi le correzioni all energia ad ordine O(A del livello fondamentale e del primi due livelli eccitati dovute al potenziale di interazione V (φ φ = A cos (φ φ. ( 0 µ H = µ 0, ψ(0 = ( Determinare la probabilità che al tempo t il sistema si trovi nello stato ( e 5iλ e 5iλ I Sia data una particella confinata su un cerchio di raggio L in un piano con Hamiltoniana. H 0 = d ( ml dφ passi al secondo stato eccitato a causa della perturbazione dipendente dal tempo V (φ, t = e µt λ sin φ con µ > 0. Usare il II ordine della teoria delle perturbazioni.

7 Compito di MQ. Settembre 05 Risolvere i seguenti esercizi (tempo: tre ore Date due particelle identiche di spin 0 su un cerchio con Hamiltoniana ( d + d, mr dφ dφ determinare i primi livelli energetici e la relativa degenerazione. Determinare poi le correzioni all energia ad ordine O(A del livello fondamentale e del primi due livelli eccitati dovute al potenziale di interazione V (φ φ = A cos (φ φ. Sia data una particella confinata su un cerchio di raggio L in un piano con Hamiltoniana H 0 = d ( ml dφ passi al secondo stato eccitato a causa della perturbazione dipendente dal tempo V (φ, t = e µt λ cos φ con µ > 0. Usare il II ordine della teoria delle perturbazioni. I H = 0 0 µ µ 0 0, ψ(0 = Determinare la probabilità che al tempo t il sistema si trovi nello stato.

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