ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO CORSO DI ORDINAMENTO 2001 Sessione suppletiva

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1 ESME DI STT DI LICE SCIENTIFIC CRS DI RDINMENT 1 Sessione suppletiva Il candidato risolva uno dei due problemi e dei 1 quesiti in cui si articola il questionario. PRBLEM 1 Si consideri la funzione reale f m di variabile reale tale che: f m, m m dove m è un parametro reale non nullo. a) Trovare gli insiemi di definizione, di continuità e di derivabilità della funzione. b) Indicata con C 1 la curva rappresentativa della funzione f 1 () corrispondente ad m 1, studiarla e disegnarla in un piano riferito a un sistema di assi cartesiani ortogonali, dopo aver determinato, in particolare, le equazioni dei suoi asintoti e il comportamento nel punto di ascissa. c) Calcolare l area della regione finita di piano delimitata dalla curva C 1 e dalla retta parallela all asse delle ascisse condotta per il punto. PRBLEM Una piramide retta, di vertice V, ha per base il triangolo BC, rettangolo in, la cui area è a, dove a è una lunghezza assegnata. Si sa inoltre che B 3 e che il piano della faccia VB della piramide forma BC con il piano della base BC un angolo tale che sen a) Calcolare l altezza della piramide. b) Controllato che essa è a, calcolare la distanza del vertice C dal piano della faccia VB. c) Condotto, parallelamente alla base BC, un piano che sechi la piramide e considerato il prisma retto avente una base coincidente con il triangolo sezione e per altezza la distanza di dalla base BC, calcolare per quale valore di tale distanza il prisma ha volume massimo. d) Il prisma di volume massimo ha anche la massima area totale? 1 Zanichelli Editore, 7

2 1 3 QUESTINRI Considerata una funzione reale di variabile reale f (), si prendano in esame le due seguenti proposizioni: : condizione necessaria e sufficiente affinché f () sia definita in un punto a è che sia continua in a. B: condizione necessaria e sufficiente affinché f () sia continua in un punto a è che sia derivabile in a. Una sola delle seguenti combinazioni è corretta: individuarla e fornire un esauriente giustificazione della risposta. vera - B vera B vera - B falsa C falsa - B vera D falsa - B falsa Si consideri il cubo di spigoli, BB, CC, DD, in cui due facce opposte sono i quadrati BCD e B C D. Indicato con E il punto medio dello spigolo B, sia CF la retta perpendicolare a DE condotta per C. I piani D DE e C CF dividono il cubo in quattro parti. Calcolare a quale frazione del cubo equivale ciascuna di esse. Calcolare se esiste un numero naturale n per il quale risulti: n k n k Sia f () una funzione reale di variabile reale, derivabile con derivata continua in tutto il campo reale, tale che: f () 1 ed f (). Calcolare: f (t) dt lim cos Dimostrare che la derivata, rispetto a, della funzione a, dove a è un numero reale positivo diverso da 1, è a ln a. Fra i rettangoli di dato perimetro determinare quello di area massima. Una primitiva della funzione f () è. Se è possibile calcolare 1 f d, determinare il valore dell integrale. In caso contrario spiegare perché il calcolo non è possibile. In un piano, riferito a un sistema di assi cartesiani ortogonali (y), sia T un trapezoide di base [a; b] relativo alla funzione f (), continua in tale intervallo. Dimostrare la formula che esprime il volume del solido generato dal trapezoide quando ruota di un giro completo attorno all asse. Calcolare la derivata della funzione sen rispetto alla variabile, ricorrendo alla definizione di derivata di una funzione. Considerata una funzione reale di variabile reale f (), derivabile almeno due volte in un dato punto a, affinché la funzione f () abbia in a un punto di flesso la condizione f (a) è: necessaria e sufficiente. B necessaria ma non sufficiente. C sufficiente ma non necessaria. Una sola alternativa è corretta: individuarla e fornire un esauriente spiegazione della risposta. Durata massima della prova: 6 ore. È consentito soltanto l uso di calcolatrici non programmabili. Non è consentito lasciare l Istituto prima che siano trascorse 3 ore dalla dettatura del tema. Zanichelli Editore, 7

3 SLUZINE DELL PRV D ESME CRS DI RDINMENT 1 Sessione suppletiva PRBLEM 1 a) Per determinare il campo di esistenza della funzione poniamo il denominatore diverso da : m m m m. Tale condizione è sempre vera se m >. Se m (m per ipotesi) risulta: m m 3m m. Pertanto il campo di esistenza D si può così scrivere: D R se m R {m, 3m} se m Valutiamo la continuità della funzione. Per m essa è continua nel campo reale. Per m la funzione è continua in R {m, 3m}, mentre ammette discontinuità di seconda specie nei punti m e 3m. Stabiliamo l insieme di derivabilità della funzione riscrivendola nel seguente modo: m m m f m sserviamo che per ogni m appartenente al campo di esistenza, la funzione è derivabile poiché funzione a tratti di funzioni derivabili. Determiniamo il comportamento per m utilizzando la definizione di derivata e calcolando il limite destro e sinistro del rapporto incrementale: lim h lim h m 3m 3m f m (m h) f m (m) h f m (m h) f m (m) h lim h h lim h h 1 ( m h) m m h m lim h, h m h 1 (m h) 3m m h m lim h 8m 8. h m h Essendo tali limiti diversi, si conclude che la funzione non è derivabile per m. Pertanto l insieme di derivabilità D è: D R {m} se m R {m, m, 3m} se m b) Per m 1 si ha: se 3 f 1 () se 1 se 1 3 Zanichelli Editore, 7

4 Il campo di esistenza della funzione è R. La corrispondente curva C 1 interseca gli assi solamente nell origine. Inoltre f 1 (). Calcoliamo ora i limiti per che tende a. lim lim, lim lim Cerchiamo gli eventuali asintoti obliqui: lim f 1( ) lim 1, 1 lim [ f 1() ] lim 1 lim 1, 1 quindi la retta y 1 è asintoto per ; lim f 1( ) lim 1, 3 lim [ f 1() ] lim 3 3 lim 3, 3 quindi la retta y 3 è asintoto per. Per quanto riguarda la derivata prima, sappiamo dal punto a) che f 1 non è derivabile in, poiché la derivata destra vale mentre quella sinistra vale 8. In particolare è un punto angoloso e la curva C 1 in tale punto (; ) ha come tangente da sinistra la retta di coefficiente angolare 8, ovvero la retta y 8 1, e come tangente da destra la retta di coefficiente angolare, cioè la retta y. Inoltre, per risulta: f 1 () ( 1) ( ) + +, f' 1 () ( 1) ( 1) ( 1) che è positiva per ogni >, mentre per <: (3 ) 6 f 1 () (6 ) f 1 (), (3 ) ( 3 ) (3 ) Figura 1. min che è positiva per. Riassumiamo nello schema della figura 1 il segno complessivo della derivata. La funzione presenta un minimo per, con f 1 (). Studiamo ora la derivata seconda. Per vale: ( )( 1) ( 1)( ) f 1 (), ( 1) ( 1) 3 che è sempre positiva per, mentre per risulta: (6 )(3 ) (3 )(6 ) y f 1 () (3 ) f 1 (), (3 18) 3 C 1 y= y=+1 che è sempre positiva per. Dunque la funzione ha sempre la concavità rivolta verso l alto. Nella figura è rappresentata la curva C 1. Figura. y= 3 y=8 1 Zanichelli Editore, 7

5 c) Poiché la funzione è crescente per, cerchiamo i punti di intersezione tra la retta y e la curva C 1 per, risolvendo il seguente sistema: y y y y 3 3 y 1 1, 6 La curva interseca la retta y nei punti (; ) e B(6; ). L area cercata (figura 3) vale: 6 3 d. perando la divisione tra polinomi, si ha che Quindi risulta: d 9 7 9ln 3 6 C 1 6 B 18 ln 3. Figura 3. y y= PRBLEM a) Rappresentiamo la piramide retta e tracciamo la circonferenza inscritta nel triangolo di base, con raggio H (figura ). Calcoliamo la lunghezza dei lati del triangolo BC. Posto BC, dall ipotesi segue che B 3 e, per il teorema di Pitagora, C. Quindi l area del triangolo BC vale BC Deve dunque risultare: 6 a 1a. B Ne segue BC 1a, B 6a e C 8a. Figura. Per determinare la misura dell altezza V utilizziamo la relazione trigonometrica V H tg. Ricaviamo H ricordando la relazione che intercorre tra area, semiperimetro e raggio della circonferenza inscritta nel triangolo BC: BC p BC H. Pertanto risulta: H BC a a. p BC 1a 6a 8a Troviamo ora tg, con angolo acuto sen 1 cos tg 1. Sostituiamo alla relazione V H tg : H a. H ϕ V α C Zanichelli Editore, 7

6 b) Indicata con h la distanza del vertice C dal piano della faccia VB, essa è l altezza della piramide se consideriamo come base il triangolo VB. Calcoliamo l area di tale triangolo: V VH 6 a VB B VH 7 8 a. se n Il volume della piramide è V BC V 19 a 3. Ma anche V VB h 6 a h. 3 3 Quindi deve risultare: 6 a h 19 a 3 h 9 6 a. 13 c) In figura è rappresentato il piano secante la piramide retta di partenza. C' V Sia la distanza del piano dalla base BC, ossia l altezza del prisma. llora ' a. ' I triangoli BC e B C si corrispondono nell omotetia di centro V e rapporto k V B'. V Poiché V V a a, si ha: k a a. a a B C α Figura. Poiché B C k ne segue che B C k BC (a ). BC Il volume del prisma risulta quindi: 1 V prisma B C (a ) ( 3 a 76 a ). Il valore di che rende massimo tale volume coincide con il massimo della funzione: y () 3 a 76a, con ; a. Calcoliamo la derivata di tale funzione: y () 7 8a 76a e studiamone il segno: y () 16a 19a 8 a a. Figura 6. Riassumiamo la situazione nello schema di figura 6. + Si conclude che il volume del prisma è massimo per 8 y'() a. 8 a a d) Il perimetro della base del prisma è: p B C k p BC a y() a a. ma a L area totale del prisma è dunque: (a ) (a)(7a) prisma B C p B C (a) 3 a8a Zanichelli Editore, 7

7 sserviamo che tale area è espressa da una funzione il cui grafico è un arco di parabola con la concavità rivolta verso il basso. Tale funzione assume il suo valore massimo in corrispondenza dell ascissa del a vertice, cioè per a In conclusione il prisma di volume massimo non ha anche la massima area totale. 1 QUESTINRI L affermazione è falsa in quanto una funzione può essere definita in un punto senza essere necessariamente ivi continua. d esempio: f () 1 se se è definita in ma non è continua nello stesso punto. nche l affermazione B è falsa in quanto una funzione può essere continua in un punto senza essere necessariamente derivabile. d esempio, la funzione y è continua su tutto l asse reale ma non è derivabile in. La combinazione corretta è dunque D. Si consideri la figura 7. Indicata con a la lunghezza dello spigolo del cubo, il suo volume è V a 3. I due piani D DE e C CF dividono il cubo in quattro prismi retti di altezza a e basi i poligoni DFG, CDF, EFG e CBEF. Indichiamo con V 1, V, V 3 e V rispettivamente i volumi di tali prismi. sserviamo che i triangoli CDG e ED sono congruenti, in quanto sono entrambi rettangoli con DC D e CĜD ÊD (poiché entrambi complementari ad DˆE). Dunque, sottraendo alle aree di tali triangoli quella del triangolo DFG, ne segue che EFG e CDF hanno uguale area. ra, poiché DG E a, si ha, per il teorema di Pitagora, CG DE a a a. Inoltre, per il primo teorema di Euclide, DG FG CG, cioè a FG a. Perciò FG a e DF DG FG 1 a a a a. Quindi risulta: C' C DFG FG DF a a 1 1 a, D' D CDF EFG ED DFG a a a. Ne segue V 1 DFG a a 3 e V V 3 CDF a a 3. In conclusione vale: V 1 1 V, V V 3 1 V V, V 1 V ' B' a F G B E Figura 7. 3 pplicando la formula di Newton, (a b) n n n k k ank b k, con a b 1, si ottiene n n n k k. L equazione di partenza è dunque equivalente a n ovvero n log Questa è verificata per n. 7 Zanichelli Editore, 7

8 f (t) dt Il limite lim si presenta nella forma indeterminata. Per calcolarlo utilizziamo il teorema di cos 1 De L Hospital tenendo conto che per il teorema fondamentale del calcolo integrale risulta D f (t) dt f( ) 1 lim lim cos 1 sen applicando di nuovo il teorema di De L Hospital: f ( ) lim 1 cos. Utilizzando la definizione di derivata alla funzione f () a, otteniamo: f () lim f ( h ) f () lim a hh a lim a h h h h (ah h 1) lim a lim a h 1. h h h pplichiamo il limite notevole lim a h 1 ln a: h h f () a ln a. f (t)dt f(): 6 7 Sia p il semiperimetro del rettangolo e una delle dimensioni. Ne segue che l area del rettangolo è data dal prodotto (p ) p. Determiniamo il massimo della funzione y p nell intervallo ]; [. Il grafico di tale funzione è un arco di parabola con la concavità rivolta verso il basso e quindi la funzione assume il valore massimo in corrispondenza del vertice che, in questo caso, ha ascissa p. Ne segue che tra tutti i rettangoli di assegnato perimetro, quello di area massima è il quadrato. Consideriamo l integrale 1 1 f d 1 f d. perando la sostituzione t, si ottiene: 1 f (t) dt [ ] Sia T è il trapezoide BCD delimitato dalla curva di equazione y f(), dall asse e dalle rette a e b (figura 8). Il volume V del solido generato dal trapezoide T in una rotazione completa attorno all asse è: y f() D C V b f () d. a Per dimostrarlo, dividiamo l intervallo [a; b] in n parti uguali. gnuna di queste parti ha lunghezza h b a. Disegniamo il n B plurirettangolo inscritto e quello circoscritto al trapezoide, che approssimano la sua area per difetto e per eccesso, e indichiamo con m i e M i le altezze dei rettangoli corrispondenti al sottointervallo i. Nella rotazione completa intorno all asse essi descrivono dei cilindri circolari di altezza h (figura 9). D' C' Figura 8. 8 Zanichelli Editore, 7

9 y y m i M i h a b a h b a. gni cilindro per difetto ha per base un cerchio di raggio m i e per altezza h. b. gni cilindro per eccesso ha per base un cerchio di raggio M i e per altezza h. Figura 9. Poiché la formula del volume del cilindro circolare di raggio r e altezza h è r h, il volume v n dei cilindri approssimanti il solido per difetto e il volume V n dei cilindri approssimanti per eccesso sono: v n m 1 h m h m n h (m 1 h m h m n h ), V n M 1 h M h M n h (M 1 h M h M n h ). Si può dimostrare che quando n le due successioni v n e V n tendono allo stesso limite e tale limite è uguale al prodotto tra per l integrale definito da a a b del quadrato di f () ossia: V lim v n lim V n n n b f () d. a 9 sen [( h)] sen Sia f () sen, allora f () lim. h h pplicando al numeratore la formula di prostaferesi sen p sen q cos p q sen p q, si ottiene: cos ( h) sen h f () lim lim cos ( h) se n h cos, h h h h essendo lim se n h 1. h h 1 Un teorema di calcolo differenziale afferma che la condizione f (a) è necessaria ma non sufficiente affinché nel punto a vi sia un flesso. Infatti, ad esempio, la funzione y è tale che y 1. Dunque essa ha la derivata seconda che si annulla per, ma, essendo altrove sempre positiva, ha la concavità rivolta verso l alto e quindi non ammette flessi. 9 Zanichelli Editore, 7

10 Per esercitarti ancora sugli argomenti trattati nel Svolgi il Problema 1 Problema 6 pag. W 1 Esercizio 7 pag. V 83 Problema 11 pag. V 91 Problema Esercizio 16 pag. 93 Problema 331 pag. V 1 Problema 79 pag. V Quesito 1 Quesito pag. V 9 Problema 13 pag. V 91 (punti a, b) Quesito Esercizio 37 pag. 73 Esercizio 1 pag. 7 Quesito 3 Esercizio 111 pag. 33 Quesito 7 pag. W 169 Quesito Quesito 9 pag. W 137 Quesito pag. W 168 Quesito 7 pag. W 173 Quesito Esercizio 36 pag. V Esercizio pag. V Quesito 6 Problema pag. V 198 Problema 99 pag. V 1 Quesito 7 Esercizio 3 pag. W 18 Quesito pag. W 136 Quesito 1 pag. W 137 Quesito 8 Esercizio 71 pag. W 1 Quesito 9 Quesito 3 pag. W 168 Quesito 1 pag. W 176 Quesito 1 Esercizio 1 pag. V 18 1 Zanichelli Editore, 7