ESERCIZI DI MATEMATICA FINANZIARIA DIPARTIMENTO DI ECONOMIA E MANAGEMENT UNIFE A.A. 2015/ Esercizi: lezione 03/11/2015

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1 ESERCIZI DI MATEMATICA FINANZIARIA DIPARTIMENTO DI ECONOMIA E MANAGEMENT UNIFE A.A. 2015/ Esercizi: lezione 03/11/2015 Piani di ammortamento Esercizio 1. Un finanziamento pari a e viene rimborsato con 4 rate annue posticipate a quote di capitale costante (piano all italiana) e tasso annuo composto i = 8%. a) Stabilire l ammontare delle quattro rate R 1, R 2, R 3, R 4 redigendo il piano di ammortamento; b) stabilire l ammontare delle quattro rate R2, R 3, R 4, R 5 nel caso in cui, dopo il pagamento della prima rata R 1, il debitore ottenga l allungamento di un anno del rimborso, di nuovo a quote di capitale costante e riduzione del tasso di un punto percentuale. Soluzione. Il piano è all italiana, quindi C 1 = C 2 = C 3 = C 4 = C. Poiché il rimborso si chiude al quarto anno si ha C 1 + C 2 + C 3 + C 4 = D 0 4 C = C = 25000e. a) Dobbiamo applicare le seguenti formule: I k = D k 1 i, per k = 1, 2, 3, 4, R k = C + I k = I k, per k = 1, 2, 3, 4, D k = D 0 k C = k per k = 1, 2, 3, 4, dunque otteniamo il seguente piano di ammortamento:

2 2 ESERCIZI DI MATEMATICA FINANZIARIA b) Siano C = C 1 e C = C 2 = C 3 = C 4 = C 5, quindi abbiamo che C 1 + C 2 + C 3 + C 4 + C 5 = D 0 C + 4 C = C = da cui C = 18750e. Procedendo come nel punto a) per le epoche t = 2, 3, 4, 5 con tasso annuo di interesse i = 0, 07, abbiamo il seguente piano di ammortamento: , , , ,50 0 Esercizio 2. Un impresa ha contratto 3 anni fa un mutuo di ammontare 10000e al tasso annuo composto del 10%. Un anno più tardi ha versato una prima rata di 3000e e due anni dopo una seconda rata di 4000e. a) Determinare il debito residuo D 2. b) Determinare la terza rata se il debito è chiuso al terzo anno. c) Se invece l impresa estingue il debito in 4 anni complessivi, pagando una stessa rata R negli ultimi due anni, determinare tale rata, sapendo che, solo nel quarto anno, il tasso è salito al 12%. Soluzione. a) Per quanto riguarda l epoca t = 1, abbiamo I 1 = D 0 i = , 1 = 1000e, C 1 = R 1 I 1 = = 2000e, D 1 = D 0 C 1 = = 8000e. In modo analogo si calcolano I 2, C 2 e D 2 per l epoca t = 2, dunque abbiamo il seguente piano di ammortamento: dunque D 2 = 4800e.

3 ESERCIZI DI MATEMATICA FINANZIARIA 3 b) Se supponiamo di estinguere il debito al terzo anno si ha I 3 = D 2 i = , 1 = 480e; essendo D 3 = 0 e D 3 = D 2 C 3, abbiamo che C 3 = D 2 = 4800e; infine R 3 = C 3 + I 3 = = 5280e. Allora il piano di ammortamento è il seguente: c) In questo caso il piano di ammortamento è il seguente: R R 5280 R R 633, 6 0, 12 R R 0 L equazione da impostare è R 4 = C 4 + I 4, ossia otteniamo la seguente equazione in R: R = 5280 R + 633, 6 0, 12 R 2, 12 R 5913, 6 = 0 da cui R = 2789, 43e. Esercizio 3. Un prestito di 10000e viene rimborsato in 5 anni a rate semestrali costanti al tasso i s = 2, 4%. Dopo 2 anni esatti, il debitore continua il piano di ammortamento presso un altro istituto di credito a tasso i s = 2%, pagando al vecchio istituto una penale, finanziata dal nuovo istituto, dell 1, 2% sul debito residuo. Supponendo che, presso il nuovo istituto, il debitore, oltre ad un abbassamento di tasso, ottenga anche di pagare con un anno in più di tempo, a quanto ammonta la nuova rata?

4 4 ESERCIZI DI MATEMATICA FINANZIARIA Soluzione. Dopo 2 anni, usando la formula compatta che lega un debito residuo intermedio a quello iniziale nel piano alla francese, il debito residuo è D 4 = D 0 1 (1 + i s) 6. (1) 1 (1 + i s ) 10 Poiché il debitore, cambiando istituto di credito, paga una penale dell 1, 2% su D 4, ma ha a disposizione un anno in più (ossia 2 ulteriori rate) per pagare, significa che nel nuovo istituto deve ripianare un debito di (1, 012) D 4, sempre alla francese, in 4 anni, a tasso i s. La nuova rata costante R, pertanto diviene R = 1, 012 D 4 Inserendo nella (2) la (1), si ha che R = 1, 012 D 0 i s 1 (1 + i. (2) 8 s) i s (1 (1 + i s ) 6 ) (1 (1 + i s) 8 ) (1 (1 + i s ) 10 ). (3) Inserendo ora i dati numerici nella (3) si trova che R 867, 85. e Esercizio 4. Non potendo pagare l ultima rata R n, pari a 1000e, di un mutuo a tasso i = 10%, ottenete di chiudere il prestito pagando 2 rate uguali pari a R alle epoche t = n e t = n + 1. A quanto ammonta R? Soluzione. In pratica, si tratta di scambiare la rata di 1000 euro con due rate costanti pagate l una sempre all ultimo anno e l altra l anno dopo, ma il cui complessivo valore attuale, dove attuale qui si riferisce all n-esimo anno, deve coincidere con Dunque, l equazione da impostare è 1000 = R + R 1 + i da cui facilmente R = 1 + i , i Esercizio 5. (Difficile) Stilate un piano di ammortamento all italiana con prestito iniziale pari a 2000 euro e durata 4 anni, ai tassi i 1 = 4% per i primi due anni e i 2 = 6, 5% per i successivi due anni. Successivamente, dimostrate che a questo piano corrisponde un tasso costante i per tutto il periodo compreso tra il 4, 7% e il 4, 8%. Soluzione. La quota capitale costante (anche se i tassi cambiano nel corso dei quattro anni, rimane questa la caratteristica saliente di un piano all italiana) é data da C = D 0 /4 = 500 euro. Il piano dei primi due anni, a tasso costante pari a i 1, risulta dunque

5 ESERCIZI DI MATEMATICA FINANZIARIA Poi si riparte incollando al piano precedente un nuovo piano all italiana di due anni, con quota capitale costante sempre pari a 500 euro, debito residuo iniziale pari a D 2, ossia 1000 euro, e a tasso costante pari a i 2, dato da ,5 532,5 0 Per sapere a quale tasso costante avrei ottenuto lo stesso piano, mi basta impostare la condizione di chiusura finanziaria, ossia n R k (1 + i) k = 2000, k=1 ove R k, per k = 1,..., 4, sono le rate effettivamente pagate. La formula precedente risulta una equazione nell incognita i: per dimostrare che la soluzione di tale equazione é compresa tra i valori indicati, chiamate f la funzione f(i) = n k=1 R k = (1 + i) k (1 + i) (1 + i) (1 + i) , 5 (1 + i) e notate che (a) f(0) > 0; (b) f(i) < 0 per i molto elevati; (c) f(i) é monotona decrescente (lo si vede facilmente calcolando la derivata di f(i)). Pertanto la soluzione che cerco é unica e siccome, attraverso lunghi ma banali calcoli, si verifica che f(0, 047) > 0, mentre f(0, 048) < 0, ho dimostrato che l unica soluzione che sto cercando é necessariamente compresa tra i due valori di i indicati. Esercizio 6. (Difficile) In un piano di ammortamento alla francese su prestito iniziale di e, a rate mensili, durata pari a 10 anni e tasso annuo i = 4%, dopo due anni il tasso passa a i 1 = 5%. Supposto che voi non riusciate a pagare piú di 1020 e mensili, di quanto (eventualmente) si allunga il vostro piano? Soluzione. La rata R del nostro piano alla francese, con la variazione del tasso da mensile ad annuo, data dalla solita formula di conversione i m = i 1,

6 6 ESERCIZI DI MATEMATICA FINANZIARIA è pari a R = D i 1 1 (1 + i) 10, ove D 0 = L esercizio non richiede espressamente di calcolare R, in ogni caso, se lo faceste, risulterebbe R = 1009, 06 e. Dopo k = 2 anni, cambia il tasso e passa a i 1 = 5%, quindi la nuova rata R, usando la precedente formula con i 1 al posto di i, il debito residuo D k (con k = 2) al posto di D 0 e con durata che ora dovrebbe essere quella residua, ossia 8 anni, risulterebbe pari a (1) R = D i (1 + i 1 ) 8, ove D 2 si puó determinare attraverso la seguente formula generale, valida in un arbitario piano alla francese: Nel nostro caso D k = D 0 D 2 = D 0 Se inseriamo tale formula in eq. (1), troviamo (2) R = D 0 1 (1 + i) n+k 1 (1 + i) n. 1 (1 + i) 8 1 (1 + i) ( i) i (1 + i) 10 1 (1 + i 1 ) 8. Se ora inserite i dati, troverete R = 1046, 50 e, quindi sopra il vostro tetto mensile R max = 1020 e. Conseguentemente, essendo ora evidente che, potendovi permettere di pagare al massimo R max ogni mese, la durata residua si debba allungare, dovete riscrivete la formula data in eq. (2), con R max al posto di R e x al posto di 8, perché ora la vostra vera incognita è la nuova durata del piano. Pertanto la nuova formula diviene 1 ( i) 8 R max = D 0 1 (1 + i) i (1 + i 1 ) x, da cui, con qualche passaggio algebrico, si arriva a ( log 1 D 0 R max 1 (1+i) 8 ( 12 ) 1 + i 1 (1+i) x = ) log(1 + i 1 ) = 8, 2558, ossia la durata supera ora gli 8 anni di circa 0, 25 anni, il che significa (approssimando per leggero difetto) 3 mesi.

7 ESERCIZI DI MATEMATICA FINANZIARIA 7 Esercizio 7. (Difficile) A due anni dall estinzione di un prestito a rata costante a tasso i = 5, 5%, siete di fronte a due possibili scelte. La prima consiste nel chiudere anticipatamente il prestito, con una penale α > 0 da definirsi, proporzionale al debito residuo. Supponendo peró di non possedere la cifra necessaria per la chiusura anticipata, ve la fate prestare da un altra istituzione finanziaria, presso la quale vi impegnate in un ammortamento in 2 anni a rata costante, detta R α, sempre a tasso i. La seconda, invece, consiste nel continuare il piano originario, ma sapendo questa volta che il tasso subirá un innalzamento, passando da i = 5, 5% a i 1 = 6%, il che ovviamente produrrá una rata R 1 piú gravosa negli ultimi 2 anni. La domanda è: per quali α è piú conveniente uscire anticipatamente piuttosto che continuare? Soluzione. Se si esce anticipatamente, si deve pagare il debito residuo D n 2 piú la penale pari a α D n 2, ossia in tutto D n 2 (1+α). Ci facciamo prestare tale somma da un altra banca, presso la quale ci si impegna in un piano alla francese a tasso i in 2 anni, quindi, usando la solita formula generale dell ammortamento alla francese, si ha che (3) D n 2 (1 + α) = R α a 2 i, ove ricordiamo che, in generale, si ha 1 (1 + i) n a n i =. i Se, invece, optiamo per la seconda scelta, riapplichiamo la formula precedente sostituendo D n 2 (1 + α) con D n 2, perché non vi é penale, ma anche i con i 1, a causa dell aggravio di tasso, ottenendo quindi (4) D n 2 = R 1 a 2 i1. Se ora si sostituisce D n 2 ricavato dalla (4) nella (3), si trova che R 1 (1 + α) a 2 i1 = R α a 2 i, da cui, con un semplice passaggio algebrico, si ha che R α (5) = (1 + α) a2 i 1. R 1 a 2 i Poiché la maggiore convenienza nell uscire anticipatamente piuttosto che continuare é ovviamente equivalente a dire che R α < R 1 o, che é lo stesso, che R α R 1 < 1, allora, inserendo questa condizione nella (5), si trova facilmente che α < a 2 i a 2 i1 1,

8 8 ESERCIZI DI MATEMATICA FINANZIARIA ossia α < 1 (1 + i) 2 i dunque α < 0, 7051%. i 1 1 (1, 055) 2 0, 06 1 = 1 0, (1 + i 1 ) 2 0, (1, 06) 2