Esonero di GEOMETRIA 1 - C. L. Matematica 21 Febbraio M 2 (R) a + 2b d = 0.

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1 Esonero di GEOMETRIA 1 - C. L. Matematica 21 Febbraio Si considerino i seguenti sottospazi vettoriali di M 2 (R): ( ) ( ) U =,, ( ) a b V = c d } M 2 (R) a + 2b d = 0. (a) Si determinino la dimensione e una base per ciascuno dei seguenti spazi vettoriali: U, V, U V, U + V. (b) Si descrivano tutti i sottospazi vettoriali W di M 2 (R) tali che M 2 (R) = V W. 2. Si consideri l applicazione lineare f : R 3 R 3 avente la matrice 1 1 k A = k 0 2, k R, come matrice associata rispetto alla base canonica di R 3. (a) Si stabilisca per quali valori del parametro reale k il nucleo di f è non banale e f è diagonalizzabile. (b) In corrispondenza di tali valori, si determini una base di R 3 costituita da autovettori di f. 3. Si consideri la forma quadratica q : R 3 R definita da q(x, y, z) = x 2 z 2 + 4xy + 2hxz 2yz, h R. (a) Si stabilisca per quale valore del parametro reale h il vettore v = (4, 1, 2) è isotropo. (b) In corrispondenza di tale valore, si determinino il rango e la segnatura di q. (c) In corrispondenza del valore di h determinato in (a), considerato il sottospazio vettoriale di R 3 V = (1, 0, 2), (3, 1, 0), si determinino la dimensione e una base per i sottospazi vettoriali V e V V.

2 11 Giugno Sia f : R 4 R 4 l applicazione lineare tale che la matrice associata a f rispetto alla base canonica è: A = k 2 2 k R (a) Si determinino la dimensione e una base di Ker(f) e Im(f) al variare del parametro reale k. (b) Si stabilisca per quali valori di k l applicazione f è diagonalizzabile e in corrispondenza di tali valori si determinino una base di R 4 costituita da autovettori di f. 2. Sia q : R 3 R la forma quadratica definita da (a) Determinare il rango e la segnatura di q. q(x, y, z) = 2x 2 + 2y 2 + 4xy 2xz. (b) Considerato il sottospazio V = (1, 1, 0), (1, 0, 0) di R 3, si determino il rango, la segnatura e il cono isotropo di q V. 3. Si considerino in E 2 le rette r : x y 1 = 0 2x + y = 0 ed il punto P (1, 1). 1. Si scrivano le equazioni delle circonferenze tangenti a r con centro su s a distanza 2 da r. 2. Si scriva l equazione del luogo geometrico descritto dal punto medio tra P ed il punto P di intersezione di s con la generica retta t per P. 4. Si considerino in E 3 le rette r : determinino: y = 0 2x z = 0 y = 1 x z = 0 e il piano π : y 2z = 0. Si 1. le rette passanti per il punto A(1, 0, 0), contenute nel piano π ed aventi minima distanza 1 da s; 2. le circonferenze tangenti a r in O, con centro su π e raggio 3.

3 25 Giugno Si considerino i seguenti sottospazi vettoriali di R 3 [x]: U = p R 3 [x] p(0) = p(1) = 0}, V = 1 + kx, x + kx 3, k R. (a) Determinare la dimensione e una base di U. (b) Determinare, al variare del parametro reale k, la dimensione e una base degli spazi vettoriali V, U V, U + V. 2. Sia f : R 3 R 3 endomorfismo diagonalizzabile il cui polinomio caratteristico è p f (λ) = λ(λ 3) 2 e tale che f(1, 0, 0) = (1, 0, 1), f(0, 1, 0) = (2, 3, 1). (a) Determinare f(x, y, z) per ogni (x, y, z) R 3. (b) Determinare una base di R 3 costituita da autovettori di f. 3. Si consideri il sottospazio vettoriale W di R 3 generato dai vettori v 1 = ( 1, 0, 1), v 2 = (0, 1, 1). (a) Si provi che per ogni matrice M M n (R), la matrice M tm è una matrice simmetrica. (b) Si determini una base v 3 } del complemento ortogonale di W rispetto al prodotto scalare standard g 0 di R 3. (c) Indicata con A la matrice di passaggio dalla base canonica B 0 = ε 1, ε 2, ε 3 } alla base B = v 1, v 2, v 3 } (ovvero per ogni i 1, 2, 3}, v i = 3 j=1 Aj i ε j), si provi che (A ta) 1 è la matrice rappresentativa di un prodotto scalare rispetto al quale B è ortonormale. 4. Si considerino in E 3 il piano π : x + z = 0 e le rette x 2y = 0 r : z = 1 Si determinino: (a) la retta t proiezione ortogonale di s su π, y z = 0 (b) la sfera Σ tangente a r in A(0, 0, 1) e con centro C su s, x 1 = 0. (c) le circonferenze contenute in Σ e nei piani paralleli a π a distanza 2 da C.

4 11 Luglio Sia f : R 3 R 2 l applicazione lineare tale che per ogni (x, y, z) R 3 f(x, y, z) = (x + z, 2x + y + kz), k R. Sia g : R 2 R 3 l applicazione lineare avente la matrice 1 1 A = come matrice associata rispetto alla base B = (1, 1), (1, 1)} di R 2 e alla base canonica di R 3. (a) Stabilire per quali valori del parametro reale k l endomorfismo g f di R 3 non è invertibile. In corrispondenza di tali valori, si determinino la dimensione e una base di Ker(g f). (b) In corrispondenza del valore k = 2, stabilire se g f è diagonalizzabile. 2. Sia b : M 2 (R) M 2 (R) R l applicazione definita da b(x, Y ) = tr(x t AY ), essendo A una matrice simmetrica di ordine 2 a coefficienti reali. (a) Si provi che b è bilineare e simmetrica. ( ) 2 1 (b) Posto A =, si determini la matrice associata a b rispetto alla base 1 0 ( ) ( ) ( ) ( )} B = e 1 =, e =, e =, e =. 0 1 (c) Considerata la matrice A del punto (b), e considerato il sottospazio vettoriale S 2 (R) di M 2 (R) delle matrici simmetriche, si determinino il rango e la segnatura di b S2 (R) S 2 (R). 3. Si consideri in E 2 il punto A( 1, 2). (a) Si scrivano le equazioni delle rette r, s passanti per A ed aventi distanza 1 dall origine. (b) Si determinino le circonferenze tangenti contemporaneamente r e s e con centro sull asse x; si verifichi che una di esse ha raggio 1 e la si indichi con C. (c) Si determini il luogo descritto dal punto P del piano tale che la distanza di P dalla bisettrice del primo e terzo quadrante sia uguale alla lunghezza del segmento di tangente condotto da P a C. (suggerimento: si usi il teorema di Pitagora) 4. Si considerino in E 3 : il punto P (1, 1, 1), il piano π : x + 2z = 0, le rette y = 2 x + y z = 0 r :. x z = 0 2x 2z = 1 (a) Si verifichi che le rette r e s sono parallele e se ne calcoli la distanza. (b) Si determini la retta t contenuta nel piano π incidente r e perpendicolare a s. (c) Si determini la circonferenza C tangente a t nel suo punto di intersezione con r e passante per P.

5 6 Settembre Si considerino i seguenti sottospazi vettoriali di R 4 : U = (1, 2, 0, 1), (1, 0, 0, 1), (0, 2, 1, 0), (0, 0, 1, 2), V = (x, y, z, t) R 4 x + y = 0, y + z t = 0}. (a) Determinare la dimensione e una base degli spazi vettoriali U, V, U + V, U V. (b) Determinare un supplementare di V in R Sia f : R 2 [x] R 2 [x] l endomorfismo definito da f(p) = p(1)x 2 p(k), k R. (a) Si determinino la dimensione e una base di Ker(f) al variare del parametro reale k. (b) Si stabilisca per quali valori di k, f è diagonalizzabile. 3. Si considerino le matrici h h G = 1 1 0, A h = 2h , h + 1 h h + 1 h R e sia, al variare di h R, f h : R 3 R 3 l endomorfismo avente rispetto alla base canonica di R 3 la matrice A h. (a) Si verifichi che G è la matrice rappresentativa di un prodotto scalare g su R 3. (b) Si determini una base ortonormale di R 3 rispetto a g. (c) Si determinino gli eventuali valori di h per i quali f h è autoaggiunto rispetto al prodotto scalare standard di R Si considerino in E 3 il piano π : x + z 1 = 0 e la retta r : x = 0 y + z = 1. (a) Si verifichi che r e l asse x sono rette sghembe. (b) Si determini la retta m di minima distanza tra r e l asse x e la loro minima distanza. (c) Si determinino le circonferenze tangenti a r nel punto A(0, 1, 0), con centro su π e raggio ρ = 2.

6 18 Settembre Sia f : R 2 [x] R 2 l applicazione lineare avente la matrice ( ) A = come matrice associata rispetto alla base B = 1 x, x 2 +1, x 2 } di R 2 [x] e alla base B = (0, 1), ( 1, 1)} di R 2. (a) Determinare la dimensione e una base di Ker(f) e di Im(f). (b) Determinare f 1 (1, 2). 2. Sia q : R 3 R la forma quadratica definita da q(x, y, z) = x 2 y 2 + kz 2 + 2xy + 4yz, k R. (a) Determinare il rango e la segnatura di q al variare del parametro reale k. (b) In corrispondenza del valore di k per cui q è degenere, si determini il nucleo di q. 3. Si considerino in E 2 le rette r : x + y 1 = 0 x y 1 = 0, t : 3x y = 0. (a) Si scrivano le equazioni delle circonferenze tangenti sia a r che a s ed aventi centro su t (b) si indichino con R e S i punti di intersezione rispettivamante con r e con s con la generica retta a per l origine ; si scriva quindi l equazione del luogo geometrico descritto dal punto medio tra R e S, al variare di a. 4. Si considerino in E 3 il piano π : y + 2z = 0 e le rette x y = 0 r : z = 1 2y z = 0 x + y = 0. Si determinino: (a) la retta contenuta in π, incidente r e perpendicolare a s (b) la distanza del punto P (1, 1, 1) dalla retta s (c) l equazione della sfera Σ tangente r in A(0, 0, 1) e tangente a s nell origine (d) le circonferenze contenute in Σ e nei piani paralleli a π a distanza 1 5 dal centro C di Σ.

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(2) Dato il vettore w = (1, 1, 1), calcolare T (w). (3) Determinare la matrice A associata a T rispetto alla base canonica. 1. Applicazioni lineari Esercizio 1.1. Sia T : R 2 R 3 l applicazione lineare definita sulla base canonica di R 2 nel seguente modo: T (e 1 ) = (1, 2, 1), T (e 2 ) = (1, 0, 1). a) Esplicitare T (x, y).

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