Quadriche. R. Notari

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1 Quadriche R. Notari 1

2 1. Notazioni. Proposizione 1 Ogni quadrica si rappresenta tramite un equazione algebrica di secondo grado della forma a 11 x 2 + 2a 12 xy + a 22 y 2 + 2a 13 xz+ +2a 23 yz + a 33 z 2 + 2a 14 x+ +2a 24 y + 2a 34 z + a 44 = 0. Detta B la matrice quadrata di ordine 4 le cui entrate sono i coefficienti a ij, e detto Y = t (x, y, z, 1), l equazione si scrive come t Y BY = 0. Detta invece A = a 11 a 12 a 13 a 12 a 22 a 23 a 13 a 23 a 33, ed X = t (x, y, z) l equazione si scrive come t XAX + 2(a 14, a 24, a 34 )X + a 44 = 0. 2

3 2. Cambi di coordinate. Teorema 2 Sia σ un luogo descritto da un equazione di secondo grado della forma t XAX + 2(a 14, a 24, a 34 )X + a 44 = 0, e sia X = P X + un cambio di coordinate, con P matrice ortogonale speciale. Allora la nuova equazione di σ è della forma a b c t X A X + 2(a 14, a 24, a 34 )X + a 44 = 0, dove A = t P AP, e det(b ) = det(b). Quindi, det(b) è invariante per cambi di coordinate, come anche il polinomio caratteristico di A (e quindi gli autovalori, la traccia ed il determinante di A). 3

4 3. Tipi di quadriche. Osservazione 3 Ellissoidi, iperboloidi e paraboloidi vengono chiamati quadriche liscie, coni e cilindri quadrici vengono chiamati quadriche singolari. Le coppie di piani ed i piani doppi vengono chiamati quadriche spezzate. Teorema 4 Sia σ un luogo di R 3 rappresentato da un equazione di secondo grado. 1. σ è una quadrica liscia se B ha rango σ è una quadrica singolare se B ha rango σ è una coppia di piani se B ha rango σ è un piano doppio se B ha rango 1. 4

5 4. Classificazione delle quadriche liscie. Teorema 5 Sia σ una quadrica liscia definita da un equazione della forma t XAX + 2(a 14, a 24, a 34 )X + a 44 = 0. σ è un ellissoide reale se A è definita in segno e det(b) < 0, è un ellissoide immaginario se A è definita in segno e det(b) > 0, è un paraboloide se A ha l autovalore 0, è un iperboloide se A non è definita in segno, ma 0 non è autovalore di A. Proposizione 6 Sia σ una quadrica liscia. σ è a punti ellittici se det(b) < 0, mentre è a punti iperbolici se det(b) > 0. Osservazione 7 Se P è una matrice ortogonale speciale che diagonalizza A allora X = P X definisce un cambio di coordinate che trasforma l equazione di σ nella forma Ax 2 +By 2 +Cz 2 +2Dx +2Ey +2F z +G = 0. Quindi, a meno di una traslazione, abbiamo riportato σ in forma canonica. 5

6 5. Classificazione delle quadriche singolari. Teorema 8 Sia σ una quadrica singolare. σ è un cono se A non ha l autovalore nullo. In particolare, ha punti reali se gli autovalori di A non sono tutti concordi, mentre il vertice è l unico punto reale se A è definita in segno. σ è un cilindro se A ha l autovalore nullo. In particolare σ è un cilindro ellittico se i rimanenti autovalori di A sono concordi, è un cilindro parabolico se l autovalore nullo ha molteplicità 2, è un cilindro iperbolico se i rimanenti autovalori di A sono discordi. Osservazione 9 I cilindri ellittici possono essere privi di punti reali. 6

7 5. Quadriche a centro. Osservazione 10 Le quadriche liscie o singolari aventi un centro di simmetria sono gli ellissoidi, gli iperboloidi ed i coni. Teorema 11 Sia σ un ellissoide o un iperboloide, o un cono descritto da un equazione della forma t XAX + 2(a 14, a 24, a 34 )X + a 44 = 0. Il centro di simmetria di σ è l unica soluzione del sistema lineare AX = t (a 14, a 24, a 34 ). Proposizione 12 Sia σ una quadrica a centro avente C(x C, y C, z C ) come centro di simmetria, e sia P una matrice ortogonale speciale che diagonalizza A. Allora X = P X + x C yc è un cambio di coordinate che riporta σ in forma canonica. zc 7

8 6. Paraboloidi e cilindri. Proposizione 13 Sia σ un paraboloide avente V (x V, y V, z V ) come vertice, e sia P una matrice ortogonale speciale che diagonalizza A. Allora X = P X + x V y V zv è un cambio di coordinate che riporta σ in forma canonica. Proposizione 14 Sia σ un cilindro ellittico o iperbolico, e sia C(x C, y C, z C ) il centro di una conica direttrice del cilindro. Allora X = P X + x C yc è un cambio di coordinate che riporta σ in forma canonica. zc 8

9 7. Vertice del paraboloide. Sia V (0) il piano per l origine ortogonale all autospazio relativo all autovalore nullo di A. Tale piano interseca σ lungo una conica a centro: sia γ = σ V (0) tale conica. Sia C il cilindro avente γ come direttrice e generatrici parallele ad uno degli assi coordinati (ad esempio, l asse x). L equazione di C si calcola eliminando un incognita dal sistema che descrive γ (nell esempio, l incognita x). Sia L l intersezione di C con il piano coordinato opposto (nell esempio, il piano [yz] di equazione x = 0), e sia A il centro di L. La retta parallela all asse scelto passante per A incontra V (0) nel centro B di γ. La retta per B parallela all autospazio V (0) incontra σ nel vertice V. Analogo calcolo permette di ottenere il cambio di coordinate per un cilindro ellittico o iperbolico. 9

10 8. Cilindro parabolico. Sia V (λ) la retta per l origine descritta dall autospazio relativo all unico autovalore non nullo, e siano B 1, B 2 i punti in cui tale retta interseca il cilindro parabolico σ. Sia M il punto medio del segmento di estremi B 1, B 2. Anche se B 1 e B 2 sono punti a coordinate complesse, il loro punto medio M è un punto reale. Sia α il piano parallelo a V (0) passante per M. α interseca σ lungo una retta r. La retta r contiene i vertici delle parabole sezione di σ con piani ortogonali ad r. Sia V un punto di r. Allora X = P X + x V y V zv è un cambio di coordinate che riporta σ in forma canonica, avendo scelto per V (0) una base ortonormale ( v 1, v 2 ) con v 1 r. 10

11 9. Piani tangenti ad una quadrica. Teorema 15 Sia σ una quadrica definita dalla equazione t Y BY = 0 con B matrice simmetrica, e sia A(x A, y A, z A ) un punto di R 3. Sia Y A = t (x A, y A, z A, 1), e supponiamo che t Y A B (0, 0, 0, a). Sia p A il piano definito da p A : t Y A BY = 0. Se A σ allora p A è il piano tangente a σ in A. Se A / σ, allora p A interseca σ nei punti di una conica. I punti della conica sono i punti in cui le rette tangenti a σ per A toccano σ. Osservazione 16 Il piano p A è chiamato piano polare di polo A rispetto a σ. Teorema 17 (di reciprocità ) Sia σ una quadrica. Se B p A allora A p B. 11