I numeri semiprimi e i numeri RSA. come loro sottoinsieme

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1 I numeri semiprimi e i numeri RSA come loro sottoinsieme Francesco Di Noto, Michele Nardelli Abstract In this paper we show some connections between semi-primes numbers and RSA numbers. Riassunto In questo lavoro esamineremo i numeri RSA come sottoinsieme particolare dei numeri semiprimi Cominciamo con la definizione di semiprimo, dalla omonima voce (Numero semiprimo) voce di Wikipedia, per poi arrivare al sottoinsieme dei numeri RSA: In matematica, un semiprimo (chiamato anche biprimo o 2-quasi primo, o numero pq) è un numero naturale che è il prodotto di due (non necessariamente distinti) numeri primi. I primi di tali numeri sono 4, 6, 9, 10, 14, 15, 21, 22, 25, 26,... (Sequenza A dell'oeis). Oggi, il numero semiprimo più grande conosciuto è ( ) 2, ha più di 24 milioni di cifre ed è il quadrato del numero primo più grande conosciuto (il quadrato di ogni numero primo è semiprimo). 1

2 I semiprimi sono molto utili nell'area della crittografia e la teoria dei numeri, in modo particolare nella crittografia a chiave pubblica (usata da RSA) e nei generatori di numeri pseudo-casuali. Questi metodi contano sul fatto che trovare due numeri primi grandi e moltiplicarli è computabilmente facile, mentre trovare i fattori originali è difficile. Nell'RSA Factoring Challenge (sfida di fattorizzazione RSA) la RSA Security offre premi fino a dollari per chi riesca a fattorizzare specifici grandi semiprimi. Intanto diciamo subito che i premi fino a dollari sono stati già ritirati da qualche anno, e ci meraviglia il mancato aggiornamento di questo fatto in questa voce di Wikipedia; come pure la scadenza (2002) del premio di un milione di dollari per la congettura di Goldbach: da omonima voce di Wikipedia: Nel 2000, allo scopo di pubblicizzare il libro Zio Petros e la congettura di Goldbach di Apostolos Doxiadis, l'editore britannico Tony Faber offrì un premio di di dollari per una dimostrazione della congettura. Il premio sarebbe stato assegnato solo per dimostrazioni inviate per la pubblicazione entro aprile 2002, ma mai reclamato. Premesso questo mancato aggiornamento su tali premi ormai inesistenti per vari motivi, vediamo ora i numeri RSA come sottoinsiemi dei numeri semiprimi. Questi, nel loro insieme, includono anche i numeri di 2 e i multipli di 3, non inclusi tra i numeri RSA per la loro facilità di fattorizzazione; e quindi rimangono i multipli dispari (affinché anche i numeri RSA siano dispari)dei numeri primi dal 5 in poi, ma anche questi vanno esclusi per lo stesso motivo; infine, i numeri RSA sono prodotti di due grandi numeri primi, tra loro comparabili, e quindi con basso rapporto r = q/p con r da 1 a 2, al massimo a 2,5. 2

3 Ma i numeri primi con basso rapporto, r 1 per i numeri primi gemelli, per esempio 103/101 = 1,019, sono facilissimi da trovare con l algoritmo di fattorizzazione alla Fermat: basta aggiungere 1 al loro prodotto N =101*103= 10403, estrarre la radice quadrata n e trovare p ed n con P = n - 1 e q = n +1; infatti N +1 = = 10404, n = = 102 e p = =101, q = = 103. Quindi occorre un rapporto maggiore, mediamente fino a 2 (i numeri N- RSA già fattorizzati hanno infatti un rapporto simile); il che si collega alla congettura di Goldbach, poiché tra le coppie di Goldbach una coppia di gemelli è sempre l ultima per molti, ma non tutti, i numeri N multipli di 12, ed il rapporto r = q/p tra i due numeri delle varie coppie scende da (N-3)/3 ad 1 nel caso N fosse multiplo di 12 e con ultima coppia di Goldbach = due numeri gemelli. Quindi i numeri p e q di un numero N -RSA si trovano nella parte bassa della lista delle coppie di Goldbach tali che p + q 2n (2n solo per i gemelli, poi tale somma cresce sempre più). Per esempio, per N = 60, le coppie di Goldbach sono p q p + q = 60 r = q / p , , ,52 3

4 , , ,06 Il punto giusto per scegliere due numeri primi per formare, con il loro prodotto, è quindi nella parte bassa della lista, dove il rapporto è tra 1 e 2. In questo caso, escludendo l ultima coppia poiché è con basso rapporto e per quanto detto prima; sceglieremmo r = 1,60 e quindi i numeri 23 e 37, e il loro prodotto N =23*47 = Il procedimento è lo stesso anche per numeri grandissimi, di centinaia di cifre, anche se il procedimento reale è un altro: si prende un numero primo p grande a piacere, si moltiplica per un rapporto r a piacere, compreso tra 1 e 2, e si prende q il numero primo più vicino a tale prodotto. In questo nostro semplice esempio si può prendere 23, si moltiplica per 1,60 e si ottiene 36,8, il numero primo più vicino è 37, e abbiamo scelto p =23, r = 1,60 e trovato q = 37 Per chi volesse fattorizzare tale numero RSA, dovrebbe cercare p tra i numeri primi fino ad n = 1081 = 32,87, in pratica fino a 32. Non ci sono finora delle scorciatoie veramente valide e utili, ma soltanto degli algoritmi per semplificare e velocizzare un po questo procedimento noto dai tempi di Euclide, Recentemente abbiamo proposto un tentativo in tal senso (Rif 1.) Poiché, 4

5 abbiamo pensato, p è sempre minore ad n (tranne quando è uguale, in tal caso p = n = q e p*q è un quadrato perfetto) allora p è considerabile come una certa percentuale di n, e come indicatore provvisorio di tale percentuale abbiamo pensato alla parte decimale di n, avendo osservato che per i prodotti di due numeri primi gemelli tale parte decimale è molto alta, prossima a 1: per esempio per i due primi gemelli 101 e 103, con prodotto 10403, la radice quadrata è 101,99, e il 99% di 101,99 è 101,99*0,99 = 100, = p. Al salire del rapporto, invece, tale parte decimale non dà risultati buoni come in questo caso, ma portano ad errori massimi di circa il 25% sul valore reale di p. Per esempio, per il numero = 127*229, la radice quadrata è = 170, 53, e 170, 53*0,53 = 90,38; e 90,38/1,7053 = 52,99 % di n; in realtà 127 = 127/1,0753 =74,47% di 170,53, con una differenza del 21,48%; e comunque sarebbe già un buon risultato, poiché il 90,38 è sempre per difetto, e quindi per trovare p = 127 basta partire provando con i numeri primi da 90 in poi, risparmiando il tempo di calcolo occorrente da 3 a 90. e quindi il 90% del tempo di calcolo, trovando p nel restante 21,48 % di calcolo rimanente. In altre parole si eliminano i 24 numeri primi fino a 97 e si cerca p tra i 10 =34-24 numeri primi successivi, essendo 127 il 34 5

6 primo fino a 127 (compreso) Per i veri numeri RSA la cosa è un po più lunga, ma la convenienza è comunque apprezzabile Approfondiremo in seguito questa congettura, che abbiamo chiamato brevemente Ipotesi percentuale. Sequenza Oesis A001358, eliminazione dei numeri pari, dei numeri multipli di 3 e di 5, e fattorizzazione dei rimanenti, con rapporti e somme: A Semiprimes (or biprimes): products of two primes. (Formerly M3274 N1323) 4, 6, 9, 10, 14, 15, 21, 22, 25, 26, 33, 34, 35, 38, 39, 46, 49, 51, 55, 57, 58, 62, 65, 69, 74, 77, 82, 85, 86, 87, 91, 93, 94, 95, 106, 111, 115, 118, 119, 121, 122, 123, 129, 133, 134, 141, 142, 143, 145, 146, 155, 158, 159, 161, 166, 169, 177, 178, 183, 185, 187 (list; graph; refs; listen; history; internal format) 974 Rimangono i numeri in nero, piccolissimi numeri RSA, dei quali ne riportiamo i due fattori primi, diversi da 2, 3 e 5, e il rapporto (in blu quelli tipici dei numeri RSA N P Q n q/p p+q 2n ,77 1, ,53 1, ,90 2, ,53 2, gemello 13 gemello 11,95 1, ,68 3, ,67 1,

7 (Notiamo che la media di questi 10 valori di q/p è uguale circa a 1,755 che è uguale a 1,618 * 1,0846 valore quest ultimo molto vicino alla Costante di Legendre che è uguale a 1,08366) Osservazioni: Per i quadrati perfetti (49, 121, 169) ovviamente p = n = q ed r = q/p = n/n = 1, quindi neanche i quadrati perfetti sono utili da utilizzare come numeri RSA. Rimangono però tutti gli altri, ed in modo particolare tutti quelli in cui r = q/p compresi tra 1 e 2, evitando però 1 e numeri leggermente superiori (per es. 1,1, 1,2 ) poiché facilmente rintracciabili con l algoritmo di Fermat, come prima ricordato. Queste osservazioni potrebbero essere utili per ulteriori ricerche sull argomento. La somma p + q = 2n per i quadrati e per i numeri gemelli, per gli altri è leggermente superiore, per es = 30 > 2*12,68 = 25,36. Inoltre, i numeri semiprimi con parte decimale 0,53, come 91 con n = 9,53, e come abbiamo visto per con n = 170,53, e 0,53 corrisponde al 74% di n, possiamo calcolare p con 9,53*0,74 = 7,05 7 valore reale di p, infatti 91 = 7*13: Idem anche per N =133, con n =11,53, e 11,53*0,74 = 8,5 7. Possibile utilità: se notiamo un numero RSA con parte decimale della sua radice quadrata uguale a 0,53, è altamente 7

8 probabile che p sia molto vicino al 74% di n = N, con N = numero RSA, confermando la mostra congettura percentuale, che dobbiamo però ancora dimostrare e possibilmente anche perfezionare. Conclusioni Poiché i numeri RSA sono dei numeri semiprimi molto grandi, si possono studiare meglio usando numeri semiprimi molto piccoli, come più facilmente fatto in questo lavoro. I nostri risultati, infatti, possono essere applicati anche ai numeri RSA veri e propri, e dunque grandissimi. Per esempio, l ultima osservazione sulla corrispondenza tra la parte decimale 0,53 e la percentuale 74% di n che darebbe un valore di p molto vicina a quello reale. Molto probabilmente, a parti decimali vicine (per esempio 0,50, 0,55), corrisponderebbero percentuali vicine al 74% Lo vedremo in futuro con eventuali ulteriori ricerche. Riferimenti 1) Ipotesi Percentuale, sul sito nardelli.xoom.it/virgiliowizard/sites/default/files/sp_wizard/docs/ipotesi percentuale.pdf 8