Corso di Laurea in Ingegneria Informatica e Automatica (A-O) Università di Roma La Sapienza

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Bonaventura Perri
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1 Corso di Laurea in Ingegneria Informatica e Automatica (A-O) Università di Roma La Sapienza CALCOLO DELLE PROBABILITÀ E STATISTICA ESAME DEL 28/05/2015 NOME: COGNOME: MATRICOLA: Esercizio 1 Nel gico del Lotto ad ogni estrazione settimanale cinque numeri sono estratti simultaneamente da un urna che contiene 90 palline numerate da 1 a 90. a) Calcolare la probabilitá che un numero prefissato (ad esempio il 22) esca in una estrazione settimanale. b) Calcolare la probabilitá che dopo 100 estrazioni il 22 non sia ancora uscito. c) Sapendo che nelle prime 100 estrazioni il 22 non é ancora uscito, calcolare la probabilitá che esca alla 101-esima. d) Calcolare la probabilitá che il 22 esca almeno una volta nelle prime 100 estrazioni. N.B. tutti i passaggi devono essere opportunamente giustificati Soluzione: a) Indichiamo con A l evento esce il 22 ; essendo tutti i possibili gruppi di 5 palline equiprobabili possiamo utilizzare la formula casi favorevoli su casi possibili P (A) = ( 89 4 ( 90 5 ) ) = 1/18 b) Indichiamo con A i l evento esce il 22 all i-esima estrazione, allora la probabilitá dell evento richiesta é: P ( 100 ) 100 Ā i = P (Āi) = ( ) avendo sfruttato l ipotesi di indipendenza tra diverse estrazioni settimanali. c) P ( A ) Ā i = P ( ) Ā 1 Ā2 A 100 A 101 ) = P (A 101 ) = 1/18 P ( 100 Āi avendo sfruttato l ipotesi di indipendenza tra diverse estrazioni settimanali. d) La probabilitá richiesta é la complementare di quella calcolata al punto b). Oppure si puó ottenere definendo X come una variabile aleatoria che conta numero di successi su 100 prove dove ad ogni prova la probabilitá di successo é 1/18, allora la probabilitá richiesta é P (X 1) = 1 P (X = 0) = 1 ( )

a) Calcolare la probabilitá che un numero prefissato (ad esempio il 22) esca in una estrazione settimanale. b) Calcolare la probabilitá che dopo 100 estrazioni il 22 non sia ancora uscito.

2 2 CALCOLO DELLE PROBABILITÀ E STATISTICA ESAME DEL 28/05/2015

3 CALCOLO DELLE PROBABILITÀ E STATISTICA ESAME DEL 28/05/ Esercizio 2 Sia X una variabile casuale continua la cui densitá di probabilitá é f X (x) = a) Determinare la funzione di ripartizione della X. { λ3 λ x (λ+1) x > 3 b) Dimostare che la variabile casuale Y = ln(x/3) ha distribuzione esponziale di parametro λ N.B. tutti i passaggi devono essere opportunamente giustificati Soluzione: a) b) F X (x) = { x { 3 λ3λ s (λ+1) ds x > 3 1 (3/x) = λ x > 3 valutiamo prima la funzione di ripartizione della Y F Y (y) = { P (ln(x/3) < y) y > 0 = { FX (3e y ) y > 0 = { 1 e λy y > 0 da cui derivando si ottiene la funzione densitá di probabilitá di una esponenziale di parametro λ f X (x) = { λe λy y > 0

tutti i passaggi devono essere opportunamente giustificati Soluzione: a) b) F X (x) = { x { 3 λ3λ s (λ+1) ds x > 3 1 (3/x) = λ x > 3 valutiamo prima la funzione di

4 4 CALCOLO DELLE PROBABILITÀ E STATISTICA ESAME DEL 28/05/2015 Esercizio 3 Il processo di riempimento delle confezioni di biscotti di un azienda non é perfetto: il peso dichiarato é 500 g, ma é plausibile che vi siano confezioni con un peso superiore e altre con un peso inferiore. Un associazione per la tutela del consumatore vuole verificare se il macchinario che riempe le confezioni é veramente tarato su 500 g oppure é tarato su un peso inferiore. Viene selezionato casualmente un campione di 40 confezioni, e ne viene pesato il contenuto; indicando con X il peso in grammi di una confezione, si osserva 40 x i = x 2 i = a) Ipotizzando la normalitá distributiva della variabile aleatoria X, si puó affermare, ad un livello di significativitá dell 1 %, che il macchinario é tarato su un peso inferiore? (si tenga conto che t 0.01,39=2.426 ) N.B. tutti i passaggi devono essere opportunamente giustificati Soluzione: La popolazione X N(µ, σ 2 ) con parametri entrambe incogniti e dobbiamo testare l ipotesi H 0 : µ = 500 H 1 : µ < 500 eseguiamo il test ad una coda per µ con σ incognito, per il quale la statistica da usare é X µ 0 S/ n T 39 Dai dati si ricava X = 496 e S 2 = 1 n n x2 i X 2 = 13.18, per cui il valore osservato t = 6.98 cade nella regione di rifiuto {t : t < 2.426}, perció l ipotesi nulla é da rifiutare.

Un associazione per la tutela del consumatore vuole verificare se il macchinario che riempe le confezioni é veramente tarato su 500 g oppure é tarato su un peso inferiore.

5 CALCOLO DELLE PROBABILITÀ E STATISTICA ESAME DEL 28/05/ Domanda 1 Si enunci e si dimostri la formula alternativa per il calcolo della varianza

6 6 CALCOLO DELLE PROBABILITÀ E STATISTICA ESAME DEL 28/05/2015 Domanda 2 Si scriva la funzione massa di probabilitá di una Binomiale descrivendo chi sono i suoi parametri.

7 CALCOLO DELLE PROBABILITÀ E STATISTICA ESAME DEL 28/05/ Domanda 3 Si definisca il p-dei-dati; inoltre nel caso dell esercizio 3) per esso si scriva la formula.

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