Complementi di Termologia. III parte

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1 Prof. Michele Giugliano (Dicembre 00) Comlementi di Termologia. III arte N Lavoro nelle trasformazioni. In generale se un gas, soggetto ad una variazione della ressione, varia il volume, esso comie un lavoro L sull ambiente esterno. Si ricordi, ad esemio, il sistema termodinamico costituito da un cilindro contenente un gas ideale e chiuso, sueriormente, da un istone a erfetta tenuta; il lavoro è dovuto ad una qualunque trasformazione del gas che comorti una variazione del suo volume. Tale lavoro in generale si uò calcolare mediante l'integrale definito: d essendo e i valori del volume allo stato iniziale e a quello finale della trasformazione. Dal unto di vista geometrico, tale lavoro è raresentato dall'area della suerficie (traezoide) situata al di sotto della curva di trasformazione del gas, nel iano (, ), comresa fra l'asse delle ascisse () e le arallele all'asse delle ordinate () assanti er i unti estremi P e P della curva di trasformazione (avente equazione del tio f() ). Segno del lavoro. Il lavoro si considera ositivo o negativo, a seconda che durante la trasformazione il volume del gas aumenti (allora è L > 0) o diminuisca (L < 0). Per illustrare meglio la trasformazione si usa indicare con una freccia il senso di ercorrenza, dallo stato iniziale verso quello finale, sulla curva di trasformazione (grafico della legge, nel iano ).

2 In ratica, se il verso di ercorrenza sulla curva è diretto verso destra (risetto agli assi di riferimento), allora il lavoro è ositivo; se è diretto verso sinistra sarànegativo. Nella figura recedente, il lavoro eseguito dal gas (sull'ambiente) è ositivo, erché il verso di ercorrenza del grafico, relativo alla trasformazione, è diretto verso destra e, quindi, determina un aumento del volume. 3.. Casi articolari di trasformazione (calcolo del lavoro). A) Trasformazione isobara (o isobarica), ossia a ressione costante. Equazione della trasformazione: costante. Può avvenire er aumento di volume ( > : esansione isobarica) o er diminuzione di volume ( < : comressione isobarica). In questo caso, il calcolo del lavoro è semlificato. Basta osservare la figura er accorgersi che il traezoide considerato è un rettangolo di base -, ed altezza Calcolo del lavoro: L D ( - ) (Trasformazione isobarica) B) Trasformazione isoterma (o isotermica). Equazione della trasformazione costante. Il grafico, nel iano (,) è quello di un arco d'ierbole equilatera riferita agli asintoti (giàdisegnato rima). Calcolo del lavoro. Mediante il calcolo integrale, facilmente si trova che: L nrt log (Trasform. isoterma) con ovvio significato delle lettere, ove il logaritmo è quello in base e (ossia è il logaritmo naturale o neeriano).

3 C) Trasformazione isovolumica. Equazione della trasformazione costante ( ). Il grafico, nel iano (, ), è un segmento arallelo all'asse delle ordinate. Calcolo del lavoro. L 0 (Trasformazione isovolumica) Calcolo di DU. Calcoliamo anche la variazione dell'energia interna DU del sistema termodinamico. Alicando il rimo rinciio della Termodinamica (con Q ed L esressi in joule) si ha subito (essendo L 0) Q - L DU Q DU Ricordando ora l'equazione fondamentale della Calorimetria, e tenuto conto che il volume del gas è costante, segue: DU Q c v mdt c v m(t - T ) erché, in questo caso, tutto il calore assorbito dalla trasformazione va ad incrementare l'energia interna del sistema. OSSERAZIONE. La recedente formula è valida anche er quelle trasformazioni il cui volume non sia costante. Naturalmente, se la ressione è costante, si deve adoerare c. D) Trasformazione adiabatica (ossia senza scambio di calore con l'ambiente esterno: Q 0). Equazione della trasformazione (di Poisson): g costante ((Trasformazione adiabatica) 3

4 con γ c c v La formula uò essere esressa anche mediante T (in gradi kelvin) e : T γ costante Infatti, sostituendo, nella formula g, il valore di nrt, ricavato dall equazione di Clae- yron er i gas ideali (valida er n moli di gas), si ottiene: da cui segue che nrt nrt g g g- costan te T g- costante nr ancora costante La legge uò, infine, essere esressa anche così: e anche: T g- T g- Ł ł g- T T Da quest ultima formula segue che: a) < T > T e b) > T < T In arole: a) Se il gas subisce una comressione adiabatica ( < ) la temeratura T aumenta (T > T, ossia, il gas si riscalda); in questo caso il lavoro è negativo. b) Se esso subisce una esansione adiabatica ( > ) la temeratura diminuisce (T < T, il gas si raffredda); in questo caso il lavoro è ositivo. Calcolo del lavoro (er una trasformazione adiabatica). Tenuto conto che Q 0 la rima legge della Termodinamica fornisce DU -L; quindi L U. 4

5 Inoltre, oiché la formula DU c v mdt, vista er le trasformazioni isovolumiche, è valida anche er le altre trasformazioni (quindi anche er le adiabatiche), segue Calcolo di DU. L -DU -c v mdt Per quanto visto rima: DU c v mdt Nota. Si dimostra, inoltre, che se il gas in esame è un gas ideale, allora l'energia interna U del sistema diende solo dalla sua temeratura assoluta T (e non anche dal volume ). Quindi se due gas subiscono trasformazioni aventi stessi stato iniziale e finale, essi avranno anche uguali energie interne e quindi subiranno uguali variazioni di energia interna ( U U ). E) Trasformazione ciclica. In una trasformazione ciclica lo stato finale coincide con quello iniziale. E' facile dimostrare che il lavoro eseguito in tale trasformazione è geometricamente raresentato dall'area del ciclo, ossia dall'area della suerficie racchiusa dalla curva di trasformazione; inoltre tale lavoro è ositivo se il verso di ercorrenza della trasformazione (quello che va dallo stato iniziale a quello finale) è quello orario, è negativo se il verso è quello antiorario. Nella figura, il lavoro è negativo. Per la dimostrazione si rinvia alla siegazione fornita durante le lezioni. F) Grafici delle trasformazioni nel iano t. Se raresentiamo le trasformazioni nel iano T, ossia si riorta sull'asse delle ascisse la temeratura t, anziché il volume, e sull'asse delle ordinate ancora, si ottengono curve utili er alcuni imortanti studi. Un esemio si ha nel diagramma di stato dell'acqua nel iano t (con unto trilo), che vedremo iù avanti. 5