Allargamento di riga

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1 Allargamento di riga Le linee spettrali hanno un allargamento in frequenza (larghezza spettrale di riga). Le forme delle curve sono descritte da una funzione di forma di riga g( ) che fornisce anche la probabilità del processo. Per cui possiamo definire g( )d come la probabilità che una transizione tra due livelli (emissione o assorbimento) produca o assorba un fotone di frequenza tra e +d. Con g( ) normalizzata: Quindi un fotone di energia h potrà stimolare l emissione di un fotone di energia tra h eh( +d ).

2 Si può dimostrare che quando un fascio di luce monocromatica s interagisce con un gruppo di atomi con funzione di riga g( ), il coefficiente di guadagno per piccoli segnali può essere scritto come: La forma della funzione di riga g( ) dipende dal meccanismo responsabile dell allargamento spettrale nella transizione specifica. I più diffusi tipi di meccanismo sono: Allargamento Doppler Allargamento di pressione (o collisione) Smorzamento naturale (tempo di vita)

3 Doppler broadening Effetto Doppler è dovuto a moto relativo tra osservatore e sorgente. Frequenza misurata dall osservatore aumenta se c è avvicinamento e diminuisce se c è allontanamento tra sorgente e osservatore. Quindi se si ha un sistema di atomi che emettono a frequenza 12 la frequenza osservata sarà: con v x componente della velocità lungo la direzione di osservazione. Poiché gli atomi sono in movimento random si misurerà un range di frequenze. Per cui si avrà un allargamento della riga di emissione. Poiché v x dipende da T come : si ha che la larghezza a metà altezza della curva è proporzionale a (T) 1/2. L allargamento Doppler è il meccanismo principale di allargamento di banda per i laser a gas.

4 Collision broadening Questo tipo di allargamento è diffuso nei laser aventi come mezzi attivi isolanti drogati. In questo caso gli ioni possono subire collisioni con i fononi. Se un atomo che sta emettendo fotoni subisce una collisione la fase del treno di onde associate con il fotone subirà delle modifiche con conseguente allargamento della linea spettrale. L effetto di allargamento aumenta con l aumentare della temperatura e della pressione poiché il numero medio delle collisioni aumenta.

5 Natural damping L emissione di energia sotto forma di un fotone produce un decadimento esponenziale dell ampiezza del treno di onde provenienti dall atomo diseccitato. Allo stesso modo del collision broadening si ha un accorciamento dei treni d onda e quindi un allargamento della linea spettrale Ampiezza di x(t) diminuisce e quindi la frequenza della radiazione emessa non è più monocromatica Uno stato con tempo di vita breve possiede una grande incertezza in energia e quindi una larga banda di emission.

6 Allargamenti di riga Esistono fenomeni di allargamento omogeneo e disomogeneo. Se tutti gli atomi hanno la stessa frequenza centrale e la stessa forma di riga di risonanza allora l allargamento si dice omogeneo (come nel caso di collision broadening). Se invece ogni atomo ha una frequenza di risonanza leggermente diversa per la stessa transizione la forma di riga osservata sarà una media delle singole transizioni e il meccanismo si dice allargamento disomogeneo (come nel caso di Doppler broadening). Variazioni di temperatura, pressione, imperfezioni, ecc. provocano allargamenti disomogenei delle righe di assorbimento ed emissione.

7 Meccanismi di allargamento omogeneo producono forme di riga di tipo Lorentziano: con larghezza di riga e 0 frequenza del massimo Se = 0 si ha: Nel caso di allargamento disomogeneo la distribuzione di frequenza sarà di tipo Gaussiano: Se = 0 si ha: Sia nel caso lorentziano che gaussiano possiamo approssimare le forme come:

8 Gaussian: picco più alto Lorentzian: ali laterali più intense

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10 A causa degli allargamenti di riga si deve considerare non una frequenza singola di assorbimento o emissione, ma una frequenza centrale con frequenze intorno a quella centrale. Nel caso di emissione laser invece si avrà un assottigliamento di riga dovuto all effetto di risuonatore ottico e al processo di amplificazione dell irradianza. L irradianza ha la forma: dove k( ) dipende da g( ) e quindi si ha una dipendenza esponenziale di I da g( ) che porta ad un assottigliamento della riga poiché I (, x) sarà molto più alta nel centro che sulle code rispetto alla forma di linea atomica. Questo effetto si dice assottigliamento spettrale.

11 Interazioni tra radiazione e livelli con larghezze di riga finite Consideriamo transizioni a frequenze tra e +d, che la popolazione per unità di volume dello stato fondamentale che può assorbire la radiazione in quel range di frequenze sia dn 1 ( ) e quella dello stato eccitato che può generare emissione stimolata sia dn 2 ( ). Il numero di transizioni (assorbimento e emissione stimolata) sarà proporzionale alla densità di radiazione : Si ha quindi: Numero transizione in abs Numero transizione in emi. sti. Anche l emissione spontanea contribuirà. Tutti gli atomi eccitati possono causare emissione tra e +d e quindi la probabilità che ciò avvenga è proporzionale a con g( ) funzione forma di riga. Contributo emissione spontanea. All equilibrio termico:

12 Integrando sulla larghezza della riga di emissione (considerando coefficienti costanti e densità di radiazione costante nell intervallo di frequenze): Considerando che:

13 Si ottiene: Cambiando 0 con senza perdere generalità si ha: esattamente come la relazione da cui eravamo partiti per trovare i coefficienti di Einstein. Se consideriamo che il fascio e le transizione atomiche hanno larghezze in frequenza finite. (nel caso specifico la larghezza in frequenza del fascio è più stretta di quella relativa alla transizione).

14 g( )d dà la probabilità che un atomo assorba o emetta radiazione in quel range di frequenze per cui il numero di atomi per unità di volume che possono assorbire radiazione sarà: In presenza di radiazione il numero di transizioni di abs per secondo e unità di volume è: Integrando sulle frequenze del fascio incidente, si ottiene R 12 che è il numero totale di transizioni di abs: Poiché la larghezza di riga si assume stretta comparata rispetto alla larghezza delle transizioni atomiche g( ) si può portare fuori dall integrale: L integrale ci da tutta la densità di radiazione del fascio B e quindi:

15 per abs e analogamente per emissione stimolata Per cui ora possiamo scrivere il rate totale di perdita di fotoni per unità di volume per un fascio che attraversa uno strato di materiale di larghezza x e area unitaria: Che può essere riscritta: E di nuovo senza perdere generalità:

16 Questa espressione è identica a quella trovata per l assorbimento in precedenza a meno del termine che ci indica che le transizioni possono avvenire con una larghezza spettrale finita. Considerando ciò si possono scrivere anche le espressioni generali per il coefficiente di assorbimento: E per il coefficiente di guadagno per piccoli segnali (nel caso di inversione di popolazione):

17 Inversione di popolazione e condizioni di soglia Partiamo dall espressione del coefficiente di guadagno per piccoli segnali per calcolare l inversione di popolazione richiesta per raggiungere la soglia dell emissione laser. e quindi Alla soglia si ha: con k th dato da: Usando l espressione di B 21 : eilfattochea 21 è proporzionale all inverso del tempo di vita di radiazione 21 si ha:

18 Che è l espressione della soglia dell inversione di popolazione. La soglia di emissione laser sarà raggiunta velocemente nel caso in cui g( s ) è massimo, ossia quando s = 0 che corrisponde al centro della larghezza di linea. Allora potremo sostituire g( s ) con 1/ : Calcoliamo ora la potenza di soglia. Si devono scrivere le rate equations del sistema che descrivono come cambiano le popolazioni dei livelli energetici coinvolti in termini di emissione, assorbimento e pompaggio. Consideriamo un sistema ideale a quattro livelli. Si assume che E 1 >>kt in modo da trascurare la popolazione termica nel livello 1. Inoltre assumiamo che N th sia molto piccola rispetto a quella dello stato fondamentale così che lo stato fondamentale non è alterato dall emissione laser.

19 Se consideriamo che R 2 e R 1 sono i rate con cui gli atomi sono pompati nel livello 2 e 1, possiamo scrivere le rate equations (assumendo g 1 =g 2 e quindi B 12 =B 21 ) come:

20 R 1 rate con cui si popola lo stato 1 è dannoso per l emissione laser (riduce l inversione di popolazione) ma è inevitabile. Nel caso di laser a gas pompati con scarica elettrica comunque possiamo ignorarlo. Inoltre allo stato stazionario si ha che la variazione delle popolazioni rispetto al tempo sia nullo dn 2 /dt = dn 1 /dt = 0. Sostituendo e risolvendo si ottiene: e quindi: Se il numeratore è negativo non ci sarà inversione di popolazione. La condizione A 21 <A 10 corrisponde a dire 10 < 21, ovverosia che il livello più alto ha un tempo di vita maggiore di quello più basso. Nella maggior parte dei laser è verificata la condizione 10 << 21 e quindi (1-A 21 /A 10 ) 1.

21 Al di sotto della soglia possiamo trascurare poiché l emissione laser ancora non è cominciata e si ha per lo più emissione spontanea. In questo caso si ha: Quindi un aumento lineare dell inversione di popolazione con il pompaggio (R 2 ), che però è insufficiente ad innescare l emissione laser. Alla soglia è ancora piccolo e assumendo g 1 =g 2 possiamo scrivere l inversione di popolazione alla soglia in funzione del rate di pompaggio di soglia: Inserendo l approssimazione: Si arriva a: o

22 Ogni atomo che arriva nello stato 2 richiede una energia E 3 per cui la potenza di pompaggio di soglia per unità di volume è: Se si sostituisce l espressione di N th : e quindi: In questo caso il guadagno dovuto all inversione di popolazione è esattamente uguale alle perdite della cavità. Un ulteriore aumento dell inversione di popolazione non è possibile nello stato stazionario poiché altrimenti nella cavità si avrebbe un aumento di energia nel tempo in contraddizione con l assunzione di stato stazionario. Questo è il fenomeno della saturazione di guadagno. Quindi il valore [N 2 (g 2 /g 1 )N 1 ] deve rimanere uguale a N th indipendentemente dalla quantità di energia in eccesso rispetto alla soglia di pompaggio. Questo è possibile grazie al termine B 21 a denominatore che può aumentare una volta che R 2 aumenta il suo valore sopra la soglia.

23 In queste condizioni si ha: Combinando questa espressione con: si ha: e quindi: Poichè la potenza di uscita W del laser è direttamente proporzionale alla densità di potenza ottica dentro la cavità e poiché il rate di pompaggio nel livello 2 (R 2 ) è proporzionale alla potenza fornita al laser si ha: con W 0 costante.

24 Per cui se il pompaggio è aumentato al di sopra del valore P th la potenza di uscita aumenterà linearmente con il rate di pompaggio. L emissione spontanea continuerà ad essere presente ma è estremamente più debole dell emissione laser e inoltre avrà uno spread in frequenza maggiore della radiazione laser.