Regimi finanziari: interesse semplice. S. Corsaro Matematica Finanziaria a.a. 2007/08 1

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Clemente Martinelli
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1 Regimi finanziari: interesse semplice S. Corsaro Matematica Finanziaria a.a. 2007/08 1

2 Legge finanziaria TASSO PERIODALE tasso riferito all unità di tempo interesse i(1), oppure sconto d(1) REGIME FINANZIARIO formula che restituisce il montante a scadenza di 1 euro in dipendenza dal tasso periodale e dalla durata dell investimento LEGGE FINANZIARIA ogni qualvolta si definisce il tasso periodale in un fissato regime, si individua una legge finanziaria S. Corsaro Matematica Finanziaria a.a. 2007/08 2

periodale e dalla durata dell investimento LEGGE FINANZIARIA ogni qualvolta si definisce il tasso

3 Regime dell interesse semplice (sconto razionale) IPOTESI L interesse maturato fino al tempo t è proporzionale al capitale iniziale ed al tempo trascorso dall inizio dell operazione, secondo un fattore di proporzionalità pari al tasso periodale di interesse. It () = C it Tasso periodale S. Corsaro Matematica Finanziaria a.a. 2007/08 3

dell operazione, secondo un fattore di proporzionalità pari al tasso periodale di

4 Regime dell interesse semplice (cont.) it () = i t formazione del montante Mt ( ) = C + I( t) = C + Cit = C(1 + it) capitalizzazione semplice rt () = 1+ i t 1 ν () t = 1 + it = ν = it dt () 1 () t 1 + it S. Corsaro Matematica Finanziaria a.a. 2007/08 4

5 Grafici del montante e dell interesse M = Cit + C I = Cit Ci coefficiente angolare di entrambe le rette parallele All aumentare di i e/o C aumenta la pendenza S. Corsaro Matematica Finanziaria a.a. 2007/08 5

6 Proprietà dell interesse I=Cit è funzione lineare del capitale, della durata dell investimento e del tasso periodale di interesse I(, i C1+ C2,) t = i( C1+ C2) t = = ic t + ic t = IiC (, 1,) t+ IiC (, 2,) t IiCt (,, 1+ t2) = ict ( 1+ t2) = = ict + ict = IiCt (,, 1) + IiCt (,, 2) Ii ( + i, Ct, ) = ( i+ i) Ct= = ict+ ict= I( i, C, t) + I( i, C, t) S. Corsaro Matematica Finanziaria a.a. 2007/08 6

t IiCt (,, 1+ t2) = ict ( 1+ t2) = = ict + ict = IiCt (,, 1) + IiCt (,, 2) Ii ( + i, Ct, ) = ( i+ i) Ct=

7 Proprietà dell interesse In generale: IikCt (,,) = kiict (,,) IiCkt (,, ) = kiict (,,) IkiCt (,,) = kiict (,,) IiCkt (,, ) = C(1 + kit) anche se l investimento ha durata maggiore di un periodo, l interesse è proporzionale al capitale investito inizialmente S. Corsaro Matematica Finanziaria a.a. 2007/08 7

investimento ha durata maggiore di un periodo, l interesse è proporzionale

8 Esempio L interesse prodotto dal tasso del 9,85% può ottenersi come somma di quello prodotto dal tasso del 9% e di quello prodotto dal tasso dello 0,85% S. Corsaro Matematica Finanziaria a.a. 2007/08 8

9 Tassi equivalenti TASSI EQUIVALENTI tassi periodali che descrivono la stessa legge, con riferimento a diverse unità di misura del tempo applicati allo stesso capitale per la stessa durata fruttano lo stesso interesse S. Corsaro Matematica Finanziaria a.a. 2007/08 9

tempo applicati allo stesso capitale per la stessa durata fruttano

10 Tassi equivalenti (cont.) ta tempo in anni i ( t ) = i t i i (1) a a a a 1 semestre = 0,5 anni i = i (0,5) = 0,5i s a a a = a Tasso annuo di interesse S. Corsaro Matematica Finanziaria a.a. 2007/08 10

11 Tassi equivalenti (cont.) tm tempo in mesi i ( t ) = i t i i (1) m m m m m = m Tasso mensile di interesse 1 semestre = 6 mesi i = i (6) = 6i s m m i m = 1 6 i s = i = 1 a 12 ia S. Corsaro Matematica Finanziaria a.a. 2007/08 11

12 Tassi equivalenti (cont.) C(1 + i ) = C(1 + i 12) a m 1+ i = 1+ i 12 a m i i a m = i 12 = i m a 1 12 S. Corsaro Matematica Finanziaria a.a. 2007/08 12

13 Tassi equivalenti (cont.) In generale: se h è un numero reale positivo qualunque, il tasso periodale i h riferito al periodo h anni è collegato a quello annuo i a dalla relazione: i = i ( h) = hi h a a S. Corsaro Matematica Finanziaria a.a. 2007/08 13

14 Esempio Calcolare il tasso bimestrale i bm equivalente, nel regime dell interesse semplice, al 12% annuo % = = 0, i a = 1 bimestre = anno = 0, anno 0,12 1 ibm i = a = ia (0, ) = 0,12 = = = 2% S. Corsaro Matematica Finanziaria a.a. 2007/08 14

12 12% = = 0,12 100 1 6 i a = 1 bimestre = anno = 0,16666667 anno 0,12 1

15 Osservazione L interesse prodotto da 1 euro impiegato per un anno al tasso del 2% bimestrale ammonta a 1 0,02 6= 0,12 ed uguaglia quello prodotto se l impiego avviene per lo stesso periodo al 12% annuo S. Corsaro Matematica Finanziaria a.a. 2007/08 15

uguaglia quello prodotto se l impiego avviene per lo stesso

16 Esempio Calcolare l interesse I prodotto da un capitale C= impiegato per 7 anni in regime di capitalizzazione semplice al tasso quadrimestrale del 6%. Tasso e tempo devono essere riferiti alla stessa unità temporale 1 anno = 3 quadrimestri 7 anni = 7 3 quadrimestri Quindi I = Cit = , = S. Corsaro Matematica Finanziaria a.a. 2007/08 16

6%. Tasso e tempo devono essere riferiti alla stessa unità temporale 1 anno = 3

17 Esempio Calcolare l interesse I ed il montante M prodotto da un capitale C= impiegato per 2 anni e 5 mesi in regime di capitalizzazione semplice al tasso semestrale del 3%. Esprimiamo il tempo in semestri Quindi 1 anno = 2 semestri 2 anni = 4 semestri I = Cit = , = M = C+ I = = mesi semestri S. Corsaro Matematica Finanziaria a.a. 2007/08 17

Esprimiamo il tempo in semestri Quindi 1 anno = 2 semestri 2 anni = 4 semestri 5 6 5 I = Cit = 100.

18 Esempio Calcolare il tasso di interesse mensile al quale è stato impiegato in regime di capitalizzazione semplice un capitale C= se ha generato in 7 mesi un montante M= L interesse è dato da I = M C = = Dalla relazione I=Cit si ricava il tasso mensile richiesto i I = = = 0, 0025 = 0, 25% Ct S. Corsaro Matematica Finanziaria a.a. 2007/08 18

L interesse è dato da I = M C = 203.500 200.000 = 3.

19 Esempio Un capitale C= , impiegato in regime di capitalizzazione semplice al tasso del 3,25% semestrale, ha generato un interesse I = Calcolare la durata di impiego. Dalla relazione I=Cit si trae t I = = = Ci ,0325 2, semestri + 0,9807 semestri x = 6 0,9807 frazione di semestre in termini di mesi x=5,8442 mesi=5 mesi+0,8442 mesi S. Corsaro Matematica Finanziaria a.a. 2007/08 19

interesse I =23.250. Calcolare la durata di impiego. Dalla relazione I=Cit si trae t I 23.

20 Esempio x = 30 0,8442 frazione di mese in termini di giorni x=25,326 giorni = 26 giorni Corrispondente a 2 semestri 5 mesi 26 giorni S. Corsaro Matematica Finanziaria a.a. 2007/08 20

21 Tasso di sconto e fattore di anticipazione it () it dt () = = i 1 + it ( ) 1+ it d dt t dt () = 1 d = 1 d dt = d 1 d + dt 1+ t 1 + ( t 1) d 1 d 1 d S. Corsaro Matematica Finanziaria a.a. 2007/08 21

22 Tasso di sconto e fattore di anticipazione it () it dt dt () = = = 1 + it ( ) 1+ it 1 + ( t 1) d SCONTO Kdt Kit Dt () = Kdt () = = 1 + ( t 1) d 1+ it VALORE ATTUALE K(1 d) K PK ( ) = K Dt ( ) = K(1 dt ( )) = = 1 + ( t 1) d 1+ it S. Corsaro Matematica Finanziaria a.a. 2007/08 22

23 Tasso di sconto e fattore di anticipazione (cont.) Al crescere del tasso di interesse, la curvatura degli archi aumenta S. Corsaro Matematica Finanziaria a.a. 2007/08 23

24 Esempio Calcolare nel regime dell interesse semplice i tassi annuo e semestrale di sconto equivalenti al tasso annuo di interesse del 13,4%. ia (1) 0,134 da = da(1) = = 0,1181 = 11,81% 1 + i (1) 1,134 a Per quello semestrale, essendo i a (0,5)=0,134 0,5 0,067 d equivalentemente: s ia (0,5) = da(0,5) = 0,0628 = 6,28% 1 + i (0,5) a d s da 0,5 = da(0,5) = 0,0628 = 6, 28% 1 + (0,5 1) d a S. Corsaro Matematica Finanziaria a.a. 2007/08 24

25 Esempio Calcolare lo sconto e il valore attuale di un capitale a scadenza K= da anticipare di 4 mesi in regime di capitalizzazione semplice al tasso annuo di interesse del 13,4%. d a = 11,81% Quindi D Kdt ,1181 ( 4 12) = = = 1 + ( t 1) d 1+ 0, ( ) P = K D= ,91 = 9.573,09 Oppure: = P[ 1+ 0, ] 426,91 S. Corsaro Matematica Finanziaria a.a. 2007/08 25

26 Alcune convenzioni Anno civile Anno commerciale 365 giorni 360 giorni mesi di 30 giorni Più vantaggioso per l investitore ia ia < S. Corsaro Matematica Finanziaria a.a. 2007/08 26

27 Capitalizzazione dell interesse C Gli interessi vengano riscossi ed investiti C = 1 M = 1+ is con s durata complessiva Consideriamo t 1 < s, incassiamo in t 1 M=1+it 1 e reinvestiamolo in s avremo: = 1+ it M = (1 + it ) 1 [ 1 + ( s t ) 1 i] 1 = 1 + it + is it + t ( s t ) i ( 1) 1 + is + t s t i > + is 2 = 1 + it + ( s t ) i+ t ( s t ) i = 1 + is + t ( s t ) i conviene capitalizzare l interesse S. Corsaro Matematica Finanziaria a.a. 2007/08 27

28 Capitalizzazione dell interesse 1 it + ( i+ it) s ( 1) i+ i t > i 1 it + ( i+ it) t is velocità di crescita più elevata 1+it 1 t 1 s t S. Corsaro Matematica Finanziaria a.a. 2007/08 28

29 Capitalizzazione degli interessi (cont.) Qual è l istante migliore per capitalizzare l interesse? calcolo del massimo della funzione: f ( t ) = t ( s t ) i f ( t) = sit it f '( t ) = si 2i t f '( t ) = 0 t = 1 1 s 2 S. Corsaro Matematica Finanziaria a.a. 2007/08 29

30 Capitalizzazione degli interessi (cont.) S. Corsaro Matematica Finanziaria a.a. 2007/08 30

31 C = 1, T periodo complessivo, i tasso interesse, n sottointervalli n = 1 n = 2 n = 3 1+ it T T T 1+ i 1+ i = 1+ i T T T T 1+ i 1+ i 1+ i = 1+ i n = k 1+ T i k k k T it lim 1+ i = e = exp( it) k k S. Corsaro Matematica Finanziaria a.a. 2007/08 31

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