Esercitazione R.O. 2. Andrea Raiconi A.A

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1 Esercitazione R.O. 2 Andrea Raiconi A.A

2 Esercitazione R.O.2 Formulare per ognuno dei seguenti problemi un modello di programmazione lineare che lo descriva. Implementare i modelli formulati in linguaggio AMPL. Per ogni esercizio, separare il modello dai dati, creando due file di codice distinti (.mod e.dat).

3 Esercizio n.1 - Traccia Una gelateria produce 4 gusti di gelato (G1, G2, G3, G4) ottenuti amalgamando quattro ingredienti di base (Fragole, Limoni, Latte, Zucchero). La seguente tabella riporta per ciascun chilo di gelato prodotto il contenuto di ingredienti di base ed il prezzo di vendita ai consumatori. G1 G2 G3 G4 Fragole Kg/Kg Limoni Kg/Kg Latte lt/kg Zucchero Kg/Kg Prezzo /Kg La gelateria dispone di 5 Kg di fragole, 3 Kg di limoni, 10 lt di latte e 4 Kg di zucchero. Stabilire le quantitá di gelato da produrre per ogni gusto in modo da massimizzare i guadagni.

4 Esercizio n.1 - Modello Variabili e parametri input x i : Kg di gelato al gusto Gi da produrre prezzo i : prezzo al Kg del gelato al gusto Gi compos ij : quantitá di ingrediente j in un Kg di gelato Gi disp i : Kg/lt disponibili di ingrediente i max x i prezzo i (1) i GUSTI soggetto a compos ji x j disp i i INGREDIENTI (2) j GUSTI x i 0 i GUSTI (3) (2):la quantitá disponibile di ogni ingrediente deve essere sufficiente per produrre le quantitá di gelato individuate

5 Esercizio n.1 - File.mod Insiemi, variabili e parametri input set GUSTI; set INGREDIENTI; param prezzo{gusti}>= 0; param compos{gusti,ingredienti}>= 0; param disp{ingredienti}>= 0; var x{gusti}>= 0; maximize Profitto: sum{i in GUSTI} prezzo[i]*x[i]; s.t. vincoli ingredienti {i in INGREDIENTI}: sum {j in GUSTI}x[j]*compos[j,i]<=disp[i];

6 Esercizio n.1 - File.dat set GUSTI:= g1 g2 g3 g4; set INGREDIENTI:= fra lim lat zuc; param prezzo:= g1 11 g2 12 g3 14 g4 13; param compos:= g1 fra 0.4 g1 lim 0 g1 lat 0.5 g1 zuc 0.2 g2 fra 0 g2 lim 0.2 g2 lat 0.4 g2 zuc 0.1 g3 fra 0.5 g3 lim 0 g3 lat 0.45 g3 zuc 0.18 g4 fra 0 g4 lim 0.4 g4 lat 0.4 g4 zuc 0; param disp:= fra 5 lim 3 lat 10 zuc 4;

7 Esercizio n.2 - Traccia Una raffineria acquista petrolio dal Venezuela e dall Arabia Saudita. La raffineria produce benzina per auto, carburante per aerei e lubrificante. I due petroli hanno composizioni diverse e danno prodotti diversi: per ciascun barile di petrolio del Venezuela si ottengono 0.4 barili di benzina, 0.2 di carburante, 0.3 di lubrificante per ciascun barile di petrolio dell Arabia Saudita si ottengono 0.3 barili di benzina, 0.4 di carburante, 0.2 di lubrificante Il petrolio del Venezuela costa 20$ al barile ed ha una disponibilitá massima giornaliera di 6000 barili. Il petrolio dell Arabia Saudita costa 15$ al barile ed ha una disponibilitá massima giornaliera di 9000 barili. Minimizzare i costi di acquisto per soddisfare una necessitá giornaliera di 2000 barili di benzina, 1500 di carburante e 500 di lubrificante.

8 Esercizio n.2 - Modello (1/2) Variabili e parametri input x i : barili da acquistare dal produttore di petrolio i costo i : prezzo al barile per il produttore i disp i : barili disponibili dal produttore i prod ric ij : quantitá di prodotto j ricavato a partire da un barile del produttore i richiesta i : richiesta giornaliera in barili per il prodotto i min x i costo i (4) i PRODUTTORI

9 Esercizio n.2 - Modello(2/2) soggetto a prod ric ji x j richiesta i i PRODOTTI (5) j PRODUTTORI x i disp i i PRODUTTORI (6) x i 0 i PRODUTTORI (7) x i intero i PRODUTTORI (8) (5):le quantitá di petrolio acquistate devono essere sufficienti a coprire la produzione giornaliera richiesta per ogni prodotto (6): Non si possono acquistare piú barili di petrolio di quelli disponibili da ogni paese produttore

10 Esercizio n.2 - File.mod Insiemi, variabili e parametri input set PRODUTTORI; set PRODOTTI; paramprod ric{produttori,prodotti}>= 0; param disp{produttori}>= 0; param costo{produttori}>= 0; param richiesta{prodotti}>= 0; var x{produttori} integer >= 0; minimize Spesa: sum{i in PRODUTTORI} costo[i]*x[i]; s.t. produzione min {i in PRODOTTI}: sum{j in PRODUTTORI} prod ric[j,i]*x[j]>= richiesta[i]; s.t. acquisto max {i in PRODUTTORI}: x[i]<=disp[i];

11 Esercizio n.2 - File.dat set PRODUTTORI:= ve as; set PRODOTTI:= ben car lub; param prod ric:= ve ben 0.4 ve car 0.2 ve lub 0.3 as ben 0.3 as car 0.4 as lub 0.2; param disp:= ve 6000 as 9000; param costo:= ve 20 as 15; param richiesta:= ben 2000 car 1500 lub 500;

12 Esercizio n.3 - Traccia Uno studente ha a disposizione 50 ore di studio per terminare la preparazione degli esami di Ricerca Operativa, Chimica, Calcolo delle Probabilitá, Analisi Matematica e Geometria. La seguente tabella illustra per ogni materia il minimo numero di ore di studio necessario per raggiungere la sufficienza e di quanto aumenta in percentuale la sua preparazione per ogni ora. R.O. Chimica C.P. A.M. Geometria Ore minime Preparazione/Ora 7% 2% 3% 8% 4% Lo studente non vuole dedicare a nessuna materia piú tempo rispetto a quello dedicato a Calcolo delle Probabilitá e non vuole studiare Ricerca Operativa per piú del 30% del tempo speso per Analisi Matematica e Geometria. Massimizzare la sua preparazione.

13 Esercizio n.3 - Modello (1/2) Variabili e parametri input x i : ore di studio per la materia i ore tot: ore di studio totali a disposizione ore richieste i : ore di studio per la sufficienza nella materia i aumento prep i : aumento di preparazione per un ora di studio della materia i soglia: tempo di studio max. per R.O. max x i aumento prep i (9) i MATERIE

14 Esercizio n.3 - Modello(2/2) soggetto a x i ore richieste i i MATERIE (10) x i ore tot (11) i MATERIE x c.p. x i i MATERIE i C.P. (12) x r.o. soglia(x a.m. + x geom ) (13) x i 0 i MATERIE (14) (10):Ogni materia deve essere studiata almeno per il numero di ore richieste (11): Non é possibile studiare per piú ore del tempo massimo a disposizione (12): C.P. materia piú studiata (13): Vincolo sullo studio massimo di R.O.

15 Esercizio n.3 - File.mod (1/2) Insiemi, variabili e parametri input set MATERIE; param ore tot>= 0; param ore richieste{materie}>= 0; param aumento prep{materie}>= 0; param mat max symbolic in MATERIE; param soglia>= 0; param mat 1 symbolic in MATERIE; param mat 2 symbolic in MATERIE; param mat 3 symbolic in MATERIE; var x{materie}>= 0; (C.P.) (R.O.) (A.M.) (Geometria) maximize Preparazione: sum {i in MATERIE} aumento prep[i]*x[i];

16 Esercizio n.3 - File.mod (2/2) s.t. studio min {i in MATERIE}: x[i]>= ore richieste[i]; s.t. tempo max: sum {i in MATERIE} x[i]<=ore tot; s.t. materia max {i in MATERIE : i <> mat max}: x[mat max]>=x[i]; s.t. vincolo soglia: x[mat 1]<=soglia*(x[mat 2]+x[mat 3]);

17 Esercizio n.3 - File.dat set MATERIE:= ro ch cp am ge; param ore tot:= 50; param ore richieste:= ro 7 ch 5 cp 2 am 10 ge 6; param aumento prep:= ro 7 ch 2 cp 3 am 8 ge 4; param mat max:= cp; param soglia:= 0.3; param mat 1:= ro; param mat 2:= am; param mat 3:= ge;

18 Esercizio n.4 - Traccia Una industria produce quattro prodotti (P1,P2,P3,P4) utilizzando tre materie prime (M1,M2,M3) da acquistare. La tabella di sinistra riporta i chili di materia prima necessari per ogni unitá di prodotto insieme alla quantitá massima acquistabile di ciascuna materia in Kg ed il prezzo di acquisto in /Kg. La tabella di destra riporta, per ciascuna unitá di prodotto, il numero di ore di lavorazione necessarie ed il prezzo di vendita in. M1 M2 M3 P P P P Quantitá max Prezzo P1 P2 P3 P4 Ore Prezzo Massimizzare il guadagno netto (vendite - spese) sapendo che il tempo impiegato per la lavorazione di P4 non puó superare il 50% del totale, che un ora di lavorazione costa 50, e che tutto quello che viene prodotto verrá venduto.

19 Esercizio n.4 - Modello (1/2) Variabili e parametri input x i : unitá di prodotto Pi da produrre y i : chili di materia Mi da acquistare chili richiesti ij : chili di Mj richiesti per una unitá di Pi quant max i : massimo numero di chili di Mi acquistabili prezzo chilo i : prezzo al chilo di Mi ore lavoro i : ore di lavorazione per unitá di Pi prezzo vendita i : prezzo di vendita per unitá di Pi prezzo ora: costo di un ora di lavorazione soglia: tempo massimo per P4 max x i prezzo vendita i (15) ( i PRODOTTI y j prezzo chilo j + prezzo ora j MATERIE k PRODOTTI x k ore lavoro k )

20 Esercizio n.4 - Modello(2/2) soggetto a y i x j chili richiesti ji i MATERIE(16) j PRODOTTI y i quant max i i MATERIE (17) x 4 ore lavoro 4 soglia x i ore lavoro i (18) i PRODOTTI x i 0 i PRODOTTI (19) x i intero i PRODOTTI (20) y i 0 i MATERIE (21) (16): Bisogna acquistare sufficiente materia prima per produrre le quantitá di prodotto individuate (17): Non é possibile acquistare piú materia prima della quantitá massima disponibile (18): Vincolo sul tempo di lavorazione massimo per P4

21 Esercizio n.4 - File.mod (1/2) Insiemi, variabili e parametri input set PRODOTTI; set MATERIE; param chili richiesti{prodotti,materie}>= 0; param quant max{materie}>= 0; param prezzo chilo{materie}>= 0; param ore lavoro{prodotti}>= 0; param prezzo vendita{prodotti}>= 0; param prezzo ora>= 0; param soglia>= 0; param prod soglia symbolic in PRODOTTI; var x{prodotti}integer >= 0; var y{materie}>= 0; (P4) maximize Profitto: sum {i in PRODOTTI} prezzo vendita[i]*x[i] - (sum{j in MATERIE} prezzo chilo[j]*y[j] + sum{k in PRODOTTI} prezzo ora*ore lavoro[k]*x[k]);

22 Esercizio n.4 - File.mod (2/2) s.t. materia richiesta {i in MATERIE}: y[i]>=sum {j in PRODOTTI} chili richiesti[j,i]*x[j]; s.t. acquisto massimo {i in MATERIE}: y[i]<=quant max[i]; s.t. vincolo soglia: x[prod soglia]*ore lavoro[prod soglia]<= soglia*(sum i in PRODOTTI x[i]*ore lavoro[i]);

23 Esercizio n.4 - File.dat set PRODOTTI:= p1 p2 p3 p4; set MATERIE:= m1 m2 m3; param chili richiesti:= p1 m1 2 p1 m2 10 p1 m3 4 p2 m1 6 p2 m2 20 p2 m3 3 p3 m1 7 p3 m2 2 p3 m3 20 p4 m1 9 p4 m2 7 p4 m3 10; param quant max:= m m m3 5000; param prezzo chilo:= m1 5 m2 7 m3 10; param ore lavoro:= p1 10 p2 12 p3 20 p4 18; param prezzo vendita:= p p p p4 1800; param prezzo ora:= 50; param soglia:= 0.5; param prod soglia:= p4;

24 Esercizio n.5 - Traccia Una industria produce cibo per animali che é una miscela di tre ingredienti (A,B,C) da acquistare. Il prodotto deve contenere non piú del 25% di A e del 30% di C e non meno del 40% di B. L industria riceve un ordine di 1300 quintali da soddisfare in due mesi; il primo mese ne deve consegnare almeno 500 ricevendo 40 al quintale, il secondo mese almeno 600 ricevendo 45 al quintale. La tabella riporta costo di acquisto in euro al quintale e disponibilitá massima in quintali di ogni ingrediente in ciascun mese. Primo mese Secondo mese costo disp costo disp A B C Ogni mese si possono produrre al piú 800 quintali. Al termine del primo mese é possibile immagazzinare sia mangime che ingredienti al prezzo di 1 al quintale. Pianificare la produzione per i due mesi in modo da massimizzare il guadagno al netto delle spese. Al termine del secondo mese i magazzini devono essere vuoti.

25 Esercizio n.5 - Considerazioni Il mangime é una miscela di ingredienti, puó quindi essere considerato come la somma delle sue parti; ad es. 0.2 quintali di A, 0.5 di B e 0.3 di C danno esattamente 1 quintale di mangime. Al termine del mese 1 é possibile immagazzinare sia mangime che ingredienti, ma al termine del mese 2 i magazzini devono essere vuoti. Questo vuol dire che Gli ingredienti comprati nel mese 1 e non immagazzinati sono usati per creare sia il mangime venduto il mese 1 che quello immagazzinato; Il mangime prodotto nel mese 2 é composto sia dagli ingredienti comprati nel mese 2 che da quelli immagazzinati; Al termine del mese 2 viene venduto sia il mangime prodotto nello stesso mese che quello immagazzinato.

26 Esercizio n.5 - Modello (1/3) Variabili e parametri input x ij : quintali di ingrediente i comprati nel mese j per produrre mangime nel mese j x im i : quintali di ingrediente i immagazzinati y i : quintali di mangime prodotto nel mese i per la vendita nel mese i y im: quintali di mangime immagazzinati soglia max1: quantitá massima di A nel mangime soglia max2: quantitá massima di C nel mangime soglia min: quantitá minima di B nel mangime cons min i : consegna minima da fare per il mese i cons tot: quantitá totale da consegnare nei due mesi prezzo vend i : prezzo di vendita del mangime nel mese i costo ing ij : costo dell ingrediente i nel mese j disp ing ij : disponibilitá max dell ingrediente i nel mese j prod max: produzione massima mensile costo im: costo di immagazzinamento

27 Esercizio n.5 - Modello(2/3) (22): Ricavo della vendita del mangime meno le spese di acquisto ingredienti e immagazzinamento (23-24): Il mangime prodotto nel mese i deve essere composto dagli ingredienti selezionati per produrre mangime nel mese i (25-27): % di ingredienti per il mangime prodotto il mese 1 ( i INGREDIENTI j MESI max prezzo vend i y i + prezzo vend 2 y im i MESI costo ing ij x ij + costo im( costo ing i1 x im i + (22) i INGREDIENTI i INGREDIENTI x im i + y im)) soggetto a y 1 + y im = x j1 (23) y 2 = j INGREDIENTI j INGREDIENTI (x j2 + x im j ) (24) x B1 soglia min(y 1 + y im) (25) x A1 soglia max1(y 1 + y im) (26) x C1 soglia max2(y 1 + y im) (27)

28 Esercizio n.5 - Modello(3/3) x B2 + x im B y 2 soglia min (28) x A2 + x im A y 2 soglia max1 (29) x C2 + x im C y 2 soglia max2 (30) y 1 cons min 1 (31) y im + y 2 cons min 2 (32) y 1 + y 2 + y im = cons tot (33) y 1 + y im prod max (34) y 2 prod max (35) x i1 + x im i disp ing i1 i INGREDIENTI (36) x i2 disp ing i2 i INGREDIENTI (37) (28-30): % di ingredienti per il mangime prodotto il mese 2 (31-32): La quantitá di mangime consegnata ogni mese deve soddisfare la relativa richiesta minima (33): La quantitá consegnata nei due mesi deve essere pari alla quantitá totale ordinata (34-35): La quantitá di mangime prodotta ogni mese deve rispettare il vincolo di produzione massima (36-37): La quantitá di ogni ingrediente acquistata ogni mese non puó superare la relativa disponibilitá massima

29 Esercizio n.5 - File.mod (1/3) Insiemi, variabili e parametri input set INGREDIENTI; set MESI; param ingr min symbolic in INGREDIENTI; param ingr max1 symbolic in INGREDIENTI; param ingr max2 symbolic in INGREDIENTI; param soglia min>= 0; param soglia max1>= 0; param soglia max2>= 0; param cons min{mesi}>= 0; param cons tot>= 0; param prezzo vend{mesi}>=0; param costo ing{ingredienti, MESI}>= 0; param disp ing{ingredienti, MESI}>= 0; param prod max>= 0; param costo im>= 0; param m iniz symbolic in MESI; param m fine symbolic in MESI; var x{ingredienti, MESI}>=0; var x im{ingredienti}>= 0; var y{mesi}>= 0; var y im>= 0; (B) (A) (C) (m1) (m2)

30 Esercizio n.5 - File.mod (2/3) maximize Profitto: sum {i in MESI} y[i]*prezzo vend[i] + y im* prezzo vend[m fine] - ( sum {i in INGREDIENTI} sum {j in MESI} costo ing[i,j]*x[i,j]+ sum {i in INGREDIENTI} costo ing[i,m iniz] * x im[i] + sum {i in INGREDIENTI} costo im * x im[i] + costo im * y im ); s.t. produzione mensile1: y[m iniz]+y im= sum {j in INGREDIENTI} x[j,m iniz]; s.t. produzione mensile2: y[m fine]=sum {j in INGREDIENTI} (x[j,m fine]+x im[j]); s.t. soglia ingredienti1: x[ingr min,m iniz]>=soglia min*(y[m iniz] + y im); s.t. soglia ingredienti2: x[ingr max1,m iniz]<=soglia max1*(y[m iniz] + y im); s.t. soglia ingredienti3: x[ingr max2,m iniz]<=soglia max2*(y[m iniz] + y im); s.t. soglia ingredienti4: x[ingr min,m fine]+x im[ingr min]>=soglia min*y[m fine]; s.t. soglia ingredienti5: x[ingr max1,m fine]+x im[ingr max1]<=soglia max1*y[m fine];

31 Esercizio n.5 - File.mod (3/3) s.t. soglia ingredienti6: x[ingr max2,m fine]+x im[ingr max2]<=soglia max2*y[m fine]; s.t. vincolo consegna1: y[m iniz]>=cons min[m iniz]; s.t. vincolo consegna2: y im + y[m fine] >= cons min[m fine]; s.t. vincolo consegna3: y[m iniz]+y[m fine]+y im=cons tot; s.t. vincolo prod1: y[m iniz]+y im <= prod max; s.t. vincolo prod2: y[m fine]<= prod max; s.t. vincoli acquisti1 {i in INGREDIENTI}: x[i,m iniz]+x im[i]<=disp ing[i,m iniz]; s.t. vincoli acquisti2 {i in INGREDIENTI}: x[i,m fine]<=disp ing[i,m fine];

32 Esercizio n.5 - File.dat set INGREDIENTI:= A B C; set MESI:= m1 m2; param ingr min:= B; param ingr max1:= A; param ingr max2:= C; param soglia min:= 0.4; param soglia max1:=0.25; param soglia max2:=0.3; param cons min:= m1 600 m2 500; param cons tot:=1300; param prezzo vend:= m1 40 m2 45; param costo ing:= A m1 10 B m1 18 C m1 25 A m2 8 B m2 20 C m2 28; param disp ing:= A m1 400 B m1 500 C m1 200 A m2 500 B m C m2 180; param prod max := 800; param costo im:= 1; param m iniz:=m1; param m fine:=m2;

33 Esercizio n.6 - Traccia Una industria deve produrre tonnellate di fertilizzante. Il fertilizzante deve contenere almeno il 4% di azoto, il 15% di fosforo ed il 18% di potassio. L industria ottiene il prodotto finito mescolando 4 costituenti di base (C1,C2,C3,C4). La tabella riporta per ogni costituente i contenuti percentuali di elementi nutritivi ed il prezzo in dollari alla tonnellata. Azoto Fosforo Potassio costo C1 54% 10% 3% 120 C2 10% 45% 13% 135 C3 20% 5% 38% 140 C4 15% 20% 17% 180 L industria ha giá a disposizione in magazzino 200 tonnellate di C2 mentre i restanti costituenti vanno acquistati. C é inoltre la possibilitá di acquistare il fertilizzante da un altra industria pagandolo 185$ alla tonnellata. Soddisfare la richiesta minimizzando il costo globale.

34 Esercizio n.6 - Modello (1/2) Variabili e parametri input x i : Tonnellate di Ci da acquistare x mag : Tonnellate di C2 in magazzino da usare y: Tonnellate di fertilizzante da produrre y 2 : Tonnellate di fertilizzante da acquistare perc fert i : % di elemento nutritivo i richiesta nel fertilizzante perc cost ij : % di elemento nutritivo j presente nel costituente Ci prezzo cost i : prezzo alla tonnellata del costituente Ci mag val: Quantitá di C2 in magazzino prezzo fert: Prezzo del fertilizzante se acquistato richiesta tot: Quantitá totale di fertilizzante richiesto min prezzo cost i x i + prezzo fert y2 (38) i COSTITUENTI (38):Prezzo dei costituenti acquistati per produrre fertilizzante piú prezzo del fertilizzante acquistato direttamente

35 Esercizio n.6 - Modello (2/2) soggetto a x i + x mag = y (39) i COSTITUENTI i COSTITUENTI perc cost ij x i + perc cost 2j x mag perc fert j y j ELEMENTI (40) y + y 2 = richiesta tot (41) x mag mag val (42) (39): Il fertilizzante é composto dalle quantitá individuate di costituente acquistato e proveniente dal magazzino (40): I costituenti utilizzati devono contenere le quantitá di elementi nutritivi richieste (41): Il fertilizzante prodotto e quello acquistato devono soddisfare la richiesta totale (42): Non é possibile prelevare dal magazzino piú costituente C2 di quello disponibile

36 Esercizio n.6 - File.mod (1/2) Insiemi, variabili e parametri input set ELEMENTI; set COSTITUENTI; param perc fert{elementi}>= 0; param perc cost{costituenti,elementi}>= 0; param prezzo cost{costituenti}>= 0; param mag id symbolic in COSTITUENTI; param mag val>= 0; param prezzo fert>= 0; param richiesta tot>= 0; var x{costituenti}>=0; var x mag>= 0; var y >= 0; var y2>=0; (C2) minimize Spesa: sum{i in COSTITUENTI} prezzo cost[i]*x[i] + prezzo fert*y2;

37 Esercizio n.6 - File.mod (2/2) s.t. fertilizzante prodotto: sum{i in COSTITUENTI} x[i]+x mag=y; s.t. quantita costituenti {j in ELEMENTI}: sum{i in COSTITUENTI} perc cost[i,j]*x[i] + perc cost[mag id,j]*x mag>=perc fert[j]*y; s.t. fert totale: y+y2=richiesta tot; s.t. max magazzino: x mag<=mag val;

38 Esercizio n.6 - File.dat set ELEMENTI:= az fo po; set COSTITUENTI:= c1 c2 c3 c4; param perc fert:= az 0.04 fo 0.15 po 0.18; param perc cost:= c1 az 0.54 c1 fo 0.1 c1 po 0.03 c2 az 0.1 c2 fo 0.45 c2 po 0.13 c3 az 0.2 c3 fo 0.05 c3 po 0.38 c4 az 0.15 c4 fo 0.2 c4 po 0.17; param prezzo cost:= c1 120 c2 135 c3 140 c4 180; param mag id:= c2; param mag val:=200; param prezzo fert:= 185; param richiesta tot:= 10000;