Esercizio 2 Si consideri la funzione f definita dalle seguenti condizioni: e x. per x 1 f(x) = α x + e 1 per 1 < x

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1 FUNZIONI Esercizio 1 Studiare la funzione f(x) = ln ( ) x e disegnarne il grafico. x 1 Esercizio 2 Si consideri la funzione f definita dalle seguenti condizioni: { e x per x 1 f(x) = α x + e 1 per 1 < x (a) Dire, giustificando la risposta, se esistono valori di α tali che f risulti continua su tutto l asse reale. (b) Dire, giustificando la risposta, se esistono valori di α tali che f risulti derivabile su tutto l asse reale. Esercizio 3 Studiare la funzione f(x) = sin x tan x e disegnarne il grafico. ( ) x 2 Esercizio 4 Si studi la funzione f(x) = log e se ne disegni il grafico. x 1 ( ) sin x Esercizio 5 Studiare la funzione f(x) = log e disegnarne il grafico. 1 + cos x Esercizio 6 Studiare la funzione f(x) = ex x 1 e disegnarne il grafico. Esercizio 7 Studiare la funzione f(x) = x log x 2 e se disegnarne il grafico. Esercizio 8 Studiare la funzione y = f(x) = e 1 x lo studio della derivata seconda. x e disegnarne il grafico. Non si richiede Esercizio 9 Si studi la funzione f(x) = x 2 x 2 + log x e se ne disegni il grafico. Esercizio 10 Studiare la funzione f(x) = x2 2 e x e disegnarne il grafico. Esercizio 11 Studiare la funzione f(x) = e sin x 1+cos x e disegnarne il grafico. Esercizio 12 Si studi la funzione f(x) = x log 1 x e se ne disegni il grafico. Esercizio 13 Si studi la funzione f(x) = x 2 x log x e se ne disegni il grafico. Esercizio 14 Si studi la funzione f(x) = log(2 cos 2 x) e se ne disegni il grafico. Non si richiede lo studio della derivata seconda. 1

2 Esercizio 15 Studiare la funzione f(x) = lo studio della derivata seconda. e x e disegnarne il grafico. Non si richiede x 2 1 SERIE Esercizio 1 Determinare i valori di x che rendono convergente la serie di potenze S = (3x 2) n n Esercizio 2 Dire se è convergente la serie S = Esercizio 3 Dire se è convergente la serie S = Esercizio 4 Studiare la convergenza della serie S = n π n + 2. n n 3 + 2n 2 3. n + 1 3n 2 + n. Esercizio 5 Si consideri la serie S = ( 1) n n + 3. Dire, giustificando la risposta, n 3 + n + 1 se S è convergente e se è assolutamente convergente. e stu- Esercizio 6 Determinare centro e raggio di convergenza della serie diarne la convergenza e la convergenza assoluta. Esercizio 7 Determinare centro e raggio di convergenza della serie diarne la convergenza e la convergenza assoluta. (3x 2) n n 3 2n (3x 1) n n 5 n e stu- Esercizio 8 Data la serie S = assolutamente convergente. ( 1) n n 2, dire se è convergente e se è 3n 4 + 2n Esercizio 9 Determinare i valori di x tali che la serie S = converge assolutamente. (2x 1) n 3 n (n + 1) 2 converge e Esercizio 10 Studiare la convergenza della serie S = 2 n! + n 2 n n + cos n.

3 Esercizio 11 Dire, giustificando la risposta, se è convergente la serie ( 1) n sin 1 n log n. Esercizio 12 Dire, giustificando la risposta, se la serie S e assolutamente convergente. ( 1) n 3 n cos n n convergente Esercizio 13 Si consideri la serie S = convergenza assoluta. (3x + 1) n 4 n (n 2 + 1) e se ne studi la convergenza e la Esercizio 14 Data la serie S = n + 1 ( 1) n, se ne studi la convergenza e la con- 3n 2 + n vergenza assoluta. INTEGRALI Esercizio 1 Determinare l area della regione di piano delimitata dal grafico di y = 1 x ln x e dalle rette y = 1 x e x = 2. Esercizio 2 Si calcoli l area della regione limitata di piano delimitata dall asse delle x, dalla retta x = 2, e dal grafico della funzione (x 1)e x. Esercizio 3 Calcolare, se esiste, 1 0 2x 2 x 2 1 dx. Esercizio 4 Calcolare l integrale indefinito cos x sin 2 x dx Esercizio 5 Calcolare l area della regione di piano delimitata di grafici delle funzioni f(x) = x e g(x) = x 2 x. Esercizio 6 Dire se convergono ed eventualmente calcolare i seguenti integrali impropri. Esercizio 7 Calcolare xe x dx 4x 3 + x 1. 4x Esercizio 8 Calcolare l integrale indefinito 3 0 xe x dx sin x(cos x + 1) sin 2 x + cos 3 x 1 dx

4 Esercizio 9 Determinare l area della regione di piano delimitata dai grafici delle funzioni y = e x (x + 1) e y = x x per 0 x 2. Esercizio 10 Determinare l area della regione di piano delimitata dai grafici delle funzioni y = 2x e x2 +1 e y = ln x per 1 2 x 1. Esercizio 11 Calcolare l area A della regione di piano delimitata dall asse delle x e dal grafico della funzione f(x) = x + 1, per 0 x 1. 4x Esercizio 12 Verificare che la funzione f(x) = cos x log(sin x) è positiva nell intervallo ] π, 3 π[ e calcolare l area della regione di piano delimitata dall asse x, dal grafico di f(x), 2 4 e dalle rette x = π e x = 3π. 2 4 Esercizio 13 (a) Calcolare f(x) dx, dove f(x) = x e x 1. (b) Dire se esiste, ed x 1 eventualmente calcolare, 1 0 f(x) dx. Esercizio 14 Calcolare l area della regione di piano delimitata superiormente dal grafico della funzione f(x) = 10x ed inferiormente dalla retta y = 4. x Esercizio 15 Calcolare l area della regione R limitata di piano contenuta nel primo quadrante e delimitata dai grafici delle funzioni y = e x e y = x 2 e x. Esercizio 16 Calcolare l area della regione di piano definita dalle seguenti disuguaglianze: 0 x 1 x sin x y 1 2 x Esercizio 17 Calcolare l area della regione di piano definita dalle seguenti disuguaglianze: 0 x x y x cos x EQUAZIONI DIFFERENZIALI Esercizio 1 Un serbatoio della capacità di 100 lt contiene inizialmente 70 lt d acqua. Una pompa versa nel serbatoio dell acqua con portata di 5 lt/min. L acqua esce dal fondo con portata proporzionale alla quandità contenuta nel serbatoio e coefficiente di proporzionalità (in litri al minuto) uguale a k (> 0). (a) Determinare la quantità d acqua presente nel serbatoio in funzione del tempo (in minuti) e di k. (b) Verificare che per k = 0.04 il serbatoio si riempie e determinare il tempo necessario affinché ciò avvenga. 4

5 Esercizio 2 Calcolare la soluzione dell equazione differenziale y = 3x 2 y 6x 2 che verifica la condizione iniziale y(1) = 1. Esercizio 3 In un allevamento di bestiame gli animali presenti si riproducono con tasso di crescita annuo del 15%. Vengono inoltre introdotti k (> 0) nuovi capi di bestiame ogni anno. Inizialmente l allevamento non contiene animali e tutte le variazioni avvengono con continuità. (a) Determinare il numero di animali presenti nell allevamento in funzione del tempo (e di k). (b) Determinare per quali valori di k l allevamento raggiunge le 1000 unità in meno di 10 anni. Esercizio 4 Si determini la soluzione dell equazione differenziale y (x) = y(x) x che verifica la condizione iniziale y(0) = 1. Esercizio 5 Un serbatoio contiene 100 litri di soluzione di sale in acqua. Inizialmente ogni litro di soluzione contiene 2 g. di sale. Viene immessa nel serbatoio, con portata di 5 litri al minuto una soluzione contenente 10 g. di sale per litro. Con uguale portata la soluzione, mantenuta costantemente omogenea, esce dal serbatoio. (a) Determinare la funzione S(t) che dà la quantità di sale (in grammi) presente nel serbatoio all istante t. (b) Determinare in quanti minuti la quantità di sale presente nel serbatoio raggiunge i 500 g. Esercizio 6 Determinare la soluzione dell equazione differenziale y = 2x (y 2 + 1) che verifica la condizione iniziale y(0) = 0. Esercizio 7 In una vasca della capacità di 200 dm 3 e che inizialmente contiene 100 lt. di acqua, una pompa immette k lt. (k > 0) di acqua al minuto. Da un foro sul fondo l acqua esce con portata proporzionale all acqua contenuta nella vasca e con fattore di proporzionalità 1 (esprimendo la portata in lt./min.). Dire se esistono valori di k tali 20 che la vasca si svuoti. Esercizio 8 Determinare la soluzione dell equazione differenziale (x 2 + 1)y = 2xy, che verifica la condizione iniziale y(0) = 2. Esercizio 9 Determinare la soluzione generale dell equazione differenziale y = 2y + x. Esercizio 10 Determinare l insieme delle soluzioni dell equazione differenziale y = 3x 2 y 6x 2. 5

6 Esercizio 11 In un serbatoio della capacità di 300 litri viene versata dell acqua con portata di k litri al minuto (k > 0). Dal fondo l acqua esce con portata proporzionale alla quantità di acqua presente nel serbatoio e coefficiente di proporzionalità (in litri al minuto) Si supponga che inizialmente il serbatoio sia vuoto. (a) Determinare la quantità d acqua presente nel serbatoio in funzione del tempo t e di k. (b) Determinare i valori di k tali che il serbatoio si riempie e, per tali valori di k, calcolare il tempo richiesto affinché il serbatoio si riempia. Esercizio 12 (A) Data l equazione differenziale ( ) y + 3y 4y = 15e x, determinarne la soluzione generale e la soluzione particolare che verifica le condizioni iniziali y(0) = 1, y (0) = 0. Esercizio 13 Calcolare la soluzione dell equazione differenziale y = 3x 2 y 6x 2 che verifica la condizione iniziale y(1) = 1 ANALITICA x = 3 t Esercizio 1 Si considerino la retta r di equazioni parametriche y = t z = 2t α : x y 2z + 3 = 0. e il piano Verificare che r e α sono perpendicolari e determinare le coordinate del punto P in cui si intersecano. Determinare l equazione della retta s passante per il punto P, contenuta nel piano α, e perpendicolare al vettore 2i j + k. Esercizio 2 Si considerino le rette x = 1 t r 1 : y = t z = 2 + t x = τ r 2 : y = 1 τ z = 3 (a) Verificare che r 1 e r 2 sono incidenti e trovare il loro punto di intersezione P. (b) Determinare il piano α contenente r 1 e r 2. (c) Trovare i punti Q 1 e Q 2 della retta r per P e perpendicolare ad α, aventi distanza 2 da α. Esercizio 3 Si considerino il piano α : x y + 2z 1 = 0 e le rette r 1 : r 2 : x = 2 t y = 1 + t z = t. 6 x = t y = 1 + t z = 1 e

7 (a) Dimostrare che r 1 e r 2 sono contenute in α e trovare il loro punto P di intersezione. (b) Determinare i punti Q 1, Q 1 su r 1, e Q 2, Q 2 su r 2, aventi tutti la stessa distanza da P, tali che l area del quadrilatero Q 1 Q 2 Q 1Q 2 sia uguale a 12. Suggerimento: viste le equazioni parametriche di r 1 e r 2, osservare che Q 1 Q 2 Q 1Q 2 è un quadrilatero particolare. x = 1 + t Esercizio 4 Si considerino il piano α : 3x y + z = 0 e la retta r : y = t, z = 2 + t (a) Dopo aver verificato che α ed r non sono paralleli, determinare il punto P in cui si intersecano. (b) Dati i punti A(1, 2, 1) e B(0, 3, 3) di α, determinare i punti Q di r tali che il parallelepipedo avente come spigoli i segmenti P A, P B, e P Q abbia volume 18. Esercizio 5 (a) Dire, giustificando la risposta, se i punti A( 1, 3, 5), B(1, 1, 1), e C(2, 0, 4) sono allineati. (b) Scrivere le equazioni parametriche della retta r per A, ortogonale al segmento BC, e parallela al piano α : y 2z + 4 = 0. (c) Determinare le equazioni parametriche della retta r proiezione ortogonale di r su α. Esercizio 6 Si considerino le rette x = 2 + t r : y = 1 t z = 2t x = 1 3t s : y = t z = 1 + t (a) Dire, giustificando la risposta, se esiste un piano che contiene r e s e, in caso di risposta affermativa, trovarne l equazione. (b) Dire, giustificando la risposta, se esiste un piano contenente r e parallelo ad s e, in caso di risposta affermativa, trovarne l equazione. (c) Dire, giustificando la risposta, se esiste un piano contenente r e perpendicolare ad s e, in caso di risposta affermativa, trovarne l equazione. Esercizio 7 1) Trovare le equazioni parametriche della retta r intersezione dei piani α : x y + z = 0 e β : 2y x = 0, e l equazione del piano γ perpendicolare a r e passante per l origine. 2) Verificare che la retta s : x = t y = t z = t + 1 non interseca la retta r e determinare la distanza d tra r e s. 3) Trovare i punti P e Q appartenenti rispettivamente a r e a s tali che la lunghezza del segmento P Q risulti uguale a d. 7

8 Esercizio 8 Si considerino il punto P di coordinate (0, 1, 2) e la retta r equazioni parametriche y = t. x = 1 t z = 2 (a) Determinare i punti Q di r tali che il triangolo OP Q abbia area 6; (b) determinare l equazione del piano α passante per O e P e parallelo ad r; (c) determinare la distanza tra α e r. x = 3 + t Esercizio 9 Data la retta r : y = t e il piano α : x + 2y z = 0, determinare i z = 1 + t punti Q 1 e Q 2 di r a distanza 6 da α e l area del triangolo OQ 1 Q 2. Dire, giustificando la risposta, se la retta s passante per l origine e perpendicolare al triangolo OQ 1 Q 2 è contenuta in α. SISTEMI LINEARI - ALGEBRA LINEARE x y + z = 0 Esercizio 1 Discutere l insieme delle soluzioni del sistema lineare y + λz = 0 x λy z = 0 variare di λ in R. x y = λ Esercizio 2 Discutere l insieme delle soluzioni del sistema lineare x + λy = 1 λx + y = λ + 1 variare di λ nell insieme dei numeri reali Esercizio 3 Determinare autovalori e autovettori della matrice A = Dire se A è diagonalizzabile e in caso di risposta positiva determinare una base di R 3 formata da autovettori di A. Esercizio 4 Si consideri la matrice A = (a) Calcolare gli autovalori e gli autovettori di A; (b) determinare una base ortonormale u 1, u 2, u 3 di R 3 formata da autovettori di A; (c) sarebbe stato possibile stabilire l esistenza della base u 1, u 2, u 3 senza determinarla e- splicitamente? Perché? Esercizio 5 Determinare autovalori e autovettori della matrice A = Dire se A è diagonalizzabile e in caso di risposta positiva determinare una base di R 3 formata da autovettori di A. 8. al al

9 (λ + 4)x + 3y = 3 Esercizio 6 Dato il sistema lineare 4x + λy = 4 2x + y = 1 parametro λ ha soluzioni e determinarle. Esercizio 7 Dato il sistema x + y = λ 2 x λy = 0 x + λy = 2λ, stabilire per quali valori del, discuterne l insieme delle soluzioni al variare di λ in R. α β 1 Esercizio 8 Dati i vettori u 1 = 1, u 2 = 0 e u 3 = γ, determinare i valori 0 2 γ di α, β e γ affinché essi costituiscano un a base ortogonale di R 3. Esercizio 9 Dire se esistono, e in tal caso determinare, i valori dei parametri λ e µ tali 1 λ µ che i vettori λ, 2 e 1 risultino: µ 1 0 (i) linearmente dipendenti; (ii) a due a due ortogonali; (iii) paralleli. Esercizio 10 Data la matrice , determinarne gli autovalori e gli autovettori. Dire in particolare se esiste una base di R 3 formata da autovettori della matrice. Esercizio 11 Si discuta al variare del parametro reale a, il seguente sistema nelle indeterminate x, y, z: Σ = 2x y z = 2a. 4x 2y + (a 2 3)z = 2 2a x 2y + a 2 z = 1 Trovare le soluzioni, quando esistano. Si dica per quali valori del parametro reale a il sistema Σ definisce una retta. Esercizio 12 Data la matrice A a = a 1 + a si dica per quali valori di a la matrice A a ha il numero reale 0 come autovalore; 2. si calcoli una matrice ortogonale Q di ordine 3 tale che Q 1 A 0 Q = D(matrice diagonale). 9

10 Esercizio 13 Data la matrice A a = a 9a stabilire per quali valori di a la matrice A a è diagonalizzabile; 2. si trovi, se esiste una matrice H di ordine 3 tale che H 1 A 1 H = D (matrice diagonale); 3. si trovi, se esiste una matrice ortogonale K di ordine 3 tale che K 1 A 1 K = D (matrice diagonale). MASSIMI E MINIMI PER FUNZIONI DI DUE VARIABILI Esercizio 1 Determinare massimo e minimo assoluti della funzione f(x, y) = x + e x2 +y 2 nel quadrato di vertici O, A(1, 0), B(1, 1), C(0, 1). Esercizio 2 Si consideri la funzione f(x, y) = x 2 y 2 2x 4 + y 4 (a) Determinare i punti di massimo e minimo relativo e di sella del grafico di f. (b) Determinare i punti di massimo e minimo assoluto di f nella regione di piano D, contenuta nel primo quadrante e nel cerchio di centro l origine e raggio 1. Esercizio 3 Si consideri la funzione f(x, y) = x y + y. (a) Determinare eventuali punti di massimo o minimo relativi e punti di sella di f. (b) Dopo aver verificato che tutti i punti del triangolo di vertici A(0, 1), B(1, 1), C(0, 2) appartengono al campo di esistenza di f, determinare i punti di massimo e minimo assoluto di f nel triangolo ABC. Esercizio 4 Determinare massimo e minimo assoluti della funzione f(x, y) = 2y 2 x(x 1) 2 nel rettangolo di vertici O(0, 0), A(0, 1), B(2, 1), C(2, 0). Esercizio 5 Si consideri la funzione f(x, y) = e xy x. (a) Determinare eventuali punti di massimo o minimo relativo e punti di sella. (b) Determinare massimo e minimo assoluto di f nel quadrato di vertici A( 1, 0), B(1, 0), C(1, 2), D( 1, 2). Esercizio 6 Si consideri la funzione f(x, y) = x 2 y 2 + x. (a) Determinare eventuali punti di massimo o minimo relativo e punti di sella. (b) Determinare massimo e minimo assoluto di f nel cerchio con centro nell origine e raggio 1. 10

11 Esercizio 7 Data la funzione f(x, y) = (x 3 1)(y 2 4), se ne determinino i punti di massimo e minimo relativo e punti di sella. Esercizio 8 Data la funzione f(x, y) = xe xy e xy, se ne determinino i punti di massimo e minimo assoluto nel quadrato Q di vertici A( 1, 0), B(1, 0), C(1, 2), D( 1, 2). Esercizio 9 Si consideri la funzione f(x, y) = e xy 2y. (a) Determinare eventuali punti di massimo o minimo relativo e punti di sella. (b) Determinare massimo e minimo assoluto di f nel rettangolo di vertici A( 1, 0), B(1, 0), C(1, 3), D( 1, 3). Esercizio 10 Determinare massimo e minimo assoluti della funzione f(x, y) = x+e x2 +y 2 nel quadrato di vertici O, A(1, 0), B(1, 1), C(0, 1). Esercizio 11 Determinare i punti di massimo e minimo assoluto della funzione f(x, y) = 2x 3 log(x+y +1) nel triangolo di vertici l origine ed i punti A(2, 0) e B(2, 2). Verificare preliminarmente che f(x, y) è definita in tutti i punti del triangolo OAB. Esercizio 12 Data la funzione f : R 2 R così definita: f(x, y) = (2x 2 y 2 )e x+y, determinarne i punti critici e studiarne la natura. 11

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