Piano Lauree Scientifiche Progetto MATEMATICA e STATISTICA Sapienza Università di Roma a.a. 2010/11

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1 Piano Lauree Scientifiche Progetto MATEMATICA e STATISTICA Sapienza Università di Roma a.a. 2010/11 Corso di formazione rivolto a insegnanti delle Superiori Giuseppe Accascina accascina@dmmm.uniroma1.it Uso di software didattico Terza parte Programmi di geometria dinamica 3D Terza parte: Programmi di geometria dinamica 3d Pag. 1 di 18

2 Nota. Tutte le schede e i file Cabri 3D usati durante la lezione sono scaricabili da: (per scrivere il simbolo ~ in Windows: attivare il tasto Bloc-Num, premere il tasto ALT e contemporaneamente scrivere il numero 126 sul tastiera dei numeri a destra, quindi rilasciare il tasto ALT). Terza parte: Programmi di geometria dinamica 3d Pag. 2 di 18

3 1. Primi disegni. SCHEDA 1 Introduzione a Cabri 3D Apri il file 01.Primi_disegni. Si apre Cabri 3D. Al centro, nell area di lavoro è disegnato il riferimento fondamentale costituito da tre vettori tra loro perpendicolari di colori diversi e, colorato in grigio, il piano fondamentale determinato dai vettori rosso e verde. In alto a sinistra si trova la barra dei Menu e la barra degli strumenti Gli strumenti sono divisi in gruppi. Da sinistra a destra i gruppi sono: Puntatore, Punto, Linea, Superficie, Costruzione, Trasformazione, Poligono regolare, Poliedro, Poliedro regolare, Misura. Per scegliere uno strumento si apre il Menu di selezione a tendina cliccando con il tasto sinistro del mouse sull icona relativa al gruppo dello strumento e tenendo premuto il tasto. Per esempio, cliccando sul gruppo di strumenti Punto si apre un menu con due strumenti Terza parte: Programmi di geometria dinamica 3d Pag. 3 di 18

4 Cominciamo a disegnare 1) Con lo strumento Punto disegna un punto sul piano fondamentale. Assegna al punto l etichetta P inserendo il carattere dalla tastiera. Disegna ora un secondo punto che chiami Q. 2) Con lo strumento Retta disegna la retta passante per P e Q cliccando prima su P e poi su Q. 3) Osserva come il disegno possa trarre in inganno. Infatti la retta passante per i punti P e Q del piano fondamentale pare uscire da esso. Sappiamo che ciò non può accadere. Se una retta ha due punti appartenenti ad un piano, allora tutti i punti della retta appartengono al piano. Questa apparente contraddizione dipende dal fatto che, sebbene il piano sia illimitato, se ne è disegnata solo una sua parte. D altronde, se non se ne fosse disegnata solo una sua parte, si sarebbe dovuto rendere grigio tutto lo schermo. Ciò avrebbe reso la nostra figura poco comprensibile. 4) Per Selezionare un oggetto già disegnato, per esempio il punto P, clicca sullo strumento Puntatore e successivamente clicca sull oggetto da selezionare. Per cancellare un oggetto già disegnato, per esempio il punto P, seleziona il punto P e cancellalo premendo il tasto Canc. Nota come, insieme al punto P, viene cancellata anche la retta passante per P e Q. Infatti quando si cancella un oggetto, per esempio un punto, vengono cancellati anche tutti gli oggetti Terza parte: Programmi di geometria dinamica 3d Pag. 4 di 18

5 che sono stati disegnati usando l oggetto cancellato. Ora cancella anche il punto Q. 5) Disegna un punto sull estremo di ognuno dei tre vettori del riferimento fondamentale assegnando le seguente etichette: A per il punto sul vettore rosso, B per quello sul vettore verde, C per quello sul vettore blu. Per assegnare un etichetta ad un oggetto vi sono due modi: a. inserire il carattere da tastiera appena creato l oggetto b. selezionare l oggetto già creato e inserire il carattere da tastiera. 6) Con lo strumento Retta disegna la retta r passante per A e C cliccando prima su A e poi su C. 7) Con lo strumento Segmento disegna il segmento BC. 8) Con lo strumento Triangolo disegna il triangolo ABC. 9) Con lo strumento Piano disegna il piano ABC. 10) Osserva i messaggi del programma quando passi sopra un oggetto. Chiama a il piano che hai creato. Sposta l etichetta in un posto opportuno trascinandola con il mouse. 11) Disegna un punto D sul piano a non contenuto nel triangolo ABC. 12) Disegna un punto E sul piano fondamentale (quello grigio). 13) Con lo strumento Poliedro convesso disegna l inviluppo convesso contenente i punti A, B, C, D e E. L inviluppo convesso di un insieme è il più piccolo insieme convesso contenente tutti i punti dell insieme assegnato. 14) Per interpretare configurazioni è molto utile cambiare il punto di vista, cioè il punto dello spazio dal quale sui immagina di vedere la configurazione. Per far ciò bisogna premere il tasto destro del mouse e muovere contemporaneamente il mouse. 15) Vogliamo ora nascondere (non cancellare) l inviluppo convesso di A, B, C, D e E. Per far ciò selezionamolo e premiamo il mouse destro. Appare un menù a tendina. Selezioniamo l ultima voce: Mostra/Nascondi. L inviluppo non viene cancellato, ma solo reso invisibile. All occorrenza potremmo renderlo di nuovo visibile usando lo stesso comando. Terza parte: Programmi di geometria dinamica 3d Pag. 5 di 18

6 16) Con lo strumento Parallelo (a) disegna il piano passante per C e parallelo al piano fondamentale. 17) Con lo strumento Parallelo (a) disegna la retta passante per C e parallela alla retta r. 18) Con lo strumento Perpendicolare disegna la retta s passante per E e perpendicolare al piano fondamentale. 19) Con lo strumento Perpendicolare disegna il piano passante per C e perpendicolare alla retta r. 20) Abbiamo imparato a disegnare il piano passante per un punto e perpendicolare a una retta assegnata ; abbiamo anche imparato a disegnare la retta passante per un punto assegnato e perpendicolare ad un piano assegnato. Possiamo anche disegnare la retta passante per un punto e perpendicolare (e incidente) ad una retta assegnata. Per far ciò esaminiamo meglio lo strumento perpendicolare cliccando il tasto F1 della tastiera e selezionando lo strumento Perpendicolare. 21) Appare l aiuto per gli strumenti. Scorrendo gli aiuti impariamo come è strutturato lo strumento Perpendicolare. 22) Fino a quando non si è esperti sull uso di Cabri 3D è conveniente lasciare aperto l aiuto per gli strumenti. 23) Disegna la retta s passante per e perpendicolare alla retta s. 24) Con il comando punto disegna il punto di intersezione della retta s e della retta s. Osserva i vari modi con i quali puoi disegnare il punto di intersezione. 25) Selezionando un oggetto geometrico costruito in precedenza (per esempio una retta o un piano) e cliccando con il tasto destro è possibile cambiare il suo colore. NOTA. Chi vuole usare Cabri 3D sul proprio PC può usare la versione demo scaricabile dal sito Terza parte: Programmi di geometria dinamica 3d Pag. 6 di 18

7 SCHEDA 2 2. Introduzione alla geometria dinamica 3D. Fino a questo punto non abbiamo mai fatto della geometria dinamica. Abbiamo solo cambiato il punto di vista senza modificare il disegno. Iniziamo ora a fare della geometria dinamica. 1) Apri il file 02.Geometria_dinamica_3D. Sono disegnati i punti O e A. 2) Disegna la sfera di centro O passante per A usando lo strumento Sfera del gruppo Superficie. 3) Disegna un punto V sulla sfera usando lo strumento Punto 4) Disegna la retta r passante per O e V usando lo strumento Retta 5) Disegna un punto P sulla retta r 6) Seleziona lo strumento Perpendicolare del gruppo Costruzioni e disegna il piano a passante per P perpendicolare alla retta r. Terza parte: Programmi di geometria dinamica 3d Pag. 7 di 18

8 7) Prova a spostare il punto V. Per far ciò seleziona lo strumento Puntatore e muovi il mouse fino a portare il puntatore nel punto V. Tenendo premuto il tasto sinistro si muove il punto V sulla sfera. La retta r e il piano a si muovono di conseguenza. 8) Usando lo stesso procedimento puoi spostare il punto P sulla retta r. 9) Osserva che non è possibile muovere i punti O e A. Di conseguenza non è possibile muovere la sfera che è stata costruita usando i punti O e A. 10) Come al solito, usando il tasto destro, puoi anche cambiare il punto di vista. Domanda: Muovendo i punti P e V, si possono ottenere tutti i piani? Per alcune posizioni dei punti P e V può succedere che il piano il punto P non appaia appartenere al piano a, che per costruzione è il piano perpendicolare alla retta r e passante per P. Abbiamo già visto che questa apparente contraddizione dipende dal fatto che il piano a sia stato disegnato come un quadrilatero e quindi appaia limitato. Terza parte: Programmi di geometria dinamica 3d Pag. 8 di 18

9 SCHEDA 3 3. Decomposizione di un cubo in piramidi. Attività: Apri il file 03.Cubo_una_piramide. Decomponi il cubo in tre piramidi. Chiudi il disegno senza salvarlo. Terza parte: Programmi di geometria dinamica 3d Pag. 9 di 18

10 SCHEDA 4 Decomposizione del cubo in piramidi. Seconda parte. Quando si chiede di decomporre di nuovo il cubo, si nota che quasi tutti incontrano le stesse difficoltà incontrate nel fare il disegno la prima volta: devono di nuovo capire quali siano le altre due piramidi. Da ciò sembra desumersi che non sempre è vera l affermazione una buona figura vale mille parole. Per far capire bene la figura è spesso utile assegnare la seguente attività. Attività: Descrivi la decomposizione di un cubo in tre piramidi in maniera compatta (possibilmente con una sola frase) senza assegnare nomi ai vertici del cubo e senza fare un disegno. Può essere interessante notare l uso di certi strumenti di Cabri piuttosto che altri può aiutare a comprendere meglio la figura. Con lo strumento Piramide si disegna una piramide assegnandone il vertice e la base. Quest ultima deve essere un poligono già disegnato in precedenza. Con lo strumento Poligono si disegna un poligono assegnandone i vertici e alla fine aggiungendo di nuovo il primo vertice. Ovviamente i vertici del poligono devono essere complanari Attività: Disegna con Cabri le altre due piramidi che decompongono il cubo usando lo strumento piramide. Terza parte: Programmi di geometria dinamica 3d Pag. 10 di 18

11 SCHEDA 5 4. Disegno di un tetraedro. Prima parte. Attività: Apri il file 05.Tetraedro_da_disegnare. Disegna un tetraedro. Osservare la costruzione fatta cambiando il punto di vista. Terza parte: Programmi di geometria dinamica 3d Pag. 11 di 18

12 SCHEDA 6 Disegno di un tetraedro. Seconda parte. Anche cambiando il punto di vista, non sempre ci si accorge che in effetti si sono disegnati i quattro vertici del tetraedro tutti su uno stesso piano. Attività: Disegna un tetraedro (che abbia i quattro vertici non complanari). Domanda: Abbiamo appena visto che, quando si disegnano i punti, questi appartengono tutti ad uno stesso piano, il piano fondamentale. Perché chi ha progettato Cabri 3D ha fatto la scelta di disegnare i punti sul piano fondamentale? SCHEDA 7 Disegno di un tetraedro. Terza parte. In effetti è possibile far uscire un punto già disegnato dal piano fondamentale. Attività: Cliccare su un punto P già disegnato. Tenendo premuto il tasto sinistro, premere sul tasto maiuscola (freccia in alto), sempre tenendo premuto il tasto maiuscola e il tasto sinistro del mouse, muovere il mouse. Osservare come si muove il punto P. Ora non premere più il tasto maiuscola; e osservare come si muove il punto P. Terza parte: Programmi di geometria dinamica 3d Pag. 12 di 18

13 SCHEDA 8 5. Sezioni di un cubo con un piano. Prima parte. Aprite il file Cubo-Piano. In esso è rappresentato un cubo di centro O e un piano. Potete muovere il piano usando gli strumenti visti nella scheda 2: - il punto V libero di muoversi su una sfera di centro O la cui superficie è rappresentata con delle curve. - il punto P libero di muoversi sulla retta r passante per O e V - il piano passa per P ed è perpendicolare a r. Domanda: Quali tipi di poligoni si ottengono sezionando un cubo con un piano? Terza parte: Programmi di geometria dinamica 3d Pag. 13 di 18

14 SCHEDA 9 Sezioni di un cubo con un piano. Seconda parte. Molto probabilmente avete visto che intersecando un cubo con un piano si possono ottenere triangoli, quadrilateri, pentagoni, esagoni. 1) Si può ottenere un eptagono (sette lati)? E poligoni con un numero di lati maggiore di 7? 2) Perché? SCHEDA 10 Sezioni di un cubo con un piano. Terza parte. Avete visto che si possono ottenere quadrilateri. 1) Sezionando un cubo con un piano si può ottenere un quadrato? SCHEDA 11 Sezioni di un cubo con un piano. Quarta parte. Avete visto che si possono ottenere quadrati. 1) Sezionando un cubo con un piano si possono ottenere un parallelogramma che non sia un quadrato? SCHEDA 12 Sezioni di un cubo con un piano. Quinta parte. Avete visto che si possono ottenere parallelogrammi che non siano quadrati. 1) Si può ottenere un trapezio che non sia un parallelogramma? Terza parte: Programmi di geometria dinamica 3d Pag. 14 di 18

15 SCHEDA 13 Sezioni di un cubo con un piano. Sesta parte. Avete visto che si possono ottenere parallelogrammi e trapezi. 1) Si può ottenere un quadrilatero che non sia né un parallelogramma né un trapezio? SCHEDA 14 Sezioni di un cubo con un piano. Settima parte. Avete visto che si possono ottenere quadrati. 1) Sezionando un cubo con un piano si può ottenere un rettangolo che non sia un quadrato? SCHEDA 15 Sezioni di un cubo con un piano. Ottava parte. Avete visto che si possono ottenere rettangoli. 1) Si può ottenere un rettangolo in cui il rapporto tra i lati sia 2? SCHEDA 16 Sezioni di un cubo con un piano. Nona parte. 1) Si può ottenere un rettangolo in cui il rapporto tra i lati sia 1/3? Terza parte: Programmi di geometria dinamica 3d Pag. 15 di 18

16 SCHEDA 17 Sezioni di un cubo con un piano. Decima parte. Avete visto che si possono ottenere triangoli. 1) Si può ottenere un triangolo equilatero? SCHEDA 18 Sezioni di un cubo con un piano. Undicesima parte. Avete visto che si possono ottenere triangoli equilateri. 1) Si può ottenere un triangolo equilatero tale che il rapporto tra la lunghezza del suo lato e la lunghezza del lato del quadrato sia 2? SCHEDA 19 Sezioni di un cubo con un piano. Dodicesima parte. Avete visto che si possono ottenere esagoni. 1) Si può ottenere un esagono regolare? SCHEDA 20 Sezioni di un cubo con un piano. Tredicesima parte. Avete visto che si possono ottenere triangoli. 1) Si può ottenere un triangolo rettangolo? Terza parte: Programmi di geometria dinamica 3d Pag. 16 di 18

17 Abbiamo usato il percorso didattico riguardante le intersezioni di un cubo con un piano in un corso in laboratorio a cui hanno partecipato studenti iscritti alla laurea specialistica in matematica. All inizio gli studenti hanno prestato attenzione solo alle immagini prodotte con Cabri 3D. Non hanno prestato alcuna attenzione al modellino in plastica del cubo. Terza parte: Programmi di geometria dinamica 3d Pag. 17 di 18

18 Abbiamo lasciato per ultime le domande più difficili: 1) Si può ottenere un triangolo rettangolo? Sebbene avessero avuto più di mezz ora per rispondere alla domanda, gli studenti non sono giunti ad alcuna conclusione condivisa da tutti. La foto mostra come essi alla fine avessero quasi tutti abbandonato le immagini virtuali date da Cabri 3D. Perché è avvenuto ciò? Terza parte: Programmi di geometria dinamica 3d Pag. 18 di 18