LA SEZIONE AUREA NELL ARCHITETTURA

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1 SAPIENZA UNIVERSITÀ DI ROMA LA SEZIONE AUREA NELL ARCHITETTURA Appunti per il corso di Teorie e tecniche costruttive nel loro sviluppo storico Alessandra Simi

2 Questi appunti sono l elaborazione dei testi presentati in bibliografia e sono per uso interno alla Facoltà di Architettura Valle Giulia, nell ambito del corso di Teorie e tecniche costruttive nel loro sviluppo storico del prof. Giorgio Monti 2

3 Indice 1 INTRODUZIONE STORICA La sezione aurea nella Grecia classica La sezione aurea nel Rinascimento Luca Pacioli e la Divina Proportione Il valore estetico della sezione aurea Il valore esoterico della sezione aurea IL NUMERO AUREO Definizione Costruzione geometrica Fibonacci e il numero aureo Il rettangolo aureo LA SEZIONE AUREA NELLA STORIA DELL ARCHITETTURA La Grande Piramide di Cheope Il Tempio della Concordia La pianta del Tempio della Concordia La facciata del Tempio della Concordia Il Partenone La facciata del Partenone La pianta del Partenone Il Pantheon a Roma La Cattedrale di Notre Dame La facciata di Notre Dame Il fianco di Notre Dame La Cattedrale di Colonia Il Duomo di Milano Il portale di Castel del Monte L architettura di Raffaello Il Modulor di Le Corbusier CONCLUSIONE RIFERIMENTI BIBLIOGRAFICI

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5 1 INTRODUZIONE STORICA La storia della sezione aurea è antica di tre millenni: appartiene alla storia dei pensiero greco, e perciò alle origini del nostro pensiero. La sezione aurea, in matematica e in arte, è una proporzione geometrica basata su di un rapporto specifico, nel quale la parte maggiore sta alla minore come l intera sta alla parte maggiore, come ampiamente spiegato al par Questo numero, o questa proporzione geometrica definita anche proporzione aurea, numero aureo, rapporto aureo, sezione aurea, divina proporzione sembra possa rappresentare lo standard di riferimento per quanto riguarda la perfezione, la grazia e l armonia sia in architettura, scultura e pittura, sia nella stessa Natura. Ha solitamente due significati, uno quantitativo ed uno estetico, perché pur essendo definita matematicamente le viene attribuita la capacità, se applicata ad oggetti che colpiscono i sensi, di renderli piacevolmente belli ed armoniosi. Alcune delle più grandi menti matematiche di ogni tempo, da Pitagora ad Euclide nella Grecia antica, passando nel Medioevo, per il matematico Leonardo da Pisa e nel Rinascimento per l astronomo Keplero, fino a protagonisti della scienza contemporanea come Roger Penrose, hanno dedicato tempo e riflessione a questa proporzione ed alle sue proprietà. Ma la proporzione aurea non ha affascinato solo i matematici. Biologi, artisti, musicisti, storici, architetti, psicologi, medici, hanno studiato e discusso la sua inattesa presenza nelle diverse discipline. La proporzione aurea si può evidenziare in tutti i regni della natura, perciò questa sua polivalenza la fa assurgere all altezza di archetipo. I greci, riferendosi alla divisione di un segmento in parti che stanno tra loro nel modo indicato dalla proporzione del rapporto aureo, parlarono di sezione del segmento in media ed estrema ragione. Questa terminologia originaria fu nel seguito abbreviata nel solo termine sezione, e più tardi ancora, dopo Keplero, entrò in uso l espressione sezione aurea. E di Keplero la famosa frase: "La geometria ha due grandi tesori: uno è il teorema di Pitagora; l altro è la sezione aurea di un segmento. Il primo lo possiamo paragonare ad un oggetto d oro; il secondo lo possiamo definire un prezioso gioiello." 5

6 Ma il vero trionfo della sezione aurea nell arte si ebbe nel Rinascimento quando rappresentò per tutti gli artisti di quel periodo un canone di bellezza cui ispirasi per ogni composizione artistica dall architettura alla scultura, alla pittura. Più di tutti contribuì a questa concezione l opera di Luca Pacioli La Divina Proportione, stampata e diffusa in tutta Europa, incentrata proprio sulla proporzione come chiave universale per penetrare i segreti della bellezza ma anche della natura; al centro è collocato l uomo, misura di ogni cosa, sospeso tra un quadrato ed un cerchio nell Uomo Vitruviano, il celebre disegno di Leonardo. E tra tutte le possibili proporzioni, quella aurea sembra essere la vera ispiratrice della bellezza, quindi del creato, quindi del Suo creatore, quindi Divina. Riconosciuta come un rapporto esteticamente piacevole, la sezione aurea è stata utilizzata come base per la composizione di elementi pittorici o architettonici. In realtà, vari esperimenti suggeriscono che la percezione umana mostra una naturale preferenza per le proporzioni in accordo con la sezione aurea, come si vedrà al par. 2.4; gli artisti tenderebbero quasi inconsciamente a disporre gli elementi di una composizione in base a tali rapporti. I Greci la utilizzarono ampiamente nella costruzione di molti templi e numerosi architetti rinascimentali la utilizzarono nella realizzazione di giardini. 1.1 LA SEZIONE AUREA NELLA GRECIA CLASSICA I resti degli antichi templi classici evocano ancora un senso di equilibrio, armonia e perfezione, che ci incanta con il ritmo delle loro proporzioni. E il risultato di un organica concezione estetica che ispirò ogni espressione artistica della popolazione ellenica. Purtroppo, nonostante la quantità notevole di opere pervenuteci, molte delle quali anche in ottime condizioni, conosciamo molto poco della teoria estetica che si trova alla loro base, a causa della mancanza di una chiara testimonianza grafica o letteraria. E necessario allargare l analisi al panorama culturale che si era venuto a creare in Grecia per comprendere più chiaramente la nascita del concetto di proporzione : esso nacque nel contesto della dottrina matematica, introdotta in Grecia da Pitagora di Samo quando, agli albori della filosofia occidentale, la visione mitologica incontrava l interpretazione razionale nella ricerca del principio unico e universale all origine del tutto. 6

7 La civiltà greca classica tentò di unificare tutte le arti e le scienze secondo rapporti armonici inerenti all universo; in ogni campo di studio ogni individuo aveva un posto unico nella gerarchia di tutti gli individui. I rapporti gerarchici fra gli individui rispecchiavano i principi matematici, e in particolare la proporzione divina. Dallo studio delle leggi numeriche che regolavano l armonia musicale la scuola pitagorica scoprì alcuni principi morfologici di carattere generale, che divennero presto i principi compositivi di ogni tipo di arte, sopra tutte quella che si occupava della costruzione degli edifici sacri. E quanto ci suggerisce l analisi proporzionale di opere come il Partenone di Ictino (nel campo dell architettura, come vedremo al par. 3.3), o il Diadumeno di Policleto (che va ad inserirsi nell ambito della scultura), correlate da una comune intenzione estetica, di natura matematica. Mediante l analisi della tecnica progettuale e del significato estetico dell edificio sacro, e mediante la lettura del trattato di Vitruvio in chiave per così dire pitagorica, siamo in grado di trovare chiare indicazioni sulla teoria delle proporzioni che caratterizzò l architettura greca fino al periodo ellenistico. Gli antichi architetti dovevano realizzare la Simmetria ( accordo delle misure ) mediante il ripetersi di certi rapporti proporzionali privilegiati, che avrebbero prodotto e caratterizzato l effetto di Eurytmia ( armonia ) tra le lunghezze, le superfici e i volumi dell edificio, sia nella sua interezza sia nelle sue singole parti. Le tecnica compositiva era quella dei tracciati regolatori, delle raffinate costruzioni geometriche che partivano da una forma iniziale, il quadrato, per individuare, con semplici proiezioni e ribaltamenti, tutte le linee principali dell edificio, nella pianta e negli alzati. Il fine era sempre quello di conferire agli edifici l idea di equilibrio e perfezione, di raggiungere l Armonia universale, intesa come unificazione della molteplicità frammista e messa in concordanza del discordante (Filolao), ossia come perfetto equilibrio tra l opposizione dei principi. E proprio in questo contesto viene a collocarsi il grande uso da parte degli antichi della sezione aurea nei templi e, più in generale, nell architettura. 7

8 Servendosi di riga e compasso, i geometri greci erano in grado di determinare la sezione aurea di un segmento. Nel Timeo Platone sostiene che i tre termini di una proporzione divina - il più grande (la linea intera), quella di mezzo (il segmento più lungo) e la più piccola (il segmento più corto) - sono tutti di necessità gli stessi, e, poiché sono gli stessi, non sono che uno. In una progressione di divine proporzioni, ogni parte è un microcosmo, o modello minuscolo, di tutto l insieme. Gli architetti e gli artisti greci facevano grande uso dei rettangoli aurei (v. par. 2.4). Se da un rettangolo aureo si taglia poi un quadrato, anche il rettangolo che rimane è un rettangolo aureo. Questi rettangoli aurei erano usati per disegnare la pianta del pavimento e della facciata dei templi: ad esempio il Partenone, sull Acropoli di Atene (v. par. 3.3). Quando Vitruvio scrisse il De Architectura, un opera in dieci volumi, tra il 25 e il 23 a.c., Augusto - a cui è dedicata l opera - intraprendeva un grandioso programma di costruzioni pubbliche a Roma e nell impero. Essa costituisce una fonte essenziale per la conoscenza delle tecniche edilizie e dei materiali da costruzione, degli edifici pubblici e privati, dell urbanistica e dell agrimensura dei Romani. Attingendo dai trattati di Ermogene e altri architetti greci, Vitruvio possedeva una concezione umanistica dell architettura che, a suo parere, doveva unire all esperienza specialistica un ampia cultura generale. 1.2 LA SEZIONE AUREA NEL RINASCIMENTO Il proporzionamento armonico dell architettura del Rinascimento è tutto orientato sul principio generale dell uso di piccoli numeri interi con i quali organizzare la distribuzione e la disposizione delle varie parti dell edificio. Nella musica, disciplina inserita a pieno nel quadrivium delle arti (insieme a geometria, aritmetica e astronomia) si trova conferma delle leggi che regolano il macrocosmo e il microcosmo rivelate da Pitagora e da Platone. Di qui nasce la convinzione che l architetto non sia in nessun modo libero di applicare all edificio uno schema casuale di rapporti, ma che tali rapporti debbano conciliarsi con un sistema di ordine superiore, le proporzioni devono esprimere l ordine cosmico e la musica 8

9 diviene mezzo privilegiato per innalzare la disciplina architettonica al livello delle arti del quadrivium. Le proporzioni corrispondenti agli intervalli musicali vengono così trasposte nella progettazione degli edifici divenendo la base di veri e propri reticoli modulari, così come un orchestra accorda gli strumenti sulla nota la per poi intonare, attraverso intervalli armonici, accordi che suonano bene all orecchio. La sezione aurea suscitò grande interesse tra gli artisti e i matematici del rinascimento, tra cui Leonardo da Vinci ( ), Piero della Francesca ( ) e Leon Battista Alberti ( ); era allora nota come Divina Proporzione e veniva considerata quasi la chiave mistica dell armonia nelle arti e nelle scienze. De divina proportione è anche il titolo del trattato redatto dal matematico rinascimentale Luca Pacioli ( ) e illustrato da sessanta disegni di Leonardo da Vinci. Il trattato fu pubblicato nel 1509 ed ebbe notevole influsso sugli artisti e sugli architetti del tempo, ma anche delle epoche successive. Figura 1-1. Tracciati proporzionali del tempio Malatestiano a Rimini dell Alberti. Leon Battista Alberti fu il primo importante teorico dell arte rinascimentale, nonché uno dei primi a progettare edifici secondo i canoni di uno stile classico puro, fondato sullo studio dell antica architettura romana. Per quanto riguarda le sue opere, è bene sottolineare come 9

10 egli non parli mai nei suoi trattati del tipo di proporzionamento utilizzato, quasi volesse tenere segreto il metodo con cui riusciva ad ottenere quell aspetto di armonioso equilibrio. Tuttavia indagini effettuate con diagrammi e rigorose riproduzioni hanno messo in evidenza che questa sia la regola che domina la connessione di tutte le parti di molte sue costruzioni (es. il tempio Malatestiano a Rimini, Figura 1-1). 1.3 LUCA PACIOLI E LA DIVINA PROPORTIONE Luca Pacioli (Figura 1-2) nacque nel 1445 in Toscana a Sansepolcro, città commerciale posta al centro, nello spazio e nel tempo, del Rinascimento. Dal 1477 Fra Luca Pacioli cominciò a viaggiare insegnando matematica in quasi tutte le Università italiane. Nel 1496 cominciò a lavorare al secondo dei suoi più famosi lavori, la Divina Proporzione, e Leonardo in persona gliene fornì le illustrazioni; penso che nessun altro matematico abbia più potuto vantare una collaborazione più eccellente. Chiaramente l interesse prevalente di Leonardo era l estetica e la sezione aurea soddisfaceva entrambi i punti di vista, matematico ed artistico. Figura 1-2. Ritratto di Fra Luca Pacioli [Napoli Museo di Capodimonte]. La divina proporzione era proprio il rapporto aureo senza il quale moltissime cose de admiratione dignissime in philosophia, nè in alcun altra scientia mai a luce poteriono pervenire.. L ammirazione che il Pacioli aveva per questa costruzione era tale da indurlo a 10

11 metterla in relazione con la Divinità come la quale è una e trina: Commo Idio propriamente non se po diffinire ne per parolle a noi intendere, così questa nostra proportione non se po mai per numero intendibile asegnare, nè per quantità alcuna rationale exprimere, ma sempre fia occulta e secreta e da li mathematici chiamata irrationale. Al contrario di Leonardo che ottenne fama solo dopo la morte, Pacioli ebbe fama in vita, come testimonia la sua carriera, forse meno dopo la morte. Nel 1550 Giorgio Vasari scrisse una biografia di Piero della Francesca in cui accusava il Pacioli di plagio per aver fatto propri lavori dell artista sulla prospettiva sull aritmetica e sulla geometria. Quest accusa appare però ingiustificata, sebbene il Pacioli facesse ampio uso del lavoro degli altri nelle sue pubblicazioni, ma mai si accreditò alcun merito, specialmente nei confronti del Maestro Piero, riconoscendo e specificando sempre le fonti di quanto scriveva. A dispetto però dell originalità, le opere del Pacioli contribuirono moltissimo allo sviluppo della Matematica per la particolare influenza che ebbero per lungo tempo. 1.4 IL VALORE ESTETICO DELLA SEZIONE AUREA Nel 1875 lo psicologo tedesco Fechner sottopose al giudizio di preferenza di più persone un insieme di rettangoli (Figura 1-3), differenti per il diverso rapporto tra i lati, chiedendo poi di indicare quale rettangolo avesse destato in loro una maggiore sensazione di armonia. Egli osservò che le scelte degli interpellati si distribuivano attorno ad un particolare rettangolo, in corrispondenza del quale emergeva un evidente massimo delle loro frequenze. Quel particolare rettangolo era il cosiddetto rettangolo aureo (vd. par. 2.4). Nella Figura 1-4 è riportato il grafico della distribuzione percentuale delle preferenze registrate da Fechner. I rettangoli del campione vi sono ordinati al crescere del rapporto tra i lati: dal rapporto 1 a 1, al rapporto 2 a 1, cioè dal rettangolo con i lati uguali (quadrato) ai rettangolo con un lato doppio dell altro. 11

12 Figura 1-3. Insieme di rettangoli dell esperimento di Fechner, con tre rettangoli aurei (qui evidenziati a tratto più grosso). Figura 1-4. Distribuzione delle preferenze estetiche sulle proporzioni di vari rettangoli, secondo Fechner. Il maggior numero di preferenze si concentra attorno ai rettangoli aurei. Si osserva che il rettangolo aureo, che occupa una posizione intermedia tra i rettangoli del campione, presenta la più alta frequenza di scelte secondo un canone estetico. L esperienza di Fechner intendeva esaminare (e di fatto sanzionava) la credibilità di un opinione largamente diffusa tra pittori ed architetti (ed anche tra matematici) secondo cui dall osservazione del rettangolo aureo si traesse un senso di equilibrata armonia. Numerose sono infatti le opere d arte nelle quali si riscontrano le proporzioni del rettangolo aureo. La facciata del Partenone è inscrivibile in un rettangolo aureo (Figura 1-5), e, almeno molto prossime ad un rettangolo aureo, sono le facce dell ottagonale battistero di Firenze (Figura 1-6). 12

13 Figura 1-5. Il rettangolo aureo che inscrive la facciata del Partenone. Figura 1-6. I rettangoli aurei delle facce del battistero di Firenze. Peraltro, Fechner studiò anche le proporzioni dei bracci delle croci nei cimiteri tedeschi e rilevò la maggioranza di esse presentavano un rapporto in ragione del numero aureo (Figura 1-7). Figura 1-7. Figure geometriche costruite con dimensioni in ragione del numero aureo. 1.5 IL VALORE ESOTERICO DELLA SEZIONE AUREA I primi che ebbero occasione di riscontrare tra due segmenti quello stato di cose nel seguito indicato con il termine rapporto aureo furono i Pitagorici: e ciò accadde in modi e in circostanze che divennero subito leggenda. Questa leggenda ci è raccontata da Giamblico (IV sec. d.c.) nella sua De vita Pythagorica. Giamblico narra del pitagorico Ippaso da 13

14 Metaponto, morto in mare come empio perché colpevole di aver rivelato agli indegni il segreto della costruzione della sfera di dodici pentagoni. Ippaso provocò l ira degli dei, e meritò la sua sorte, anche per aver divulgato la dottrina degli irrazionali e degli incommensurabili. Il racconto di Giamblico, accostando i due fatti (costruzione della sfera di dodici pentagoni e dottrina degli irrazionali) allude ad un nesso tra essi. La sfera di dodici pentagoni è il dodecaedro, cioè uno dei cinque poliedri regolari (Figura 1-8). Figura 1-8. I cinque poliedri regolari dei Pitagorici. Stando ad una testimonianza di Proclo (V secolo d.c.). tre dei poliedri regolari, e precisamente il tetraedro, l esaedro e il dodecaedro erano già noti ai Pitagorici. I rimanenti due, l oettaedro e l icosaedro, furono scoperti più tardi da Teeteto. Il rinvenimento presso Padova di un dodecaedro di steatite risalente ad epoca anteriore al IV secolo a.c. rende verosimile la testimonianza di Proclo. 14

15 Alla faccia pentagonale del dodecaedro era associato il pentagramma stellato, o stella a cinque punte (Figura 1-9), già elemento decorativo dell arte babilonese e simbolo magico della loro cosmologia. Il pentagramma stellato si ricava dal pentagono regolare tracciandone le diagonali. I Pitagorici fecero proprio questo simbolo assieme al significato cosmico ad esso attribuito; e questo non è che un esempio della vasta eredita di rituali, di atteggiamenti e di conoscenze che essi derivarono dalla cultura babilonese. Figura 1-9. Il pentagramma stellato ottenuto dalle diagonali del pentagono regolare. La scuola pitagorica fiorisce proprio nel periodo in cui il pensiero magico del vicino oriente prende a confrontarsi con le disponibilità alle argomentazioni razionali della nascente cultura ellenica, e la sapienza sacra con le aspirazioni ad una scienza laica. Anche se la scuola pitagorica non si affrancò mai dai modi degli originali rituali esoterici, né aspirò a dissolvere la trama simbolica con cui la concezione sacra del mondo tesseva i rapporti tra le cose, tuttavia essa diede impronta e vigore al processo evolutivo in atto. Il pentagramma stellato, pur accettato come simbolo magico, divenne oggetto di analisi geometrica. I Pitagorici presero a studiare quale rapporto ci fosse tra il lato della stella e il lato del pentagono che serviva per costruirla. Loro convinzione era che, comunque fossero scelti due segmenti, esistesse un loro sottomultiplo comune, cioè un segmento capace di dare misure interne per entrambi i segmenti, che risultavano perciò commensurabili. Il rapporto tra i due segmenti era uguale al rapporto delle rispettive misure, ed era perciò sicuramente un numero razionale, perché rapporto di due numeri interi. 15

16 Più che una fondazione della geometria questa convinzione era per loro una teoria dell universo che li portava a comparare, in una successione di analogie strutturali organizzate su rapporti numerici, le note emesse da uno strumento musicale e i ciclici moti dei Corpi celesti. Sul loro conto Aristotele commenta (Metafisica: libro I, cap. V): I cosiddetti Pitagorici, avendo cominciato ad occuparsi di matematica ed essendo grandemente progrediti in essa, furono condotti da questi loro studi ad assumere come principi delle cose esistenti quelli di cui fanno uso le scienze matematiche... Avendo poi riconosciuto che le proprietà e le relazioni delle armonie musicali corrispondono a rapporti numerici e che in altri fenomeni naturali si riscontrano analoghe corrispondenze coi numeri, furono tanto più indotti ad ammettere che i numeri siano gli elementi di tutte le cose esistenti e che tutto il cielo sia proporzione ed armonia. Intorno a Pitagora ed alla sua confraternita di iniziati esisteva un velo di segretezza, comunque si tende ad attribuire all uno ed all altra alcune importanti scoperte matematiche che includono il rapporto aureo e l incommensurabilità. Secondo il filosofo e storico Giamblico (Silloge delle dottrine pitagoriche, 300 d.c.) la scoperta che il rapporto aureo è un numero irrazionale fu, nel contempo, la scoperta dell incommensurabilità. Tale scoperta fu fatta dal matematico greco Ippaso di Metaponto nel V secolo a.c. Non vi sono dubbi che sia stato Pitagora con i suoi discepoli a mescolare teoria dei numeri, filosofia della vita e misticismo in una misura forse senza eguali. Pitagora sottolineò l importanza dell acquisizione della conoscenza rispetto ad ogni altra attività, perché, come avrebbe detto, alla maggior parte degli uomini e delle donne non è data, né per nascita né coi propri sforzi, la possibilità di diventare ricchi e potenti, mentre il sapere è alla portata di chiunque. 16

17 2 IL NUMERO AUREO 2.1 DEFINIZIONE Il rapporto tra la diagonale ed il lato di un pentagono regolare (Figura 2-1) è il numero irrazionale: ϕ= cui è dato per tradizione il nome di numero aureo. Figura 2-1. Determinazione del numero aureo sul pentagono. Esso deriva anche dal seguente problema (Figura 2-1): dividere un dato segmento AD in due parti a e b, tali che l intero segmento stia alla maggiore delle due parti come questa sta alla minore. I segmenti a e b in cui la diagonale AD del pentagono è divisa dalla diagonale EC stanno infatti nella relazione richiesta dal problema: ( a+ b): a= a: b Per verificarlo basta osservare che i triangoli CAD e HCD sono isosceli e simili, e il triangolo AHC è isoscele. La proporzione scritta si ricava dai triangoli simili CAD e HCD. 17

18 Il valore numerico di ϕ, comune ai due rapporti (a+b)/a e a/b, si ricava appunto dalla proporzione precedente, scrivendola come: ( a+ b) a = a b cioè: ovvero: a b a + = a a b =ϕ ϕ ϕ 1= 0 ϕ da cui si calcola ϕ. Un valore approssimato di ϕ è Esistono due bellissime formule che forniscono esattamente il numero aureo, utilizzando solo il più semplice dei numeri, l 1. Una è basata su una frazione continua infinita: 1 ϕ= mentre l altra usa una serie infinita di radici: ϕ= COSTRUZIONE GEOMETRICA Il primo incontro con la Divina Proporzione in genere avviene in Geometria. La proposizione 11 del libro II degli Elementi di Euclide recita così: Come dividere un segmento in modo che il rettangolo che ha per lati l intero segmento e la parte minore sia equivalente al quadrato che ha per lato la parte maggiore, ovvero come trovare la Sezione Aurea di un segmento, 18

19 cioè la parte media proporzionale tra l intero segmento e la parte rimanente. La costruzione è tra le più classiche della Geometria (Figura 2-2): dato il segmento AB tracciare il cerchio di pari diametro e tangente ad esso in B, quindi la secante per A passante per il centro C del cerchio. La parte esterna della secante (AE) è la sezione aurea del segmento, essendo la tangente (AB) media proporzionale tra l intera secante (AD) e la sua parte esterna (AE) [Euclide L. III P. 36], essendo ED = AB e per alcune proprietà delle proporzioni: AD : AB = AB : AE ( AD AB) : AB = ( AB AE) : AE AS : AB = SB : AS AB : AS = AS : SB D C E A S B Figura 2-2. Determinazione geometrica della sezione aurea AS di un segmento AB. Volendo invece trovare quel segmento di cui un dato segmento AB sia la Sezione Aurea, si procede nel modo seguente (Figura 2-3): trovare il punto medio M del segmento dato; costruire il quadrato sul segmento dato; siano C e D gli altri due vetrici; centrato in M tracciare il cerchio con raggio MC (= MD), che interseca in S il prolungamento di AB. AS è il segmento cercato, di cui AB è la Sezione Aurea. Infatti i triangoli CAS e SBD sono simili perché rettangoli e con gli angoli α ed α uguali (essendo uguali i loro complementari β e β, angoli alla circonferenza che sottendono lo stesso arco DS); quindi i cateti sono in proporzione: 19

20 AS : DB = CA : BS AS : AB = AB : ( AS AB) C α β D E β A M B α S Figura 2-3. Determinazione del segmento AS di cui AB è la sezione aurea. Ma cos ha di così importante questa sezione per meritarsi l aggettivo Aureo? Lo scopriremo attraverso le sue proprietà. Restando nella Geometria ne ricaviamo immediatamente una: Ogni segmento è sezione aurea della sua somma con la sua sezione aurea ; ed in effetti questo è quanto sopra si è dimostrato. Ne segue che: Tolta la sezione aurea, la parte rimanente di un segmento è la sezione aurea della sezione aurea del segmento. E come se la sezione aurea si autorigenerasse per sottrazione o addizione. Ma scopriamone altre caratteristiche. Sempre in Geometria una delle più importanti caratteristiche della Sezione Aurea è la seguente: Se in un triangolo isoscele la base è la sezione aurea del lato allora l angolo al vertice è un quinto dell angolo piatto, ovvero la base è il lato del decagono regolare inscritto nel cerchio che ha per raggio il lato. La dimostrazione è relativamente semplice (Figura 2-4): nel triangolo CAB isoscele sulla base a, sezione aurea del lato b, si individui per costruzione il punto M sul lato AC tale che MB = CB; il triangolo MBC è isoscele e simile al triangolo originario, quindi con i lati in proporzione: b : a = a : CM. Ma essendo a la sezione aurea di b sarà: b : a = a : (b-a), da cui per l unicità del quarto proporzionale sarà: CM = (b-a), da cui AM = a; quindi anche il triangolo AMB è isoscele avendo AM = BM = a; gli angoli alla sua base sono pertanto uguali e l angolo in M è uguale a π 2 θ. Ne segue che γ = 2 θ; quindi, essendo θ + 2 γ = π, sarà θ + 4 θ = π, cioè 20

21 5 θ = π quindi θ = π / 5; ma essendo π / 5 un decimo dell angolo giro, ne discende che la base del triangolo è il lato del decagono regolare inscritto nel cerchio che ha per raggio il lato. Figura 2-4. Il decagono regolare ha il lato che è la sezione aurea del raggio del cerchio in cui è inscritto. E vero anche l inverso, cioè: Se in un triangolo isoscele l angolo al vertice è di π/5, allora la base è la sezione aurea del lato. Se infatti nel triangolo CAB isoscele sulla base a (Figura 2-5) l angolo al vertice è di π /5, essendo la somma degli angoli interni pari a π ed essendo gli angoli alla base uguali, questi saranno di 2 π /5. Individuando per costruzione il punto M sul lato AC tale che MB = CB, ne segue che il triangolo MBC è isoscele e simile al triangolo originario quindi con i lati in proporzione: AC : CB = CB : MC Anche il triangolo BMA sarà isoscele avendo gli angoli alla base AB uguali; sarà quindi: MA = MB = CB, e quindi: MC = (AC MA) = (AC CB), che sostituita nella proporzione precedente verifica che la base CB è la sezione aurea del lato AC. 21

22 A M b b a C a B Figura 2-5. Il triangolo aureo. Collegando alternativamente i vertici del decagono si ottiene il pentagono regolare inscritto nel cerchio (Figura 2-6); tracciatone due diagonali dallo stesso vertice, essendo l angolo alla circonferenza metà di quello al centro di 2π/5, si ripropone con il lato opposto al vertice il triangolo isoscele con angolo al vertice di π/5; ne segue che in un pentagono regolare il lato è la sezione aurea della diagonale. π / 5 2π / 5 Figura 2-6. Le proprietà del pentagono inscritto nel cerchio. Si può altresì dimostrare che le diagonali si intersecano secondo le loro sezioni auree. Per questi motivi alla stella a cinque punte disegnata dalle diagonali di un pentagono venivano riconosciuti poteri magici. Ricordiamo il Faust di Goethe: quando il dottor Faust volendosi liberare del diavolo Mefistofele lo invita ad uscire, questi si rifiuta, poiché sulla porta è appesa una stella a cinque punte, dicendo: Non posso uscire; me lo impedisce un piccolo ostacolo: il piede della strega sulla soglia. 22

23 Ancora: in un diagramma cartesiano un retta di equazione: y = x + 1 rappresenta una crescita lineare, cioè una crescita nella quale l incremento si ottiene sommando a quanto raggiunto sempre la stessa quantità. Una crescita invece in cui l incremento si ottiene moltiplicando quanto raggiunto per una quantità a questo proporzionale si dice quadratica ed è rappre-sentato da una parabola di equazione: y = x 2. I due diagrammi si incontrano in un punto P che determina con gli assi cartesiani un rettangolo aureo, quasi a significare l equilibrio tra una crescita lineare ed una crescita quadratica. 4 Φ Φ 2 3 Figura 2-7. Il rettangolo aureo come soluzione di un sistema di equazioni. 2.3 FIBONACCI E IL NUMERO AUREO Leonardo Pisano, noto anche con il nome di Fibonacci, visse tra il XII il XIII secolo e fu uno dei più grandi matematici del Medioevo (Figura 2-8). Dopo avere assimilato, durante numerosi viaggi, le conoscenze matematiche del mondo arabo, pubblicò intorno al 1202 la sua opera fondamentale, il Liber abaci, con cui si propose di diffondere nel mondo scientifico occidentale le regole di calcolo note agli Arabi, ovvero il sistema decimale ad oggi in uso in Europa. Nato in Italia e vissuto in Nord Africa, con i suoi numerosi viaggi a fianco del padre ha avuto occasione di riconoscere i vantaggi offerti dai sistemi matematici localmente in uso. 23

24 Figura 2-8. Fibonacci e la sua statua a Pisa. Nel Liber Abaci ("Il Libro dell Abaco"), in cui Fibonacci espone i fondamenti di algebra e matematica usati nei paesi arabi, un problema fornisce l occasione per l introduzione della serie numerica che oggi porta il nome del matematico pisano e che si riscontra in numerosi esempi in natura. Tra questi, l approssimazione del Rapporto Aureo Egli propose infatti il seguente problema. Un contadino chiuse nella sua conigliera una coppia di conigli per avviare un allevamento. La coppia prese a prolificare il secondo mese una nuova coppia di conigli. Nei mesi che seguirono la coppia capostipite continuò a generare regolarmente una coppia al mese, e altrettanto fece ciascuna delle coppie generate, ciascuna però a partire dal secondo mese dopo la propria nascita. Quante coppie di conigli popolarono la conigliera dopo il decimo mese se nel frattempo non morì nessun coniglio? 24

25 Il popolamento della conigliera può essere descritto più chiaramente con un grafico (Figura 2-9). Ciascuna coppia di dischetti del grafo rappresenta una coppia di conigli. Le coppie comprese nella striscia di un mese sono le coppie nate in quel mese. Si capisce che durante il primo mese nella conigliera c è una sola coppia, e così nel secondo mese. Ma allo scadere del secondo mese nasce una nuova coppia, e le coppie sono così due. Figura 2-9. Esemplificazione grafica del problema di Fibonacci, che conduce alla definizione dell omonima serie. In ciascuno dei mesi successivi nella conigliera vi sono tante coppie quante quelle del mese precedente, più le coppie nate in quello stesso mese, che sono tante quante le coppie già in grado di prolificare, cioè con almeno due mesi di anzianità. Pertanto il numero delle coppie in ciascun mese (successivo al secondo) è uguale alla somma dei numeri delle coppie dei due mesi che lo precedono: C = C + C n+ 2 n+ 1 n Possiamo proseguire il calcolo della successione numerica fino al mese che si vuole: 1 ; l ; 2 ; 3 ; 5 ; 8 ; 13 ; 21 ; 34 ; 55 ; 89 ; 144 ; 233 ; 377 ; Questa successione numerica è chiamata successione di Fibonacci. Questa successione ha molte curiose proprietà; ne riportiamo alcune: 25

26 1. Ogni due numeri ve n è uno divisibile per due, ogni tre numeri ve n è uno divisibile per tre, ogni quattro numeri ve n è uno divisibile per cinque,, ogni n numeri vi è o un numero primo o un numero divisibile per lo stesso numero primo. 2. Comunque si prendano due elementi, in posizione n-esima ed m-esima, il loro Massimo Comune Divisore è un elemento della successione di posizione p, M.C.D. tra n ed m. 3. Il quadrato di ogni elemento differisce di uno (alternativamente in più o in meno) dal prodotto del precedente per il successivo. 4. Sommando alternativamente gli elementi della successione (uno sì ed uno no) il risultato è sempre l elemento successivo all ultimo sommato. ed altre ancora per le quali si rimanda alle numerose trattazioni specifiche sull argomento. Ma sopra tutte ha rilevanza la proprietà che segue, che mette in relazione la successione con il Numero Aureo. Quale relazione c è tra la successione di Fibonacci e il Numero Aureo? Osserviamo quest altra successione di potenze di ϕ. 1 ; ϕ ; ϕ 2 ; ϕ 3 ; ϕ 4 ; ϕ 5 ; Il primo termine della successione è 1. Ciascuno degli altri termini si ottiene da quello che lo precede moltiplicandolo per ϕ. Se poi ricordiamo che, da una precedente equazione che: 2 ϕ ϕ 1= 0 possiamo allora scrivere l uguaglianza: 2 ϕ =ϕ+ 1 che può essere resa più generale moltiplicando ambo i membri per n ϕ, ottenendo: 26

27 n+ 2 n+ 1 n ϕ =ϕ +ϕ Come nella successione di Fibonacci, anche nella successione delle potenze di ϕ, ciascun termine (successivo al secondo) si ricava sommando due termini che lo precedono. Ma c è un analogia più sconcertante. Il rapporto tra un termine della successione delle potenze di ϕ e il termine che lo precede è sempre lo stesso: è ϕ. ϕ n+ 1 ϕ n = ϕ Il rapporto tra un termine della successione di Fibonacci e il termine che lo precede, cioè il rapporto C n+ 1 C n, non è ϕ, ma si avvicina progressivamente a ϕ, al crescere del valore di n: lim n C n+ 1 C n = ϕ Questa proprietà si può verificare dalla seguente tabella, da cui si vede che il rapporto converge molto rapidamente e dopo alcuni elementi approssima già ottimamente ϕ : n+ 1 n 1 C + C n C 1-1 1, , , , , , , , , , ,

28 233 1, , , , , , , , IL RETTANGOLO AUREO Un rettangolo aureo è un qualsiasi rettangolo i cui lati stanno nel rapporto aureo. Un rettangolo aureo può essere facilmente costruito a partire da un quadrato, come mostrato in Figura Figura Costruzione di un rettangolo aureo a partire da un quadrato Sia AEFD questo quadrato. Dal punto A, medio del lato DF, riportiamo sulla retta di DF il segmento A C, uguale ad AE. Si completa poi il rettangolo ABCD, che è il rettangolo aureo avente il lato minore uguale al lato del quadrato. Il rettangolo EBCF è invece il rettangolo aureo avente il suo lato maggiore uguale al lato del quadrato. Altri rettangoli aurei possono ottenersi da quelli già costruiti, ingrandendoli o rimpicciolendoli con omotetie. Ma il rettangolo aureo ha anche singolari proprietà generatrici di altri rettangoli aurei e di altre figure. Eccone alcune: 1. Sottraendo da un rettangolo aureo il quadrato costruito sul suo lato minore, si ottiene un altro rettangolo aureo (Figura 2-11). 28

29 2. Sommando ad un rettangolo aureo il quadrato costruito sul suo lato maggiore si ottiene un altro rettangolo aureo. Le due operazioni possono essere reiterate ottenendo una successione di quadrati e di rettangoli aurei che circoscrivono una spirale (Figura 2-12, sinistra). 3. ABCD è un rettangolo aureo e AC è una sua diagonale (Figura 2-12, destra). Per il punto C si conduca CA 1 perpendicolare a CA (dalla parte del lato minore) sino ad incontrare in A 1 il prolungamento del lato AB. Il rettangolo CBA 1 D 1 è anch esso un rettangolo aureo. L operazione può essere reiterata: le diagonali dei rettangoli aurei costruiti compongono una spirale quadrata; conducendo la perpendicolare CA 1 dalla parte del lato maggiore, si ottiene una spirale divergente. Figura Costruzione sequenziale di rettangoli aurei. Sottraendo ad un rettangolo aureo il quadrato costruito sul lato minore, si ottiene un altro rettangolo aureo. Figura Spirali logaritmiche costruite sulla base di rettangoli aurei. Si osservi che la proprietà 1 ha anche come conseguenza che le diagonali DB e EC dei due rettangoli, tracciate come nella Figura 2-13, sono perpendicolari. 29

30 Figura Proprietà delle diagonali di un rettangolo aureo. Dalle proprietà enunciate si ricava quindi un procedimento costruttivo per rettangoli aurei, a condizione però che sia già noto uno di essi. Le operazioni da farsi per costruire altri rettangoli aurei sono quelle indicate nelle proprietà a cui si è fatto riferimento, e cioè sottrarre dai rettangolo già noto il quadrato del suo lato minore, o sommare ad esso il quadrato del lato maggiore. Le due operazioni possono essere reiterate quante volte si vuole, in una procedura ricorsiva, e, da un nucleo germinativo iniziale (il rettangolo aureo originario) viene a svilupparsi una successione di rettangoli aurei. Se si ha cura di sommare i quadrati seguendo sempre uno stesso verso di rotazione attorno ai primo rettangolo, e di sottrarli seguendo invece il verso opposto (Figura 2-14), la successione fiorirà, inesauribile nei due sensi, sia dilatandosi (in rettangoli aurei arbitrariamente grandi) in modo da invadere l intero piano esterno al rettangolo originario, sia contraendosi (in rettangoli aurei arbitrariamente piccoli) verso un ben determinato centro locale: il punto (unico) comune a tutti i rettangoli della successione. 30

31 Figura Successione di rettangoli aurei, a formare una spirale aurea, o logaritmica. Figura Un nautilus. 31

32 Figura La scala a volute a spirale aurea dell abbazia benedettina di Melk (Austria). Nella Figura 2-14 i centri dei quadrati, via via sommati o sottratti. sono stati congiunti, nell ordine in cui si sono succeduti, da una linea spirale che ci rimanda all elegante voluta della chiocciola dei nautilus, un mollusco dei mari tropicali (Figura 2-15). La spirale, detta logaritmica, si ritrova anche in architettura, ad esempio nell abbazia benedettina di Melk (Austria), iniziata nell XI secolo (Figura 2-16). La spirale logaritmica è una delle curve più famose e fu probabilmente considerata già dagli antichi egizi; lo fu certamente dagli antichi greci, ma occorre attendere il 17 secolo per una prima rigorosa definizione ed un approfondito studio delle sue proprietà. La definizione più ricca di fantasia è quella che la vuole traiettoria di un punto che si muove su una semiretta con velocità proporzionale alla distanza dall origine, mentre la semiretta ruota uniformemente intorno alla sua origine ; ricorda un po la definizione del logaritmo data dal suo inventore Neper, e forse anche per questo è riferita come spirale logaritmica. 32

33 3 LA SEZIONE AUREA NELLA STORIA DELL ARCHITETTURA La sezione aurea aveva un ruolo preponderante nelle linee architettoniche egiziane greche e gotiche; ciò è la conseguenza non solo della presenza in questi schemi di decagoni e di pentagoni inscritti nella circonferenza di orientamento, o dell impiego cosciente di volumi e di proporzioni risultanti dall iscrizione dell icosaedro e del dodecaedro nella sfera. ma anche del fatto che, durante l epoca aurea dell architettura greca, il corpo umano fu considerato come il più perfetto esempio vivente di simmetria e di eurytmia, dovendo servire all architetto di ispirazione se non addirittura come modello per la composizione delle linee. Lo stesso Vitruvio fa consistere la bellezza nella eurytmia e nella simmetria; egli insiste a lungo a proposito, e quando tratterà delle colonne, comparerà le proporzioni della colonna dorica (modulo di 6/1, fra l altezza e il diametro medio) a quello del corpo maschile, quelle delle colonne ioniche (modulo 8/1) evocheranno invece il corpo grazioso della donna. e quello delle colonne corinzie i corpi slanciati delle vergini. Questo punto di vista non è del resto che la trasposizione nel campo della forma geometrica del concetto di corrispondenza fra il Macrocosmo (Universo) e il Microcosmo (l uomo), del quale il Timeo ci offre una versione metafisica (con anche un triplo gioco di corrispondenze fra il corpo umano, l anima umana e l Anima del Mondo); la corrispondenza fra la forma del tempio e l universo si trova già menzionata in Egitto, ma l idea di realizzarla, non prendendo alla lettera quale modello intermedio il corpo umano, bensì il gioco sottilissimo di proporzioni e di armonie che vi si svelano, sembra specificamente greco. 3.1 LA GRANDE PIRAMIDE DI CHEOPE Storicamente le prime applicazioni del Rapporto Aureo risalgono agli antichi Egizi. Nella stele del re Get, proveniente da Abido (antica capitale dell Egitto nel periodo predinastico) ed oggi al Louvre, si osserva al centro un rettangolo aureo, nella cui parte bassa il quadrato costruito sul lato più corto, sezione aurea di quello più lungo, contiene la città mentre nella parte rimanente, che per quanto visto sopra è ancora un rettangolo aureo, è riportato il serpente simbolo del re. Il reperto risalirebbe alla prima dinastia, quindi a quasi 5000 anni fa. 33

34 Figura 3-1. La stele del Re Get. La proporzione aurea vi svolge un ruolo non secondario: sia nell assetto di Horus che nel rettangolo del Palazzo; il rettangolo in cui ondeggia il serpente è in rapporto aureo col quadrato costituito dal palazzo: il re è la parte aurea della terra regale. Un esempio evidente di purissimo stile geometrico sono le piramidi egiziane. Gli architetti di quel periodo riescono a costruire mediante blocchi uguali che assumono il valore di modulo. La piramide di Cheope è la più grande del complesso di Gizah (XVII XVI sec. a.c.) ed è alta 137 metri (Figura 3-2). 34

35 Figura 3-2. La Grande Piramide di Cheope. L imponenza e la bellezza della Grande Piramide rendono questo antico monumento uno dei luoghi più insoliti di tutto il pianeta. Essa era costituita in origine da quasi due milioni e mezzo di blocchi di pietra. Il peso medio di ogni blocco è di circa due tonnellate e mezzo. I suoi lati sono perfettamente allineati in direzione nord-sud e est-ovest (l errore dell allineamento è di solo 3 e 6"). Il piano di appoggio è perfettamente orizzontale: l angolo sud-orientale è appena dodici millimetri più alto di quello nord-occidentale. Se a questi dati si unisce il fatto che essa fu costruita verso il 2500 a.c., non si può che rimanere pieni di meraviglia. Nella Grande Piramide le proporzioni tra le dimensioni non sono casuali; oltre che rispondere a canoni estetici, richiamano alcune tra le più importanti costanti della matematica. Partiamo dalle misure (Figura 3-3): il lato di base: b = 232 m. l altezza della faccia laterale: h = 187 m. lo spigolo: h = 220 m. 35

36 che supponiamo note con un errore minore di +/-.5 m. Le incertezze sono d obbligo in considerazione della indisponibilità del rivestimento esterno che solo potrebbe fornire le esatte dimensioni finali. h h h b h α b d h Figura 3-3. Le dimensioni della Grande Piramide. Si possono quindi dedurre la diagonale di base d: d = 2 b= 1, = 328 m e l altezza h, deducibile da h o da h : 2 2 h= h ( b 2) = = = 146,7 m o: 2 2 h= h ( d 2) = = = 146,6 m 36

37 Con l imprecisione che deriva dai dati di partenza. Inoltre ogni faccia laterale forma con il piano di base (orizzontale) un angolo α di circa ; questo indicherebbe un valore dell altezza h di: h= ( b 2) tan(51 50') = 116 1, = 147,5 m Una prima ipotesi è che il progettista, fissata la base b, abbia scelto l altezza h tale che il perimetro di base fosse uguale alla circonferenza che ha per raggio h (c = 2 h). In questo modo l altezza avrebbe un valore dato da: b 4 b 4b= 2πh h= 2 = = 1, = 147,7... π π 2 molto prossimo al valore stimato con le misure. Per spiegare la differenza spesso si porta a giustificazione l assunto secondo il quale gli antichi egizi assegnassero a π il valore 3,16. Questa convinzione deriva dal fatto che nei pochissimi testi pervenutici in cui si trattava di matematica, si indicava tale valore per π, senza considerare lo scopo di tali testi, che probabilmente era o didattico (diretto ad allievi che oggi possiamo assimilare a studenti di scuola media) o pratico, diretto ad esempio ad agrimensori. In entrambi i casi non era conveniente per lo scopo del testo dare indicazioni molto precise sul valore della costante. E come se lo sviluppo della nostra civiltà venisse giudicata da un libro di scuola media. Molto più probabilmente gli esperti egizi conoscevano molto bene il valore di π con molte cifre significative; né altrimenti potrebbe essere per una tecnologia che ha prodotto capolavori che ancora oggi stupiscono per la loro perfezione sia estetica che tecnica. Forse non era nota la natura irrazionale della costante o qualche metodo per dedurne il valore teoricamente con la precisione voluta, ma certamente tale valore poteva facilmente essere ricavato con almeno 4 o 5 cifre significative con accurate misurazioni di raggi e circonferenze. Si ritiene pertanto che le differenze siano piuttosto dovute all incertezza sui dati di partenza. Una seconda ipotesi (Figura 3-4) vorrebbe che la metà del lato di base b/2 sia la sezione aurea dell altezza della faccia laterale h. In questo modo l altezza avrebbe un valore dato da: 37

38 2 2 h b b =ϕ h= ( ϕ 1) = b ϕ= 1, = 147, anch esso molto prossimo al valore stimato con le misure e praticamente coincidente con il valore ottenuto nella prima ipotesi. Questa seconda ipotesi appare la più plausibile per il fascino che la sezione aurea ha sempre esercitato in architettura. Figura 3-4. La piramide di Cheope. La lunghezza dello spigolo è ottenuta dalla semibase moltiplicata per il numero aureo, mentre l altezza è la radice quadrata di questo. Ma balena una affascinante terza ipotesi, che cioè gli antichi egizi conoscessero entrambe le costanti ed avessero scoperto la straordinaria coincidenza per la quale: 4 ϕ π con una differenza minore dello 0.1% ed abbiano voluto immortalare nel monumento questa scoperta. Con riferimento alla Figura 3-5, si riporta di seguito una citazione da Ghyka riguardante un altra ipotesi di individuazione della sezione aurea nella geometria della Piramide. Sembra che le approssimazioni intere (in cubiti egiziani o multipli o semplici del cubito) siano spesso state impiegate di preferenza alla sezione aurea rigorosamente. Queste approssimazioni sono invariabilmente improntate ai termini della serie di Fibonacci. Il semitriangolo meridiano della Grande Piramide (triangolo rettangolo dove l ipotenusa e il piccolo lato sono a prima vista nel rapporto rigoroso della sezione aurea) sembra risultare, se lo si 38

39 chiama r (m 0,524) il cubito reale egiziano di una costruzione molto ingegnosa che parte da A + C = 144 4r, allora C = 89 4r e A = 55 4r (55, 89 e 144 sono esattamente tre termini consecutivi della serie di Fibonacci, e 144 è anche il quadrato di 12). L altezza h di questo triangolo rettangolo e della piramide (m 146,6) è approssimativamente 2 2 uguale a 70 4r, a causa della curiosa coincidenza = 7925 e 89 = La lunghezza dei lati di base della piramide in seguito a questo sistema sarà teoricamente 2A = ,524 = 230,560 m. 2 Dunque le ultime misure precise effettuate sul luogo nel 1925 danno per la media dei quattro lati di base (con uno scarto di 20 centimetri tra il più grande ed il più piccolo) il valore di m 230,634 (tavola XLIV, altra media data da Borcherolt: m 230,36). Figura 3-5. Individuazione della sezione aurea nella geometria della piramide, secondo Ghyka. 39

40 3.2 IL TEMPIO DELLA CONCORDIA La pianta del Tempio della Concordia Il Tempio della Concordia ad Agrigento (Figura 3-6) è un altro esempio interessante di tale sistema, poiché la sua lunghezza è rigorosamente uguale a quattro volte il lato del decagono regolare inscritto in un circolo, il cui raggio fosse uguale alla larghezza della facciata. Questo è affermato dal matematico Jules Tonnery, al cui giudizio l archeologo e l architetto Chipiez avevano sottoposto i risultati della loro misurazione sul posto. Con riferimento alla Figura 3-7, si riporta di seguito una citazione di Severini. L analisi di questa pianta ci mostra che il punto di partenza è il quadrato. Si traccia quindi una circonferenza il cui raggio sia uguale alla larghezza della facciata principale, che è la metà del suddetto quadrato, e cioè a b. La ϕ di questo raggio (e cioè la maggiore) è la distanza FA, uguale al lato del decagono inscritto nella circonferenza, il quale lato, portato quattro volte sul lato del quadrato dà la lunghezza totale del tempio. Figura 3-6. Il Tempio della Concordia nella Valle dei Templi di Agrigento. 40

41 E così costruito un rettangolo irrazionale (a b c d) al quale contribuirono il quadrato, il circolo, il decagono, e la sezione aurea. Questa si trova ad ogni passo della costruzione. Infatti intorno al punto A ci sono quattro quadrati, i cui lati in h, in L, e in F sono divisi secondo il nostro rapporto. Se si volesse enunciare in cifre la lunghezza del tempio, si avrebbe una progressione ascendente e discendente di 3:5:8 e 8:5:3. La pianta del tempio consiste dunque in rettangoli della famiglia Sectio Aurea: 3 13, 5 13, 8 13 e 8 13, 5 13m La lunghezza del tempio consiste dunque in quattro rettangoli di uguale grandezza E le diagonali di questi rettangoli sono uguali al lato del pentagono inscritto nella circonferenza. E da notare inoltre che, se si traccia la diagonale dei quadrato (g e), e quella del pentagono (m v), le due diagonali si tagliano in un punto che è la quadrato. ϕ della diagonale e del lato intero del Figura 3-7. Individuazione della sezione aurea nella geometria della pianta del Tempio della Concordia. Da questa breve analisi dei tracciati risulta che il Tempio della Concordia obbedisce ad un sistema di simmetria relativo al quadrato e al pentagono, e che, secondo il metodo greco, altre 41