Esercitazione 3. Soluzione Il raggio della spira varia secondo la legge A = ¼D2. = ¼ 4 4 (D 0 2vt) 2 ; B = BA = ¼ 4 B(D 0 2vt) 2 :

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1 19 Gilberto Giugliarelli 3.1 Una spira circolare di materiale conduttore elastico viene stirata (facendo in modo che continui ad avere forma circolare) fino ad assumere un diametro D 0 = 24.0 cm. Un campo magnetico uniforme B = T la investe perpendicolarmente al suo piano. Lasciata libera, la spira comincia a stringersi per riacquistare le sue dimensioni sicché il raggio diminuisce alla velocità v = 75:0 cm=s. Quanto vale la f.e.m. indotta nella spira dopo 0.1 s da quando la spira è stata lasciata libera? Il raggio della spira varia secondo la legge r = D 0 2 vt! D = D 0 2vt: Conseguentemente, l area della spira e il flusso concatenato con essa seguono le leggi Quindi A = ¼D2 = ¼ 4 4 (D 0 2vt) 2 ; B = BA = ¼ 4 B(D 0 2vt) 2 : E = d B = ¼B(D 0 2vt)vt! E(t = 0:1 s) = 17:0 mv:

2 3.2 Nella figura sono mostrate due spire parallele e coassiali. La spira più piccola (di raggio r) è posta al di sopra della spira più grande (di raggio R) ad una distanza x >> R. In queste condizioni il campo magnetico generato dalla corrente i che scorre nella spira più grande si può considerare costante (uniforme) sulla dx porzione di piano delimitata dalla spira piccola. Supponendo che x aumenti linearmente con velocità : a) determinare il flusso del campo magnetico concatenato con la spira piccola in funzione di x; = v b) calcolare la f.e.m. indotta nella spira piccola; c) determinare il verso della corrente indotta nella spira piccola. 20 Il campo a distanza x dalla spira in basso è dato da B(x) = ¹ 0i 2 (R ed è diretto verso l alto. 2 + x 2 ) 3=2; Nelle condizioni suddette, flusso concatenato con la spira di raggio r e conseguente f.e.m. indotta sono B = ¼r 2 B(x) = ¹ 0i ¼r 2 R 2 2 (R 2 + x 2 ) 3=2; E = d B = ¼r 2dB dx dx = ¹ 0i 3¼r 2 R 2 xv 2 (R 2 + x 2 ) 5=2: Per x >> R abbiamo infine B = ¼¹ 0ir 2 R 2 2x 3 ; E = 3¼¹ 0ir 2 R 2 v 2x 4 : La corrente nella spira di raggio r circola nello stesso verso che in quella di raggio R. R 2

3 21 Gilberto Giugliarelli 3.3 Sia B (0) il flusso attraverso una spira all istante t = 0. Successivamente il campo magnetico ~B~B viene fatto variare in modo continuo, ma non specificato in intensità e direzione, in modo che al tempo t il flusso sia B (t). Si dimostri che la carica totale q(t) che ha attraversato la resistenza R nel tempo t è Dalla legge di Faraday abbiamo che Ma in un tempo la carica che fluisce nel circuito sarà e quindi in un tempo finito E = d d B ) i = E R = 1 d B R : dq = i = 1 R d B; q(t) = 1 R [ B(t) B (0)] = 1 R [ B(0) B (t)] Si noti che questa quantità non dipende da come è stato variato il flusso, ma solo dai suoi valori iniziale e finale. Tale proprietà è spesso ricordata come legge di Felici!

4 22 Gilberto Giugliarelli 3.4 Si consideri un filo conduttore piegato in archi di circonferenza di raggio r = 10.0 cm come mostrato in figura. Nella regione vi sia un campo magnetico uniforme B orientato nel verso delle x crescenti la cui intensità aumenta nel tempo in ragione di 3.0 mt/s. a) Si calcoli l intensità della f.e.m. indotta. b) Qual è la direzione della corrente nel segmento bc? Il flusso di B concatenato con la spira è pari al flusso attraverso il quarto di circonferenza (di raggio r) nel piano yz. Infatti, come superficie dove calcolare tale flusso possiamo considerare quella costituita dal quarto di circonferenza sul piano yz (perpendicolare a B) e i due quarti nei piano xy e zx (paralleli a B). Quindi La corrente nell arco bc scorre da c a b. B = ¼ 4 r2 B; E = d B = ¼ 4 r2db = 2: V:

5 3.5 Si consideri un filo rigido a forma di semicerchio di raggio a, fatto ruotare con frequenza ν in un campo magnetico uniforme (vedi figura). Determinare a) la frequenza e b) l ampiezza della f.e.m. indotta nella spira. 23 L area che il circuito offre al campo magnetico può essere divisa in due parti: la parte al di sotto dell asse di rotazione, A 1, e la parte associata alla spira semi circolare, A 2. A 1 è fissa. A 2 invece varia a causa della rotazione della spira. Tenendo conto del fatto che la normale al piano della spira semicircolare forma un angolo con la perpendicolare al foglio, avremo A 2 (t) = ¼ 2 a2 cos(2¼ºt): Conseguentemente B = (A 1 +A 2 )B! E = d µ B da1 = B + da 2 = ¼ 2 ºBa 2 sin(2¼ºt): Quindi la frequenza della f.e.m. indotta è pari a quella con cui viene fatta ruotare la parte mobile del circuito. Si noti che l area A 1 è ininfluente ai fini del calcolo della f.e.m. indotta!! µ = 2¼ºt

6 24 Gilberto Giugliarelli 3.6 Si consideri una spira rettangolare di lunghezza a, larghezza b e resistenza R, posta in prossimità di un filo rettilineo infinitamente lungo percorso da una corrente i (vedi figura). La distanza tra il centro della spira e il filo sia r. Si determini a) l intensità del flusso di campo magnetico attraverso la spira e b) la corrente indotta nella spira quando essa si allontana dal filo con velocità. Nella regione dove si trova la spira il campo magnetico è entrante e ha ampiezza B(r) = ¹ 0i 2¼r : Per calcolare il flusso di campo magnetico concatenato con la spira, dividiamo l area della spira stessa in striscioline parallele al filo di spessore dr e area adr a distanza r dal filo stesso. Il flusso vale Z Z r+b=2 B = ~B nda = B(r 0 )adr 0 = ¹ Z r+b=2 0ia dr 0 2¼ r 0 B(r0 ) = ¹ µ 0ia r + b=2 2¼ ln : r b=2 r b=2 r b=2 Infine, la f.e.m. indotta con la spira è E = d B = d B dr dr = ¹ 0ia b 2¼ (r + b=2)(r b=2) v = 2¹ 0abiv ¼(4r 2 b 2 ) Si noti che durante l allontanamento nella spira circola una corrente in verso orario.

7 3.7 In figura è mostrata una lunga spira rettangolare, di larghezza L, resistenza R e massa m, immersa in un campo magnetico ~B~B uniforme e orizzontale, il cui verso è entrante nella pagina ed esiste solo al di sopra della linea aa. La spira viene lasciata cadere; durante la caduta essa accelera fino a raggiungere una data velocità limite v lim. Trascurando la resistenza dell aria, si calcoli. 25 Se, all istante t, la velocità della spira in caduta è v, diretta verso il basso, la spira è sede di una f.e.m. indotta pari a E = d B = LvB tale da far circolare nella spira una corrente i in verso orario. A causa di tale corrente, sul lato orizzontale della spira immerso nel campo magnetico nasce una forza F diretta verso l alto µ di ampiezza E F = ilb = LB = L2 B 2 R R v: Dal punto di vista meccanico, applicando la seconda legge della dinamica, avremo dv ma = mg F! mdv = mg L2 B 2 R v: Questa equazione determina istante per istante la velocità di caduta della spira. Al passare del tempo, a causa del suo peso, la velocità della spira aumenterà e questo determinerà un aumento della forza magnetica F e una conseguente diminuzione dell accelerazione. Ad un certo istante, se la spira non esce dal campo magnetico, si potrà realizzare la condizione che F eguagli il peso mg della spira: in tal caso la spira cadrà con velocità costante mg L2 B 2 R v = 0 ) v = v lim = mgr L 2 B 2: D altra parte, risolvendo l equazione precedente (analoga alle equazioni già viste per i circuiti RC e RL) abbiamo L2B2 dv g mr =! ln v = L2 B 2 mrg ³ t ³ t t! v(t) = g L2 B 2 v g mr L 2 B 2 1 e L2 B 2 mr = v lim 1 e L2 B 2 mr mr

8 3.8 La bacchetta conduttrice rappresentata in figura ha lunghezza L = 10 cm e viene spinta lungo un binario conduttore orizzontale e senza attrito, a velocità costante ~v~v (di modulo v = 5:0 m=s). Nella regione in cui si muove la bacchetta vi è un campo magnetico verticale B = 1.2 T orientato in verso uscente dalla pagina. a) Si determini intensità e direzione della f.e.m. indotta nella bacchetta. b) Si calcoli la corrente nella bacchetta, assumendo che la resistenza della bacchetta sia R = 0.40 Ω e che la resistenza del binario sia trascurabile. c) Qual è la potenza termica che viene generata nella bacchetta? d) Si determini la forza che bisogna applicare alla bacchetta per mantenerla in moto uniforme. e) Che potenza deve sviluppare la forza che agisce sulla bacchetta? Come nel precedente problema, la f.e.m. indotta nella bacchetta è pari a E = vlb e quindi la corrente in essa, diretta verso l alto, sarà i = E=R = vlb=r. La potenza termica (potenza dissipata sottoforma di calore) nella bacchetta è µ LBv 2 P T = Ri 2 = R = L2 B 2 v 2 R R : Sulla barretta nasce una forza magnetica F B = ilb = L 2 B 2 v=r diretta verso destra (opposta al moto). Dal punto di vista meccanico, essendo la velocità della bacchetta costante, la forza esterna applicata F dovrà essere uguale ed opposta a F B. Perciò la potenza meccanica sviluppata da tale forza è P M = Fv = F B v = L2 B 2 v R v = L2 B 2 v 2 = P T ; R esattamente uguale alla potenza dissipata nella resistenza. 26

9 3.9 Una sbarretta di rame (resistività ½ = 1: Ð e densità ± = 0: kg=m 3 ) può scorrere mediante contatti striscianti su due guide metalliche connesse elettricamente tra loro. Essa si muove in una regione in cui esiste un campo magnetico uniforme (B = 0.1 T) con linee di forza perpendicolari al piano del foglio e all istante t = 0 viene lanciata con velocità v 0. Calcolare la velocità della sbarretta affinchè essa percorra uno spazio x = 5.0 cm prima di fermarsi. Si trascurino gli attriti dei contatti e si supponga trascurabile la resistenza elettrica delle guide e della connessione rispetto alla resistenza della sbarretta. La f.e.m. indotta nella bacchetta è pari a E = vlb e quindi la corrente in essa, diretta verso l alto, sarà i = vlb=r dove R è la resistenza della sbarretta stessa. Tale corrente è diretta verso l alto e quindi nasce una forza F B = ilb = L 2 B 2 v=r, opposta alla direzione del moto. Conseguentemente, applicando la seconda legge della dinamica abbiamo ma = F B! m dv = B 2 L2 R v: Risolvendo questa equazione differenziale otteniamo dv v = B 2 L2 R! ln v = L2 B 2 v 0 mr t! v(t) = v 0e L2B2 mr t ; che dimostra che la velocità della sbarretta decresce esponenzialmente a zero. Lo spazio complessivamente percorso dalla sbarretta può essere ottenuto come Z segue 1 Z 1 x = v(t) = v 0 e L2 B 2 mr t = mrv L 2 B 2 ) v 0 = L2 B 2 x mr : Si noti che questa relazione poteva essere ottenuta anche applicando la conservazione dell energia nella forma del teorema dell energia cinetica. µ In un tempo infatti varrà l ugualianza 1 d 2 mv2 = F B v! mvdv = L2 B 2 v R v! mdv = B 2 L2 R v = B 2 L2 R dx; dalla quale integrando abbiamo mv 0 = L2 B 2 R x ) v 0 = L2 B 2 x mr = L2 B 2 x (LA±)(½L=A) = B2 x = 3:3 m=s: ±½ 27