Le variabili casuali. Variabile statistica e variabile casuale. Distribuzione di probabilità della v.c X: X P(X) 0 ⅛ 1 ⅜ 3 ⅛

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1 Università di Macerata Facoltà di Scienze Politiche - Anno accademico 009- Una variabile casuale è una variabile che assume determinati valori con determinate probabilità; Ad una variabile casuale è associata una regola che assegna a ciascun valore che la variabile può assumere la corrispondente probabilità pobab Esempio: lancio di 3 monete; v.c.= numero di teste uscite P() P() TTT 3 ⅛ 0 ⅛ TTC ⅛ ⅜ TCT ⅛ ⅜ CTT ⅛ 3 ⅛ TCC ⅛ CTC ⅛ CCT ⅛ CCC 0 ⅛ P() 0 3 Università di Macerata Facoltà di Scienze Politiche - Anno accademico 009- Variabile statistica e variabile casuale Variabile statistica: deriva dalla classificazione di dati rilevati, cioè viene definita empiricamente una volta conosciuti i dati ed averli classificati. Variabile casuale (): assume valori nello spazio dei numeri reali secondo una funzione di probabilità P() Il concetto di variabile casuale è strettamente legato a quello di esperimento, a quello, cioè, di una prova il cui risultato è incerto. E diverso, dunque, dal concetto di variabile definita su una popolazione, di cui io posso conoscere o meno il valore che questa assume sulle singole unità, ma rispetto alla quale non c è nulla di incerto. Università di Macerata Facoltà di Scienze Politiche - Anno accademico 009- Distribuzione di probabilità della v.c : ad ogni possibile valore della v.c si associa una probabilità v.c. discreta P() 0 ⅛ ⅜ ⅜ 3 ⅛ P f P Assumono un numero finito di valori,,, n, con probabilità p p p con probabilità p, p,, p n

2 Università di Macerata Facoltà di Scienze Politiche - Anno accademico 009- Distribuzione di probabilità della v.c : ad ogni possibile valore della v.c si associa una probabilità v.c. discreta P() 0 ⅛ ⅜ ⅜ 3 ⅛ P f P P() TTT 50? TTC 49? TCT..? CTT..? TCC..? CTC..? CCT? CCC 0? Esistono delle formule algebriche che consentono di calcolare, per ciascun valore di una variabile casuale, la probabilità che esso si verifichi Università di Macerata Facoltà di Scienze Politiche - Anno accademico 009- discrete Assumono un numero finito it di valori,,, n, con probabilità p, p,, p n Nel caso discreto, la funzione definisce la funzione di probabilità della v.c.. La funzione di probabilità di tipo discreto soddisfa le condizioni: f f 0 i.. i In molti casi, può essere necessario trovare la probabilità che la v.c. assuma un valore inferiore o uguale ad un dato valore k. Tale probabilità viene definita probabilità cumulata ed è descritta dalla funzione di ripartizione, che viene indicata con F( k). Quindi, se,,, n sono i valori possibili di ordinati in senso crescente, la probabilità cumulata sarà: F f f f k i k Università di Macerata Facoltà di Scienze Politiche - Anno accademico 009- discrete Esempio: Lancio di tre monete v.c. Numero di teste uscite f 0 P 0 PC C C f 3 P P T C C C T C C C T f P P T T C T C T C T T 3 f 3 P 3 PT T T F 0 3 F 3 3 F 3 3 F 3 Università di Macerata Facoltà di Scienze Politiche - Anno accademico 009- discrete Esempio: Lancio di tre monete v.c. Numero di teste uscite f 0 P 0 f 3 P f P 3 f 3 P 3 F() 0 3 (numero F 0 di teste) 3 F 3 3 F 3 3 F (numero di teste)

3 Università di Macerata Facoltà di Scienze Politiche - Anno accademico 009- continue Una variabile casuale continua è una v.c. che può assumere un numero infinito di valori compresi in un intervallo di ampiezza finita o infinita. A differenza di quanto accade nel caso discreto, non è possibile ottenere la probabilità che la variabile assuma un qualsiasi valore interno all intervallo sommando le probabilità dei singoli punti che lo compongono, in quanto i punti sono infiniti e una somma infinita di valori finiti non può dare l unità unità. Università di Macerata Facoltà di Scienze Politiche - Anno accademico 009- continue Una variabile casuale è, allora, continua se esiste una funzione tale che: b P a b f d a dove a e b sono numeri reali qualsiasi, con a<b. Funzione di densità di probabilità: la funzione matematica per cui l area sottesa alla funzione, corrispondente ad un certo intervallo, è uguale alla probabilità che assuma un valore in quell intervallo Il c.d. paradosso della continuità viene risolto ricorrendo al concetto di area, assegnando probabilità a singoli intervalli piuttosto che a singoli punti e rappresentando le probabilità come delle aree su degli intervalli. Università di Macerata Facoltà di Scienze Politiche - Anno accademico 009- Università di Macerata Facoltà di Scienze Politiche - Anno accademico 009- continue La funzione f( ) viene definita funzione di densità di probabilità (f.d.p.) o densità di probabilità di. In questo caso, tuttavia, la funzione non può essere interpretata come la P(=), in quanto tale probabilità sarà sempre nulla, per v.c. di tipo continuo. Quindi, la probabilità di ottenere esattamente il risultato è generalmente nulla anche se l evento levento non è strettamente impossibile. continue Funzioni di densità e corrispondenti funzioni di ripartizione: E invece possibile definire la funzione di ripartizione: F P f d che conserva il suo significato.

4 Università di Macerata Facoltà di Scienze Politiche - Anno accademico 009- n Valore atteso di una v.c discreta: E i P i Varianza di una v.c discreta: n i i P i Valore atteso di una v.c continua: i E f d Varianza di una v.c continua: f d Università di Macerata Facoltà di Scienze Politiche - Anno accademico 009- Esempio Un amico ci propone un gioco i cui risultati ti possono essere A, B o C con probabilità bilità di realizzarsi pari, rispettivamente, a 0,, 0, e 0,7. Se esce A, sivincono0euro, se esce B se ne vincono 0 mentre se esce C se ne perdono 0. Ci si chiede quale sarà il guadagno, o la perdita, che ci si deve attendere per un numero elevato di giocate. E chiaro che il risultato del gioco sarà dato dall ammontare che si vince quando si presenta A o B, ognuno moltiplicato per le rispettive probabilità, sommato all ammontare che si perde quando si presenta C, ponderato con la rispettiva probabilità. Avremo dunque: 0 0, 0 0, 0 0,7 3 Il gioco ha, cioè, un valore negativo, e più precisamente una perdita di 3 a partita. I 3 euro non rappresentano l ammontare lammontareche si perde in una singola giocata ma ciò che si perderebbe in media, per partita, se si giocasse un numero elevato di volte (infatti, nella singola giocata o si vincono 0 o 0 euro o se ne perdono 0, ma non se ne potranno mai perdere 3). Questa somma, tuttavia, rappresenta una sintesi dei diversi risultati del gioco, i quali portano a perdere, in media, 3 euro ogni giocata, e quindi non si avrà interesse a giocare perché il gioco non è equo. Università di Macerata Facoltà di Scienze Politiche - Anno accademico 009- Università di Macerata Facoltà di Scienze Politiche - Anno accademico 009- La variabile casuale di Bernoulli ~ Ber(p) La variabile casuale di Bernoulli ~ Ber(p) E una v.c. che trae origine i da una prova nella quale interessa verificare se l evento E si è verificato o meno. E legata a prove di tipo dicotomico (o dicotomizzabili) i cui due possibili risultati vengono indicati con i termini successo () e insucesso (0), (senza per questo intendere che l evento successo sia necessariamente un evento piacevole! ) Formalmente, una v.c. discreta si definisce v.c. di Bernoulli se assume il valore con probabilità p e il valore 0 con probabilità -p. La sua distribuzione di probabilità è: P p p I suoi momenti caratteristici risultano essere: E p ; Var p p ; N.B. La varianza della v.c. di Bernoulli assume valore ao massimo (/4) quando è p=/. E questo, infatti, il caso di massima incertezza, in cui risulta più difficile prevedere il risultato.

5 Università di Macerata Facoltà di Scienze Politiche - Anno accademico 009- La v.c. binomiale i Esperimento binomiale: n prove bernoulliane (ogni prova può avere solo due possibili risultati) indipendenti, ognuna delle quali ha la stessa probabilità di successo successo o insuccesso; probabilità costante in tutte le prove estrazioni indipendenti (estrazioni con ripetizione). V.C. Binomiale : numero di successi in n prove p: probabilità di successo in una prova -p: probabilità di insuccesso in una prova Università di Macerata Facoltà di Scienze Politiche - Anno accademico 009- Un esempio Un sistema informativo aziendale deve raccogliere, processare, immagazzinare e distribuire informazione al fine di facilitare i processi di pianificazione, decisione e controllo. Uno dei compiti del sistema informativo consiste in una revisione degli ordini di vendita della società per individuare eventuali errori nella forma o nell informazione contenuta. Presso una casa farmaceutica la probabilità che un ordine venga giudicato insoddisfacente dal sistema informativo è stimata pari a 0,. Sulla base di questa informazione, la società vuole calcolare la probabilità che si abbia un certo numero di segnalazioni in un dato campione di ordini di vendita. Università di Macerata Facoltà di Scienze Politiche - Anno accademico 009- Un esempio Per esempio se in un giorno vengono realizzati quattro ordini di vendita, -qual è la probabilità che si abbiano 0 ordini scorretti? -qual è la probabilità che si abbia ordine scorretto? -qual è la probabilità che si abbiano ordini scorretti? -qual è la probabilità che si abbiano 3 ordini scorretti? -qual è la probabilità che si abbiano 4 ordini scorretti? Sequenza Primo ordine Secondo ordine Terzo ordine Quarto ordine Segnalato Segnalato Non segnalato Segnalato p=0, p=0, -p=0,9 p=0, P(3 ordini segnalati nella sequenza precedente)= p p (-p) p = p 3 ( - p) = 0,009 Università di Macerata Facoltà di Scienze Politiche - Anno accademico 009- Un esempio Sequenza : q segnalato, segnalato, non segnalato, segnalato p p (-p) p=p 3 ( - p) = 0,009 Sequenza : segnalato, segnalato, segnalato, non segnalato p p p (-p) = p 3 ( - p) = p p p (-p) = p 3 ( - p) = 0,009 Sequenza 3: segnalato, non segnalato, segnalato, segnalato g, g, g, g p (-p) p p=p 3 ( - p) = 0,009 Sequenza 4: non segnalato, segnalato, segnalato, segnalato (-p) p p p=p 3 ( - p) = 0,009

6 Università di Macerata Facoltà di Scienze Politiche - Anno accademico 009- Università di Macerata Facoltà di Scienze Politiche - Anno accademico 009- Un esempio La v.c. binomiale i Distribuzione di probabilità di : numero di combinazioni in cui possono presentarsi successi in n prove. Numero di possibili sequenze: 4 P(3 ordini scorretti) = 4 0,0009 = 0,0036 n n n! P p p p p! n-! n numero di prove effettuate proporzione di casi che realizzano un successo nella popolazione p (0<p<) E np Var np p ~ Bin(n,p) Università di Macerata Facoltà di Scienze Politiche - Anno accademico 009- La v.c. binomiale i relativa n proporzione di successi in n prove p p E n p Var n n Università di Macerata Facoltà di Scienze Politiche - Anno accademico 009- La v.c. binomiale: i un esempio Esperimento: 50 lanci di una moneta v.c : numero di teste uscite in 50 lanci numero di prove effettuate: 50 (n) probabilità di successo in un lancio: / 50 50! P ! 50-36! n n! P p p p p! n-! n n

7 Università di Macerata Facoltà di Scienze Politiche - Anno accademico 009- La v.c. binomiale: i un esempio Dall'inventario di 4 automobili spedite ad un gruppo di rivenditori, risulta che automobili avevano difetti nell'installazione della radio. Qual è la probabilità che un particolare rivenditore che abbia ricevuto automobili: a) Lericeva tuttett conradio difettose? b) Non ne riceva nessuna con radio difettosa? c) Ne riceva almeno una con radio difettosa? automobili estratte a caso dalla produzione esperimento binomialei probabilità di successo (la radio è difettosa) p=/4 v.c : numero di radio difettose in auto estratte a caso dalla produzione Università di Macerata Facoltà di Scienze Politiche - Anno accademico 009- a) Qual è la probabilità che un particolare rivenditore che abbia ricevuto automobili le riceva tutte con radio difettose? P(=)? n= p=/4=0,5 -p= 075 0,75 n n! P p p p p! n-!! n n 0,5 0,75 0,5 0,75! -! P Università di Macerata Facoltà di Scienze Politiche - Anno accademico 009- Università di Macerata Facoltà di Scienze Politiche - Anno accademico 009- b) Qual è la probabilità che un particolare rivenditore che abbia ricevuto automobili non ne riceva nessuna con radio difettosa? P(=0)? n= p=/4=0,5 -p= 0,75 n n! P p p p p! n-! n n c) Qual è la probabilità che un particolare rivenditore che abbia ricevuto automobili ne riceva almeno una con radio difettosa? n= p=/4=0,5 -p= 0,75 P(>=) =P(=)+P(=)+ P(=)=-P(=0)! P ,5 05 0, ,5 05 0, ! -0! 0 0

8 Università di Macerata Facoltà di Scienze Politiche - Anno accademico 009- Università di Macerata Facoltà di Scienze Politiche - Anno accademico 009- La variabile casuale di Poisson ~ Po() La v.c. di Poisson misura la probabilità bilità di ottenere successi riferendosi però non più a n prove bernoulliane ma ad un ambito circoscritto, temporale o spaziale. Es.: Clienti ad uno sportello bancario in un giorno Tlf Telefonate al centralino VV.FF. in un ora Auto al casello autostradale ogni ora ma anche n di globuli rossi per mm 3 di sangue n di errori tipografici per pagina stampata t. La probabilità del manifestarsi dell evento è costante su tutta la durata dell osservazione.. L intervallo può essere suddiviso in sottointervalli sui quali la probabilità del verificarsi di un evento è piccola e la probabilità del manifestarsi di due eventi è pressocché nulla. La variabile casuale di Poisson ~ Po() Se si osserva un processo di Poisson, il numero di eventi che si manifestano in ogni intervallo è una v.c. di Poisson. Se tali eventi si manifestano al tasso costante, il valore di indicherà il numero di eventi che, in media, si manifesterà per ogni sottointervallo. In una v.c. di Poisson gli eventi si manifestano al tasso costante. Definizione: Una v.c., discreta, segue una distribuzioneib i di Poisson con parametro se assume i valori 0,,, con probabilità definite dalla funzione: P e! ; Var E 3. Il manifestarsi di un evento in un sottointervallo non influenza la probabilità del manifestarsi di un evento in un altro sottointervallo. Gli eventi sono, cioè, indipendenti. Università di Macerata Facoltà di Scienze Politiche - Anno accademico 009- Università di Macerata Facoltà di Scienze Politiche - Anno accademico 009- La variabile casuale di Poisson ~ Po() Approssimazione della distribuzione di Poisson alla Binomiale Quando n la distribuzione di Poisson con parametro =np può servire come approssimazione i alla legge binomiale i di parametri n e p La variabile casuale di Poisson P e! ~ Po() Esercizio: In un centro commerciale, tra le e le 0 arrivano, in media, 7 clienti al minuto. Supponendo che il numero di clienti si distribuisca secondo una legge di Poisson, si calcoli: la probabilità che in un minuto arrivino 3 clienti la probabilità che in un minuto arrivino meno di clienti la probabilità che in tre minuti arrivino 0 clienti

9 Università di Macerata Facoltà di Scienze Politiche - Anno accademico 009- La v.c. normale Università di Macerata Facoltà di Scienze Politiche - Anno accademico 009- La v.c. normale Spessore di 0000 rondelle di ottone prodotte da un azienda Spessori Frequenze (in cm) relative < Da 0.00 a Da 0.0 a Da 0.04 a Da 0.06 a Da00a a Da a Da 0.09 a Da a Da a Da 0.09 a Da a > Totale 0000 Università di Macerata Facoltà di Scienze Politiche - Anno accademico 009- Università di Macerata Facoltà di Scienze Politiche - Anno accademico 009- Una variabile casuale segue una distribuzione Normale, con media e varianza, se la sua funzione di densità di probabilità è data da: f e Caratteristiche della distribuzione Normale. Forma campanulare e simmetrica. Media, mediana e moda coincidenti 3. Punto di flesso a distanza dalla media Una variabile casuale segue una distribuzione Normale, con media e varianza, se la sua funzione di densità di probabilità è data da: f e 6% Caratteristiche della distribuzione Normale. Forma campanulare e simmetrica. Media, mediana e moda coincidenti 3. Punto di flesso a distanza dalla media 4. Circa il 6% dei casi è compreso nell intervallo ±

10 Università di Macerata Facoltà di Scienze Politiche - Anno accademico 009- Università di Macerata Facoltà di Scienze Politiche - Anno accademico 009- Una variabile casuale segue una distribuzione Normale, con media e varianza, se la sua funzione di densità di probabilità è data da: f e 95% Caratteristiche della distribuzione Normale. Forma campanulare e simmetrica. Media, mediana e moda coincidenti 3. Punto di flesso a distanza dalla media 4. Circa il 6% dei casi è compreso nell intervallo ± 5. Circa il 95% dei casi è compreso nell intervallo ± Una variabile casuale segue una distribuzione Normale, con media e varianza, se la sua funzione di densità di probabilità è data da: f e 99% Caratteristiche della distribuzione Normale. Forma campanulare e simmetrica. Media, mediana e moda coincidenti 3. Punto di flesso a distanza dalla media 4. Circa il 6% dei casi è compreso nell intervallo ± 5. Circa il 95% dei casi è compreso nell intervallo ± 6. Circa il 99% dei casi è compreso nell intervallo ±3 Università di Macerata Facoltà di Scienze Politiche - Anno accademico 009- Università di Macerata Facoltà di Scienze Politiche - Anno accademico 009- Una variabile casuale segue una distribuzione Normale, con media e varianza, se la sua funzione di densità di probabilità è data da: f e Una variabile casuale segue una distribuzione Normale, con media evarianza, se la sua funzione di densità di probabilità è data da: f e Caratteristiche della distribuzione Normale. Forma campanulare e simmetrica Caratteristiche della distribuzione Normale. Forma campanulare e simmetrica. Media, mediana e moda coincidenti. Media, mediana e moda coincidenti 3. Punto di flesso a distanza dalla media 3. Punto di flesso a distanza dalla media 4. Circa il 6% dei casi è compreso nell intervallo ± 4. Circa il 6% dei casi è compreso nell intervallo ± 5. Circa il 95% dei casi è compreso nell intervallo ± 5. Circa il 95% dei casi è compreso nell intervallo ± 6. Circa il 99% dei casi è compreso nell intervallo ±3 6. Circa il 99% dei casi è compreso nell intervallo ±3 7. Un aumento o una diminuzione della media determina uno slittamento, a parità di forma, della curva sull asse delle. 7. Un aumento o una diminuzione della media determina uno slittamento della curva, a parità di forma, sull asse delle.. Un aumento o una diminuzione della varianza determina, rispettivamente, una minore o una maggiore concentrazione di valori attorno al valore medio.

11 Università di Macerata Facoltà di Scienze Politiche - Anno accademico 009- Università di Macerata Facoltà di Scienze Politiche - Anno accademico 009- La v.c. normale ~ N, f Proprietà: e =media; =sqm è simmetrica intorno a il massimo di (moda) si ha in corrispondenza di = punti di flesso: = Mo = Me i valori della curva normale dipendono da e Una macchina produce biscotti il cui peso si distribuisce come una Normale, con media pari a 5 grammi e scarto quadratico medio pari a 0, grammi. Scegliendo a caso un biscotto, qual è la probabilità che abbia un peso è compreso tra 5, grammi e 5,30 grammi? y e 5 5, 5,30 P 5 5, 5, ,30 5, ~ N(5;0,04) = 5 = 0, e Università di Macerata Facoltà di Scienze Politiche - Anno accademico 009- Università di Macerata Facoltà di Scienze Politiche - Anno accademico 009- standardizzata Una macchina produce biscotti il cui peso si distribuisce come una Normale, con media pari a 5 grammi e scarto quadratico medio pari a 0, grammi. Scegliendo a caso un biscotto, qual è la probabilità che abbia un peso è compreso tra 5, grammi e 5,30 grammi? Qualsiasi distribuzione Normale può essere ricondotta ad una distribuzione con media nulla e varianza unitaria mediante la trasformazione: Z La tavola della distribuzione normale standardizzata E Z E 0 0 Var Z Z ~ N = 0 = Var Le aree sotto la curva Normale standardizzata possono essere calcolate e tabulate una volta per tutte!

12 Università di Macerata Facoltà di Scienze Politiche - Anno accademico 009- Università di Macerata Facoltà di Scienze Politiche - Anno accademico 009- La v.c. normale Z f Proprietà: = 0 = Z e il massimo di si iha per =0 punti di flesso: = ~ N 0, i valori della curva normale standardizzata sono tabulati standardizzata 5 5, 5,30 ~ N = 5 = 0, Qual è la probabilità che il biscotto pesi tra 5, e 5,30 grammi? Fr 5, 5, 30 Z ~ N = 0 = Quali sono i valori standardizzati di =5, e =5,30? 5, 5 Z 0, 6 0, 5,30 5 Z, 5 0, 0,6,5 0 Z Università di Macerata Facoltà di Scienze Politiche - Anno accademico 009- Università di Macerata Facoltà di Scienze Politiche - Anno accademico 009- standardizzata 5 5, 5,30 ~ N = 5 = 0, Qual è la probabilità che il biscotto pesi tra 5, e 5,30 grammi? Z 0 0,6,5 Z Fr 5, 5, 30 0,075 ~ N = 0 = Quali sono i valori standardizzati di =5, e =5,30? Qual è la probabilità compresa tra Z =0,6 e Z =,5? Fr 06 0,6 Z,5 5 0, 433 0,57 0,075 standardizzata Un impresa produce pomodori ed il processo di inscatolamento è stato regolato in modo tale che in ogni barattolo venga introdotta, in media, una quantità di pomodori pari a 3 etti. Lo s.q.m. del peso netto effettivo è 0, etti e si suppone che i pesi siano distribuiti normalmente. Si determini i la probabilità bilità che un barattolo preso a caso contenga una quantità di pomodori compresa tra 3 e 3, etti. : peso inscatolato ~ N(3; 0,) 3 Z ~ N(0,) 0, P(3<<3,)??

13 P Università di Macerata Facoltà di Scienze Politiche - Anno accademico 009- standardizzata 33 0, 3, 3 0, 3 3, P Z P 0 Z Università di Macerata Facoltà di Scienze Politiche - Anno accademico 009- I parametri e sono noti, si vuole conoscere la probabilità che la v.c. assuma valori compresi all interno dell intervallo a, b (a<b). a b Pa b P Pza Z z b Università di Macerata Facoltà di Scienze Politiche - Anno accademico 009- Università di Macerata Facoltà di Scienze Politiche - Anno accademico 009- Approssimazione della distribuzione binomiale Approssimazione della distribuzione binomiale Se n è grande Z Z np ~ Z 0, npq p n ~ Z 0 0, pq n Esempio: determinare la probabilità che, lanciando 400 volte un dado, la faccia 5 compaia almeno 60 volte Lancio di un dado esperimento binomiale probabilità di successo (la faccia uscita è il 5) p=/6=0,7 v.c : numero di uscite della faccia 5 in 400 lanci P ,7 60 P Z, ,7 0,3 P Z

14 Università di Macerata Facoltà di Scienze Politiche - Anno accademico 009- Dove e come studiare S. Borra, A. Di Ciaccio i (00) Statistica ti ti Metodologie per le scienze economiche e sociali McGraw-Hill. Cap. 9 (escluso paragrafi 9.6, 9..3, 9..4, 9..5, 9.). D. Piccolo (004) Statistica per le decisioni Il Mulino. Cap. 9 (escluso paragrafi 9.7, 9., 9.9), Cap. 0. File esercizi variabili casuali e distribuzioni campionarie.pdf Università di Macerata Facoltà di Scienze Politiche - Anno accademico 009- Riepilogo Variabili casuali discrete Funzione di probabilità Funzione di ripartizione Valore atteso Varianza Variabili casuali continue Funzione di densità di probabilità Funzione di ripartizione Valore atteso Varianza Distribuzione ib i di Bernoulli, binomiale, i binomiale i relativa Distribuzione di Poisson Approssimazione della distribuzione di Poisson alla Binomiale Distribuzione Normale Distribuzione Normale standardizzata