Numerazioe biaria Pagia di 9 easy matematica di Adolfo Scimoe SISTEMI DI NUMERAZIONE Sistemi di umerazioe a base fissa Facciamo ormalmete riferimeto a sistemi di umerazioe a base fissa, ad esempio el sistema decimale usiamo ua rappresetazioe posizioale ella quale, le cifre i base alla posizioe che occupao el umero assumoo u valore diverso da quello delle cifre precedeti o di quelle successive. Nel sistema decimale il valore di ogi cifra va moltiplicato per 0, ove co idichiamo la posizioe della cifra a partire dalla destra- Cosiderado il umero 2478 avremo: 3 2 0 2478 = 2 0 + 4 0 + 7 0 + 8 0 I geerale u umero itero positivo N, el sistema decimale si rappreseta el seguete modo 0 N = A0 + A 0 +... + A00 co 0 < A < 0 Voledo rappresetare u umero usado u sistema di umerazioe diverso dal sistema decimale, dobbiamo usare u sistema a base fissa che deve essere così formato:. la base deve essere u umero maggiore di che possiamo idicare co B 2. u isieme di simboli co i quali vegoo rappresetati i umeri ad iiziare dallo zero fio al umero che precede la base, si hao quidi B simboli 3. qualuque umero B verrà rappresetato mediate ua successioe di simboli A; A ;..., A ; A0 ha quidi 0 AA... AA 0 = AB + A B +... + AB + AB 0 () dove gli elemeti A; A ;..., A ; A0 appartegoo all isieme B dei simboli 4. ogi umero miore di verrà rappresetato mediate ua sequeza del tipo 2 0, AA 0... A = AB 0 + AB +... + AB (2) pertato la geerica espressioe poliomiale, i u sistema di umerazioe posizioale che esprime u umero N i ua assegata base B sarà Numerazioe decimale N i = AB i dove Ai B i=. m Il sistema di umerazioe più usato è quello decimale che è formato dalle dieci cifre 0,,2,3,4,5,6,7,8,9. Qualuque itero positivo N viee rappresetato come ua sequeza di cifre decimali e può essere espresso come somma di successive poteza di 0 decresceti i cui ogi poteza è moltiplicata per ua cifra. Ad esempio N = 3982,57 È formato da 3 migliaia 9 cetiaia 8 decie 2 uità 5 decimi 7 cetesimi e può essere espresso ella forma
Numerazioe biaria Pagia 2 di 9 easy matematica di Adolfo Scimoe 3 0 + 9 0 + 8 0 + 2 0 + 5 0 + 3 0 3 2 0 2 Sistema di umerazioe biaria Notevole importaza riveste il sistema di umerazioe i base 2 o sistema biario, per le applicazioi che ha el fuzioameto delle calcolatrici elettroiche e dei computers; ricordiamo che la registrazioe dei dati si ottiee mediate l apertura o la chiusura di u circuito elettroico, la cifra 0 rappreseta il circuito aperto metre la cifra il circuito chiuso. Le sue due cifre vegoo idicate co 0 e dette ache bit (abbreviazioe delle parole biary digit). Qualuque umero biario può essere civertito i decimale come somma di ogi sua cifra per il suo : valore posizioale. Esempi (000) = 2 + 0 2 + 0 2 + 2 + 2 + 0 2 + 2 = (77) 6 5 4 3 2 0 2 0 (0,0) = 2 + 2 + 2 + 0 2 + 2 + 0 2 + 2 = (4,625) 3 2 0 2 3 2 0 Il vataggio dell uso del sistema biario deriva dal fatto che si utilizza il mior umero possibile di simboli, l icoveiete è dovuto al fatto che è ecessario u maggior umero di bit per rappresetare u umero rispetto alle cifre utilizzate i u qualuque altro sistema di umerazioe. Coversioe dal sistema decimale a biario Covertiamo separatamete la parte itera e quella frazioaria. Cosideriamo il umero 07,8725 Idichiamo co A la parte itera: dividiamo A ed ogi successivo quoziete per 2 e cosideriamo i resti, il quoziete ullo idica la fie del calcolo. La sequeza dei resti verrà letta dal basso verso l alto. A = 07 quozieti resti 07 : 2 53 53 : 2 26 26 : 2 3 0 3 : 2 6 6 : 2 3 0 3 : 2 : 2 0 oppure
Numerazioe biaria Pagia 3 di 9 easy matematica di Adolfo Scimoe 07 2 53 2 3 26 2 0 3 2 6 2 0 3 2 2 0 Per covertire B = 0,8725 i biario moltiplichiamo B e ogi successiva parte frazioaria per 2 e poi prediamo la parte itera del prodotto Parte itera 0,8725 x 2 =,74430 0,74430 x 2 =,48860 0,48860 x 2 = 0,97720 0 0,97720 x 2 =,95440 0,95440 x 2 =,90880 0,90880 x 2 =,8760 ecc. la fie del calcolo si ha quado la parte frazioaria è uguale a zero. Il umero biario sarà 00,0.. Operazioi el sistema biario Le regole dell aritmetica soo idipedeti dal sistema di umerazioe e quidi soo applicabili al sistema biario. Addizioe La tabella additiva sarà quidi + 0 0 0 0 ovvero 0 + 0 = 0 0 + = + 0 =
Numerazioe biaria Pagia 4 di 9 easy matematica di Adolfo Scimoe + = 0 (0 co il riporto di ) Riporto + 0 0 0 esempio Calcoliamo la somma fra i due umeri A = 000 = 05 (0) B = 0 = 57 (0) 0 0 0 riporto 000+ 0 00000 I passaggi soo i segueti + = 0 riporto + 0 + 0 = 0 + 0 = 0 + = 0 riporto + 0 + = 0 riporto + + = (0 riporto ) 0 + = + = 0 Calcolare la somma 0 + + Posiamo seguire il seguete metodo: addizioiamo i primi due umeri, al risultato della loro somma sommiamo il terzo e così via qualora ve e fossero altri. riporto 0+ 000
Numerazioe biaria Pagia 5 di 9 easy matematica di Adolfo Scimoe riporto 000 + oppure possiamo seguire il metodo diretto riporto 0+ Calcolare 0,0 + 0,0 Si ha: riport Sottrazioe 0, 0+ 0,0 0000, 000 Essedo la sottrazioe l operazioe iversa dell addizioe, avremo la seguete tabella - 0 0 0 co il prestito di dalla cifra precedete 0 ovvero 0 0 = 0 0 = = 0 0 = co il prestito di dalla cifra precedete 0 0
Numerazioe biaria Pagia 6 di 9 easy matematica di Adolfo Scimoe 0 0 / 0 000 000 00 = 0 0 000 / // 00 000 // 0,0,0 00 00 0,000 /// ////,0 00,0 Moltiplicazioe La moltiplicazioe tra due umeri biari segue le medesime regole di quella decimale, teedo presete che: x 0 0 0 0 0 Moltiplicare i umeri 0 = (0) 0 = 5(0) Si ha
Numerazioe biaria Pagia 7 di 9 easy matematica di Adolfo Scimoe 0 0 0 0 0 U caso ricorrete è la moltiplicazioe per 2 o multipli di 2. I questo caso si aggiugoo tati zeri quate soo le volte che si moltiplica per 2 il umero di parteza. 3 Moltiplicare per 8= 2 il umero 0. Si ha il risultato 0000 cioè si aggiugoo tre zeri al umero di parteza 0 Divisioe La divisioe tra umeri biari si effettua allo stesso modo co cui si effettua la divisioe tra umeri decimali 0000 :00 0000 :00 00 00 == 00 00 == 0000: 0000 : 0 00 00 ==
Numerazioe biaria Pagia 8 di 9 easy matematica di Adolfo Scimoe 0:00 0:00 00 0 0 00 0 00 0 resto Se si divide u umero biario per 2 N, basta spostare la virgola di N cifre verso siistra. 3 : Dividere il umero biario 0000 per 8= 2. Si ha il umero biario 00, Complemeti decimali Sia assegato u umero decimale A, per complemeto a 9 di A si itede la differeza del umero le cui cifre soo tutte9 co il umero dato. A = 4308 Si ha 9999 4308 569 Il complemeto a 0 del umero A è ivece il suo complemeto a 9 più Numero decimale 4308 Complemeto a 9 569 + Complemeto a 0 5692 I modo aalogo si procede co i umeri biari. : trovare il complemeto a del umero N = 0000. Si esegue la sottrazioe fra il umero le cui cifre soo tutte co il umero dato 0000 0000
Numerazioe biaria Pagia 9 di 9 easy matematica di Adolfo Scimoe I pratica il complemeto a di u umero biario si ottiee scambiado tra loro gli 0 co gli e viceversa. Assegato u umero N, per otteere il complemeto a 2, si trova prima il complemeto a (cambiado gli 0 i e gli i 0) e poi si somma al risultato otteuto. 0000 0000 + complemeto a 00000 Si ha pertato la seguete regola pratica Assegato u umero N, per otteere il complemeto a 2, si riscrivoo i bit del umero a partire da destra lasciado ivariati gli zeri fio al primo bit, i successivi verrao scambiati 0 i e i 0 0000 00000