Nota su Cesare Arzelà e considerazioni storiche sui curricoli di matematica

Transcript

1 Nota su Cesare Arzelà e considerazioni storiche sui curricoli di matematica Cesare Arzelà fu attivo dagli anni settanta dell ottocento alla prima decade del secolo successivo. Ha dato contributi essenziali all Analisi Matematica ed è stato fra i fondatori, nell ambito italiano, dei nuovi settori dell Analisi Funzionale e del Calcolo delle Variazioni, nati nella matematica europea a cavallo fra i due secoli. Nella summa di storia della matematica del Kline 1, è citato due volte, come citati sono due suoi allievi, Volterra e Tonelli. Quasi coetaneo di Giuseppe Peano, partecipa a quella che taluno ha chiamato un epoca aurea della matematica italiana, che accompagna il realizzarsi del nuovo Stato risorgimentale. A noi preme sottolineare che Arzelà fu per alcuni anni insegnante di scuola media superiore e che non abbandonò mai l interesse per questo segmento formativo. Scrisse libri di testo che ebbero larghissima diffusione e partecipò fino agli ultimi anni di vita alle commissioni dei concorsi a cattedre. E interessante rievocare questa attività riprendendo un passo di un breve curriculum vitae stilato nel 1880: Trasferito nel seguente anno al Liceo di Como, quivi rimasi sino al gennaio 1876, cioè, sino a quando mi fu offerto un incarico nell istituto Tecnico Provinciale di Firenze. Quivi nel 1 anno ho insegnato Algebra, Geometria elementare e trigonometria piana; nel 2 anno, promosso titolare, fui esonerato dall insegnamento della Geometria elementare e conservando gli altri, mi fu, in luogo di quello, affidato l insegnamento dell Algebra Superiore e della Trigonometria Sferica. Nel 3 anno infine, abbandonato l insegnamento dell Algebra elementare, continuai nell insegnamento dell Algebra Complementare e detti un corso di lezioni sul Calcolo Infinitesimale. 2 1 Morris Kline, Mathematical Thought to Ancient to Modern Times, 1972, edizione italiana Storia del Pensiero Matematico, a cura di Alberto Conte, Einaudi, Torino, Per questa citazione e per le successive notizie sulla scuola risorgimentale italiana ci riferiemo a G. Letta-P.L. Papini-L. Pepe, Cesare Arzelà e l Analisi reale in Italia, in

2 A questo punto, qualche riflessione si impone. Ci pare, ma potrebbe essere solo un impressione, che, mutatis mutandis, nell Italia del 1870, nella scuola superiore si facesse più matematica che nell Italia del Lasciando agli storici della scienza e della cultura e della scuola il compito arduo di sciogliere il quesito in modo articolato e rispettoso dei canoni della Storia, ci teniamo però l impressione, corroborata da un fatto che si legge fra le righe della citazione precedente, forse modesto ma interessante. Nella scuola dei primi decenni dello Stato unitario è attiva la Sezione fisico-matematica dell istituto tecnico; essa non avvia i propri alunni ad alcuna attività professionale specifica e consente l accesso ai corsi della Facoltà di Scienze. E la scuola dove l insegnamento della matematica è stato più curato in assoluto dopo l unità d Italia: i programmi sono notevolmente estesi, comprendendo elementi di geometria analitica e di geometria proiettiva, e il calcolo differenziale ed integrale 3. È appunto in tale sezione che insegna Arzelà dal 1876 al 1878 a Firenze, <<con entusiasmo>> dicono i biografi (e si capisce: il curricolo della scuola non era frustrante ed educativamente demotivato, nemmeno per un personaggio della sua statura). E durante questo insegnamento che ha come allievi Volterra 4 e Bettazzi, futuri matematici importanti, i qual incontrano il maestro non all università, ma alla scuola media superiore. Cosa ne fu di questo prezioso patrimonio didattico-scientifico a posteriori della riforma Gentile? Fu fatto a pezzi, organizzativamente e sostanzialmente. Valga un solo dato semplice: il numero di ore dedicate alla matematica nel gentiliano liceo (presunto) scientifico non è neppure paragonabile a quello della citata sezione del risorgimentale istituto tecnico. C.Arzelà, Opere, a cura dell Unione Matematica Italiana, Edizioni Cremonese, Vol I, pp XIII-XXVII, Bologna, G. Letta-P.L. Papini-L. Pepe, op. cit. 4 Vito Volterra fu uno dei più importanti matematici del primo secolo dello stato unitario. Nella Storia del Kline gli è dedicato un paragrafo come fondatore della teoria delle equazioni integrali.

3 Non è questo il luogo per discutere della riforma Gentile 5. Tuttavia, alcune circoscritte considerazioni sul suo impatto sulla didattica della matematica nel nostro paese ( lungo i secoli! 6 E ciò in effetti va oltre i demeriti del Gentile stesso) sono opportune, e non per polemizzare con i fantasmi ma per chiedersi quanto, in concreto, alcune eredità culturali e legislative danneggino ancora oggi il modo di insegnare la matematica. A prescindere dai contenuti, i metodi che si instaurano nella didattica della matematica dei due licei gentiliani privilegiano gli aspetti procedurali, mnemonici, la riduzione della disciplina a strumento per altre scienze o tecniche. Nel liceo scientifico, il calcolo differenziale che pure è previsto dal programma 7, è assente per decenni dagli scritti dell esame di maturità, concentrati sul problema algebrico-geometrico di 2 grado con discussione, che resta all interno della matematica del primo seicento 8. Il degrado tocca il vertice nel programma di matematica del liceo classico, corso di studi certamente valido in molti altri diversi aspetti, che ha formato per decenni la classe dirigente del paese. Chi scrive, occupandosi da qualche anno professionalmente di curricoli 5 Per le notizie sulla riforma Gentile in relazione all insegnamento della matematica e ai dibattiti che suscitò nella comunità matematica italiana degli anni venti ci riferiamo a S. Di Sieno, Storia e Didattica, in S. Di Sieno-A. Guerreggio-P. Nastasi (a cura di) La Matematica Italiana dopo l Unità: gli anni tra le due guerre mondiali, ed. Marcos y Marcos, pp , 1998, Milano. 6 La riforma Gentile è del 1923, e a tutt oggi (2005) persistono licei i cui curricula nemmeno sfiorano la matematica che si faceva negli istituti tecnici del Per rispettare l evoluzione del lessico nei diversi periodi storici, in generale parliamo di programmi riferendoci alla scuola gentiliana e di curricoli riferendoci alla scuola attuale a partire dall autonomia (1999). 8 Fra i tanti esempi possibili si noti che in nessuno dei due licei gentiliani è previsto che gli allievi incontrino il campo C dei numeri complessi, tema culturalmente essenziale e tecnicamente non astruso, indispensabile a una competenza matematica più che elementare. Il sospetto è che non ci sia proprio perché enfatizza quell l aspetto di innovazione concettuale e teoretica che è centrale nella matematica in quanto pensiero.

4 scolastici, ha sempre guardato a questo programma come a qualcosa di misterioso: è un capolavoro in negativo, alla cui definizione hanno evidentemente collaborato il caso, la distrazione, lo spirito dei tempi e l ignoranza. Per quattro anni gli allievi sono sottoposti a una sorta di estensione modesta della matematica per la scuola elementare, se possibile in modo più nozionistico e meno problematico; al quinto anno subentra un bricolage demenziale di calcolo trigonometrico, destituito di ogni collocazione teoretica o motivazione applicativa 9. Come è prevedibile, la maggior parte degli studenti, per generazioni, è uscita da tale presunto corso di matematica stordita da tanta futilità. In un iter di studi in cui si prevede che traduca Tacito, legga Platone in greco, discuta Kant, intraveda Husserl e Wittgenstein, sappia interpretare Pirandello e Kafka, l allievo deve replicare o memorizzare ad nauseam 10 procedure che gli offrono una competenza matematica che sarebbe stata inadeguata per un seminarista del Legioni successive di commendatori (e purtroppo anche di legislatori, e ciò ha avuto conseguenze più gravi), rigorosamente dotati di licenza liceale classica, dichiarano, lungo i decenni, con soddisfazione, <<io non ho mai capito niente di matematica>>. In un cero senso hanno sempre avuto ragione, ma il vero problema è che la matematica non la hanno mai incontrata. Perché? Perché ha avuto luogo sistematicamente, per il vertiginoso periodo di ottant anni, dal nonno al nipote, una tale perversione 9 Fra l altro, dalla precedente citazione del curriculum di Cesare Arzelà, si evince che nel 1876 la trigonometria veniva insegnata al primo anno dell istituto tecnico. 10 La parte di geometria euclidea potrebbe essere la parte significativa del programma. Tuttavia, a livello liceale, se non è modernamente inquadrata come esempio di sistema formale, e in questa ottica storicamente discussa (ma a ciò servirebbe parallelamente una introduzione alla critica dei fondamenti della matematica e alla logica matematica) o usata per risolvere problemi matematicamente interessanti (ma a ciò serve un set di strumenti algebrici e analitici che non vengono dati) resta sterile, confinata a ripetizione di definizioni o a problemi da terza media.

5 educativa e culturale a un tempo? Il basso numero di ore destinato alla disciplina non basta affatto a giustificarla. Il numero di ore destinato alla matematica nel liceo classico gentiliano avrebbe ugualmente consentito un corso di matematica di alto profilo, in sintonia con i paralleli corsi di lettere, filosofia, lingue classiche. Perché nei tre anni del liceo non fare un corso esauriente di teoria assiomatica degli insiemi? Perché non un corso di logica matematica? Oppure, più semplicemente, perché non includere lo studio di funzione e il calcolo differenziale, eventualmente con particolare riguardo alla critica storica dello sviluppo dei concetti? La ragione è il sostanziale travisamento della matematica che è alla radice di tutta la riforma gentiliana, al quale ha corrisposto una diseducazione matematica dei giovani. A tale diseducazione ha corrisposto una sbagliata o assente idea di matematica nella maggioranza della classe dirigente, che a sua volta ha lasciato sostanzialmente indenne il processo stesso di diseducazione. Nel Sommario di Pedagogia del 1934 Gentile scrive: le matematiche sono state in ogni tempo concepite quasi tipo del perfetto conoscere divino, 11 non suscettibile di miglioramento o incremento, sottratte cioè all attività creatrice del soggetto. Tradotto dal lessico di Gentile, è come dire che la matematica non è pensiero. Si è costretti a rilevare che, proprio per gli anni in cui fu scritta, questa è una disumana fattuale sciocchezza. Quattro anni prima (1930) Gödel ha dimostrato i suoi celebri teoremi intorno all indimostrabilità di proposizioni rilevanti vere in teorie sufficientemente espressive, come l Aritmetica, ad esempio. Si noti che, connotato cognitivamente, un teorema di indimostrabilità di una verità può leggersi come un teorema di inconoscibilità di una verità. Qualche decennio prima Hilbert e la sua scuola hanno concluso l invenzione del linguaggio simbolico- 11 In tale quadro anche il perfetto conoscere divino non fa secondo noi una esaltante figura, ma di questo non ci interessiamo.

6 formale della Logica dei Predicati, 12 che è il primo linguaggio artificiale compiutamente espressivo della storia dell umanità. Il punto importante è che agli enti matematici primitivi noti dai secoli precedenti (come numeri, funzioni fra numeri, curve e superfici nello spazio geometrico) si aggiunge ora il linguaggio: il linguaggio e le teorie formalizzate, e quindi anche le stesse teorie elaborate nella pratica matematica usuale come la Geometria e l Analisi, diventano oggetti di indagine matematica, intorno ai quali si dimostrano teoremi, come fino ad allora si è fatto per numeri, funzioni, equazioni, figure. In particolare, si può concludere che le teorie dipendono dagli assiomi che introduce il soggetto teorizzante, e quindi creativo, e che molte e incompatibili teorie matematiche in sé coerenti sono possibili intorno ai medesimi oggetti offerti dall intuizione. Negli stessi anni, Turing inventa come nuovi enti matematici delle macchine astratte in grado di rappresentare i processi di computazione. Unita alla disponibilità del linguaggio logico-matematico artificiale, questa nuova branca della matematica consente nel 1945 a Von Neumann di progettare il primo computer, che è un prodotto matematico, indipendentemente dalle sue future ben note e dirompenti conseguenze tecniche. In sintesi, riteniamo evidente, e lo era per molti anche nel 1923, come mostra il dibattito di allora, 13 che la matematica è una forma di pensiero senza la quale non si può essere consapevoli della modernità. 12 Come è noto, è la conclusione di un cammino cominciato da Frege e, in parte, da Peirce. Su Frege e sui citati risultati di Hilbert, Gödel, Turing e altri si veda, ad esempio, C. Mangione, S. Bozzi, Storia della Logica, Garzanti, Milano, Citiamo da S. Di Sieno, op. cit., p 792, alcuni punti dell analisi della sezione ligure della società Mathesis, chiamata, come le altre, dal consiglio direttivo dell associazione, convocato in riunione straordinaria l 11 febbraio 1923, a dare un parere sulla riforma: la riforma sembra prescindere dal valore formativo intellettuale e morale delle discipline scientifiche ; i provvedimenti (della riforma) relativi all insegnamento delle discipline scientifiche non possono consentire che esso raggiunga lo scopo educativo-culturale né lo scopo informativo per cui è stato introdotto.

7 Ora, con ciò non si intende affatto dire che una competenza matematica esplicita e moderna sia condizione necessaria per pensare e operare intorno alla modernità. Crediamo che il circuito di comunicazione culturale e scientifico sia tale che alcune invenzioni concettuali della matematica entrano nella conoscenza implicita di ogni intellettuale di professione, e quindi di tutte le donne e gli uomini di Scuola, e di chiunque fa professionalmente ricerca in qualsiasi settore disciplinare. Ci spingiamo a sostenere che anche i filosofi a-matematici o anti-matematici usano nella loro costruzione concettuale, in modo più o meno consapevole, alcuni risultati chiave della matematica del novecento, e non solo. Presumibilmente, i teoremi di Gödel hanno avuto un ruolo anche nel tessuto cognitivo di un Derrida 14 filosofante. Del resto, se la copertina della rivista Time assegna a Einstein il ruolo di personaggio più rilevante del secolo trascorso non è per le pur essenziali conseguenze tecniche delle sue ricerche, ma perché la teoria della relatività (che a sua volta esiste in quanto la geometria differenziale moderna le ha consentito di formularsi) fa parte, anche inconsapevolmente, del bagaglio di ogni pensiero razionale odierno. Ma (per fortuna) non tutti sono destinati a diventare intellettuali di professione, ed hanno tuttavia diritto a una formazione adeguata al pensiero matematico. Sarebbe a questo punto una gravissima omissione non ricordare che, dagli anni 70 in poi, molteplici iniziative hanno fatto sì che in una parte significativa della scuola superiore italiana la didattica della matematica non coincida con quella della scuola gentiliana. E utile menzionare con gratitudine sia i promotori sia le innovazioni. 1) Il lavoro di formazione degli insegnanti e di consulenza istituzionale svolto dall Unione Matematica Italiana (UMI), anche attraverso la sua specifica Commissione per l Insegnamento della Matematica (CIIM). 2) A partire dagli anni 80, i programmi sperimentali promossi dalle direzioni generali 14 Purtroppo recentemente scomparso. Derrida è nato nel 1930, ossia negli stessi anni in cui uscivano i lavori di Gödel.

8 ministeriali, sia per gli istituti tecnici (Abacus, Ambra, Ergon, Nautilus ) sia per gli istituti professionali (Progetto 92). Va osservato che con queste sperimentazioni, presto diventate di sistema, il curricolo di matematica degli istituti tecnici è diventato più avanzato, e in alcuni casi di molto, di quello di tutti i licei tradizionali. 3) I piani di studio della commissione Brocca (1992) per la scuola superiore di ogni ordine, adottati come sperimentali da molti licei in tutta Italia. In essi l approccio gentiliano alla scienza e alla matematica è ribaltato. Nel triennio del liceo classico vengono introdotti la Logica dei Predicati, la Teoria degli Insiemi, il Calcolo Differenziale, il Calcolo delle Probabilità. 4) I programmi sperimentali del Piano Nazionale Informatica (PNI) per i licei, che operano uno svecchiamento di metodi e contenuti, particolarmente positivo per il liceo scientifico. 5) L Autonomia delle scuole, che dal 2000 consente alle scuole di progettare una propria offerta curricolare, cambiando i metodi e arricchendo i contenuti. Accanto a ciò va ricordato l estro didattico e scientifico di molti colleghi che, sia pure nell ambito dei programmi del liceo tradizionale, hanno saputo e sanno, con le sole risorse personali, rendere interessante ed educativamente proficuo il corso di matematica. Stanno arrivando comunque per tutte le scuole superiori i curricoli matematici dei licei della riforma. A prescindere da ogni considerazione di contesto, probabilmente, in essi il ruolo della matematica è cambiato e forse ribaltato rispetto ai licei gentiliani. Restano ancora alcune perplessità sul numero di ore destinate alla disciplina, in particolare nel liceo classico. Tuttavia, almeno in linea di principio, l educazione alla matematica in quanto pensiero sembra promossa: sono presenti il calcolo differenziale, il calcolo delle probabilità, l educazione al congetturare e dimostrare, qualche timido cenno di logica formale. E il primo mutamento generale e rilevante dell insegnamento della matematica nella scuola superiore che venga proposto a livello normativo dopo quello del 1923 e i suoi corollari. Speriamo che si realizzi. Paolo Gentilini