GEOMETRIA DINAMICA in EMMA CASTELNUOVO

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1 GEOMETRIA DINAMICA in EMMA CASTELNUOVO Giacomo Balla: Velocità in motocicletta Luisa Lucchini Varese Perché Innovare? «in quel primo anno mi accorsi subito che l insegnamento della geometria euclidea non andava proprio» «Quando facevo geometria i ragazzi non si interessavano a niente e avevano perfettamente ragione di non interessarsi... Decido di cambiare, perché io vedevo i ragazzi spenti» 1

2 Le origini del cambiamento Alexis Claude Clairaut: «Elémentsde Géométrie» 1741 «Non è ammissibile iniziare lo studio della geometria da quanto c è di più astratto e cioè da punto, retta, piano. Si deve partire dal concreto, dalla realtà che ci circonda.» Una certa Matematica è di casa GUIDO CASTELNUOVO Conference Internationale de l Enseignment Mathématique-Parigi, 1914 «Ci domandiamo talvolta se il tempo che dedichiamo alle questioni d insegnamento non sarebbe meglio impiegato nella ricerca scientifica. Ebbene, rispondiamo che è un dovere sociale che ci obbliga a trattare questi problemi. Non basta in effetti produrre la ricchezza; occorre anche procurare che la sua distribuzione avvenga senza ritardi e dispersioni. Enonèforselascienza unaricchezza?» 2

3 Una certa Matematica è di casa GUIDO CASTELNUOVO Congresso Mathesis 1912 «A mio avviso occorre accostare ad ogni passo la teoria all esperienza, la scienza alle applicazioni. Si eviterà in tal modo di perdere quel senso del reale che è tanto necessario nella vita e nella scienza» questi problemi. Non basta in effetti produrre la ricchezza; occorre anche procurare che la sua distribuzione avvenga senza ritardi e dispersioni. Una certa Matematica è di casa FEDERIGO ENRIQUES Conferenza rivolta agli insegnanti di scienze «Ma queste tendenze si riattaccano ad un fatto più generale; cioè al fatto che le matematiche siano state studiate come un organismo a sé, riguardandone piuttosto una sistemazione astratta conseguita dopo uno sviluppo secolare che non l intima ragione storica. Si dimenticano in tal modo i problemi concreti che conferiscono interesse alle teorie» 3

4 Le fonti del suo cammino di ricerca e cambiamento Comenius La conoscenza deve cominciare attraverso i sensi Pestalozzi L istruzione è vera se proviene dall attività dei fanciulli L intuizione è una costruzione Decrolye Montessori Ricerca di materiali ed esperienze che possono esercitare un azione sui sensi e di riflesso sulla mente PiagetEvoluzione del significato di materiale concreto Il materiale deve servire a sviluppare delle leggi che saranno poi necessarie per l acquisizione di un concetto La funzione del materiale deve essere esclusivamente operativa: l attenzione del bambino deve fissarsi sulle trasformazioni da configurazione a configurazione. Emma Castelnuovo GEOMETRIA INTUITIVA Nella prefazione del testo, pubblicato nel 1949, si legge: «Obiettivo principale del corso di Geometria intuitiva è Attraversol'osservazione dei fatti riguardanti la tecnica, l'arte e la natura, suscitare, l'interesse dell'alunno per le proprietà fondamentali delle figure geometriche e con esso, il gusto e l'entusiasmo per la ricerca. Questo gusto non può nascere, credo, se non facendo partecipare l'alunno stesso al lavoro creativo». 4

5 Cosa fare in classe? «E necessario ricorrere all oggetto e all azionese si vuole che l insegnamento della geometria intuitiva abbia un carattere costruttivo e che quindi sia formativo Oggetto e azione non devono seguire uno schema prestabilito ma lasciarsi ispirare ogni volta dalle esigenze della classe che l insegnante avrà la sensibilità di cogliere Ed è proprio forse questa libertà di ideare e di interpretare, ugualmente alla portata del maestro e dell allievo, che costituisce una delle caratteristiche del metodo costruttivo» «L'oggetto e l'azione dell'insegnamento della Geometria intuitiva» materiali per insegnare la Matematica» C.I.E.A.E.M. L ha detto la prof! Dalla prefazione di MATEMATICA NELLA REALTA libro di Matematica e di didattica della Matematica «Lo scopo è quello di abituare i ragazzi alla ricerca autonoma, proponendoci di sviluppare le possibilità di osservazione, l intuizione, il senso critico e in generale, alcune fondamentali attitudini di pensiero. Ciò è particolarmente utile nella vita di oggi, che diventando sempre più complicata, rischia di non essere compresa dalla maggior parte delle persone, in tal modo relegate a un atteggiamento puramente passivo.» 5

6 Geometria intuitiva vs Geometria razionale «Perché un corso di geometria intuitiva? Se ci si basa sull ipotesi che l ente geometrico si formi nella mente umana per astrazione, a partire da osservazioni di oggetti reali e da esperienze su questi, dobbiamo, sul piano didattico, far precedere il corso razionale da un corso a carattere sperimentaledove gli assiomi trovino le loro radici naturali» Scopo del corso di Geometria intuitiva è di dare radici naturali agli assiomi» Geometria intuitiva vs Geometria razionale «Come il lavoro dell archeologo procede dalla superficie alla profondità, dal contemporaneo all antico, e poi comincia un lavoro più astratto, di sistemazione storica Così in geometria dopoil lavoro di scopertache corrisponde allo studio intuitivo, si passa ad un lavoro di ricostruzionedella teoria a partire dagli elementi più semplici che costituiscono le figure. Sonodue studi della Geometria ben distinti, il corso razionale non avrebbe motivo di esistere se non ci fosse il primo, il corso intuitivo.» 6

7 Metodo costruttivo vs Metodo descrittivo «Il metodo descrittivoconsiste in una esposizione in cui vengono presentate delle figure statiche (disegni o modelli fissi) e in cui si premette a volta a volta l enunciazione delle proprietà che si vogliono dimostrare. Il passaggio dal concreto all astratto si svolge attraverso osservazioni sull oggetto» Il metodo costruttivo porta invece ad osservare un fenomeno che riguarda l oggetto, operare, esperimentare sull oggetto per arrivare a cogliere, ad intuire in senso pestalozziano del termine, delle proprietà comuni, ossia degli elementi che variano o degli elementi che non variano secondo una determinata leggi. Il passaggio dal concreto all astratto si svolge attraverso operazioni sull oggetto» Staticità vs Movimento Il disegno è insufficiente per dare al corso di geometria intuitiva un carattere costruttivo perché: Non suggerisce problemi perché offre un numero finito di casi e vincola la libertà di pensiero del bambino Non conduce all osservazione e quindi non può portare all intuizione della verità poiché è statico Non può fornire una immagine reale di una situazione spaziale Le strutture mentali si sviluppano operativamente 7

8 Staticità vs Movimento Bisogna educare prima di tutto ad osservare un concreto. La forza della geometria intuitiva sta nella parola movimento Si tratta di un movimento che stimola la curiosità eche quindi può condurre alla ricerca. Il movimento del materiale attira lo sguardo e conduce ad intuire VARIAZIONE DI AREE E PERIMETRI «Quelli che non hanno nozioni di geometria, se devono determinare, come spesso accade, la grandezza di diverse città, intera cognizione gli par d averne ogni volta che sanno la misura dei loro recinti, ignorando che può essere un recinto uguale a un altro, ma la piazza contenuta da questo, assai maggiore della piazza contenuta da quello» Galileo Galilei 1638 I concetti di perimetro e area, messi a confronto, vengono a chiarirsi reciprocamente. 8

9 RETTANGOLI ISOPERIMETRICI esperienza con lo spago Lo spago è teso tra le quattro dita a mo di rettangolo. Facciamo l esperienza: - avviciniamo le mani ed allarghiamo le dita - poi al contrario allarghiamo le dita avviciniamo le mani I rettangoli sono isoperimetrici perché hanno tutti lo stesso contorno che è lo spago. Avranno anche la stessa area? Verrebbe spontaneo dire di sì: quello che perde l altezza lo guadagna la base e viceversa, ma Continuando ad avvicinare le dita il rettangolo diventa sempre più sottile Si arriva al caso limite in cui il rettangolo si schiaccia sulla base e l altezza va a zero. Ci si chiede, l area va a zero «di colpo» o diminuisce pian piano fin dall inizio? Osserviamo ancora: quando avviciniamo le mani e allarghiamo le dita avremo rettangoli di sempre minore base e sempre maggiore altezza fino a che si raggiunge l altro caso limite: il rettangolo è schiacciato sull altezza; ora l area è zero. Si parte dunque da un area uguale a zero, poi l area aumenta fino al caso del quadrato, dopo diminuisce fino ad arrivare a zero Si capisce che è il quadrato ad avere l area massima 9

10 Dall osservazione al calcolo L area si comporta come la palla lanciata in aria 10

11 Dai numeri al grafico - sull asse delle ascisse i valori delle basi, - su quello delle ordinate i valori delle aree. Per le aree abbiamo preso uguale a 10 la lunghezza del lato di un quadratino L area va considerata nel suo divenire, cioè come funzionee non come una cosa La parabola nella realtà 11

12 Grafico dei rettangoli isoperimetrici L area massima appartiene al quadrato I vertici liberi si trovano su una retta x + y = 12 visione funzionale della formula Problema duale: rettangoli equivalenti E il quadrato che ha il perimetro minimo I vertici liberi si trovano su un arco di curva x. y = 36 èl equazione dell iperbole 12

13 Iperbole nella realtà Palazzo della Regione a Roma TRIANGOLI EQUIVALENTI esperienza con l elastico Sulla tavoletta di legno se ne possono realizzare tanti. Se viene lasciato libero, l anellino si dispone in modo da realizzare il triangolo isoscele Nei triangoli equivalenti di uguale base, è il triangolo isoscele, che ha il perimetro minimo 13

14 TRAPEZI EQUIVALENTI esperienza con l elastico TRAPEZI EQUIVALENTI esperienza con l elastico 14

15 Problema duale: triangoli isoperimetrici I vertici liberi dei triangoli isoperimetrici e di ugual base si trovano su un ellisse. L area rimane la stessa? Quale triangolo ha l area massima? Se i chiodi coincidono lo spago funziona come compasso Il cerchio è dunque un ellisse particolare Nelle orbite dei pianeti: in particolare la Terra descrive un orbita ellittica di cui il Sole occupa uno dei due fuochi L ellisse nella realtà L ombra data dal Sole di un cartello stradale La «bocca» di un vaso, di una tazza, è vista, a distanza, come un ellisse 15

16 IL TRIANGOLO «Si è voluti far partecipi gli allievi degli sforzi compiuti dall umanità nella ricerca della matematica, nella gioia della scoperta e si è pensato che nessun modo fosse più espressivo ed efficace di quello percorso dall umanità stessa» LA VIA DELLA MATEMATICA LA GEOMETRIA Caverna di Altamira: Nella storia dell umanità prima è nato il disegno spontaneo, quello del bambino, poi quello geometrico. «L uomo primitivo non ha avuto davanti agli occhi né triangoli, né quadrati e nemmeno cerchi fino a quando non ha avuto il bisogno di costruirli» Costruzione di triangoli Costruzione: non si deforma Limiti e varietà nella scelta delle strisce Lo possiamo costruire anche con il compasso E se cambio il lato da cui inizio? E lo stesso triangolo Se non interessa la lunghezza basta prendere tre punti nel piano. Tre in qualsiasi posizione? 16

17 Attività di laboratorio GLI ANGOLI A cosa servono gli angoli? «E sempre avvenuto così, nella storia: gli uomini hanno guardato la casa del vicino e si sono detti: «Anch io voglio unacasaugualeaquella,conlostessotettoaspiovente»si spiega in tal modo il sorgere, fin da epoche preistoriche e in ogni regione dove è vissuta una società, di villaggi con delle costruzioni tutte uguali, con dei cortili tutti uguali..» Come fissare la posizione di una stella nel cielo? Esiccomelenottierano360 cosìl angologirofudivisoin 360 parti uguali 17

18 SOMMA DEGLI ANGOLI INTERNI DI UN TRIANGOLO Con la misurazione degli angoli in diversi triangoli, la somma risulta sempre approssimativamente 180. Quando il bambino entra alla scuola media - ha una fiducia illimitata nelle misurazioni -ha una fiducia illimitata in quello che gli dice l occhio -è portato a generalizzare a partire da un piccolo numero di casi E un caso o sarà sempre così? Anche 100 prove non bastano ad asserire che una proprietà è sempre vera. SOMMA DEGLI ANGOLI INTERNI DI UN TRIANGOLO Osserviamo il dispositivo mobile Deve esserci una relazione fra i tre angoli del triangolo Si intuisconoconsiderando i «casi al limite» vertice sulla base e vertice allontanato all infinito «I casi limite sono quelli in cui il materiale si smaterializza; i momenti in cui si attraversa la soglia dal concreto all astrattoattirano maggiormente l attenzione del bambino conducendolo all intuizione della verità» 18

19 «Dimostrazione» Per essere proprio certi di questa proprietà facciamo un altro ragionamento: il triangolo rettangolo è metà di un rettangolo E facile dimostrarlo una volta che si sa quello che dobbiamo provare. QUADRILATERI ARTICOLATI famiglia dei rombi Con quattro strisce uguali il bambino costruisce un quadrato e subito si accorge che è una figura non rigida. Nella trasformazione: Cosa varia? Cosa resta costante? 19

20 QUADRILATERI ARTICOLATI famiglia dei rombi Con il modello articolato nascono una quantità di problemi che non si presenterebbero nel confronto del disegno di un quadrato e di un rombo e nemmeno dal confronto di due figure realizzate in cartone pieno. QUADRILATERI ARTICOLATI famiglia dei parallelogrammi Un esame analogo porta alla famiglia dei parallelogrammi. Faremo osservare che le diagonali del rettangoloche fa parte di questa famiglia sono uguali, mentre non lo sono nel caso dei parallelogrammi. 20

21 QUADRILATERI ARTICOLATI famiglia dei parallelogrammi Alla famiglia dei rombi e a quella dei parallelogrammi appartengono rispettivamente il quadrato e il rombo. Cosa hanno di particolare? QUADRILATERI ARTICOLATI diagonali uguali Basandosi sulla uguaglianza delle diagonali si costruisce il modello articolato. Otterremo un rettangolo variabile che diventa quadrato quando le diagonali si disporranno perpendicolarmente fra loro. 21

22 QUADRILATERI ARTICOLATI diagonali diverse Basandosi sulla disuguaglianza delle diagonali si costruisce il modello articolato. Otterremo un parallelogramma variabile che diventa rombo quando le diagonali si disporranno perpendicolarmente fra loro. L INSIEME DEI PARALLELOGRAMMI Albero genealogico 22

23 QUADRILATERI ARTICOLATI famiglia dei trapezi Se invitate i ragazzi a costruire un quadrilatero scoprono che vi è una forma particolarmente interessante: due lati possono disporsi parallelamente e si ha così il trapezio E ancora, si libera una delle due strisce non parallele, la si fa ruotare ci si accorge che si ha per un istante il parallelogramma; esso si presenta appartenente alla famiglia dei trapezi. CLASSIFICAZIONE DELLE CLASSIFICAZIONI Desiderio di strutturare 23

24 Per approfondire DEFORMAZIONE DI UN PRISMA Non si ha più un prisma perché gli spigoli laterali non sono più paralleli sono sghembi e le facce laterali sono superfici curve 24

25 DEFORMAZIONE DI UN PRISMA Se ruotiamo di 180 la base superiore del prismaattorno al suo centro O, tenendo fissa la base inferiore, si ottengono due piramidi uguali, opposte al vertice. Poliedro -> non poliedro -> poliedro IL CONO E LE CONICHE Per saperne di più 25

26 I BAMBINI AL LAVORO Una questione suggerito da una relazione di Orazio Tedone(1 media ) sul tema «Osservazioni su un triangolo variabile» «Lasciate ai ragazzi il tempo di perdere tempo» In matematica, come nelle altre discipline scientifiche, è elemento fondamentale il laboratorio, inteso sia come luogo fisico sia come momento in cui l alunno è attivo, formula le proprie ipotesi e ne controlla le conseguenze, progetta e sperimenta, discute e argomenta le proprie scelte, impara a raccogliere dati, negozia e costruisce significati, porta a conclusioni temporanee e a nuove aperture la costruzione delle conoscenze personali e collettive Indicazioni Nazionali per il Curricolo -settembre 2012 Matematica 26

27 25/11/2013 GRAZIE! A EMMA CASTELNUOVO PER LA SUA MATEMATICA VIVA E SEMPRE ATTUALE Giacomo Balla: Ragazza che corre sul balcone GRAZIE! A EMMA CASTELNUOVO PER LA SUA MATEMATICA VIVA E SEMPRE ATTUALE A VOI PER L ATTENZIONE Giacomo Balla: Ragazza che corre sul balcone