SU UNA CLASSE DI EQUAZIONI CONSERVATIVE ED IPERBOLICHE COMPLETAMENTE ECCEZIONALI E COMPATIBILI CON UNA LEGGE DI CONSERVAZIONE SUPPLEMENTARE

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1 SU UNA CLASSE DI EQUAZIONI CONSERVATIVE ED IPERBOLICHE COMPLETAMENTE ECCEZIONALI E COMPATIBILI CON UNA LEGGE DI CONSERVAZIONE SUPPLEMENTARE GIOVANNI CRUPI, ANDREA DONATO SUMMARY. We characterze a set of second order hyperbolc conservatve equatons that are both compatble wth a supplementary conservaton law and completely exceptonal. In una recente Nota [] è stata consderata un equazone del secondo ordne, conservatva ed perbolca, del tpo u tt F (u t, u j ) = 0, (, j =,, 3), () dove u è la funzone ncognta, u t = t u = u/ t e u k = k u = u/ x k ; s usa la convenzone d Ensten della somma sugl ndc rpetut. Tra l altro, è stata precsata la struttura che debbono avere le funzon F affnché la () ammetta una legge supplementare d conservazone della forma (ved []): t h + h = 0 con denstà d energa convessa. E precsamente s è dmostrato che la () è compatble con la () se: h = h ( ) + h (v ), (3) F = ( h h ) v + ψ (Φ), (4) dove per brevtà s è posto u t =, v = u, (5) mentre le ψ ( ) ndcano delle arbtrare funzon d ntegrazone. Nella presente Nota s rprende l anals dell equazone () lmtatamente al caso n cu va da a, allo scopo d rcercare: ) la struttura delle F che la rendono completamente eccezonale; ) le eventual F che la rendono compatble sa con una legge supplementare d conservazone che con la condzone d completa eccezonaltà. La () soddsfacente la ) rsulta completamente eccezonale ma, n generale, non è strettamente eccezonale. Acqusta tale propretà solo nel caso undmensonale. Nell ultma parte del lavoro s ha occasone d proporre una naturale generalzzazone della () che conserva le predette propretà. dove. La (), dopo le (5), può essere posta nella forma u tt + F u t + F v k u k = 0, (6) F = F u t, F v k = F u k. (7) 75 ()

2 76 G. CRUPI, A. DONATO Supponendo che le dervate d ordne massmo della u subscano un salto attraverso la superfce ϕ(x, t) = 0 ed applcando, nel modo usuale, la teora de front d onda d dscontnutà, dalla (6) s ottene l seguente polnomo caratterstco P (λ) = λ F n λ + F v kn n k = 0, (8) dove λ = ϕ t grad ϕ, n ϕ = grad ϕ. (9) Rchedendo che la () sa completamente eccezonale s ha δλ = (λ ϕ ) ϕ + (λ ϕ ) ϕ = 0 (0) per ogn radce λ d (8). Nel caso n esame la (0) comporta λλ + λ v n = 0. () D altra parte, dervando rspetto a e rspetto a v la (8) seguono le due equazon P (λ)λ F n λ + F v kn n k = 0, P (λ)λ v j F v j n λ + F v k v j n n k = 0, da cu, dopo la (), s trae λ F n λf v j n n j + F v k v j n n j n k = 0. (3) Elmnando da quest ultma e dalla (8) λ s ottene la seguente relazone: λ(f F j F v j n n j + (F v k v j F F j v k )n n j n k = 0, (4) che deve essere soddsfatta qualunque sa λ. Ma cò può accadere se e solo se (F F j F v j )n n j = 0, (F v k v j F F v k)n n j n k = 0. Nel seguto, per ragon d semplctà, consdereremo l caso d due sole varabl spazal oltre l tempo.. In questo numero s procederà al calcolo effettvo delle F ( =, ) che rendono completamente eccezonale la (). In tal caso le condzon (5) conducono alle F F F v = 0, F F F v = 0, F F + F F F v F v = 0, F v v F F v = 0, Fv v F F v = 0, F v v F F v F F v = 0, F v v F F v = 0, Fv v F F v = 0, Fv v F F v F F v = 0. Le prme tre equazon delle (6) s possono rassumere nella (F F k F v F k k v) = 0, (7) () (5) (6)

3 SU UNA CLASSE DI EQUAZIONI CONSERVATIVE ED IPERBOLICHE COMPLETAMENTE ECCEZIONALI da cu segue F F k F v k F k v = Ak (v, v ), (8) dove le A k sono funzon arbtrare d ntegrazone. D altra parte, ponendo uguale a zero l dscrmnante del polnomo caratterstco (8), s ottene F F k F v k F k v = 0, (9) e percò, se A k = 0, le prme tre equazon delle (6) traducono la condzone d molteplctà per le radc d (8). In tal caso è facle verfcare che le F soddsfacent la (9), soddsfano anche tutte le equazon del sstema (6). S può concludere che per A k = 0 la condzone d completa eccezonaltà per la () concde con quella d molteplctà per λ e cò n accordo con quanto stablto n [3]. Nel seguto scarteremo tale caso perché esso mplcherebbe la perdta della perbolctà per l equazone (). Il sstema (6) può essere ntegrato utlzzando opportunamente la soluzone relatva al caso d una sola varable spazale. In tal caso l sstema (6) s rduce alle due sole equazon { F F F v = 0, F v v F F v = 0, (0) la cu soluzone, gà stablta da Bollat n [4] è espressa da F = a +b +cv + d av, () + g con a, b, c, d, g costant arbtrare d ntegrazone. La forma della soluzone () suggersce d rcercare le eventual soluzon d (6) ponendo: { F = A +B +C, () F = L +M +N, con A = B = A (v ) A (v )v + G (v ), L = A (v ) A (v )v + G (v ), B (v ) A (v )v + G (v ), M = B (v ) A (v )v + G (v ), C = C (v )v + D (v ) A (v )v + G (v ), M = C (v )v + D (v ) A (v )v + G (v ), (3) dove A, B, C, D, G ( =, ) sono funzon da determnars mponendo che le () soddsfno dentcamente l sstema (6). Le (), dopo le (3), soddsfano dentcamente

4 78 G. CRUPI, A. DONATO le equazon (6), (6), (6) 4 e (6) 8. Sosttuendo le () nelle rmanent equazon (6), e tenendo conto d (3), s ottene: A = L = v + v + c, B = A(pv + q), M = A(pv + pc q), (4) C = A(αv v + γv + β(v ) + βcv + γc), N = A((βv v + γv + α(v ) + αcv ), dove c, p, q, α, β, γ sono costant arbtrare d ntegrazone. Dopo le (4), le () fornscono le seguent espresson per F ed F F = +(pv + q) +αv v + γv + β(v ) + βcv + γc v + v, + c F = (5) +( pv + q pc) βv v γv α(v ) αcv v + v, + c che rendono completamente eccezonale la (). Osservamo che, dopo le (5), le funzon arbtrare d ntegrazone A k ntrodotte a secondo membro della (8), restano anch esse determnate e rsultano espresse come funzone d v e v soltanto. Precsamente s trova: A = A ((p 4(α β))(v ) + (pq (αc βc + γ))v + p ), A = A = A ( (p 4(α β))v v + (p(q pc) (βc αc + γ))v + ( pq (βc αc γ))v + (p pqc + γc (β α)c )), A = A ((p 4(α β))(v ) + ((pc q)p (αc βc γ)v + ((q pc) + 4γc)). Chudamo questo numero ndcando come la presunta perbolctà della () mplca delle restrzon sulle costant arbtrare d ntegrazone p, q, α, β, γ, c. Infatt la perbolctà rchede che l dscrmnante del polnomo caratterstco (8) sa una quanttà postva, e rcordando che (6) = A k n n k, (7) basterà mporre che tale forma quadratca rsult defnta postva. 3. C proponamo ora d caratterzzare le eventual funzon F ( =, ) che rendono la () oltre che completamente eccezonale, anche compatble con una legge d conservazone supplementare. A tale scopo occorre rcercare eventual soluzon del sstema (6) che sano della forma (4). Poché le (5), tra l altro, esprmono che le soluzon d (6) non contengono termn pur n bsognerà porre ψ = 0 ( =, ). D conseguenza le F da no cercate dovranno

5 SU UNA CLASSE DI EQUAZIONI CONSERVATIVE ED IPERBOLICHE COMPLETAMENTE ECCEZIONALI essere della forma F = g( ) h v, F = g( ) h v, dove s è posto g( ) =. h Il confronto tra le (5) e le (8) suggersce d porre uguale a zero termn delle (5) che non rsultano compatbl con le (8); cò comporta p = α = β = γ = 0. (30) Dopo la (30) le (6) s partcolarzzano nella F = F = +q v + v + c, (3) e confrontando con (8) segue g( ) = q, h v = h v = v + v + c. (3) Agl stess rsultat s gunge, come è facle accertare, sosttuendo le (8) nelle (6) e procedendo alla ntegrazone del sstema che così s ottene per g ed h. Le F date da (3) sono le cercate funzon che rendono l equazone () completamente eccezonale e compatble con una legge supplementare d conservazone. Tenendo presente la (9) e ntegrando l sstema (8) s ottengono per h ed h le seguent espresson h = q log ã q h = log c(v + v + c), log( q) + b, dove ã, b, c sono arbtrare costant d ntegrazone. E cos, dopo le (33) resta determnata anche la legge supplementare d conservazone assocata alla () nel caso n esame. 4. L equazone () dopo le (3) e le (5) s specalzza nella u tt + ( qut u ) t x = 0, ( =, ), (34) u x + u x + c ed front d onda d dscontnutà ad essa assocat, come s trova faclmente, s propagano con le veloctà (q u t ) λ = u x + u x + c (n u t + n ), λ = u x + u x + c (n + n ). (35) Dmostramo, ora, che l equazone (34), pur essendo completamente eccezonale, non è strettamente eccezonale, ossa possono esstere altr urt oltre a quell caratterstc. A tale scopo applcando alla (34) le condzon d Rankne-Hugonot e rcordando la (5) s ottene: [ ] q s[ ] + v + v + c (n + n ) = 0, (36) (8) (9) (33)

6 80 G. CRUPI, A. DONATO dove s ndca la veloctà dell urto e [ ] l salto della grandezza consderata. Alla (36), tenuto conto della condzone d compatbltà = t v (37) va aggunta la relazone s[v ] + [ ]n = 0. Osservamo che se v + v + c 0 l polnomo caratterstco della (34) s scrve P (λ) = λ (v + v + c) + ( q)λ(n + n )(v + v + c) (q )(n + n ) = 0; d altra parte, da (38) s ha anche [s(v + v + c) + (n + n ) q(n + n )] = 0. (40) Sommando alla (36), moltplcata per (n + n ), la (40), moltplcata per s, ne segue [ ] v + v + c P (s) = 0. (4) È facle accertare, operando sulla (40), che [P (s)] = 0 per cu la (4) dventa [ ] P (s) v + v = 0, (4) + c e per avere urt dvers da quell caratterstc basta sceglere [v ] + [v ] = 0. Quando tale quanttà è dversa da zero sol urt possbl sono quell soddsfacent la condzone P (s) = 0, coè gl urt caratterstc. Nel caso undmensonale la condzone (43) s partcolarzza n [v ] = 0, e d conseguenza da (38) segue [ ] = 0, qund assenza d urt. Se ne conclude che n tal caso sol urt possbl sono quell caratterstc per cu l equazone (34), nel caso d una dmensone d spazo, rsulta strettamente eccezonale. 5. I rsultat ottenut ne numer precedent suggerscono una naturale estensone al caso d n varabl spazal. In tale schema la (34) s generalzza nella u tt + q u u t u qu t u t u + c ( u + c) k u = 0, (44) dove le somme rspetto agl ndc e k vanno estese da ad n. Alla (44) restano assocate: a) due onde d dscontnutà eccezonal propagants, rspettvamente, con le veloctà λ = q u t u t n, λ = u + c n ; u + c (45) b) una legge supplementare d conservazone espressa da ( ( ut t q log ã u ) ( t q + log )) u + c u t u t q ( ( )) ut (u t q) + u + c q log ã ut q = 0. u t (46),k (38) (39) (43)

7 SU UNA CLASSE DI EQUAZIONI CONSERVATIVE ED IPERBOLICHE COMPLETAMENTE ECCEZIONALI... 8 Rferment bblografc [] A. Donato. On supplementary conservaton laws for second order hyperbolc conservatve equatons. Rend. Acc. Naz. Lnce, ser. VIII, 57, , 974. [] G. Bollat. Sur l exstence et la recherche d équatons de conservaton supplémentares pour les systèmes hyperbolques. C. R. Acad. Sc. Pars, 78, sér. A, 909 9, 974. [3] G. Bollat. Chocs caractérstques. C. R. Acad. Sc. Pars, 74, sér. A, 08 0, 97. [4] G. Bollat. Le champ scalare de Monge-Ampère. Det. Kgl. Norske Vd. Selsk. Forths, Bd. (4), 968. Govann Crup, Andrea Donato. Su una classe d equazon conservatve ed perbolche completamente eccezonal e compatbl con una legge d conservazone supplementare. Accadema Nazonale de Lnce, Rendcont della Classe d Scenze Fsche, Matematche e Natural, Sere VIII, LXV, fasccol 3-4, 0 7, 979. Presentata dal soco D. Graff. Unverstà degl Stud d Messna Isttuto d Matematca

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