Appunti ed Esercizi di Fisica Tecnica e Macchine Termiche

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1 Aunti ed Esercizi di Fisica ecnica e Macchine ermiche Ca. 2. ermodinamica degli stati Paolo Di Marco Versione La resente disensa è redatta ad esclusivo uso didattico er gli allievi dei corsi di studi universitari dell Università di Pisa. L autore se ne riserva tutti i diritti. Essa uò essere rirodotta solo totalmente ed al fine summenzionato, non uò essere alterata in alcuna maniera o essere rivenduta ad un costo sueriore a quello netto della riroduzione. Ogni altra forma di uso e riroduzione deve essere autorizzata er scritto dall autore. L autore sarà grato a chiunque gli segnali errori, inesattezze o ossibili miglioramenti.

2 Introduzione In questo caitolo ci occueremo delle metodologie er il calcolo delle rorietà delle sostanze in differenti stati. Una volta introdotti alcuni concetti fondamentali sul comortamento delle sostanze e sulle loro transizioni di fase, vengono illustrati i diagrammi di stato e le tavole termodinamiche, che sono la fonte rimaria er ottenere i dati richiesti. Verranno quindi sviluati modelli di comortamento semlificati, di validità iù ristretta, che sesso consentono una iù agevole valutazione delle rorietà stesse. Stati di aggregazione, fasi e transizione di fase Si dice che un sistema è costituito da una sostanza ura se in esso è resente una sostanza di comosizione omogenea e invariabile nel temo. Si definisce invece comonente una sostanza di comosizione chimica fissata. Una sostanza ura, quindi uò essere costituita da un solo comonente o da diversi comonenti. L'acqua distillata, ad esemio, avendo una formula chimica definita, è una sostanza ura avente un solo comonente, mentre l'acqua otabile, a causa dei sali in essa disciolti, è una sostanza ura multicomonente. L aria, essendo una miscela di gas, è una sostanza ura multicomonente, mentre l ossigeno è una sostanza ura monocomonente. Fino a quando non si verificano cambiamenti di stato, non vi sono differenze di comortamento tra le sostanze ure monocomonente e luricomonente. Una sostanza ura uò resentarsi in differenti stati di aggregazione fisica: solido, liquido, aeriforme. Per quanto a rima vista questo sia accettabile er tutti, le stesse definizioni di solido, liquido ed aeriforme sono er certi asetti ambigue e variano a seconda del contesto scientifico in cui ci si trova: nel camo dell ingegneria, usualmente si definisce solido lo stato di aggregazione dotato di forma e volume rorio, liquido lo stato di aggregazione dotato di volume, ma non di forma roria e aeriforme lo stato di aggregazione caratterizzato dal non avere né forma né volume rorio. uttavia, ad un esame iù arofondito ed in resenza di misure accurate queste definizioni aaiono carenti, in quanto, indiendentemente dallo stato di aggregazione, una sostanza subisce comunque variazioni di volume er effetto delle variazioni di temeratura e/o di ressione. In chimica, er esemio, si usa definire solida una sostanza caratterizzata dall avere un reticolo cristallino: in tale contesto, sostanze amorfe (ovvero rive di reticolo cristallino) quali il vetro e l asfalto dovrebbero essere definiti liquidi! Ciascuno degli stati di aggregazione di una sostanza ura è chiamato fase; iù roriamente si definisce fase l'insieme di tutte le arti omogenee di un sistema aventi lo stesso valore delle rorietà intensive e secifiche: es. l insieme delle bolle di vaore all interno di un liquido. All interno di un sistema, ossono essere resenti iù fasi che sono delimitate da interfacce attraverso le quali alcune rorietà (ad es. la densità) sono discontinue (nel caso recedente, attraversando la suerficie di una bolla la densità assa bruscamente dal valore tiico del liquido a quello tiico del vaore). Caratteristica tiica delle fasi è che esse ossono essere searate meccanicamente (es. se si one in quiete un sistema contenente bolle di vaore, er gravità tutto il vaore si orterà verso l alto). Descriviamo adesso un semlice eserimento allo scoo di esaminare il comortamento di una sostanza ura monocomonente che cambia fase 2-2

3 Nel seguito, ci renderemo conto che non semre le transizioni di fase avvengono nel modo descritto, e che er articolari valori della ressione del sistema le trasformazioni ossono avvenire con modalità leggermente diverse. Si consideri una massa unitaria di sostanza ura monocomonente in fase solida contenuta in un sistema istone-cilindro. Si suonga che la trasformazione sia reversibile. Essendo la trasformazione isobara, segue che il calore ceduto al sistema è ari all'incremento di entalia (vedi Ca.1), il che si manifesta con un aumento della temeratura e del volume. La dilatazione er effetto del riscaldamento è tuttavia di iccolissima entità. Somministrando ancora calore ha inizio il rocesso di fusione (il rocesso inverso è detto solidificazione), ossia inizia a comarire la fase liquida e contemoraneamente si nota che la temeratura cessa di crescere e resta costante. In questa condizione il sistema è detto bifasico. Sebbene la ressione e la temeratura siano uniformi all'interno del sistema bifasico, le rorietà secifiche, come la densità, resentano una discontinuità assando da una fase all'altra. La ulteriore somministrazione di calore comorta un aumento rogressivo della massa della fase liquida fino alla comleta scomarsa della fase solida. La quantità di calore fornita al sistema er effettuare il cambiamento di fase dell'intera massa resente è una misura dell'entalia di fusione. Quest'ultima uò anche essere vista come somma della variazione di energia interna del sistema e del lavoro di dilatazione scambiato con l'ambiente durante la trasformazione del solido in liquido. Quando la fase solida è comletamente scomarsa, la temeratura comincia nuovamente ad aumentare fino a quando non comare la fase aeriforme ed ha inizio l'evaorazione (il rocesso inverso è detto condensazione o liquefazione). L'energia termica fornita successivamente comorta un aumento della quantità di aeriforme a temeratura costante. Quando la sostanza è tutta in fase aeriforme, il suo volume è notevolmente maggiore di quello della fase liquida, e, continuando a somministrare calore al sistema, la temeratura cresce nuovamente. Rietendo l'eserimento er differenti valori di ressione si osserva che i assaggi di fase solido-liquido e liquido-aeriforme avvengono semre a temeratura costante, ma il valore di tale temeratura varia al variare della ressione. Ad esemio, er l acqua, alla ressione di 0.5 bar la transizione liquido-vaore avviene alla temeratura di 76 C; alla ressione di 1 atm ( bar) la transizione avviene a = 100 C; alla ressione di 2 bar la transizione avviene a = C. In alta montagna (2000 m) dove la ressione atmosferica media vale 79.5 kpa, la transizione avviene a 93 C. La regola delle fasi (o di Gibbs) dà imortanti informazioni sui legami tra temeratura e ressione er una sostanza ura monocomonente e nella forma semlificata che ci interessa è: V =3 F (2.1) dove F indica il numero delle fasi coesistenti in equilibrio e V, detta varianza, indica il numero di variabili indiendenti tra e. Da tale regola si evince che: un sistema costituito da una sola fase è bivariante: è ossibile variare arbitrariamente sia la ressione che la temeratura senza mutare il numero di fasi resenti. un sistema costituito da due fasi in equilibrio è monovariante: una volta assegnata o la ressione o la temeratura, non é ossibile cambiare arbitrariamente l altra variabile senza 2-3

4 mutare il numero di fasi resenti; ovvero, esiste una corrisondenza biunivoca tra la temeratura e la ressione di un sistema bifasico in equilibrio. un sistema costituito da tre fasi in equilibrio è zerovariante: ovvero, esiste una sola coia di valori di temeratura e di ressione er cui questo uò avvenire. ali valori sono detti ressione trila e temeratura trila. LA SUPERFICIE -v- Abbiamo iù volte ribadito che lo stato di una sostanza ura è comletamente identificato da due variabili di stato indiendenti, oltre alla massa del sistema stesso. Più recisamente, il rinciio di stato stabilisce ulteriori limitazioni a questa regola: in articolare, il sistema deve interagire con l esterno scambiando solo calore e lavoro meccanico e l influenza del moto macroscoico e del camo gravitazionale deve essere trascurabile. Un tale sistema viene detto sistema semlice. liquido e solido = co st C C =crit =cost =cost =cost B =cost A liquido e vaore =crit D m E solido e vaore n F Figura 2.1. Suerficie -v- v 2-4

5 Conseguentemente tutti gli stati di equilibrio di un tale sistema ossono essere raresentati da una suerficie in uno sazio a tre dimensioni, v, ; tale suerficie è detta suerficie caratteristica, o suerficie -v- della sostanza. La suerficie suddetta ha qualitativamente l asetto indicato in Fig.1. E' da notare che la figura non è in scala in quanto i volumi secifici del solido e del liquido sono in genere di alcuni ordini di grandezza inferiori a quello dell'aeriforme. Si nota che i unti raresentativi dei ossibili stati monofasici costituiscono tre regioni corrisondenti alle fasi solida, liquida ed aeriforme. ali regioni sono searate da altre tre (in colore) che raresentano gli stati bifasici: un sistema lurifasico in equilibrio è detto saturo. Osservando la suerficie caratteristica f(, v, ) = 0 aare chiaro che nelle tre regioni monofasiche lo stato è univocamente determinato dalla conoscenza dei valori di una qualsiasi coia di coordinate tra, v e, in quanto le tre rorietà sono tra loro indiendenti. Nelle regioni bifasiche, invece, temeratura e ressione sono tra loro diendenti; fissata ad esemio la temeratura, due fasi ossono coesistere in equilibrio in corrisondenza di un solo valore di ressione. Per tale motivo le tre regioni bifasiche sono dei settori cilindrici con generatrice arallela all'asse dei volumi secifici. La conoscenza di e, in questo caso, non ermette di individuare univocamente lo stato, ma il segmento luogo degli infiniti ossibili stati di equilibrio er la miscela, ciascuno dei quali corrisonde ad un diverso valore del volume secifico. Si osserva ancora che le zone di coesistenza delle fasi liquido-vaore, solido-liquido e solidovaore confinano lungo una linea (m-n): in queste condizioni le tre fasi coesistono in equilibrio e lo stato è quindi detto stato trilo: come anticiato recedentemente, questo stato è caratterizzato da un'unica coia di valori di ressione e temeratura, (detti ressione trila e temeratura trila) caratteristici della sostanza considerata. Sul diagramma è anche raresentato l andamento di trasformazioni a ressione costante (A-B, E-F) ed a temeratura costante (C-D). Per continuare le nostre considerazioni sulla suerficie caratteristica, aare iù oortuno considerare le sue roiezioni sul iano -v (diagramma di Andrews) e sul iano - (diagramma di Regnault). Diagramma ressione-volume secifico (diagramma di Andrews) Il diagramma -v, ottenuto roiettando la suerficie caratteristica f (,v,) = 0 sul iano ressione-volume secifico, è riortato qualitativamente in Fig.2 er una sostanza ura monocomonente con una sola fase solida che fondendo esande. Sia le regioni monofasiche che quelle bifasiche della suerficie caratteristica si roiettano in questo iano come aree. La linea tratteggiata abcdef raresenta una trasformazione isoterma. Si nota che le curve isoterme (luogo degli stati che corrisondono alla stessa temeratura) hanno un tratto orizzontale all interno delle zone bifasiche: infatti, oiché in tali regioni ressione e temeratura non sono indiendenti, le isoterme divengono anche isobare (e er questo talvolta sono dette isotermobariche). Le linee che delimitano le regioni bifasiche sono raresentative di stati in cui la sostanza è ancora in condizioni di saturazione: in articolare er la miscela liquido-aeriforme si avranno risettivamente solo liquido saturo e solo vaore saturo secco, e quindi le linee mc ed nc sono dette curva limite inferiore e curva limite sueriore. ali curve tendono a convergere con l aumento della ressione (il che vuol dire che la differenza tra il volume secifico del vaore saturo secco e del liquido saturo diminuisce all aumentare della ressione) e si 2-5

6 uniscono in un unto che viene detto unto critico. I valori di temeratura e ressione corrisondenti a tale stato sono detti temeratura critica e ressione critica e sono caratteristici di ogni articolare sostanza (es. er l acqua si ha c = 221 bar, c = 364 C; er le altre sostanze, vedi ab.a1 in aendice). La articolare isoterma che assa er il unto critico viene detta isoterma critica. Si denotano inoltre con le dizioni di (v. Fig.2): liquido sottoraffreddato o comresso gli stati il cui unto raresentativo è a sinistra della curva limite inferiore e al di sotto della isobara critica; liquido saturo gli stati che sono sulla curva limite inferiore; vaore saturo o miscela bifase gli stati interni alla regione bifasica liquido-gas; vaore saturo secco gli stati che sono sulla curva limite sueriore; vaore surriscaldato gli stati comresi tra la curva limite sueriore e l'isoterma critica. gas gli stati comresi al di sora della isoterma critica ed al di sotto della isobara critica. fluido comresso gli stati al di sora della isobara critica; Le definizioni di gas e fluido comresso variano leggermente da un testo ad un altro. Alcuni testi definiscono gas tutti gli stati al di sora dell isoterma critica. fluido comresso C linee isoterme isoterma critica solido solido + liquido liquido C liquido + v aore (v aore saturo) isobara critica isoterma critica gas v aore surriscaldato m n m solido + vaore n Figura 2.2. v Diagramma di Andrews (-v) e relative zone di esistenza delle fasi v itolo del vaore saturo Osservando il iano -v si nota che la conoscenza del volume secifico e della ressione (oure della corrisondente temeratura) identifica lo stato di un vaore saturo. Risulta comodo definire una nuova rorietà di stato, detta titolo del vaore saturo ed indicata con x, che esrime la comosizione massica della miscela massa del vaore M x = = massa totale del sistema M g O (2.2) Il titolo è una grandezza adimensionale definita solo er il vaore saturo, e uò assumere valori comresi tra 0 (curva limite inferiore) ed 1 (curva limite sueriore). 2-6

7 Il luogo dei unti aventi eguale titolo definisce sui diagrammi di stato le curve isotitole che, come quelle estreme coincidenti con le curve limiti inferiore e sueriore, convergono tutte nel unto critico. Il volume secifico uò essere esresso in funzione del titolo e dei volumi del liquido saturo e del vaore saturo secco sfruttando il fatto che il volume è una rorietà additiva (nel seguito, i edici f e g fanno riferimento risettivamente al liquido saturo ed al vaore saturo secco) V = V v = v f f + V = M + x g V M f v = = M M da cui infine ( v v ) g v f f v f f + M M + M g g v g v g = (1 x) v f + xv g (2.3) La relazione recedente mostra che er un vaore saturo esiste, a ciascuna ressione o temeratura, una corrisondenza biunivoca tra volume secifico e titolo; lo stato uò quindi essere caratterizzato anche dalla coia di rorietà (oure ) ed x. La relazione suddetta ha anche una facile interretazione grafica: il titolo nel unto d di Fig.2 è dato infatti dal raorto delle lunghezze dei segmenti, cd / ce. Relazioni simili valgono ovviamente er le altre rorietà secifiche, ovvero energia interna, entalia ed entroia (la dimostrazione è analoga a quella riortata sora er v): ( ) ( ) ( ) u = u + x u u = u + x u f g f f fg h = h + x h h = h + x h f g f f fg s = s + x s s = s + x s f g f f fg (2.4) Le relazioni suddette ermettono di ricavare v, u, h e s er una miscela bifase noti x e le corrisondenti rorietà del liquido saturo e del vaore saturo secco. Consentono anche, viceversa, di ricavare il titolo, una volta nota una qualsiasi tra le variabili v, u, h e s, e le corrisondenti rorietà del liquido saturo e del vaore saturo secco. Oltre al titolo, in alcune alicazioni ha interesse definire il grado di vuoto, ε, ovvero il raorto tra il volume occuato dalla fase vaore ed il volume totale, come illustrato nel seguente esemio. ESEMPIO 2.1 Si consideri una bombola del volume V = 15 L che contiene M = 2 kg di roano, a temeratura ambiente di 20 C. Determinare titolo e grado di vuoto. La soluzione è riortata nel file C2GVUOO.XLS Il volume secifico vale: V v = = = m /kg M 2 Le tabelle termodinamiche forniscono er il roano in condizioni di saturazione alla temeratura di 20 C, una ressione di saturazione di 0.83 MPa, ed i volumi secifici del liquido saturo e del vaore saturo secco valgono risettivamente v f = e v g =

8 m 3 /kg. Conseguentemente, dato che il volume secifico è comreso tra i due valori indicati, il fluido è effettivamente in condizioni di saturazione ed il titolo è dato da, v. Eq.(2.3) v v f x = = = vg v f Il grado di vuoto si uò determinare da Vg M g vg x M vg x vg ε = = = = = = V V V v Notare che a causa dell alto volume secifico della fase vaore, il grado di vuoto cresce molto iù raidamente del titolo. Questo è mostrato in Fig.3, dove, a arità di volume totale del reciiente, si riorta in funzione del titolo la massa di fluido contenuta nel reciiente ed il corrisondente grado di vuoto. Inoltre, trattandosi di fluido in saturazione, la ressione della bombola diende solo dalla temeratura e non dà alcuna indicazione sulla massa di fluido contenuta nel reciiente. Es Grado di vuoto Massa itolo Massa (kg) Figura 2.3. Variazione della massa contenuta nel reciiente e del titolo con il grado di vuoto. Diagramma - (diagramma di Regnault) La roiezione della suerficie caratteristica sul iano - è detta aunto diagramma - o diagramma di Regnault o anche diagramma di fase. In Fig.4 è riortato il diagramma - relativo ad una sostanza ura monocomonente che fondendo esande. Poiché, come si è visto le regioni bifasiche della suerficie caratteristica sono raresentate da settori cilindrici con generatrice arallela all'asse del volume secifico, le loro roiezioni sul iano - sono delle linee e, in articolare, la linea comune alle tre regioni bifasiche (linea trila) si roietta in un unto detto unto trilo. La linea A è detta (a seconda del verso in cui viene attraversata) di sublimazione o brinamento, la linea B è detta di fusione o solidificazione, la linea C è detta di evaorazione o condensazione. Esse delimitano i domini di esistenza delle fasi solida, liquida ed aeriforme, come indicato in Fig

9 La linea di solidificazione ha endenza ositiva nella figura, mentre il contrario accade er sostanze che solidificando esandono (come l acqua). La corrisondenza biunivoca tra e er sistemi bifasici in equilibrio, è di notevole imortanza alicativa; in questo ambito lo è sorattutto quella relativa alle miscele liquido vaore in condizioni di saturazione. Il legame funzionale raresentato dalla linea C è fornito in forma tabellare er i vari fluidi nelle cosiddette tabelle del vaore saturo, che riortano anche altre grandezze utili che utilizzeremo in seguito. Un esemio er l acqua è riortato in ab.1. E' bene sottolineare infine che la conoscenza della ressione e della temeratura sebbene non semre consenta l'identificazione dello stato, ermette in ogni caso d'individuare la fase o le fasi resenti, come chiarito dal seguente esemio. B fluido comresso C liquido solido gas vaore surriscaldato A Figura 2.4. Diagramma di fase o di Regnault (-) e relativi cami di esistenza delle fasi. ESEMPIO 2.2 Identificazione dello stato Si consideri un sistema costituito da acqua alla temeratura di 60 C ed alla ressione di 7x10 5 Pa; ci si chiede se lo stato è identificato e quali fasi costituiscono il sistema. Consultando la ab.1, od un rogramma di calcolo delle rorietà termodinamiche, si deduce che la ressione è maggiore di quella a cui il sistema dovrebbe trovarsi er essere in condizione di saturazione alla temeratura di 60 C, (ovvero 0.2 bar) ed inferiore alla ressione critica (221.5 bar). Esso è quindi costituito dalla sola fase liquida (liquido sottoraffreddato) e, er la regola delle fasi, lo stato è identificato dalla conoscenza dei valori di ressione e temeratura. Altri diagrammi di stato Diagramma temeratura-entroia In Fig.5 è riortato un diagramma qualitativo temeratura-entroia secifica er una sostanza ura monocomonente con una sola fase solida che fondendo esande. La zona bifasica 2-9

10 liquido-aeriforme è delimitata dall'isoterma del unto trilo (segmento ab) e dalle curve limiti inferiore e sueriore, ac e bc. All interno di questa regione le isoterme sono anche isobare. Le curve a ressione costante (dette isobare) hanno andamento d-m-n-h. Nella regione del liquido le isobare si addensano sulla curva limite inferiore in quanto, come si vedrà in seguito, l entroia della sostanza in fase liquida è oco diendente dalla ressione. Pertanto in due stati di equilibrio caratterizzati dalla stessa temeratura ma da valori di ressione diversi, come i unti d ed e riortati in Fig.5, il valore dell'entroia secifica è raticamente lo stesso e quindi i due unti sono di fatto coincidenti. Si noti che in Fig.5 la zona del liquido sottoraffreddato è stata esageratamente esansa er meglio evidenziare quanto detto; su di un diagramma quantitativo la regione del liquido è raticamente coincidente con la curva limite inferiore. Una raresentazione in scala er l acqua è riortata in aendice, Fig.a2. fluido comresso gas solido solido + liquido a d liquido m e x=cost C =cost v=cost solido + gas n liquido + v aore (v aore saturo) f b h v aore surriscaldato h=cost s Figura 2.5. Diagramma entroico o -s e relativi cami di esistenza delle fasi. La isobara critica (che delimita inferiormente la zona del fluido comresso) e la isoterma critica (che divide la zona del gas da quella del vaore surriscaldato) non sono riortate er non sovraccaricare il disegno. La endenza di un'isobara uò essere valutata dalla relazione tra entroia, temeratura e ressione: c ds = da cui s d + c = ( B v), h d s = c (2.5) Ne segue che l'isobara è una curva monotona crescente, avendo endenza ositiva ari a /c. In relazione a questo ultimo unto si nota che sostandosi lungo un'isobara verso valori crescenti della temeratura, dal unto n al unto h di Fig.5, la endenza della curva aumenta, essendo trascurabile la variazione di c risetto a quella di. 2-10

11 Dalla seconda relazione di Gibbs (dh = ds + vd) segue che le aree sottese dalle isobare raresentano le variazioni di entalia secifica; in articolare, l'area sottesa al tratto di isobara-isoterma comreso tra le curve limiti raresenta l'entalia di vaorizzazione. Sul diagramma ossono essere tracciate anche le linee a volume costante, dette isocore. Procedendo in maniera analoga a quanto fatto er le isobare, si determina che la loro endenza è data da /c v. Dato che è semre c v <c, le isocore sono iù inclinate delle isobare. Diagramma entalia-entroia Il diagramma entalia-entroia secifiche, introdotto nel 1904 dal triestino Ricard Mollier ( ), è, come si vedrà nel seguito, di grande utilità ratica er il calcolo dei sistemi aerti a regime. In Fig.6 è riortato un diagramma qualitativo h-s, er una sostanza ura monocomonente, relativamente alle zone di maggior interesse, ovvero alla regione bifasica liquido-gas ed a quella dell aeriforme. Iniziando col considerare la regione bifasica, si osserva che le isobareisoterme hanno andamento lineare; infatti, la seconda equazione di Gibbs fornisce: 1 ds = dh da cui s h 1 = v, d h s = (2.6) h =c ost =cost e C x=cost b d v=cost a Figura 2.6. Diagramma di Mollier (h-s) Dalla Fig.6 si rileva che l'isobara de ha endenza maggiore della ab; ciò è deducibile dalla equazione recedente notando che la temeratura di saturazione corrisondente alla ressione della de è maggiore di quella corrisondente alla ressione della ab. Si deduce ancora che al unto critico è: s 2-11

12 h s = c 0 (2.7) e che quindi il unto critico non è il massimo della curva acb (vedi Fig.6). Dalla Eq.(2.7) segue anche che l'isobara è una curva monotona crescente. Le isoterme in corrisondenza della curva limite sueriore si searano dalle isobare e tendono, al diminuire della ressione, a diventare orizzontali. Come vedremo in seguito, ciò è in accordo con il fatto che l'entalia, secondo il modello di gas ideale, è funzione soltanto della temeratura. Percorrendo l'isobara nel verso delle temerature crescenti la endenza (data dalla temeratura stessa) va aumentando, ertanto le curve a ressione costante resentano la concavità rivolta verso l alto. In Aendice è riortato il diagramma di Mollier er l'acqua, Fig.a3. Lo stato scelto come riferimento è quello in cui si ha solo liquido saturo al unto trilo; er tale stato si ritiene arbitrariamente h = s = 0. Diagramma ressione-entalia In Fig.7 è riortato un diagramma qualitativo ressione-entalia secifica er una sostanza ura monocomonente, relativamente alle zone di maggior interesse nell'ambito della termodinamica alicata. Questo diagramma è di articolare utilità er il calcolo delle rorietà nei comonenti costituenti un ciclo frigorifero. La zona delle miscele bifasiche è delimitata dalle curve limite; il vertice di tale regione è il unto critico, C. La lunghezza del tratto di isobara nella regione bifasica raresenta l'entalia di vaorizzazione corrisondente a quella ressione di saturazione. La lunghezza di questi segmenti decresce all'aumentare della ressione. Le isoterme hanno andamento raticamente verticale nella zona dei liquidi in quanto, come si vedrà successivamente, la diendenza dell'entalia di un liquido dalla ressione è trascurabile. Nella regione bifasica l'isoterma è ovviamente orizzontale; nella zona del vaore surriscaldato assume endenza negativa e tende a diventare verticale nel camo delle basse ressioni in quanto (vedi in seguito) l'entalia di un aeriforme a bassa ressione è funzione solo della temeratura. C s=cost x=cost liquido =cost liquido + vaore (vaore saturo) vaore vaore surriscaldato surriscaldato h Figura 2.7. Diagramma -h 2-12

13 Le isoentroiche, linee ad entroia costante, sono anch esse raresentate in Fig.7. Dalla seconda equazione di Gibbs si uò ricavare che le isoentroiche hanno in ciascun unto endenza ari al valore della densità nel unto stesso. Le tavole termodinamiche ed i rogrammi di calcolo I diagrammi termodinamici forniscono utili informazioni qualitative sull andamento delle trasformazione ed anche risultati quantitativi non troo accurati. Per ottenere tali risultati con una migliore recisione, si ricorre alle tabelle termodinamiche o ai rogrammi er il calcolo delle rorietà termodinamiche. Le tabelle termodinamiche sono in genere di due tii: tabelle del vaore saturo (notare che il termine vaore non fa necessariamente riferimento all acqua) e tabelle del liquido comresso e del vaore surriscaldato. La tabella del vaore saturo fa riferimento alla sostanza in condizioni di saturazione. Sebbene talvolta essa ossa avere una forma leggermente differente, essa contiene in genere le informazioni riortate in ab.1. La colonne A e B contengono risettivamente la ressione e la temeratura di saturazione: esse raresentano quindi quantitativamente il legame funzionale raresentato dalla linea di evaorazione-condensazione sul diagramma -. Le colonne C e D contengono risettivamente il volume secifico del liquido saturo e quello del vaore saturo secco: da esse, noto (oltre naturalmente alla ressione od alla temeratura) il titolo e tramite la Eq.(2.3) è ossibile ricavarsi il volume secifico della miscela bifasica. ali colonne sono anche la raresentazione numerica delle curve limite inferiore e sueriore sul diagramma -v. Le colonne E e F raresentano risettivamente la entalia secifica del liquido saturo e quella del vaore saturo secco (curve limiti inferiore e sueriore nel diagramma -h). Infine le colonne G ed H raresentano l entroia secifica del liquido saturo e quella del vaore saturo secco (curve limiti inferiore e sueriore nel diagramma -s). Ovviamente, noto il titolo (oltre naturalmente alla ressione od alla temeratura) è ossibile con questa tabella calcolare il volume secifico, l entalia e l entroia secifica di una miscela bifasica utilizzando le Eqq.(2.3)-(2.4). Anche l energia interna uò essere calcolata sottraendo il rodotto v al valore dell entalia. Le tabelle del liquido comresso e vaore surriscaldato hanno l asetto riortato in ab.2. Esse contengono l andamento delle rorietà v, h ed s in funzione delle temeratura lungo una isobara. Si noti il brusco salto che tali rorietà subiscono quando la temeratura suera il valore di saturazione e si assa dalla fase liquida quella di vaore surriscaldato (tra 120 e 130 C nel caso considerato). Le tabelle termodinamiche resentano una serie di inconvenienti, tra cui il maggiore consiste nella necessità di interolare il valori quando non è riortato in esse il valore esatto di temeratura o ressione richiesto. Nel caso del vaore surriscaldato, è talvolta necessario interolare tra due tabelle relative a differenti ressioni. A questo ha fatto di recente rimedio la disonibilità di rogrammi di calcolo che sono in grado di fornire le rorietà di una amia gamma di sostanze er qualunque valore delle variabili di ingresso (vedi bibliografia). 2-13

14 ESEMPIO 2.3 Riscaldamento a volume costante Si consideri una bombola del volume V = 15 L che contiene M = 2 kg di roano, a temeratura ambiente di 20 C. Determinare il valore raggiunto dalla ressione se il contenitore si orta alla temeratura di 80 C e l energia che è necessario fornire. Abbiamo a che fare con un sistema chiuso, dal contorno rigido: questo imlica che non ci sono scambi di lavoro con l'esterno ed il volume si mantiene costante. Il volume secifico della miscela (calcolato nell esemio 2.1) vale m 3 /kg. Lo stati iniziale e finale sono identificati dalla coia di variabili di stato volume secifico (costante) e temeratura (variabile) ramite il rogramma CA, si ottengono i dati seguenti er il roano nello stato iniziale e finale. Stato v u h s x C MPa m3/kg kj/kg kj/kg kj/kg K Miscela bifase Miscela bifase Da cui si vede che nello stato finale il fluido è ancora in condizioni di saturazione e la ressione suera i 3 MPa (30 bar): questo otrebbe rovocare il cedimento del contenitore ed illustra chiaramente il ericolo derivante dall esorre bombole chiuse alle fonti di calore. La energia necessaria er la trasformazione viene fornita sotto forma di calore (abbiamo escluso gli scambi di lavoro essendo il reciiente rigido) e er il rimo rinciio della termodinamica abbiamo du = dq q Q = u 2 = U u 2 1 U 1 = M ( u u ) = 2 ( ) = 472 kj 2 1 Si otrebbe in seguito determinare, in base a considerazioni di trasmissione del calore, il temo necessario erché la trasformazione avvenga (ovvero il temo necessario a trasferire la quantità di calore Q 12 ), che è imortante conoscere er stabilire i temi di intervento di eventuali sistemi di sicurezza. 2-14

15 A B C D E F G H [bar] [ C] v f [m 3 /Kg] v g [m 3 /Kg] h f [kj/kg] h g [kj/kg] s f [kj/kg K] s g [kj/kg K] entroia vaore saturo entroia liquido saturo entalia vaore saturo entalia liquido saturo volume vaore saturo volume liquido saturo temeratura di saturazione ressione di saturazione ab.1 - Prorietà termodinamiche del vaor d acqua saturo 2-15

16 em. Volume Secifico =2 bar Entalia Secifica Entroia Secifica C m 3 /kg kj/kg kj/kg/k ab Acqua comressa e vaore surriscaldato a =2 bar MODELLI SEMPLIFICAI DEI FLUIDI ERMODINAMICI: IL GAS IDEALE E IL LIQUIDO INCOMPRIMIBILE. La equazione di stato f (, v, ) = 0 assume nel caso generale una forma matematica assai comlessa che la rende inutilizzabile, salvo l uso con un calcolatore. uttavia, er alcune classi di sostanze essa assume una forma matematica semlice che ermette di utilizzarla direttamente, come vedremo in seguito. Il modello di fluido incomrimibile L'equazione di stato f (, v, ) = 0 er una sostanza ura in fase liquida si fonda usualmente sull'iotesi di comortamento incomrimibile, ovvero sull'iotesi di ritenere il volume secifico costante lungo una qualunque trasformazione. E' bene recisare che nessuna sostanza reale è incomrimibile e che il modello di liquido incomrimibile, a differenza del modello di gas ideale che verrà esosto in seguito, non raresenta un comortamento asintotico, ma un'idealizzazione che consente di semlificare 2-16

17 notevolmente la metodologia er il calcolo delle rorietà. L'assunzione fatta risulta comunque soddisfacentemente verificata negli stati termodinamici del liquido lontani dallo stato critico. Per tale ragione, orre costante il volume secifico non corrisonde ad assegnarli un determinato valore numerico (come accade ad es. nel caso della costante dei gas). Nella ratica si sceglie come costante un idoneo valor medio nel camo di ressione e temeratura di interesse. Nell'iotesi di comortamento incomrimibile, l'equazione di stato er una sostanza ura in fase liquida è semlicemente: v = cost (2.8) E evidente quindi che una sostanza a comortamento incomrimibile non ha ossibilità di scambiare lavoro reversibile di dilatazione con l'ambiente. Il calcolo della variazione di energia interna risulta immediato, semlificando la relazione generale er dv=0 d u = c (2.9) v d dato che ovviamente er un fluido incomrimibile i coefficienti di β e k sono nulli, dalle relazioni generali (v. ab.4 del Ca.1) segue che i calori secifici a ressione costante e a volume costante sono uguali: usualmente il edice viene quindi soresso. La variazione di entalia è data quindi da ( u + v) = du + dv + vd = c d vd d h = d + (2.10) Infine, nell'iotesi di v = cost., la rima equazione di Gibbs diventa: c d s = d (2.11) La quale mostra che er un fluido incomrimibile temeratura ed entroia non sono variabili indiendenti. Le relazioni resentate, consentono di valutare le variazioni delle rorietà u, h s er una sostanza ura in fase liquida, ovviamente nell'ambito dell'arossimazione di tale modello idealizzato. Il modello di gas ideale Equazione di stato Osservazioni serimentali su sostanze in fase gassosa consentono di asserire che in condizioni articolari (che esamineremo in dettaglio in seguito) l equazione di stato f (, v, ) = 0 assume una forma relativamente semlice: V = nr (2.12) dove n è il numero di moli della sostanza ed R è una costante, il cui valore è ari a 8315 J/kmol K e non diende dal tio di gas considerato, er cui essa viene detta costante universale dei gas. Questo vuol dire che il comortamento di questa sostanza diende solo dal numero di moli resenti e non dalla natura delle molecole. ale fluido viene detto gas ideale o anche gas erfetto. 2-17

18 E stato dimostrato che un comortamento del tio indicato dall equazione recedente è redicibile teoricamente considerando il gas come un insieme di unti materiali (che raresentano le singole molecole) che interagiscono tra di loro e con le areti unicamente tramite urti elastici. Dato che di solito facciamo riferimento, anziché ad una mole, ad una massa unitaria di fluido, è oortuno riarrangiare l equazione recedente facendovi comarire il volume secifico. Riferendosi ad una mole di sostanza e dividendo ambo i membri er la massa molecolare, μ = M/n, si ottiene: V n = R M M R v = = R μ (2.13) dove è evidente che la costante R (detta talvolta costante caratteristica del gas) assume un valore diverso er ciascun gas. I valori di μ ed R sono riortati, er alcune sostanze, in ab.a2. Ovviamente, la relazione recedente uò essere riscritta in termini del volume totale e della massa V = M R (2.14) ESEMPIO 2.4 Massa di gas contenuta in una bombola Una bombola del volume di 14 L contiene ossigeno alla ressione di 70 bar ed alla temeratura di 20 C. Assumendo la validità del modello di gas ideale, calcolare la massa di gas contenuta nella bombola. Dalla ab.a1, er l ossigeno si ha R= J/kg K; dalla relazione recedente quindi (esrimendo tutte le grandezze in unità SI) 6 V M = = = 1.28 kg R Notare che dal rogramma CA si ottiene v = m 3 /kg, da cui M = V/v = 1.34 kg: il modello di gas ideale ha quindi in queste condizioni un errore di circa il 4.5 %. Calcolo delle variazioni di energia interna, entalia ed entroia er un gas ideale. Per un gas ideale, l'energia interna e l entalia diendono unicamente dalla temeratura. Ne segue anche che er un gas ideale u, h e non sono variabili di stato indiendenti e assegnare un valore determinato ad una coia tra loro non consente di determinare univocamente lo stato del sistema. Ciò fu mostrato come risultato serimentale da Joule e homson, che idearono un celebre eserimento er dimostrare che l esansione isoentalica di un gas, in condizioni rossime a quelle ideali, è anche isoterma. Il fatto che nel diagramma h-s (illustrato in recedenza) le isoterme tendano a diventare isoentaliche er bassi valori della ressione conferma ulteriormente quanto affermato. In altri termini, i coefficienti B u e B h nelle Eq.(1.48) e (1.50) del Ca.1 sono identicamente nulli er un gas ideale e tali relazioni ossono essere riscritte nella forma 2-18

19 du = c () d v dh = c () d (2.15) dove i calori secifici a ressione e volume costante diendono al iù dalla temeratura, come illustrato in Fig.8. Le variazioni di entroia sono quindi esrimibili nella forma d ds = cv + dv d v ds = c d (2.16) che, ricavando / e v/ dalla equazione, di stato ossono essere esresse anche come d dv ds = cv + R v d d ds = c R (2.17) Infine, combinando oortunamente le Eq. (2.13) e (2.15) è ossibile verificare che R = c c v (detta relazione di Mayer) (2.18) introducendo il raorto tra c e c v, indicato generalmente con k, si ottengono ancora le relazioni Rk R c c = cv = k = k 1 k 1 con c v (2.19) da cui risulta che tutte le rorietà del gas ideale sono calcolabili una volta nota una coia qualsiasi tra i coefficienti k, c, c v ed R. Per integrare le equazioni resentate tra due generici stati di equilibrio occorre eslicitare il legame funzionale tra i calori secifici e la temeratura. Fortunatamente, è stato serimentalmente osservato che, er le sostanze di iù comune imiego, la variazione di dei calori secifici, relativa ad intervalli di temeratura non molto ami, è sufficientemente limitata. E' ertanto ossibile, con buona arossimazione, ritenere costanti i calori secifici in tali intervalli della temeratura. In ab.a2 sono riortati, er alcuni gas, i valori medi di c e c v, imiegabili nell'intervallo di temeratura C Laddove non sia ossibile ritenere i calori secifici costanti, o erché si è in resenza di un salto di temeratura molto amio, o erché è richiesta una maggiore accuratezza, risulta necessario correlare i dati serimentali con funzioni analitiche. Di solito si adottano esressioni olinomiali del tio: c R = α + β γ + δ + ε (2.20) i cui coefficienti sono riortati in ab.a3. La Fig.8 riorta le variazioni di c e c v con la temeratura er l azoto. 2-19

20 C, Cv, J/kg K C Cv emeratura (K) Figura 2.8. Variazione di c e c v con la temeratura er l azoto. La differenza tra i due valori vale comunque c - c v = R. ESEMPIO 2.5 Variazioni di entalia ed entroia er un gas Determinare la variazioni di entalia ed entroia secifiche dell azoto in una trasformazione che lo orta dalle condizioni 1 = 0.1 MPa, 1 = 300 K alle condizioni 2 = 3 MPa, 2 = 1000 K. La soluzione er i casi a e b è riortata nel file C2GASPROP.XLS Metodo a (c costante) Considerando l azoto un gas ideale con c = cost = J/kg K e R = 296,91 J/kg K si ha integrando le Eqq. (2.15) e (2.17) h = c kj/kg ( ) h = 2 2 s2 s1 = c ln R ln = J/kg K 1 1 Metodo b (c diendente da ) Considerando l azoto un gas ideale con c diendente dalla temeratura, secondo la ab.a3, si ha β 2 2 γ 3 3 h2 h1 = R α( 2 1 ) + ( 2 1 ) + ( 2 1 ) 2 3 δ 4 4 ε ( 2 1 ) + ( 2 1 ) = kj/kg γ 2 2 s2 s1 = R α ln + β ( 2 1 ) + ( 2 1 ) 1 2 δ ε ( ) + ( ) R ln = J/kg K

21 Metodo c (tabelle termodinamiche) Infine dalle tabelle termodinamiche (rogramma CA) si ottiene h 2 h1 = kj/kg s 2 s1 = 289 J/kg K rasformazioni e diagrammi di stato er un gas ideale. Per un gas ideale una trasformazione isoterma è retta dall equazione v = R = cost. (2.21) E quindi è raresentata da un ramo di ierbole equilatera sul diagramma -v. Una relazione er la trasformazione adiabatica reversibile (ovvero, isoentroica) uò essere ricavata imonendo ds = 0 nella seconda delle Eq.(2.17) d d d d d s = c R = 0 c = R (2.22) Da cui integrando tra due estremi generici, er c = cost c e quindi infine d 2 = R 1 1 c 1 k 2 = 1 R d 2 1 c 2 ln = R ln 1 2 = 1 R c = 1 k 1 k (2.23) k = cost (2.24) Sfruttando l equazione di stato dei gas ideali, Eq.(2.13), si vede che due esressioni alternative er la trasformazione adiabatica sono 1 v k = cost v k = cost (2.25) utte le trasformazioni suddette non sono che dei casi articolari di una trasformazione detta olitroica che uò esrimersi nelle tre forme seguenti 1 n n n 1 n = cost, v = cost, v = cost (2.26) In articolare, er una isoterma si ha n = 1, er un adiabatica n = k e er una isobara n = 0. Anche una isovolumica uò essere vista come un caso articolare della trasformazione suddetta er n =. 2-21

22 h n = 1 n = k n = 0 isobara isov olumica n = inf n = k isovolumica isobara n = 1 isoterma n = 0 adiabatica rev. (isoentroica) isoterma n = inf isoentroica v s Figura 2.9. Diagrammi di stato er gas ideale. Sui diagrammi di stato del gas ideale non si riorta la zona di coesistenza delle fasi, in quanto, come vedremo in dettaglio in un rossimo aragrafo, er il gas ideale non si hanno cambiamenti di fase e tale modello è alicabile er stati sufficientemente lontani dal unto critico della sostanza. Inoltre, dato che l entalia e la temeratura sono legati da una relazione diretta, i diagrammi h-s e -s differiscono unicamente er il fattore di scala dell asse y (ovvero il fattore c, non necessariamente costante lungo l asse stesso) e hanno qualitativamente lo stesso andamento. Le linee che raresentano le varie trasformazioni su tali diagrammi ossono, almeno nel caso in cui c sia costante, essere tracciate con semlici considerazioni di geometria analitica una volta note una coia di costanti del gas (ad es. R e k). ali diagrammi sono riortati in Fig.9. Alla luce delle esressioni riortate in questo aragrafo, è abbastanza semlice ricavare il lavoro ed il calore scambiati reversibilmente da un gas ideale nelle rinciali trasformazioni: tramite integrazione diretta del dv, -vd, ds: le relative esressioni sono riortate in A.2. Comortamento reale dei gas Nessuna sostanza si comorta esattamente secondo il modello di gas ideale; ur tuttavia, tale modello costituisce, er qualsiasi sostanza, il comortamento asintotico al decrescere della ressione o al crescere della temeratura. Per valutare se una sostanza si comorta o meno secondo il modello di gas ideale, si uò calcolare il cosiddetto fattore di comrimibilità, Z v Z = (2.27) R E evidente che quando il gas segue il comortamento ideale Z=1. Ad esemio, in Fig.10, è riortato il fattore di comrimibilità Z dell'azoto in funzione della ressione, er differenti valori della temeratura. Dall'osservazione del diagramma si uò notare che quando la ressione tende a zero, er qualunque valore della temeratura, il raorto Z tende ad uno, ossia l'azoto si comorta da gas ideale. Si noti inoltre che alla temeratura di 300 K, ovvero a temeratura ambiente, è ossibile adoerare er l'azoto l'equazione del modello gas ideale fino ad una ressione di circa 10 MPa (er cui si ha Z= ); tale limite è ovviamente funzione della recisione che si desidera ottenere). 2-22

23 Z = v/r 1.0 vaore saturo secco 110 K 130 K 150 K 200 K 300 K liquido saturo Figura Fattore di comrimibilità dell azoto (MPa) Si suonga di raffreddare isobaricamente il gas, inizialmente alla temeratura di 300 K, alla ressione di 4 Ma: il raorto Z decresce al diminuire della temeratura ed assume valori minori di uno, ossia la densità aumenta iù di quanto revisto dal modello del gas ideale. Ciò uò essere giustificato intuitivamente notando che la riduzione della distanza tra le molecole comorta l'allontanamento dal camo di validità dell'iotesi di assenza di forze intermolecolari, assunta er il modello del gas ideale. In queste condizioni di ressione e temeratura, le forze molecolari sono del tio attrattivo e ertanto il modello ideale sottostima il valore di densità del gas. Al contrario, er ressioni molto elevate, maggiori di 30 MPa, il raorto Z è semre maggiore di uno: in queste condizioni le forze intermolecolari sono reulsive e ertanto la densità del gas è minore di quella corrisondente al comortamento ideale. Un grafico molto iù significativo del recedente si ottiene riortando il valore di Z in funzione della ressione ridotta e della temeratura ridotta, definite risettivamente come r = r = (2.28) c c dove c e c sono risettivamente la ressione e la temeratura critica della sostanza. ale grafico è riortato in Fig.11: si nota che i unti serimentali relativi a diversi fluidi si raggruano lungo le stesse linee, cosicché si uò asserire che i arametri suddetti individuano quantitativamente un comortamento generale, valido er qualunque sostanza. 2-23

24 ESEMPIO 2.6 Fattore di comrimibilità Si calcoli il fattore di comrimibilità del metano a = MPa e = 13.2 C. Si confronti il risultato con i dati del diagramma di Fig.11. Dalle tabelle del metano si ha che nelle condizioni secificate v = m 3 /kg. Dalla ab.a2, si ha inoltre R = kj/kg, c = 4.64 MPa, c = K. Pertanto v Z = = 0.80 R si ha inoltre r = = 4.5 r = = 1.5 c c dalla Fig.11 si ha ertanto arossimativamente Z = Figura Fattore di comrimibilità generalizzato. Alicabilità del modello di gas ideale Nell affrontare un calcolo, sesso ci si chiede se il modello di gas ideale sia alicabile o meno al fluido considerato: l alicabilità di tale modello infatti semlifica notevolmente i calcoli ed evita il ricorso alle tabelle termodinamiche. Nel seguito sono esosti alcuni criteri di giudizio. Naturalmente tali criteri hanno valore uramente indicativo e in definitiva si uò 2-24

25 affermare che l alicabilità o meno del modello di gas ideale diende dal grado di recisione con cui si vogliono ottenere i risultati. Il criterio iù generale consiste nel calcolare il fattore di comrimibilità Z facendo uso delle tabelle o di un rogramma di calcolo: il suo scostamento dal valore unitario ci dà l idea della recisione con cui il modello di gas ideale è accettabile. Indicativamente, si uò ritenere accettabile un valore di Z sueriore a L uso del diagramma generalizzato di Fig.11 ci mostra che er r > 2 il valore di Z si manitiene semre sueriore a 0.95: questo indica che quando la temeratura suera il doio della temeratura critica il modello di gas ideale è comunque alicabile (tale affermazione cade erò in difetto er ressioni molto alte, indicativamente er r > 10). Inoltre, si vede dalla stessa Fig.11 che tutte le curve tendono ad 1 al diminuire della ressione ridotta: quindi il modello di gas ideale risulta comunque alicabile er r < 0.01 (ma questo limite aumenta al crescere del valore della temeratura ridotta). Infine, un aiuto indicativo ci uò venire dall esame dei diagrammi di stato -s, h-s e -h nelle zone di tali diagrammi dove le isoterme tendono a diventare anche isoentaliche (e viceversa) si uò ensare che il fluido abbia un comortamento rossimo a quello del gas ideale. Generalmente si uò dire che i gas che costituiscono l aria (azoto iù ossigeno) in condizioni di temeratura ambiente o sueriore (300 K) ossono essere considerati gas ideali. Lo stesso non vale er il vaore acqueo nelle condizioni di ressione e temeratura tiiche all ingresso in turbina ( 10 MPa e 500 C). Invece, il vaore acqueo nelle condizioni in cui si trova diserso nell aria atmosferica, avendo una ressione arziale molto bassa (0.002 MPa) uò essere considerato un gas ideale. Ovviamente, er qualunque sostanza in condizioni bifasiche il modello di gas ideale è inalicabile, er non arlare delle sostanze allo stato liquido. Da notare infine che il fatto che il modello di gas ideale sia alicabile non imlica assolutamente che c ossa essere considerato costante: quest ultima è un iotesi ulteriormente restrittiva e uò essere alicata se le variazioni di temeratura non sono alte (indicativamente, inferiori a 100 K). Anche in questo caso, la decisione diende dal grado di accuratezza dei risultati desiderato. APPLICAZIONE: CALCOLO DELLE VARIAZIONI DI ENALPIA E DI ENROPIA In questo aragrafo affronteremo il roblema del calcolo delle variazioni di entalia e di entroia er i vari tii di fluido che abbiamo considerato, riassumendo ed alicando, er maggiore chiarezza, le relazioni introdotte in recedenza. Un confronto tra le forme che tali relazioni assumono er i vari fluidi è anche riortato sinteticamente nell Aendice 1. Calcolo delle variazioni di entalia Come vedremo in seguito, er oter ortare a termine i calcoli correlati al bilancio di energia, è molto sesso necessario determinare la variazione di entalia nella trasformazione comiuta dal fluido. Ovviamente, lo stato iniziale e finale della trasformazione devono essere fissati, ovvero (er sistemi bivarianti, quali sono tutti quelli che noi consideriamo) deve essere noto il valore di due variabili di stato indiendenti, che di solito sono ressione e temeratura. uttavia, se il fluido si trova nello stato di vaore saturo, tali variabili non sono indiendenti e occorre sostituirne una con il titolo x od un altra variabile secifica (v,u,s) da cui si uò ricavare il titolo con le note relazioni del vaore saturo. 2-25