Scritto di Algoritmi e s.d. (1o anno) 5 Luglio 2005

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1 Scritto di Algoritmi e s.d. (1o anno) Luglio 200 Esercizio 1 (punti in prima approssimazione) Consideriamo il seguente codice C: #include <stdio.h> #include <stdlib.h> typedef struct cella * List; struct cella { int cont; List next; ; List void inser_in_testa (int x, List LL); /* inserisce x in testa alla lista LL */ stampa (List LL); /* stampa la lista LL partendo dalla testa se la lista e` vuota non stampa nulla */ void ppp(list); /* da capire... */ int main() { List L = NULL; L = inser_in_testa (4, L); L = inser_in_testa (3, L); L = inser_in_testa (2, L); L = inser_in_testa (1, L); printf("\n ppp : "); ppp(l); printf("\n lista : "); stampa(l); return(0); List inser_in_testa (int x, List LL) {... supponiamo sia fatta bene... void stampa (List LL) {... supponiamo sia fatta bene... void ppp(list LL) { if (LL!=NULL) { ppp(ll->next); ppp(ll->next); printf(" %d ",LL->cont); Domanda: qual'è l'output?

2 Esercizio 2 (punti 4 in prima approssimazione) Consideriamo il tipo di dato dizionari, con insieme universo U = i naturali da 0 a, e l'implementazione degli insiemi usando tabelle hash chiuse di dimensione 10. Come funzioni di hashing e re-hashing consideriamo h, h1, h2,... tali che: h : U {0, 1, 2,..., 10 h( x ) = x mod 10 hj : U {0, 1, 2,..., 10 hj ( x ) = ( h( x ) + j ) mod 10 j= 1, 2,..., K Domande: a) quanto deve valere K? b) Se partiamo da una tabella inizialmente vuota e inseriamo, nell'ordine dato: 12, 14, 24, 1, 42,, e poi cancelliamo 12 cosa conterrà, alla fine, la tabella? indice contenuto Esercizio 3 (punti in prima approssimazione) Consideriamo il seguente algoritmo: var dim : integer leggi (dim) { blocco con dichiarazioni var aa : array [1.. dim] of real j, k : integer per j = 1,2,3,.., dim : aa[j] < j <--- 1 while j dim do { per k = 1, 2, 3,..., j : aa[k] <-- aa[k] * aa[k] j <--- j* 2 Domanda: Calcolare la complessità dell'algoritmo, nel caso peggiore, in funzione di dim. Possibilmente dare la stima in Θ(... ). Non fare conti troppo dettagliati (esplicitando tutte le costanti,...), ma non limitarsi nemmeno a dare il risultato, o a quattro chiacchere; in particolare, precisare se c'è un caso peggiore (o caso pessimo) e qual'è.

3 Esercizio 4 (punti 4 in prima approssimazione) Consideriamo alberi di ricerca binari, con etichette intere e con la solita implementazione. Vogliamo una procedura che, preso un albero tt e due interi min, max, stampa tutte le etichette di tt che sono comprese tra min e max (stampa ogni x contenuto in tt tale che min x max). I numeri devono essere stampati in ordine crescente. Bisogna evitare di visitare le parti di albero dove le etchette sono fuori dall'intevallo min.. max. Domande. a) Precisare, in pseudocodice, o in C, i tipi usati per gli alberi di ricerca. b) Scrivere, in pseudocodice, o in C, ma coerentemente con sopra e senza mescolare, la procedura. Esercizio (punti 12 in prima approssimazione) Consideriamo un algoritmo per il sudoku. Non è necessario conoscere il gioco, nè capire l'algoritmo, per svolgere correttamente l'esercizio. Sudoku: dato n >2, si considera una matrice n 2 x n 2 (le righe e le colonne le numeriamo da 1 a n 2 ); nella figura che segue n=3; alcune caselle vengono riempite con dei valori iniziali (qui non ci preoccupiamo di come si scelgono questi valori...); nella figura sono i numeri "grandi"; il gioco consiste nel completare la matrice in modo tale che: o ogni riga ed ogni colonna della matrice contenga (una ed una volta sola) tutti i numeri da 1 a n 2 ; o lo stesso per gli n 2 "quadranti" di dimensione n x n; nella figura sono i riquadri con bordo spesso, ciascuno contenente caselle. Algoritmo per soluzione su carta (non sono sicuro che funzioni, ma in ogni caso l'esercizio "resta in piedi") : 1. si parte con la matrice contenente i valori iniziali; per chiarezza coloriamo le caselle contenenti questi valori iniziali; 2. nelle altre caselle si scrivono tutti i numeri che possono starci, compatibilmente con i valori iniziali e le regole (vedi figura); Ciclo: si ripetono i passi successivi 3 e 4 fino a che la matrice non è tutta colorata. 3. si controlla se tra le caselle non colorate c'è una casella, sia (j,k), che contiene un solo valore, sia v; nella figura: j =, k =, v = ; allora v diventa valore definitivo per la casella (j,k), che quindi viene colorata; inoltre si vanno ad aggiornare tutte le caselle non colorate che stanno sulla riga j, sulla colonna k, nel quadrante che contiene (j,k), cancellando v dai valori possibili;

4 4 si compone di 4a, 4b, 4c 4a per ciascuna riga j, si controlla se su quella riga c'e' un valore, sia v, che compare in una sola casella non colorata, sia (j,k); nella figura: j = 2, k =, v = ; [ aggiunta successiva : altro esempio, migliore : j=2, k=, v=4; ] allora v diventa definitivo per la casella (j,k), che quindi viene colorata; inoltre si vanno ad aggiornare tutte le caselle non colorate che stanno sulla colonna k e nel quadrante che contiene (j,k), cancellando v dai valori possibili; 4b come 4a, ma per ciascuna colonna 4c come 4a, ma per ciascun quadrante Figura [notare che nelle caselle (4,2), (4,3), (,2) e, c'è un errore: il non è un valore possibile, perchè già presente, come valore iniziale nel quadrante ; possono esserci altri errori, però questo non crea problemi per fare l'esercizio proposto]

5 Programma per l'algoritmo di sopra: legge n (che non sarà certo un numero molto grande; es n=3, 4,...) e mette in piedi le strutture dati necessarie (vedere domanda a); legge da (tastiera o file) i valori iniziali e "colora le caselle" corrispondenti; esegue il passo 2 descritto sopra; esegue il ciclo detto sopra, utilizzando delle procedure/funzioni, per i punti 3 e 4; Domande a) a parole e/o disegni spegare quali sono le strutture dati utilizzate per rappresentare la matrice, la sua coloratura, i valori che contiene...; dire anche come vengono inizializzate (se questa parte manca, il resto dell'esercizio non verrà corretto) b) scrivere (in pseudo-codice o C, ma senza mescolare) le dichiarazioni di tipo e variabile corrispondenti al punto a); qui si può usare n, perchè è noto; c) scrivere (in pseudo-codice o C, ma senza mescolare) una procedura/funzione che realizza il punto 4a, semplificato come segue: dato j (che quindi è un parametro), controlla se sulla riga j c'e' un valore, sia v, che compare in una sola casella non colorata, sia (j,k); allora v diventa definitivo per la casella (j,k), che quindi viene colorata; inoltre si vanno ad aggiornare tutte le caselle non colorate che stanno sulla colonna k, cancellando v dai valori possibili; 10