Daniela Lera A.A

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1 Daniela Lera Università degli Studi di Cagliari Dipartimento di Matematica e Informatica A.A

2 Problemi non lineari Definizione f : R R F : R n R m f (x) = 0 F(x) = 0 In generale si determina una successione {x k } tale che lim x k = α k dove α é una soluzione del problema.

3 Esempi x 2 c = 0 x = ± c e x c = 0 x = log c sin x = c x = arcsin c BANALI se sono disponibili le funzioni elementari.

4 Esempi x 7 5x = 0 e x2 5 + sinx logcose x = 0 { x 2 + e y = 7 sinx y = 5 NON BANALI la soluzione potrebbe non essere esprimibile analiticamente.

5 Funzione di una variabile Le soluzioni potrebbero esistere, non esistere o essere multiple. f : R R f (x) = 0

6 F : Funzione di n variabili R n R m x 1 x 2... x n f 1 (x 1,..., x n ) f 2 (x 1,..., x n )... f m (x 1,..., x n ) F(x) = 0 f 1 (x 1,..., x n ) = 0 f 2 (x 1,..., x n ) = 0... f m (x 1,..., x n ) = 0

7 Funzione di due variabili { f1 (x, y) = x 2 y + m = 0 f 2 (x, y) = x + y 2 + m = 0 m = 1: nessuna soluzione m = 1/4 una soluzione.

8 Funzione di due variabili { f1 (x, y) = x 2 y + m = 0 f 2 (x, y) = x + y 2 + m = 0 m = 0: due soluzioni m = 1: quattro soluzioni.

9 Metodi iterativi Anche per tali sistemi non esiste una formula risolutiva di tipo generale, ossia un metodo diretto che consenta di ottenere la soluzione esatta in un numero finito di passi. Per risolvere tali equazioni (o sistemi di equazioni) non lineari si utilizzano quindi opportuni metodi iterativi.

10 Metodi iterativi Considerato un punto iniziale x 0, un metodo (od algoritmo) iterativo è una procedura matematica che consente di determinare una successione x 0, x 1, x 2,... che converge ad una radice dell equazione f (x) = 0, ossia ad un valore α tale che f (α) = 0. Si definisce errore al passo k la quantità e k = x k α e si dice che un metodo iterativo è convergente se lim e k = 0. k

11 Condizionamento f (x) = 0, x [a, b] Non si riesce a determinare un α tale che f (α) = 0. Gli algoritmi forniscono un punto x in [a, b] tale che f(x) ε.

12 Condizionamento Funzione piatta problema malcondizionato

13 Condizionamento Funzione piatta problema malcondizionato f (x) f (α) + f (α)(x α) f (x) ε implica x α 1 f (α) ε L errore può essere amplificato di un fattore 1/f (α).

14 Condizionamento Il condizionamento peggiora per radici multiple. Se α è radice doppia si ha: f (x) f (α) + f (α)(x α) + f (ξ)(x α) 2 /2 f (x) ε implica x α ( 2ε ) 1/2 f (ξ)

15 Condizionamento Se anche fosse f (ξ) 1 in prossimità di α, così che x α 2ε allora f (x) 10 8 x α si avrebbe una grossa perdita di accuratezza. Più derivate si annullano, più le cose peggiorano.

16 Metodo di bisezione Il metodo richiede solo la continuità della f. Si basa sul TEOREMA DEGLI ZERI Data una f (x) continua in [a, b] e tale che f (a)f (b) < 0, allora esiste α (a, b), tale che f (α) = 0. Si ipotizza una sola radice in [a, b].

17 Metodo di bisezione Come funziona: a 0 = a, b 0 = b c 1 = a 0 + b 0 2 Se f (c 1 )f (a 0 ) < 0 si pone a 1 = a 0, b 1 = c 1 Se f (c 1 )f (b 0 ) < 0 si pone a 1 = c 1, b 1 = b 0 etc... c 2 = a 1 + b 1 2

18 Metodo di bisezione

19 Interpretazione geometrica Il metodo di bisezione può essere interpretato, ad ogni k, come una approssimazione della f (x) mediante la retta per i punti (a k, sgnf (a k )) e (b k, sgnf (b k )). Si tratta di una approssimazione che non tiene conto dei valori della funzione, ma soltanto dei segni. Metodi, meno affidabili, ma piu veloci, prendono in considerazione anche i valori della funzione.

20 Convergenza {x k } α? Si ha: b k a k = b k 1 a k 1, x k = a k 1 + b k α x k b k 1 a k 1 2 = b k 2 a k =... = b a 2 k cioé α x k b a 2 k 0. Il metodo converge.

21 Convergenza Quante iterazioni servono per avere precisione ε? b a 2 k ε Cioé 2 k b a k log ε 2 (b a) log 2 ε Esempio [a, b] = [0, 2], ε = 10 8 k [a, b] = [0, 200], ε = 10 8 k E un metodo lento a convergere.

22 Ordine di convergenza Definizione: La successione {x k } generata da un metodo numerico converge alla soluzione α con ordine p se e solo se esiste c > 0 tale che α x k+1 α x k p c, k 0 c = costante asintotica dell errore. Se p = 1, c deve essere minore di 1.

23 Ordine di convergenza: bisezione α x k 1 2 α x k 1 L ordine di convergenza nel metodo di bisezione é lineare. p = 1 e c = 1/2.

24 Metodo Regula Falsi Utilizza i valori della funzione, oltre al segno. In [a k, b k ] si approssima la f (x) con la retta che interpola i punti (a k, f (a k )) e (b k, f (b k )). y = x a k b k a k [f (b k ) f (a k )] + f (a k ) y = 0 x k+1 = a kf (b k ) b k f (a k ) f (b k ) f (a k ) x k+1 é lo zero di tale retta che si prende come nuova approssimazione della soluzione. Si procede poi come in bisezione.

25 Metodo Regula Falsi

26 Metodo Regula Falsi: convergenza Nel metodo Regula falsi, diversamente da bisezione, non si ha in generale b k a k 0 (Esempio precedente o con una funzione concava crescente).

27 Metodo di Newton Il metodo di Newton sfrutta le informazioni sulla funzione e sulla derivata della funzione in determinati punti dell intervallo. Schema generale x n+1 = x n f (x n) f (x n ) x 0 arbitrario e f (x n ) 0, n n = 0, 1, 2,...

28 Metodo di Newton Lo schema si ottiene approssimando la f ad ogni iterazione con lo sviluppo in serie di Taylor arrestato alla derivata prima. Al primo passo si ha: da cui: f (x) f (x 0 ) + f (x 0 )(x x 0 ) = 0 x = x 0 f (x 0) f (x 0 )

29 Newton Significato geometrico Ad ogni passo k del metodo di Newton si approssima la f (x) con la retta tangente nel punto x k 1 alla stessa f. Al primo passo si considera la retta tangente alla f in x 0 : y f (x 0 ) = f (x 0 )(x x 0 ) y = 0 x 1 = x 0 f (x 0) f (x 0 )

30 Newton Significato geometrico

31 Newton Significato geometrico

32 Newton Ordine di convergenza Il metodo di Newton è più costoso, in termini di valutazione di funzione, rispetto ad altri metodi iterativi come bisezione o regula-falsi. Newton necessita inoltre della derivata prima della funzione f. Di contro, supponendo che converga, la sua velocità di convergenza risulta quadratica.

33 Newton Ordine di convergenza Si consideri lo sviluppo di Taylor applicato in un intorno di x n : f (x) = f (x n ) + (x x n )f (x n ) + (x x n) 2 f (ξ n ) 2 ξ n I (xn,x) Per x = α si ha: 0 = f (α) = f (x n ) + (α x n )f (x n ) + (α x n) 2 f (ξ n ) 2 Da cui, supponendo f (x n ) 0 f (x n ) f (x n ) + α x n = 1 f (ξ n ) 2 f (x n ) (α x n) 2

34 Newton Ordine di convergenza Quindi α x n+1 = 1 f (ξ n ) 2 f (x n ) (α x n) 2 (1) Sia e n = α x n l errore al passo n, quindi la (1) diventa: e n+1 = 1 f (ξ n ) 2 f (x n ) e2 n

35 Newton Ordine di convergenza Passando al limite, supponendo che {x n } α e n+1 lim n e 2 n = 1 f (α) 2 f (α) Se f (α) 0, (radice ha molteplicità 1). Il metodo di Newton ha ordine di convergenza 2.

36 Newton Ordine di convergenza Quindi, se il metodo di Newton converge, e α non è una radice multipla, l ordine di convergenza è 2. L ordine di convergenza può diminuire in presenza di radici multiple.

37 Newton Radici multiple Esempio. f (x) = x 2 x n+1 = x n x2 n = x n 2x n 2 e n+1 = 1 2 e n convergenza lineare