Esame di Calcolo Numerico per Informatica A.A. 2010/11 Proff. S. De Marchi e M. R. Russo 19 settembre 2011

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1 Esame di Calcolo Numerico per Informatica A.A. 2010/11 Proff. S. De Marchi e M. R. Russo 19 settembre 2011 L esame consiste di 4 domande aperte e 10 esercizi a risposta multipla. Per gli esercizi ci sono tre risposte etichettate con le lettere A, B, C. Riportare la correspondente lettera nella griglia finale. Non sono ammesse cancellazioni o correzioni alle risposte della griglia. Non è ammesso l uso di appunti, libri e qualsiasi tipo di calcolatrice e/o pc (incluso i cellulari che devono essere spenti e riposti sopra il tavolo. Tempo: 2 ore e 30 minuti. 1 Si consideri un metodo di punto fisso x k = g(x k 1, k 1. Quale condizione deve essere verificata affinchè il metodo ammetta un unico punto fisso? Si dia un esempio di funzione d iterazione avente un unico punto fisso. Risposta. Si richiede che la funzione g sia una contrazione. Ovvero esiste L < 1 tale che g(x g(y < L x y, x, y. Una funzione, banale, che ammette un unico punto fisso è g(x = ax + b con a 1 il cui punto fisso è b/(1 a per ogni scelta di b. 2 Cos è il numero di condizionamento in norma 2 di una matrice? Si faccia vedere inoltre che, se la matrice A è simmetrica, vale A 2 = ρ(a. Risposta. κ 2 (A = A 2 A 1 2. Sappiamo inoltre che A 2 = ρ(a T A. Se A è simmetrica, è facile osservare che ρ(a 2 = ρ 2 (A e quindi concludere che A 2 = ρ(a. 3 Il polinomio di Taylor t n (x = f(x 0 + (x x 0 f (x (x x 0 n f (n (x 0 n! corrisponde al polinomio d interpolazione in forma di Newton di una funzione f, quando i punti d interpolazione collassano nel punto x 0. Ma chi è il polinomio d interpolazione in forma di Newton di una funzione f? Risposta. Il polinomio d interpolazione in forma di Newton è p n (x = f(x 0 + (x x 0 f[x 0, x 1 ] + + (x x 0 (x x n 1 f[x 0,..., x n ] con f[x 0,..., x k ], k = 0,..., n 1 la differenza divisa di ordine k della funzione f. 1

2 4 Si scriva una function Matlab per implementare il metodo d iterazione di punto fisso x = g(x che, richiedendo in ingresso la funzione g, il valore iniziale x0, una tolleranza prefissata tol e un numero massimo di iterazioni maxit, restituisca il valore del punto fisso x e il numero di iterazioni effettuate iter. function [x, iter]=metiterazionefunz(g, x0, tol, maxit % % Metodo d iterazione funzionale % % Inputs % g: funzione d iterazione % x0: guess iniziale % tol: tolleranza % maxit: numero massimo d iterazioni % % Outputs % x: soluzione % iter: iterazioni fatte % x1=g(x0; k=1; while abs(x1-x0 > tol*abs(x1 & k <= maxit x0=x1; x1=g(x0; k=k+1; end % Se converge, x0 oppure x1 contengono il valore % dello zero cercato. iter=k-1; x=x1; return 1. Si consideri la serie del coseno cos x = 1 x 2 /2! + x 4 /4! x 6 /6! + x 8 /8!. Valutare cos( 1 il cui valore, arrotondato a 2 decimali, è Quanti termini della serie sono necessari per approssimare cos(1 con errore assoluto ? A 3 B 4 C 5 Risposta A. Infatti, 1 1/2 + 1/ Il polinomio cubico p 3 (x = x 3 3x 2 +3 ha una radice reale α > 0. Qual è l intervallo separatore di tale radice? Si dia anche una stima di α con una una cifra decimale usando come iterazione il metodo di Newton. A [-0.5, 0], α 0.3 B [1, 1.5], α 1.3 C [1, 1.5], α 1.6. Risposta B. p 3 (1 = 1 > 0 e p 3 (3/2 = 3/8 < 0. Usando Newton partendo da x 0 = 1 si ha x 1 = 1 1/( 3 = 4/ pagina 2 di 5

3 3. Data la funzione f(x = 1 e x 1. Per calcolare la radice x = 1, quale tra le seguenti 3 funzioni d iterazione converge con ordine almeno quadratico? A g 1 (x = xe x 1 B g 2 (x = x 1 + e 1 x C g 3 (x = 1 + log(x + 1 Risposta B. Basta verificare quale g i (1 = 0, i = 1, 2, 3. Ma g 2(x altro non è che la funzione d iterazione del metodo di Newton. Infatti, g 2(x = 1 e 1 x che per x = 1 si annulla. 4. Si consideri, al variare del parametro a > 1, la matrice ( a A = 2 1. Calcolare A 1 (che dipenderà da a. A A 1 = (a + 2/(2a + 1 B A 1 = 3/(2a + 1 C A 1 = a/(2a + 1 Risposta A. Infatti 5. Data la matrice A 1 = 1 ( 1 (1 + a 2a A = α 0 β 0 β α 0 β 0 α., α < 0, β > 0. Dire, testando una condizione sufficiente, quando l associata matrice del metodo iterativo di Jacobi risulta convergente. A α < 1 B α/β < 1 C β > α Risposta C. L associata matrice di Jacobi è J = 0 0 β α β α 0 0, Guardando alla norma infinito si conclude. (ovviamente lo stesso. Si possono anche calcolare gli autovalori di J e il risultato è 6. Sia p 2 (x il polinomio d interpolazione di grado 2 della funzione f(x = 1 + sin (x π/2 costruito su nodi equispaziati di [0, π/2]. Si fornisca una maggiorazione dell errore assoluto f(x p 2 (x, x [0, π/2] (il risultato sia arrotondato a 2 cifre decimali, usando l approssimazione π/ A 0.32 B 0.03 C 0.59 Risposta B. Quando i nodi sono equispaziati vale la maggiorazione f(x p 2 (x h3 max 4 3 f 3 (x, x [0, π/2] x [0,π/2] con h = π/ Essendo max x [0,π/2] f 3 (x = 1 si conclude che la risposta voluta è la B. 7. I polinomi ortogonali di Chebyshev di primo tipo soddisfano la ricorrenza T 0 (x = 1, T 1 (x = x, T n (x = 2xT n 1 (x T n 2 (x, n 2. Qual è il coefficiente del monomio di grado massimo per n = 20 e qual è il grado del terzo monomio di T 20 (x? pagina 3 di 5

4 A 2 21, 17 B exp(19 log(2, 16 C , 20 Risposta B. Infatti, il coefficiente del monomio di grado massimo è della forma 2 n 1. Per n = 20 si ottiene 2 19 = exp(19 log(2. Il grado del terzo monomio è pertanto Usando la formula dell errore di quadratura per la regola dei trapezi R 1 (f = (b a3 12N 2 f (ξ trovare il valore minimo di sottointervalli N in modo da avere un errore di approssimazione minore di 10 4 per il calcolo di 1 0 e x2 dx. A 41 B 100 C 11 Risposta A. (b a3 R 1 (f = 12N 2 f (ξ 1 12N 2 max f (x [1,2] f (x = 2xe x2, f (x = ( 2 + 4x 2 e x2 max [0,1] f (x = 2 9. Si consideri la seguente formula di quadratura R 1 (f 2 12N 2 < 10 4 per N 2 > 104 6, N > f(xdx α 1 f( α 2f( c + f(c. Valutare i parametri reali α 1, α 2 e c > 0 in modo che la formula di quadratura abbia ordine di precisione almeno 2. A 2 3, 3 2, 1 2 B 2, 3 2, 8 3 C 1 3, 2 9, 4 9 Risposta B. Si determinano i parametri α 1, α 2, c imponendo che la formula sia esatta per i polinomi 1, x, x 2. Si ottengono allora le seguenti equazioni α α 2 3 = α 2c + c = α 2c 2 + c = 0 dalle quali, dovendo essere c > 0, si ottengono i seguenti valori delle soluzioni: α 1 = 2, α 2 = 3 2, α 3 = Trovare i coefficienti a e c in modo che la funzione y(x = a x 2 + c approssimi i punti nel senso dei minimi quadrati. A 1 8, 2 3 B 2 3, 1 3 C 2 7, 8 7 Risposta C. ( 7, 1 ( 2, 0 ( 3, 1 pagina 4 di 5

5 Si deve determinare la funzione polinomiale di grado n = 2, g(x = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 dove a 1 = 0 e a 0 ed a 2 sono le componenti della soluzione x = (a 0, a 2 T del sistema ai minimi quadrati con da cui A = A T A = A T A a = A T b ( Si ottiene pertanto il sistema lineare di ordine 2 ( che risolto fornisce a 0 = 8 7, a 2 = 2 7, quindi, b = (, A T 0 b = 4 ( ( a0 0 = a 2 4 y(x = 2 7 x A B B A C B B A B C pagina 5 di 5