Interpolazione polinomiale. Interpolazione polinomiale

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2 1 Polinomiale Rappresentazione Lagrangiana Polinomio interpolante di Newton Errore nell interpolazione polinomiale 2 Approssimazione ai minimi quadrati nel discreto

3 1 Polinomiale Rappresentazione Lagrangiana Polinomio interpolante di Newton Errore nell interpolazione polinomiale 2 Approssimazione ai minimi quadrati nel discreto

4 Outline 1 Polinomiale Rappresentazione Lagrangiana Polinomio interpolante di Newton Errore nell interpolazione polinomiale 2 Approssimazione ai minimi quadrati nel discreto

5 Assegnati n + 1 punti (x i, y i ), i = 1,..., n + 1, trovare un polinomio p(x) p(x i ) = y i, i = 1,..., n + 1. (1)

6 Poichè i punti sono n + 1 è sufficiente considerare il generico polinomio di grado n p n (x) = a 0 + a 1 x + + a n x n. Usando la base delle potenze, si tratta di determinare i coefficienti a i risolvendo un sistema lineare di n + 1 equazioni in n + 1 incognite, ottenuto dalle condizioni di interpolazione (1): a 0 + a 1 x 1 + a 2 x a nx n 1 = y a 0 + a 1 x n + a 2 x 2 n + + a n x n n = y n

7 La matrice dei coefficienti è la matrice di Vandermonde. Essa è non singolare gli x i sono distinti. 1 x 1 x x n 1 1 x 2 x x n 2 V = x n xn 2... xn n ove det(v ) = i>j (x i x j ). Teorema Se gli x i sono distinti esiste uno ed un solo polinomio di interpolazione di grado al più n. Tuttavia la matrice di Vandermonde è mal condizionata. Pertanto si calcola il polinomio di interpolazione usando una rappresentazione del polinomio diversa da quella canonica.

8 La matrice dei coefficienti è la matrice di Vandermonde. Essa è non singolare gli x i sono distinti. 1 x 1 x x n 1 1 x 2 x x n 2 V = x n xn 2... xn n ove det(v ) = i>j (x i x j ). Teorema Se gli x i sono distinti esiste uno ed un solo polinomio di interpolazione di grado al più n. Tuttavia la matrice di Vandermonde è mal condizionata. Pertanto si calcola il polinomio di interpolazione usando una rappresentazione del polinomio diversa da quella canonica.

9 La matrice dei coefficienti è la matrice di Vandermonde. Essa è non singolare gli x i sono distinti. 1 x 1 x x n 1 1 x 2 x x n 2 V = x n xn 2... xn n ove det(v ) = i>j (x i x j ). Teorema Se gli x i sono distinti esiste uno ed un solo polinomio di interpolazione di grado al più n. Tuttavia la matrice di Vandermonde è mal condizionata. Pertanto si calcola il polinomio di interpolazione usando una rappresentazione del polinomio diversa da quella canonica.

10 Outline 1 Polinomiale Rappresentazione Lagrangiana Polinomio interpolante di Newton Errore nell interpolazione polinomiale 2 Approssimazione ai minimi quadrati nel discreto

11 Rappresentazione lagrangiana Polinomio interpolante di Lagrange A ogni punto k esimo, k = 1,..., n + 1, si associa un polinomio L k (x) di grado n tale che L k (x i ) = 0 per i k, L k (x k ) = 1. Allora x 1,..., x k 1, x k+1..., x n+1 sono gli zeri di L k (x), quindi L k (x) = α k (x x 1 )... (x x k 1 )(x x k+1 )... (x x n+1 ) Affinchè L k (x k ) = 1 basta scegliere α k = 1/(x k x 1 )... (x k x k 1 )(x k x k+1 )... (x k x n+1 )

12 Rappresentazione lagrangiana Polinomio interpolante di Lagrange A ogni punto k esimo, k = 1,..., n + 1, si associa un polinomio L k (x) di grado n tale che L k (x i ) = 0 per i k, L k (x k ) = 1. Allora x 1,..., x k 1, x k+1..., x n+1 sono gli zeri di L k (x), quindi L k (x) = α k (x x 1 )... (x x k 1 )(x x k+1 )... (x x n+1 ) Affinchè L k (x k ) = 1 basta scegliere α k = 1/(x k x 1 )... (x k x k 1 )(x k x k+1 )... (x k x n+1 )

13 Rappresentazione lagrangiana Polinomio interpolante di Lagrange A ogni punto k esimo, k = 1,..., n + 1, si associa un polinomio L k (x) di grado n tale che L k (x i ) = 0 per i k, L k (x k ) = 1. Allora x 1,..., x k 1, x k+1..., x n+1 sono gli zeri di L k (x), quindi L k (x) = α k (x x 1 )... (x x k 1 )(x x k+1 )... (x x n+1 ) Affinchè L k (x k ) = 1 basta scegliere α k = 1/(x k x 1 )... (x k x k 1 )(x k x k+1 )... (x k x n+1 )

14 Rappresentazione lagrangiana Polinomio interpolante (x i, y i ), i = 1,..., n + 1 p n (x) = y 1 L 1 (x) + + y n+1 L n+1 (x)

15 Polinomio interpolante in forma lagrangiana Costruzione di L k (x) function p=plagr(xnodi,k) %Restituisce i coefficienti del k-esimo pol di %Lagrange associato ai punti del vettore xnodi if k==1 xzeri=xnodi(2:end) else xzeri=[xnodi(1:k-1) xnodi(k+1:end)] end p=poly(xzeri) p=p/polyval(p,xnodi(k)) Disegnare i polinomi di Lagrange associati a [ ]

16 Polinomio interpolante in forma lagrangiana Costruzione di L k (x) function p=plagr(xnodi,k) %Restituisce i coefficienti del k-esimo pol di %Lagrange associato ai punti del vettore xnodi if k==1 xzeri=xnodi(2:end) else xzeri=[xnodi(1:k-1) xnodi(k+1:end)] end p=poly(xzeri) p=p/polyval(p,xnodi(k)) Disegnare i polinomi di Lagrange associati a [ ]

17 Outline 1 Polinomiale Rappresentazione Lagrangiana Polinomio interpolante di Newton Errore nell interpolazione polinomiale 2 Approssimazione ai minimi quadrati nel discreto

18 Polinomio interpolante di Newton Si deriva una diversa rappresentazione del polinomio di interpolazione. Rispetto alla rappresentazione di Lagrange consente di 1 calcolarlo con una minore complessità computazionale; 2 derivare da un polinomio interpolante di grado n uno di grado superiore quando si aggiungono nuovi dati (x i, y i ) usando i calcoli già eseguiti.

19 Polinomio interpolante di Newton Si deriva una diversa rappresentazione del polinomio di interpolazione. Rispetto alla rappresentazione di Lagrange consente di 1 calcolarlo con una minore complessità computazionale; 2 derivare da un polinomio interpolante di grado n uno di grado superiore quando si aggiungono nuovi dati (x i, y i ) usando i calcoli già eseguiti.

20 Polinomio interpolante di Newton Si deriva una diversa rappresentazione del polinomio di interpolazione. Rispetto alla rappresentazione di Lagrange consente di 1 calcolarlo con una minore complessità computazionale; 2 derivare da un polinomio interpolante di grado n uno di grado superiore quando si aggiungono nuovi dati (x i, y i ) usando i calcoli già eseguiti.

21 Differenze divise A tale scopo si usano le differenze divise. Si dice differenza divisa di ordine zero di f (x) relativa al nodo x 0 la quantità f [x 0 ] = y 0. Si dice differenza divisa di ordine uno di f (x) relativa ai nodi x 0, x 1 la quantità f [x 0, x 1 ] = y 1 y 0 x 1 x 0. Si dice differenza divisa di ordine 2 di f (x) relativa agli argomenti x 0, x 1, x 2 la quantità f [x 0, x 1, x 2 ] = f [x 1, x 2 ] f [x 0, x 1 ] x 2 x 0.

22 Differenze divise A tale scopo si usano le differenze divise. Si dice differenza divisa di ordine zero di f (x) relativa al nodo x 0 la quantità f [x 0 ] = y 0. Si dice differenza divisa di ordine uno di f (x) relativa ai nodi x 0, x 1 la quantità f [x 0, x 1 ] = y 1 y 0 x 1 x 0. Si dice differenza divisa di ordine 2 di f (x) relativa agli argomenti x 0, x 1, x 2 la quantità f [x 0, x 1, x 2 ] = f [x 1, x 2 ] f [x 0, x 1 ] x 2 x 0.

23 Differenze divise A tale scopo si usano le differenze divise. Si dice differenza divisa di ordine zero di f (x) relativa al nodo x 0 la quantità f [x 0 ] = y 0. Si dice differenza divisa di ordine uno di f (x) relativa ai nodi x 0, x 1 la quantità f [x 0, x 1 ] = y 1 y 0 x 1 x 0. Si dice differenza divisa di ordine 2 di f (x) relativa agli argomenti x 0, x 1, x 2 la quantità f [x 0, x 1, x 2 ] = f [x 1, x 2 ] f [x 0, x 1 ] x 2 x 0.

24 La differenza divisa di ordine m di f (x) relativa agli m + 1 argomenti x 0, x 1,..., x m è f [x 0, x 1,..., x m ] = f [x 1, x 2,..., x m ] f [x 0, x 1,..., x m 1 ] x m x 0.

25 Polinomio interpolante di Newton La rappresentazione di Newton del polinomio di interpolazione dei punti (x i, y i ), i = 1,..., n, è data da: p n (x) = f [x 0 ] + f [x 0, x 1 ](x x 0 ) + f [x 0, x 1, x 2 ](x x 0 )(x x 1 )+ + f [x 0, x 1,..., x n ](x x 0 )(x x 1 )... (x x n 1 ) Se aggiungo un punto da interpolare, (x n+1, y n+1 ), il nuovo polinomio è dato da p n+1 (x) = p n (x)+f [x 0, x 1,..., x n, x n+1 ](x x 0 )(x x 1 )... (x x n )

26 Polinomio interpolante di Newton La rappresentazione di Newton del polinomio di interpolazione dei punti (x i, y i ), i = 1,..., n, è data da: p n (x) = f [x 0 ] + f [x 0, x 1 ](x x 0 ) + f [x 0, x 1, x 2 ](x x 0 )(x x 1 )+ + f [x 0, x 1,..., x n ](x x 0 )(x x 1 )... (x x n 1 ) Se aggiungo un punto da interpolare, (x n+1, y n+1 ), il nuovo polinomio è dato da p n+1 (x) = p n (x)+f [x 0, x 1,..., x n, x n+1 ](x x 0 )(x x 1 )... (x x n )

27 Polinomio interpolante di Newton Tabella delle differenze divise Esempio: (x i, y i ), i = 0,..., 3 x 0 f [x 0 ] x 1 f [x 1 ] f [x 0, x 1 ] x 2 f [x 2 ] f [x 1, x 2 ] f [x 0, x 1, x 2 ] x 3 f [x 3 ] f [x 2, x 3 ] f [x 1, x 2, x 3 ] f [x 0, x 1, x 2, x 3 ]

28 function c=interpn(x,y) %Calcola i coeff. del polinomio di Newton n = length(x); for k = 1:n-1 y(k+1:n) = (y(k+1:n)-y(k))./ (x(k+1:n) - x(k)); end c = y; function pval = HornerN(c,x,z) % Calcola i valori del polinomio di Newton nei punti del vettore z n = length(c); pval = c(n)*ones(size(z)); for k=n-1:-1:1 pval = (z-x(k)).*pval + c(k); end

29 function c=interpn(x,y) %Calcola i coeff. del polinomio di Newton n = length(x); for k = 1:n-1 y(k+1:n) = (y(k+1:n)-y(k))./ (x(k+1:n) - x(k)); end c = y; function pval = HornerN(c,x,z) % Calcola i valori del polinomio di Newton nei punti del vettore z n = length(c); pval = c(n)*ones(size(z)); for k=n-1:-1:1 pval = (z-x(k)).*pval + c(k); end

30 Outline 1 Polinomiale Rappresentazione Lagrangiana Polinomio interpolante di Newton Errore nell interpolazione polinomiale 2 Approssimazione ai minimi quadrati nel discreto

31 Errore nell interpolazione polinomiale Assegnate le n+1 osservazioni {y i } i=1,...,n+1 in corrispondenza dei punti distinti x i, si è visto come costruire il polinomio interpolante di grado n p n (x). Se i valori y i altro non sono che i valori di una funzione f(x) nei punti x i, cioè y i = f (x i ), i = 1,..., n + 1 con f definita in [a, b], ha senso chiedersi quanto sia grande l errore di interpolazione E n (x) = f (x) p n (x) che si commette in un punto x [a, b] diverso dai punti di interpolazione x i. Per dare una risposta a tale domanda è necessario fare alcune ipotesi di regolarità sulla funzione f(x).

32 Errore nell interpolazione polinomiale Sia f (x) una funzione derivabile n + 1 volte in un intervallo [a, b] contenente tutti i nodi {x i } i=1,...,n+1.si dimostra che l errore E n (x) = f (x) p n (x) tra la funzione f (x) ed il polinomio interpolante di grado n è del tipo con ξ [a, b] e E n (x) = ω n+1 (x) f (n+1) (ξ) (n + 1)! n+1 ω n+1 (x) = (x x i ). i=1

33 Errore nell interpolazione polinomiale Sia f (x) una funzione derivabile n + 1 volte in un intervallo [a, b] contenente tutti i nodi {x i } i=1,...,n+1.si dimostra che l errore E n (x) = f (x) p n (x) tra la funzione f (x) ed il polinomio interpolante di grado n è del tipo con ξ [a, b] e E n (x) = ω n+1 (x) f (n+1) (ξ) (n + 1)! n+1 ω n+1 (x) = (x x i ). i=1

34 Errore nell interpolazione polinomiale Sia f (x) una funzione derivabile n + 1 volte in un intervallo [a, b] contenente tutti i nodi {x i } i=1,...,n+1.si dimostra che l errore E n (x) = f (x) p n (x) tra la funzione f (x) ed il polinomio interpolante di grado n è del tipo con ξ [a, b] e E n (x) = ω n+1 (x) f (n+1) (ξ) (n + 1)! n+1 ω n+1 (x) = (x x i ). i=1

35 Errore nell interpolazione polinomiale Sia f (x) una funzione derivabile n + 1 volte in un intervallo [a, b] contenente tutti i nodi {x i } i=1,...,n+1.si dimostra che l errore E n (x) = f (x) p n (x) tra la funzione f (x) ed il polinomio interpolante di grado n è del tipo con ξ [a, b] e E n (x) = ω n+1 (x) f (n+1) (ξ) (n + 1)! n+1 ω n+1 (x) = (x x i ). i=1

36 Errore nell interpolazione polinomiale L errore di interpolazione dipende quindi: dalla regolarità della funzione f (x) dalla disposizione dei punti di interpolazione sull asse delle ascisse. Posto M n+1 = max x [a,b] f (n+1) (x), un limite superiore all errore di interpolazione E n (x) = f (x) p n (x) è dato da E n (x) ω n+1(x) (n + 1)! M n+1.

37 Errore nell interpolazione polinomiale L errore di interpolazione dipende quindi: dalla regolarità della funzione f (x) dalla disposizione dei punti di interpolazione sull asse delle ascisse. Posto M n+1 = max x [a,b] f (n+1) (x), un limite superiore all errore di interpolazione E n (x) = f (x) p n (x) è dato da E n (x) ω n+1(x) (n + 1)! M n+1.

38 Errore nell interpolazione polinomiale L errore di interpolazione dipende quindi: dalla regolarità della funzione f (x) dalla disposizione dei punti di interpolazione sull asse delle ascisse. Posto M n+1 = max x [a,b] f (n+1) (x), un limite superiore all errore di interpolazione E n (x) = f (x) p n (x) è dato da E n (x) ω n+1(x) (n + 1)! M n+1.

39 Errore nell interpolazione polinomiale L errore di interpolazione dipende quindi: dalla regolarità della funzione f (x) dalla disposizione dei punti di interpolazione sull asse delle ascisse. Posto M n+1 = max x [a,b] f (n+1) (x), un limite superiore all errore di interpolazione E n (x) = f (x) p n (x) è dato da E n (x) ω n+1(x) (n + 1)! M n+1.

40 Errore nell interpolazione polinomiale Si dimostra che la scelta dei nodi {x i } i=1,...,n+1 per cui, per qualunque x, risulta minimo il valore del termine ω n+1 (x), corrisponde agli zeri reali del polinomio di Chebyshev di grado n+1 definito nell intervallo [a, b]: x i = a + b 2 b a 2 ( ) 2(i 1) + 1 cos π 2(n + 1) i = 1,..., n + 1.

41 Errore nell interpolazione polinomiale Grafico di ω n+1 (x) nell intervallo [a, b] = [ 1, 1] per n = 6 e {x i } i=1,...,7 equispaziati (linea verde) {x i } i=1,...,7 zeri del polinomio di Chebyshev di grado 6 (linea blu)

42 Polinomio di approssimazione ai minimi quadrati È assegnato un insieme di m punti (x i, y i ), i = 1,..., m, che descrivono un certo fenomeno. Vogliamo trovare un polinomio p n (x) = c 0 + c 1 x +... c n x n di grado n < m che approssimi la configurazione di dati assegnati secondo il criterio dei minimi quadrati, ovvero che minimizzi la norma due del vettore residuo r = [p n (x 1 ) y 1, p n (x 2 ) y 2,..., p n (x m ) y m ] ovvero la quantità Ac y 2 che si può scrivere anche come m (p n (x i ) y i ) 2 i=1

43 Polinomio di approssimazione ai minimi quadrati Sia A la matrice di Vandermonde 1 x 1 x x n 1 1 x 2 x x n 2 A = x m xm 2... xm n

44 Polinomio di approssimazione ai minimi quadrati Metodo delle equazioni normali I coefficienti c si trovano risolvendo il sistema delle equazioni normali A T Ac = A T y Se le colonne di A sono l.i., M = A T A invertibile simmetrica e definita positiva si usa il metodo di Cholesky Si trova la fattorizzazione di Cholesky M = LL T Si trova la soluzione risolvendo due sistemi triangolari

45 Polinomio di approssimazione ai minimi quadrati Metodo delle equazioni normali I coefficienti c si trovano risolvendo il sistema delle equazioni normali A T Ac = A T y Se le colonne di A sono l.i., M = A T A invertibile simmetrica e definita positiva si usa il metodo di Cholesky Si trova la fattorizzazione di Cholesky M = LL T Si trova la soluzione risolvendo due sistemi triangolari

46 Polinomio di approssimazione ai minimi quadrati Metodo delle equazioni normali I coefficienti c si trovano risolvendo il sistema delle equazioni normali A T Ac = A T y Se le colonne di A sono l.i., M = A T A invertibile simmetrica e definita positiva si usa il metodo di Cholesky Si trova la fattorizzazione di Cholesky M = LL T Si trova la soluzione risolvendo due sistemi triangolari

47 Polinomio di approssimazione ai minimi quadrati Metodo delle equazioni normali I coefficienti c si trovano risolvendo il sistema delle equazioni normali A T Ac = A T y Se le colonne di A sono l.i., M = A T A invertibile simmetrica e definita positiva si usa il metodo di Cholesky Si trova la fattorizzazione di Cholesky M = LL T Si trova la soluzione risolvendo due sistemi triangolari

48 Polinomio di approssimazione ai minimi quadrati Problemi 1 M può risultare molto mal condizionata soluzioni inaffidabili 2 M, a causa degli errori di calcolo, può non risultare simmetrica definita positiva. La fattorizzazione di Cholesky si blocca. 3 Si può far finta di niente ed evitare il problema usando la divisione a sinistra Ma... c = M \ (A T y)

49 Polinomio di approssimazione ai minimi quadrati Problemi 1 M può risultare molto mal condizionata soluzioni inaffidabili 2 M, a causa degli errori di calcolo, può non risultare simmetrica definita positiva. La fattorizzazione di Cholesky si blocca. 3 Si può far finta di niente ed evitare il problema usando la divisione a sinistra Ma... c = M \ (A T y)

50 Polinomio di approssimazione ai minimi quadrati Problemi 1 M può risultare molto mal condizionata soluzioni inaffidabili 2 M, a causa degli errori di calcolo, può non risultare simmetrica definita positiva. La fattorizzazione di Cholesky si blocca. 3 Si può far finta di niente ed evitare il problema usando la divisione a sinistra Ma... c = M \ (A T y)

51 Polinomio di approssimazione ai minimi quadrati Alternativa: metodo QR Metodo più robusto che generalmente fornisce buoni risultati. È più costoso di quello delle equazioni normali. Infatti il costo computazionale è O(mn 2 n 3 /3) contro O(mn 2 /2 + n 3 /6), ma è più stabile! [Q,R]=qr(A) A = QR Fattorizzazione economica: restituisce le prime n colonne di Q [S,R]=qr(A,0)

52 Polinomio di approssimazione ai minimi quadrati Alternativa: metodo QR Metodo più robusto che generalmente fornisce buoni risultati. È più costoso di quello delle equazioni normali. Infatti il costo computazionale è O(mn 2 n 3 /3) contro O(mn 2 /2 + n 3 /6), ma è più stabile! [Q,R]=qr(A) A = QR Fattorizzazione economica: restituisce le prime n colonne di Q [S,R]=qr(A,0)

53 Polinomio di approssimazione ai minimi quadrati Alternativa: metodo QR Metodo più robusto che generalmente fornisce buoni risultati. È più costoso di quello delle equazioni normali. Infatti il costo computazionale è O(mn 2 n 3 /3) contro O(mn 2 /2 + n 3 /6), ma è più stabile! [Q,R]=qr(A) A = QR Fattorizzazione economica: restituisce le prime n colonne di Q [S,R]=qr(A,0)

54 Polinomio di approssimazione ai minimi quadrati Trasformo il problema dato in uno più semplice, equivalente a quello dato, la cui soluzione è ottenuta risolvendo il sistema triangolare Rc = Y, dove, detta S la matrice formata dalle prime n colonne di Q, il termine noto è Y = S T y.

55 Polinomio di approssimazione ai minimi quadrati c=polyfit(x,y,n) Il comando polyfit usa il metodo QR per determinare i coefficienti c del polinomio di grado n di approssimazione ai minimi quadrati della configurazione (x, y). La soluzione del problema ai minimi quadrati con il metodo QR può essere trovata equivalentemente con il comando divisione a sinistra c = A\y

56 Polinomio di approssimazione ai minimi quadrati c=polyfit(x,y,n) Il comando polyfit usa il metodo QR per determinare i coefficienti c del polinomio di grado n di approssimazione ai minimi quadrati della configurazione (x, y). La soluzione del problema ai minimi quadrati con il metodo QR può essere trovata equivalentemente con il comando divisione a sinistra c = A\y