ISTITUTO DI ISTRUZIONE SUPERIORE A. EINSTEIN PROGETTO LAUREE SCIENTIFICHE

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1 ISTITUTO DI ISTRUZIONE SUPERIORE A. EINSTEIN PROGETTO LAUREE SCIENTIFICHE

2 Prof. Fernando D Angelo Interpolazione e approssimazione di funzioni

3 Problema Dati n+1 punti (x( i,f(x i )) con i =0,1,2,n,n ~ si cerca una funzione f approssimante tale che: ~ f ( x ) = f ( x ) i = 0,1,2 n i i,..., Come funzioni approssimanti consideriamo Polinomi Polinomi goniometrici

4 Per ogni insieme di punti ( x, f ( x )) i = 0,1,2 n i i,..., con gli x i distinti tra loro, esiste un unico polinomio di grado n, indichiamolo con P nf tale che ( x ) = f ( x ) i = 0,1,2 n Pnf i i,..., P nf è detto polinomio interpolatore dei valori f(x i ) nei nodi x i

5 Un polinomio di grado N,, con N intero non negativo, è una funzione del tipo P N (x)= a 0 + a 1 x + a 2 x a N x N dove a i con i =0, 1, 2,, N sono i coefficienti del polinomio.

6 Il polinomio P N è individuato dai coefficienti che devono essere memorizzati in un vettore. In Octave i coefficienti devono essere ordinati a partire da quello corrispondente al termine di grado più elevato fino a quello di grado zero.

7 Nota bene: i coefficienti nulli devono essere esplicitati Ad esempio al polinomio: P 3 (x)=2+3x 2 +x 3 Si associa il vettore dei coefficienti: p=[ ]

8 Funzione Significato poly Costruisce un polinomio con assegnate radici polyval Valuta un polinomio su una griglia di punti x polyvalm Valuta un polinomio con una matrice come argomento residue Ritorna lo sviluppo parziale in frazioni del rapporto fra due polinomi polyfit polyder conv deconv roots Approssimazione di dati con polinomi Derivata di un polinomio Moltiplicazione di polinomi Divisione di polinomi Calcolo delle radici di un polinomio

9 La function polyval calcola il valore di un polinomio di cofficienti p nei punti x assegnati. Se vogliamo calcolare il valore del polinomio in N punti equispaziati nell intervallo [a,[ b] ] si può usare la seguente sequenza di comandi: >> x=linspace(a,b,n); >> p=[ ]; >> y=polyval(p,x);

10 Per calcolare i coffcienti del polinomio interpolatore si usa il comando: p=polyfit(xi,yi,n polyfit(xi,yi,n) dove: xi è vettore contenente i nodi; Yi è un vettore contenente i valori della funzione; N è il grado del polinomio interpolatore; p è il vettore dei cofficienti del polinomio interpolatore.

11 Funzione di Runge f(x)=1/(1+x 2 )

12 Proposta N 1N Interpolare con polinomi di grado n=1,2,3,16,16 la funzione di Runge nell intervallo [-5[ 5, 5] usando n+1 punti equispaziati Confrontare il grafico di ciascun polinomio interpolatore con quello della funzione data

13 Struttura del programma Definire la funzione di Runge Assegnare un vettore che contiene i valori di n; Costruire il vettore xi dei nodi equispaziati ove valutare tutti i polinomi; Per ogni valore di n (for i=1:length length(n)) eseguire le seguenti istruzioni:

14 Trovare i coefficienti del polinomio approssimante con la funzione polyfit; Valutare il polinomio nei nodi con il comando polyval; Plottare la funzione di Runge e il polinomio di grado n (inserire una pausa, pause)

15 Definire in un m-file m la funzione di Runge function y = rung (x) y=1./(1+x.^2.^2); endfunction

16 Un possibile m-file m che realizza quanto richiesto clear n=input('grado massimo del polinomio (<=18) = '); a=-5; b=5; % nodi equispaziati for i=1:n h=(b (b-a)/i; xi=a:h:b; yi=rung(xi xi);

17 % polinomio interpolatore sui nodi equispaziati pequi=polyfit(xi xi,yi,i); x=linspace(a,b,100); g=rung(x); yeq=polyval(pequi pequi,x);

18 if i<7, subplot(2,3,i) title("nodi equisp.,polinomio,funzione") plot(xi xi,yi,'o',x,,'o',x,yeq,'b-',x,g,'r-');'); pause endif if i>6 & i<13, subplot(2,3,i (2,3,i-6) title("nodi equisp.,polinomio,funzione") plot(xi xi,yi,'o',x,,'o',x,yeq,'b-',x,g,'r-');'); pause endif

19 if i>12 & i<19, subplot(2,3,i (2,3,i-12) title("nodi equisp.,polinomio,funzione") plot(xi xi,yi,'o',x,,'o',x,yeq,'b-',x,g,'r-');'); pause endif endfor

20 Cosa si osserva? All aumentare del grado del polinomio approssimante, diminuisce l errore? L errore è più sensibile al centro o ai bordi dell intervallo?

21 Proposta N 2N Invece di considerare nodi equispaziati si potrebbero considerare altre distribuzioni di nodi Ad esempio quelli detti di Chebyshev,, definiti da

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24 Confronto tra i polinomi approssimanti della funzione di Runge basati su nodi equispaziati e nodi di Chebyshev

25 File rungefit3.m clear n=input('grado polinomio = '); a=-5; b=5; % nodi equispaziati h=(b (b-a)/n; xi=a:h:b; yi=rung(xi xi); % nodi di Chebyshev xic=(a+b a+b)/2+(b-a)/2*cos([0:n] a)/2*cos([0:n]*pi/n); yic=rung(xic xic); % polinomio interpolatore sui nodi equispaziati pequi=polyfit(xi xi,yi,n);

26 % polinomio interpolatore sui nodi di Chebyshev pche=polyfit(xic,yic,n polyfit(xic,yic,n); x=linspace(a,b,100); g=rung(x rung(x); yeq=polyval(pequi,x); yche=polyval(pche,x); subplot(1,2,1) title("nodi equisp.,polinomio,funzione") plot(xi,yi,'o',x,yeq,'b-',x,g,'r ',x,g,'r-');'); subplot(1,2,2) title("nodi di Cheby.,polinomio,funzione") plot(xic,yic,'o',x,yche,'b-',x,g,'r ',x,g,'r-');');