Polinomi. Poiché un polinomio di grado n ha n+1 coefficienti, ad un polinomio di grado n si associa un vettore di lunghezza n+1.

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Annalisa Marcellina Silvestri
5 anni fa
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1 Polinomi Polinomi e vettori Matlab non prevede un oggetto particolare di tipo polinomio, ma rappresenta i polinomi attraverso vettori che contengono i coefficienti del polinomio stesso, ordinati partendo dal coefficiente del termine di grado maggiore (detto anche coefficiente direttivo) fino ad arrivare al coefficiente del termine di grado minore (detto anche termine noto) Per esempio p() = , g() = 5 - +, h() = -1 diventano rispettivamente i vettori >> p=[ ]; >> g=[ ]; >> h=[1-1]; Poiché un polinomio di grado n ha n+1 coefficienti, ad un polinomio di grado n si associa un vettore di lunghezza n+1. Operazioni tra polinomi e sui polinomi Matlab offre diverse funzioni per lavorare con i polinomi (per un elenco completo help polyfun). Siano p(), g() e h() i polinomi introdotti nel paragrafo precedente e p, g e h i vettori contenenti i loro coefficienti. Le consuete operazioni tra polinomi si traducono, in termini di vettori contenenti i coefficienti, nel modo seguente: prodotto o divisione per uno scalare: sia a un qualsiasi valore in memoria z() = a h() p ( ) z() = a 0 a z = a*h z = p/a

2 prodotto tra polinomi s() = p() h() s = conv(p, h) somma (o differenza) tra polinomi q() = p() + h() è possibile effettuarla semplicemente sommando ( o sottraendo) i due vettori dei coefficienti SOLO se i due polinomi hanno lo stesso grado (e quindi i due vettori ugual lunghezza) altrimenti si deve avere l'accortezza di allungare" con degli zeri il vettore del polinomio di grado minore in modo che i due vettori siano di lunghezza uguale. A tal proposito Esercizio Scrivere la funzione polysum, che ricevuti in ingresso i coefficienti di due polinomi di grado qualsiasi, fornisca in uscita i coefficienti del polinomio somma q() = p() + h() q= polysum(p, h) derivata di un polinomio s() = p () s = polyder(p) primitiva di un polinomio s() = p ( ) d s = polyint(p) (tra le infinite primitive fornisce quella con termine noto nullo) valore del polinomio in un fissato valore di : sia un qualsiasi valore in memoria, scalare oppure vettoriale; fissiamo, per esempio, = w = p() w = polyval(p,)

3 ESERCIZI I 1. Dati p() = e q() = 3 1 calcolare: z = p*q ; p q, 3p+5q, p -3q 3 ; p ().. Calcolare i seguenti integrali: 5 a. ( + 5 1) d ; 3 4 b. ( 1) d ; 0 3. Eseguire il grafico dei seguenti polinomi: a. 7 in [-3, 5]; b in [-, 3]; 4. Trovare le radici dei polinomi riportati nell esercizio. (vedi l help del comando roots) 5. Calcolare le radici r1 e r ( r1 < r ) di p() = 5 + 3, fare un grafico di p in [r1, r] e calcolare l integrale p ( ) d. r r1 6. Calcolare i massimi e i minimi relativi dei seguenti polinomi: 5 4 y = ; y = ;

4 Interpolazione polinomiale Il comando che, in Matlab, permette di associare ad un insieme di punti nel piano il polinomio che li interpola ( polinomio interpolatore = polinomio che passa per punti assegnati) è polyfit sintassi: p = polyfit(,y,n) input : ascisse dei punti assegnati y ordinate dei punti assegnati n grado del polinomio voluto output p vettore dei coefficienti del polinomio voluto istruzioni per l uso: poiché il comando polyfit, a seconda del grado n richiesto, fornisce anche altri polinomi approssimanti e non solo il polinomio interpolatore, affinché il polinomio ottenuto sia proprio quello interpolante è ASSOLUTAMENTE NECESSARIO impostare il grado n come il numero dei dati meno uno, ossia n = length() -1 oppure, se n è il grado assegnato del polinomio, utilizzare n+1 dati. Se per esempio si trattasse di nodi equispaziati in un intervallo [a, b] = linspace(a, b, n+1)

5 ESERCIZI II 1- Calcolare i polinomi che interpolano le seguenti tabelle di punti; farne un grafico che metta in evidenza i punti utilizzati disegnandoli con un cerchietto: a) b) y y Data una funzione f() in un intervallo [a,b] calcolare il polinomio p che la interpola in n+1 nodi equispaziati in [a, b]; disegnare sullo stesso grafico f, p e i nodi usati per l interpolazione segnandoli con un cerchietto; calcolare l errore assoluto tra f e p in 1000 punti equispaziati in [a,b] e calcolarne il massimo. Si esegua l esercizio sopra descritto nei seguenti casi: a) f ( ) = e sen, [a, b] = [-1, 1]; provare per n =, 4, 8, 16 e controllare l andamento dell errore; b) ( 5 + 6)log f ( ) =, [a, b] = [1, 4]; provare per n = 5, 10, 15, 0 e controllare l andamento dell errore; 1 c) f ( ) =, [a, b] = [-5, 5]; provare per n = 4, 6, 8, 10, 1, 14, 16 e 1+ controllare l andamento dell errore.

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