Approssimazione polinomiale di funzioni e dati
|
|
- Caterina Bellucci
- 8 anni fa
- Visualizzazioni
Transcript
1 Approssimazione polinomiale di funzioni e dati Approssimare una funzione f significa trovare una funzione f di forma più semplice che possa essere usata al posto di f. Questa strategia è utilizzata nell integrazione numerica in cui invece di calcolare b a f (x) dx si calcola b f a (x) dx dove f è, ad esempio, un polinomio. In altri contesti possiamo avere una funzione f nota solo in determinati punti. In questo caso la determinazione di f consentirà di approssimare con una funzione nota esplicitamente l andamento della legge f che ha generato i dati.
2 Interpolazione polinomiale Date n + 1 coppie di valori {(x i, y i )} n i=0 grado n, Π n P n tale che cerchiamo un polinomio di Π n (x i ) = y i, i = 0,..., n. I punti x i si dicono nodi d interpolazione. Teorema Dati n + 1 nodi distinti x 0,..., x n e i corrispondenti valori y 0,..., y n esiste un unico polinomio Π n P n tale che Π n (x i ) = y i per i = 0,..., n.
3 Interpolazione polinomiale Dimostrazione Unicità: se ci fossero due polinomi Π n, Π n P n tali che Π n (x i ) = Π n (x i ) = y i allora la differenza Π n Π n P n e ha almeno n + 1 radici diverse perché (Π n Π n )(x i ) = 0 per i = 0,..., n. Dal teorema fondamentale dell algebra segue che Π n Π n 0.
4 Interpolazione polinomiale Dimostrazione Esistenza: costruiremo il polinomio interpolatore. n Consideriamo i polinomi (di grado n) l i (x) = (ricordiamo che per ipotesi { x i x j se i j.) 1 se i = j Chiaramente l i (x j ) = quindi 0 se i j j=0, j i x x j x i x j Π n (x) = n y i l i (x) i=0 è un polinomio di grado n che interpola i dati {(x i, y i )} n i=0.
5 Interpolazione polinomiale Un altro modo per costruire il polinomio interpolatore Π(x) = a n x n + a n 1 x n a 1 x + a 0 è risolvere il sistema lineare di n + 1 equazioni con n + 1 incognite a 0, a 1,..., a n a n x n i + a n 1 x n 1 i + + a 1 x i + a 0 = y i i = 0,..., n. In forma matriciale x0 n x n x 0 1 x1 n x1 n 1... x 1 1. xn n xn n 1... x n 1 a n a n 1. a 0 = y 0 y 1. y n
6 Interpolazione polinomiale La matrice di questo sistema si dice matrice di Vandermonde x 0 x 1 del vettore.. x n Il suo determinante è 0 i<j n (x j x i ) che è diverso da zero se i nodi d interpolazione sono distinti. In generale tende ad essere mal condizionata.
7 Errore di interpolazione Se i dati sono della forma { (xi, f (x i )) } n i=0 per una funzione f assegnata, allora chiamaremo Π n f il polinomio iterpolatore. Vogliamo adesso stimare f (x) Π n f (x). Teorema Dati n + 1 nodi distinti x 0,..., x n e un altro punto x appartenenti al dominio di definizione di una funzione f. Sia I x il più piccolo intervallo che contiene questi n + 2 punti. Supponiamo che f C n+1 (I x ). Allora esiste un punto ξ I x tale che f (x) Π n f (x) = f (n+1) (ξ) (n + 1)! n (x x i ). i=1
8 Errore di interpolazione Se i nodi sono equispaziati x i = x 0 + ih per i = 0, 1,..., n e x [x 0, x n ] si può dimostrare che n n!hn+1 (x x i ) 4 i=1 quindi per ogni x [x 0, x n ] h n+1 f (x) Π n f (x) max f (n+1) (x) x 0 x x n 4(n + 1). Se stiamo lavorando in un intervallo [a, b] con x 0 = a, x n = b e h = (b a)/n h n+1 lim n 4(n + 1) = 0 ma questo non garantisce che max x [a,b] f (x) Π n f (x) tenda a zero per n.
9 Controesempio di Runge Si consideri la funzione f (x) = x 2 5 x 5 e il suo polinomio interpolatore in n + 1 nodi equispaziati Π n f (x). Disegnado il grafico della funzione f e dei polinomi interpolatori per diversi valori di n si osserva che per certi punti x [ 5, 5] lim f (x) Π nf (x) 0. n Il fenomeno è più marcato agli estremi dell intervallo. Questo fenomeno è legato alla scelta di nodi equispaziati. Scegliendo opportune distribuzioni dei nodi si può avere convergenza uniforme dei polinomi interpolatori alla funzione.
10 Controesempio di Runge 1 Interpolazione in nodi equispaziati funzione n=5 n=9 n= Interpolazione in nodi equispaziati funzione n=6 n=10 n= Grafico di f (x) = 1 1+x 2 e dei polinomi interpolatori di grado 5, 9 e 13 in nodi equispaziati dell intervallo [ 5, 5]. Grafico di f (x) = 1 1+x 2 e dei polinomi interpolatori di grado 6, 10 e 14 in nodi equispaziati dell intervallo [ 5, 5].
11 Controesempio di Runge Nodi di Chebyshev nell intervallo [ 1, 1] ( ˆx i = cos i π ) i = 0,..., n. n Nodi di Chebyshev nell intervallo [a, b] x i = a + b 2 + b a ˆx i. 2 Interpolando nei nodi di Chebyshev, se f è continua ( ) lim max f (x) Π nf (x) = 0. n x [a,b]
12 Controesempio di Runge Interpolazione nei nodi di Chebyshev funzione n=5 n=9 n= Interpolazione nei nodi di Chebyshev funzione n=6 n=10 n= Grafico di f (x) = 1 1+x 2 e dei polinomi interpolatori di grado 5, 9 e 13 nei nodi di Chebyshev dell intervallo [ 5, 5]. Grafico di f (x) = 1 1+x 2 e dei polinomi interpolatori di grado 6, 10 e 14 nei nodi di Chebyshev dell intervallo [ 5, 5].
Interpolazione ed approssimazione di funzioni
Interpolazione ed approssimazione di funzioni Lucia Gastaldi Dipartimento di Matematica, http://dm.ing.unibs.it/gastaldi/ 9 novembre 2007 Outline 1 Polinomi Valutazione di un polinomio Algoritmo di Horner
DettagliSoluzione di equazioni quadratiche
Soluzione di equazioni quadratiche Soluzione sulla Retta Algebrica Inseriamo sulla Retta Algebrica le seguenti espressioni polinomiali x e x 3 e cerchiamo di individuare i valori di x per i quali i punti
DettagliIntegrazione numerica
Integrazione numerica Lucia Gastaldi Dipartimento di Matematica, http://dm.ing.unibs.it/gastaldi/ Lezione 6-20-26 ottobre 2009 Indice 1 Formule di quadratura semplici e composite Formule di quadratura
DettagliEsempio. Approssimazione con il criterio dei minimi quadrati. Esempio. Esempio. Risultati sperimentali. Interpolazione con spline cubica.
Esempio Risultati sperimentali Approssimazione con il criterio dei minimi quadrati Esempio Interpolazione con spline cubica. Esempio 1 Come procedere? La natura del fenomeno suggerisce che una buona approssimazione
DettagliEquazioni non lineari
Equazioni non lineari Data una funzione f : [a, b] R si cerca α [a, b] tale che f (α) = 0. I metodi numerici per la risoluzione di questo problema sono metodi iterativi. Teorema Data una funzione continua
Dettagli1 Serie di Taylor di una funzione
Analisi Matematica 2 CORSO DI STUDI IN SMID CORSO DI ANALISI MATEMATICA 2 CAPITOLO 7 SERIE E POLINOMI DI TAYLOR Serie di Taylor di una funzione. Definizione di serie di Taylor Sia f(x) una funzione definita
DettagliMatematica generale CTF
Equazioni differenziali 9 dicembre 2015 Si chiamano equazioni differenziali quelle equazioni le cui incognite non sono variabili reali ma funzioni di una o più variabili. Le equazioni differenziali possono
DettagliEQUAZIONI DIFFERENZIALI. 1. Trovare tutte le soluzioni delle equazioni differenziali: (a) x = x 2 log t (d) x = e t x log x (e) y = y2 5y+6
EQUAZIONI DIFFERENZIALI.. Trovare tutte le soluzioni delle equazioni differenziali: (a) x = x log t (d) x = e t x log x (e) y = y 5y+6 (f) y = ty +t t +y (g) y = y (h) xy = y (i) y y y = 0 (j) x = x (k)
DettagliDimensione di uno Spazio vettoriale
Capitolo 4 Dimensione di uno Spazio vettoriale 4.1 Introduzione Dedichiamo questo capitolo ad un concetto fondamentale in algebra lineare: la dimensione di uno spazio vettoriale. Daremo una definizione
DettagliEquazioni differenziali ordinarie
Equazioni differenziali ordinarie Denis Nardin January 2, 2010 1 Equazioni differenziali In questa sezione considereremo le proprietà delle soluzioni del problema di Cauchy. Da adesso in poi (PC) indicherà
DettagliCorso di Analisi Matematica. Polinomi e serie di Taylor
a.a. 2013/14 Laurea triennale in Informatica Corso di Analisi Matematica Polinomi e serie di Taylor Avvertenza Questi sono appunti informali delle lezioni, che vengono resi disponibili per comodità degli
DettagliParte 2. Determinante e matrice inversa
Parte. Determinante e matrice inversa A. Savo Appunti del Corso di Geometria 013-14 Indice delle sezioni 1 Determinante di una matrice, 1 Teorema di Cramer (caso particolare), 3 3 Determinante di una matrice
DettagliSia data la rete di fig. 1 costituita da tre resistori,,, e da due generatori indipendenti ideali di corrente ed. Fig. 1
Analisi delle reti 1. Analisi nodale (metodo dei potenziali dei nodi) 1.1 Analisi nodale in assenza di generatori di tensione L'analisi nodale, detta altresì metodo dei potenziali ai nodi, è un procedimento
DettagliLimiti e continuità di funzioni reali di una variabile
di funzioni reali di una variabile Corso di Analisi Matematica - capitolo VI Facoltà di Economia, UER Maria Caterina Bramati Université Libre de Bruxelles ECARES 22 Novembre 2006 Intuizione di ite di funzione
DettagliDocumentazione esterna al software matematico sviluppato con MatLab
Documentazione esterna al software matematico sviluppato con MatLab Algoritmi Metodo di Gauss-Seidel con sovrarilassamento Metodo delle Secanti Metodo di Newton Studente Amelio Francesco 556/00699 Anno
DettagliCAPITOLO 16 SUCCESSIONI E SERIE DI FUNZIONI
CAPITOLO 16 SUCCESSIONI E SERIE DI FUNZIONI Abbiamo studiato successioni e serie numeriche, ora vogliamo studiare successioni e serie di funzioni. Dato un insieme A R, chiamiamo successione di funzioni
Dettagli1 Applicazioni Lineari tra Spazi Vettoriali
1 Applicazioni Lineari tra Spazi Vettoriali Definizione 1 (Applicazioni lineari) Si chiama applicazione lineare una applicazione tra uno spazio vettoriale ed uno spazio vettoriale sul campo tale che "!$%!
DettagliStima per intervalli Nei metodi di stima puntuale è sempre presente un ^ errore θ θ dovuto al fatto che la stima di θ in genere non coincide con il parametro θ. Sorge quindi l esigenza di determinare una
DettagliEquazioni non lineari
Dipartimento di Matematica tel. 011 0907503 stefano.berrone@polito.it http://calvino.polito.it/~sberrone Laboratorio di modellazione e progettazione materiali Trovare il valore x R tale che f (x) = 0,
DettagliLe equazioni. Diapositive riassemblate e rielaborate da prof. Antonio Manca da materiali offerti dalla rete.
Le equazioni Diapositive riassemblate e rielaborate da prof. Antonio Manca da materiali offerti dalla rete. Definizione e caratteristiche Chiamiamo equazione l uguaglianza tra due espressioni algebriche,
DettagliCorso di Matematica per la Chimica
Dott.ssa Maria Carmela De Bonis a.a. 203-4 I sistemi lineari Generalità sui sistemi lineari Molti problemi dell ingegneria, della fisica, della chimica, dell informatica e dell economia, si modellizzano
DettagliDocente: Anna Valeria Germinario. Università di Bari. A.V.Germinario (Università di Bari) Analisi Matematica ITPS 1 / 22
Laurea in Informatica e Tecnologie per la Produzione del Software Corso di Analisi Matematica Calcolo differenziale e approssimazioni, formula di Taylor Docente: Anna Valeria Germinario Università di Bari
DettagliMATEMATICA. { 2 x =12 y 3 y +8 x =0, si pone il problema di trovare, se esistono, un numero x ed un numero y che risolvano entrambe le equazioni.
MATEMATICA. Sistemi lineari in due equazioni due incognite. Date due equazioni lineari nelle due incognite x, y come ad esempio { 2 x =12 y 3 y +8 x =0, si pone il problema di trovare, se esistono, un
DettagliRappresentazione nello spazio degli stati
Chapter 1 Rappresentazione nello spazio degli stati La modellazione di un sistema lineare di ordine n, fornisce un insieme di equazioni differenziali che una volta trasformate nel dominio discreto, possono
DettagliSulle funzioni di W 1,p (Ω) a traccia nulla
Sulle funzioni di W 1,p () a traccia nulla Sia u W 1,p (R n ) e supponiamo che il supp u, essendo un aperto di R n. Possiamo approssimare u con una successione di funzioni C il cui supporto è contenuto
DettagliAppunti sul corso di Complementi di Matematica - prof. B.Bacchelli. 03 - Equazioni differenziali lineari omogenee a coefficienti costanti.
Appunti sul corso di Complementi di Matematica - prof. B.Bacchelli 03 - Equazioni differenziali lineari omogenee a coefficienti costanti. Def. Si dice equazione differenziale lineare del secondo ordine
Dettagli( x) ( x) 0. Equazioni irrazionali
Equazioni irrazionali Definizione: si definisce equazione irrazionale un equazione in cui compaiono uno o più radicali contenenti l incognita. Esempio 7 Ricordiamo quanto visto sulle condizioni di esistenza
DettagliANALISI NUMERICA. Elementi finiti bidimensionali. a.a. 2014 2015. Maria Lucia Sampoli. ANALISI NUMERICA p.1/23
ANALISI NUMERICA Elementi finiti bidimensionali a.a. 2014 2015 Maria Lucia Sampoli ANALISI NUMERICA p.1/23 Elementi Finiti 2D Consideriamo 3 aspetti per la descrizione di elementi finiti bidimensionali:
Dettagli2 Argomenti introduttivi e generali
1 Note Oltre agli esercizi di questa lista si consiglia di svolgere quelli segnalati o assegnati sul registro e genericamente quelli presentati dal libro come esercizio o come esempio sugli argomenti svolti
DettagliAPPLICAZIONI LINEARI
APPLICAZIONI LINEARI 1. Esercizi Esercizio 1. Date le seguenti applicazioni lineari (1) f : R 2 R 3 definita da f(x, y) = (x 2y, x + y, x + y); (2) g : R 3 R 2 definita da g(x, y, z) = (x + y, x y); (3)
DettagliEsercizi su lineare indipendenza e generatori
Esercizi su lineare indipendenza e generatori Per tutto il seguito, se non specificato esplicitamente K indicherà un campo e V uno spazio vettoriale su K Cose da ricordare Definizione Dei vettori v,,v
DettagliEsercitazione 4. Richiami di Teoria
Esercitazione 4 Richiami di Teoria B-spline Le curve costituite da un unico polinomio sono spesso poco adeguate per descrivere forme geometriche complesse. I principali inconvenienti sono i seguenti: ˆ
DettagliEquazioni alle differenze finite (cenni).
AL 011. Equazioni alle differenze finite (cenni). Sia a n } n IN una successione di numeri reali. (Qui usiamo la convenzione IN = 0, 1,,...}). Diremo che è una successione ricorsiva o definita per ricorrenza
DettagliFUNZIONI ELEMENTARI - ESERCIZI SVOLTI
FUNZIONI ELEMENTARI - ESERCIZI SVOLTI 1) Determinare il dominio delle seguenti funzioni di variabile reale: (a) f(x) = x 4 (c) f(x) = 4 x x + (b) f(x) = log( x + x) (d) f(x) = 1 4 x 5 x + 6 ) Data la funzione
DettagliMetodi risolutivi per le disequazioni algebriche
Metodi risolutivi per le disequazioni algebriche v.scudero Una disequazioni algebrica si presenta in una delle quattro forme seguenti: () P( () P( (3) P( () P( essendo P( un polinomio in. Noi studieremo
Dettagli1 Estensione in strategia mista di un gioco
AVVERTENZA: Di seguito trovate alcuni appunti, poco ordinati e poco formali, che uso come traccia durante le lezioni. Non sono assolutamente da considerarsi sostitutivi del materiale didattico. Riferimenti:
DettagliParte 3. Rango e teorema di Rouché-Capelli
Parte 3. Rango e teorema di Rouché-Capelli A. Savo Appunti del Corso di Geometria 203-4 Indice delle sezioni Rango di una matrice, 2 Teorema degli orlati, 3 3 Calcolo con l algoritmo di Gauss, 6 4 Matrici
Dettagliu 1 u k che rappresenta formalmente la somma degli infiniti numeri (14.1), ordinati al crescere del loro indice. I numeri u k
Capitolo 4 Serie numeriche 4. Serie convergenti, divergenti, indeterminate Data una successione di numeri reali si chiama serie ad essa relativa il simbolo u +... + u +... u, u 2,..., u,..., (4.) oppure
Dettagli1. Limite finito di una funzione in un punto
. Limite finito di una funzione in un punto Consideriamo la funzione: f ( ) = il cui dominio risulta essere R {}, e quindi il valore di f ( ) non è calcolabile in =. Quest affermazione tuttavia non esaurisce
DettagliCorso di Calcolo Numerico
Corso di Calcolo Numerico Dottssa MC De Bonis Università degli Studi della Basilicata, Potenza Facoltà di Ingegneria Corso di Laurea in Ingegneria Meccanica Corso di Calcolo Numerico - Dottssa MC De Bonis
DettagliIntroduzione al MATLAB c Parte 2
Introduzione al MATLAB c Parte 2 Lucia Gastaldi Dipartimento di Matematica, http://dm.ing.unibs.it/gastaldi/ 18 gennaio 2008 Outline 1 M-file di tipo Script e Function Script Function 2 Costrutti di programmazione
DettagliParte 6. Applicazioni lineari
Parte 6 Applicazioni lineari A Savo Appunti del Corso di Geometria 203-4 Indice delle sezioni Applicazioni fra insiemi, 2 Applicazioni lineari tra spazi vettoriali, 2 3 Applicazioni lineari da R n a R
DettagliSTUDIO DEL SEGNO DI UNA FUNZIONE
STUDIO DEL SEGNO DI UNA FUNZIONE Quando si studia una funzione! " #$%&' (funzione reale di variabile reale) è fondamentale conoscere il segno, in altre parole sapere per quali valori di &( #$%&'$è positiva,
DettagliFunzioni. Parte prima. Daniele Serra
Funzioni Parte prima Daniele Serra Nota: questi appunti non sostituiscono in alcun modo le lezioni del prof. Favilli, né alcun libro di testo. Sono piuttosto da intendersi a integrazione di entrambi. 1
DettagliI appello - 24 Marzo 2006
Facoltà di Ingegneria - Corso di Laurea in Ing. Energetica e Gestionale A.A.2005/2006 I appello - 24 Marzo 2006 Risolvere gli esercizi motivando tutte le risposte. I.) Studiare la convergenza puntuale,
DettagliInsiemi di livello e limiti in più variabili
Insiemi di livello e iti in più variabili Insiemi di livello Si consideri una funzione f : A R, con A R n. Un modo per poter studiare il comportamento di una funzione in più variabili potrebbe essere quello
DettagliCorrispondenze e funzioni
Corrispondenze e funzioni L attività fondamentale della mente umana consiste nello stabilire corrispondenze e relazioni tra oggetti; è anche per questo motivo che il concetto di corrispondenza è uno dei
DettagliEQUAZIONI DIFFERENZIALI Esercizi svolti. y = xy. y(2) = 1.
EQUAZIONI DIFFERENZIALI Esercizi svolti 1. Determinare la soluzione dell equazione differenziale (x 2 + 1)y + y 2 =. y + x tan y = 2. Risolvere il problema di Cauchy y() = 1 2 π. 3. Risolvere il problema
DettagliMINIMI QUADRATI. REGRESSIONE LINEARE
MINIMI QUADRATI. REGRESSIONE LINEARE Se il coefficiente di correlazione r è prossimo a 1 o a -1 e se il diagramma di dispersione suggerisce una relazione di tipo lineare, ha senso determinare l equazione
DettagliLE FIBRE DI UNA APPLICAZIONE LINEARE
LE FIBRE DI UNA APPLICAZIONE LINEARE Sia f:a B una funzione tra due insiemi. Se y appartiene all immagine di f si chiama fibra di f sopra y l insieme f -1 y) ossia l insieme di tutte le controimmagini
DettagliElementi di topologia della retta
Elementi di topologia della retta nome insieme definizione l insieme è un concetto primitivo che si accetta come intuitivamente noto secondo George Cantor, il padre della teoria degli insiemi: Per insieme
DettagliSTUDIO DI UNA FUNZIONE
STUDIO DI UNA FUNZIONE OBIETTIVO: Data l equazione Y = f(x) di una funzione a variabili reali (X R e Y R), studiare l andamento del suo grafico. PROCEDIMENTO 1. STUDIO DEL DOMINIO (CAMPO DI ESISTENZA)
DettagliAnalisi della performance temporale della rete
Analisi della performance temporale della rete In questo documento viene analizzato l andamento nel tempo della performance della rete di promotori. Alcune indicazioni per la lettura di questo documento:
DettagliE naturale chiedersi alcune cose sulla media campionaria x n
Supponiamo che un fabbricante stia introducendo un nuovo tipo di batteria per un automobile elettrica. La durata osservata x i delle i-esima batteria è la realizzazione (valore assunto) di una variabile
DettagliANALISI DEL CONDIZIONAMENTO DI UN SISTEMA LINEARE
ANALISI DEL CONDIZIONAMENTO DI UN SISTEMA LINEARE Algebra lineare numerica 121 Ax = b A, b affetti dall errore di round-off si risolve sempre un sistema perturbato: con (A + A)(x + x) = b + b A = ( a i,j
DettagliI tre concetti si possono descrivere in modo unitario dicendo che f e iniettiva, suriettiva, biiettiva se e solo se per ogni b B l equazione
Lezioni del 29 settembre e 1 ottobre. 1. Funzioni iniettive, suriettive, biiettive. Sia f : A B una funzione da un insieme A ad un insieme B. Sia a A e sia b = f (a) B l elemento che f associa ad a, allora
DettagliSTRUTTURE ALGEBRICHE
STRUTTURE ALGEBRICHE Operazioni in un insieme Sia A un insieme non vuoto; una funzione f : A A A si dice operazione binaria (o semplicemente operazione), oppure legge di composizione interna. Per definizione
DettagliAnno 5 4. Funzioni reali: il dominio
Anno 5 4 Funzioni reali: il dominio 1 Introduzione In questa lezione impareremo a definire cos è una funzione reale di variabile reale e a ricercarne il dominio. Al termine di questa lezione sarai in grado
Dettaglie l insieme delle soluzioni, dopo le analoghe riduzioni del caso n = 2, si scrive come
Numeri complessi 9 Da questi esempi si può osservare che, facendo le successive potene di un numero complesso, i punti corrispondenti girano attorno all origine. Se inoltre > allora i punti si allontanano
DettagliAmmortamento di un debito
Algoritmi e dintorni: Ammortamento di un debito: Ricerca del tasso Prof. Ettore Limoli Ammortamento di un debito In questa nostra trattazione non ci addentreremo in problemi di matematica finanziaria o
DettagliLe funzioni continue. A. Pisani Liceo Classico Dante Alighieri A.S. 2002-03. A. Pisani, appunti di Matematica 1
Le funzioni continue A. Pisani Liceo Classico Dante Alighieri A.S. -3 A. Pisani, appunti di Matematica 1 Nota bene Questi appunti sono da intendere come guida allo studio e come riassunto di quanto illustrato
DettagliSEGNO DELLA FUNZIONE. Anche in questo caso, per lo studio del segno della funzione, occorre risolvere la disequazione: y > 0 Ne segue:
CAMPO DI ESISTENZA. Poiché la funzione data è una razionale fratta, essa risulta definita su tutto l asse reale tranne che nei punti in cui il denominatore della frazione si annulla, cioè: C.E. { R: 0}
DettagliPolitecnico di Milano. Facoltà di Ingegneria Industriale. Corso di Analisi e Geometria 2. Sezione D-G. (Docente: Federico Lastaria).
Politecnico di Milano. Facoltà di Ingegneria Industriale. Corso di Analisi e Geometria 2. Sezione D-G. (Docente: Federico Lastaria). Aprile 20 Indice Serie numeriche. Serie convergenti, divergenti, indeterminate.....................
DettagliLEZIONE 23. Esempio 23.1.3. Si consideri la matrice (si veda l Esempio 22.2.5) A = 1 2 2 3 3 0
LEZIONE 23 231 Diagonalizzazione di matrici Abbiamo visto nella precedente lezione che, in generale, non è immediato che, data una matrice A k n,n con k = R, C, esista sempre una base costituita da suoi
DettagliConsideriamo due polinomi
Capitolo 3 Il luogo delle radici Consideriamo due polinomi N(z) = (z z 1 )(z z 2 )... (z z m ) D(z) = (z p 1 )(z p 2 )... (z p n ) della variabile complessa z con m < n. Nelle problematiche connesse al
DettagliLimiti e continuità delle funzioni reali a variabile reale
Limiti e continuità delle funzioni reali a variabile reale Roberto Boggiani Versione 4.0 9 dicembre 2003 1 Esempi che inducono al concetto di ite Per introdurre il concetto di ite consideriamo i seguenti
DettagliIntorni Fissato un punto sull' asse reale, si definisce intorno del punto, un intervallo aperto contenente e tutto contenuto in
Intorni Fissato un punto sull' asse reale, si definisce intorno del punto, un intervallo aperto contenente e tutto contenuto in Solitamente si fa riferimento ad intorni simmetrici =, + + Definizione: dato
DettagliApplicazioni lineari
Applicazioni lineari Esempi di applicazioni lineari Definizione. Se V e W sono spazi vettoriali, una applicazione lineare è una funzione f: V W tale che, per ogni v, w V e per ogni a, b R si abbia f(av
DettagliG3. Asintoti e continuità
G3 Asintoti e continuità Un asintoto è una retta a cui la funzione si avvicina sempre di più senza mai toccarla Non è la definizione formale, ma sicuramente serve per capire il concetto di asintoto Nei
DettagliDOMINI A FATTORIZZAZIONE UNICA
DOMINI A FATTORIZZAZIONE UNICA CORSO DI ALGEBRA, A.A. 2012-2013 Nel seguito D indicherà sempre un dominio d integrità cioè un anello commutativo con unità privo di divisori dello zero. Indicheremo con
DettagliLineamenti di econometria 2
Lineamenti di econometria 2 Camilla Mastromarco Università di Lecce Master II Livello "Analisi dei Mercati e Sviluppo Locale" (PIT 9.4) Aspetti Statistici della Regressione Aspetti Statistici della Regressione
DettagliESERCIZI DI ALGEBRA LINEARE E GEOMETRIA
ESERCIZI DI ALGEBRA LINEARE E GEOMETRIA Francesco Bottacin Padova, 24 febbraio 2012 Capitolo 1 Algebra Lineare 1.1 Spazi e sottospazi vettoriali Esercizio 1.1. Sia U il sottospazio di R 4 generato dai
DettagliMatematica e Statistica
Matematica e Statistica Prova d esame (0/07/03) Università di Verona - Laurea in Biotecnologie - A.A. 0/3 Matematica e Statistica Prova di MATEMATICA (0/07/03) Università di Verona - Laurea in Biotecnologie
DettagliEsercizi di Matematica. Funzioni e loro proprietà
www.pappalardovincenzo.3.it Esercizi di Matematica Funzioni e loro proprietà www.pappalardovincenzo.3.it ESERCIZIO www.pappalardovincenzo.3.it ESERCIZIO ESERCIZIO www.pappalardovincenzo.3.it ESERCIZIO
DettagliSVILUPPO IN SERIE DI FOURIER. Prof. Attampato Daniele
SVILUPPO IN SERIE DI FOURIER Prof. Attampato Daniele SVILUPPO IN SERIE DI UNA FUNZIONE Uno dei problemi più frequenti in matematica è legato alla necessità di approssimare una funzione. Uno degli strumenti
Dettaglix 1 + x 2 3x 4 = 0 x1 + x 2 + x 3 = 0 x 1 + x 2 3x 4 = 0.
Problema. Sia W il sottospazio dello spazio vettoriale R 4 dato da tutte le soluzioni dell equazione x + x 2 + x = 0. (a. Sia U R 4 il sottospazio dato da tutte le soluzioni dell equazione Si determini
DettagliMassimi e minimi vincolati
Massimi e minimi vincolati In problemi di massimo e minimo vincolato viene richiesto di ricercare massimi e minimi di una funzione non definita su tutto R n, ma su un suo sottoinsieme proprio. Esempio:
DettagliCondizionamento di sistemi lineari.
Condizionamento di sistemi lineari. Ángeles Martínez Calomardo e Alvise Sommariva Università degli Studi di Padova Dipartimento di Matematica Pura e Applicata 10 dicembre 2012 Ángeles Martínez Calomardo
DettagliB9. Equazioni di grado superiore al secondo
B9. Equazioni di grado superiore al secondo Le equazioni di terzo grado hanno una, due o tre soluzioni, risolvibili algebricamente con formule molto più complesse di quelle dell equazione di secondo grado.
DettagliFunzioni continue. ) della funzione calcolata in x 0, ovvero:
Funzioni continue Dal punto di vista intuitivo dire che una funzione è continua in un intervallo è come dire che nel disegnare il suo grafico non stacchiamo mai la penna dal foglio. Scriviamo adesso la
DettagliVademecum studio funzione
Vademecum studio funzione Campo di Esistenza di una funzione o dominio: Studiare una funzione significa determinare gli elementi caratteristici che ci permettono di disegnarne il grafico, a partire dalla
DettagliLEZIONE 31. B i : R n R. R m,n, x = (x 1,..., x n ). Allora sappiamo che è definita. j=1. a i,j x j.
LEZIONE 31 31.1. Domini di funzioni di più variabili. Sia ora U R n e consideriamo una funzione f: U R m. Una tale funzione associa a x = (x 1,..., x n ) U un elemento f(x 1,..., x n ) R m : tale elemento
DettagliProva parziale di Geometria e Topologia I - 5 mag 2008 (U1-03, 13:30 16:30) 1/8. Cognome:... Nome:... Matricola:...
Prova parziale di Geometria e Topologia I - 5 mag 2008 (U1-03, 13:30 16:30) 1/8 Cognome:................ Nome:................ Matricola:................ (Dare una dimostrazione esauriente di tutte le
DettagliAPPUNTI DI MATEMATICA LE FRAZIONI ALGEBRICHE ALESSANDRO BOCCONI
APPUNTI DI MATEMATICA LE FRAZIONI ALGEBRICHE ALESSANDRO BOCCONI Indice 1 Le frazioni algebriche 1.1 Il minimo comune multiplo e il Massimo Comun Divisore fra polinomi........ 1. Le frazioni algebriche....................................
DettagliIstituto d Istruzione Secondaria Superiore M.BARTOLO. A cura del Prof S. Giannitto
Istituto d Istruzione Secondaria Superiore M.BATOLO PACHINO (S) APPUNTI DI SISTEMI AUTOMATICI 3 ANNO MODELLIZZAZIONE A cura del Prof S. Giannitto MODELLI MATEMATICI di SISTEMI ELEMENTAI LINEAI, L, C ivediamo
DettagliElementi Finiti: stime d errore e adattività della griglia
Elementi Finiti: stime d errore e adattività della griglia Elena Gaburro Università degli studi di Verona Master s Degree in Mathematics and Applications 05 giugno 2013 Elena Gaburro (Università di Verona)
DettagliUna ricetta per il calcolo dell asintoto obliquo. Se f(x) è asintotica a mx+q allora abbiamo f(x) mx q = o(1), da cui (dividendo per x) + o(1), m =
Una ricetta per il calcolo dell asintoto obliquo Se f() è asintotica a m+q allora abbiamo f() m q = o(1), da cui (dividendo per ) m = f() q + 1 f() o(1) = + o(1), mentre q = f() m = o(1). Dunque si ha
Dettaglianalisi di sistemi retroazionati (2)
: analisi di sistemi retroazionati (2) Marco Lovera Dipartimento di Elettronica e Informazione Politecnico di Milano lovera@elet.polimi.it Indice Piccolo guadagno Stabilita ingresso-uscita Guadagno L 2
Dettagli3 GRAFICI DI FUNZIONI
3 GRAFICI DI FUNZIONI Particolari sottoinsiemi di R che noi studieremo sono i grafici di funzioni. Il grafico di una funzione f (se non è specificato il dominio di definizione) è dato da {(x, y) : x dom
DettagliRette e curve, piani e superfici
Rette e curve piani e superfici ) dicembre 2 Scopo di questo articolo è solo quello di proporre uno schema riepilogativo che metta in luce le caratteristiche essenziali delle equazioni di rette e curve
DettagliIndice. 1 Introduzione alle Equazioni Differenziali 1 1.1 Esempio introduttivo... 1 1.2 Nomenclatura e Teoremi di Esistenza ed Unicità...
Indice 1 Introduzione alle Equazioni Differenziali 1 1.1 Esempio introduttivo............................. 1 1.2 Nomenclatura e Teoremi di Esistenza ed Unicità.............. 5 i Capitolo 1 Introduzione
DettagliModelli di Ottimizzazione
Capitolo 2 Modelli di Ottimizzazione 2.1 Introduzione In questo capitolo ci occuperemo più nel dettaglio di quei particolari modelli matematici noti come Modelli di Ottimizzazione che rivestono un ruolo
DettagliCorso di Analisi Numerica
Corso di Laurea in Ingegneria Informatica Corso di Analisi Numerica 8 - METODI ITERATIVI PER I SISTEMI LINEARI Lucio Demeio Dipartimento di Scienze Matematiche 1 Norme e distanze 2 3 4 Norme e distanze
DettagliFunzione reale di variabile reale
Funzione reale di variabile reale Siano A e B due sottoinsiemi non vuoti di. Si chiama funzione reale di variabile reale, di A in B, una qualsiasi legge che faccia corrispondere, a ogni elemento A x A
DettagliMatematica generale CTF
Successioni numeriche 19 agosto 2015 Definizione di successione Monotonìa e limitatezza Forme indeterminate Successioni infinitesime Comportamento asintotico Criterio del rapporto per le successioni Definizione
Dettagliallora la retta di equazione x=c è asintoto (verticale) della funzione
1)Cosa rappresenta il seguente limite e quale ne è il valore? E il limite del rapporto incrementale della funzione f(x)= con punto iniziale, al tendere a 0 dell incremento h. Il valore del limite può essere
DettagliCapitolo 1 ANALISI COMPLESSA
Capitolo 1 ANALISI COMPLESSA 1 1.4 Serie in campo complesso 1.4.1 Serie di potenze Una serie di potenze è una serie del tipo a k (z z 0 ) k. Per le serie di potenze in campo complesso valgono teoremi analoghi
DettagliEsercitazioni di Calcolo Numerico 23-30/03/2009, Laboratorio 2
Esercitazioni di Calcolo Numerico 23-30/03/2009, Laboratorio 2 [1] Metodo di Bisezione gli estremi a e b di un intervallo reale trovi uno zero della funzione f(x) nell intervallo [a, b] usando il metodo
DettagliLezione 9: Cambio di base
Lezione 9: Cambio di base In questa lezione vogliamo affrontare uno degli argomenti piu ostici per lo studente e cioè il cambio di base all interno di uno spazio vettoriale, inoltre cercheremo di capire
DettagliCome visto precedentemente l equazione integro differenziale rappresentativa dell equilibrio elettrico di un circuito RLC è la seguente: 1 = (1)
Transitori Analisi nel dominio del tempo Ricordiamo che si definisce transitorio il periodo di tempo che intercorre nel passaggio, di un sistema, da uno stato energetico ad un altro, non è comunque sempre
Dettagli